점성술의 거울 — 하권

『점성술의 거울』.

행성 이론과 요하네스 데 사크로보스코의 『천구론』에 대한 주석을 수록한다. 게오르기우스 푸르바흐의 식 계산표와, 에스파냐 국왕 알폰소 및 니콜라우스 코페르니쿠스의 원리에 따른 행성 운동 계산, 그 밖의 여러 점성술 논고를 함께 담았다.

저자: 피렌체의 프란키스쿠스 융크티누스, 신학박사. 지극히 고귀하신 프랑수아 드 발루아 전하의 상임 자선담당 사제. 전하는 앙리의 아들이며 프랑수아의 손자이고, 지극히 그리스도교적인 프랑스·폴란드 국왕의 유일한 형제이며, 앙주 공작 등이다.

모든 사항에서 거룩한 사도좌의 판단을 따르는 것을 전제로 한다.

후권〔제2권〕.

초상 테두리 글자: FRANCISCVS IVNCTINVS / AETATIS SVAE ANN. LX. — 프란키스쿠스 융크티누스, 나이 60세.

리옹. 피렌체 출신 고(故) 필리프 팅기의 인쇄소에서, 심포리앙 베로를 통하여.

1581년〔주저본 표제의 M.D.LXXXI.. 대조사본 표제는 M.D.LXXXIII., 곧 1583년이다.〕

황제 폐하와 지극히 그리스도교적인 국왕의 특허를 받음.

가스파르 아를루노에게 바치는 헌사

매우 고귀하고 온갖 덕을 갖추신 밀라노 귀족 가스파르 아를루노 각하께, 피렌체의 신학자 프란키스쿠스 융크티누스가 정중히 인사드립니다. 우리가 태어날 때부터 지니고 있는 수많은 징표는 우리를 이성 없는 짐승들과 크게 구별합니다. 실제로 우리와 그들 사이에는 매우 큰 차이가 있습니다. 그러나 제 생각에 이 차이를 드러내는 데에는, 우리가 몸을 곧게 세우고 얼굴을 위로 향하도록 창조된 반면 그들은 땅을 향해 엎드리고 아래로 굽은 몸을 받았다는 사실보다 더 명백한 것을 생각해 낼 수 없습니다. 매우 재치 있는 시인도 다음 시구로 이를 더없이 아름답게 표현했습니다. “다른 동물들은 몸을 숙여 땅을 바라보지만, 인간에게는 높이 든 얼굴을 주어 하늘을 보게 하고, 똑바로 든 얼굴을 별들에게 향하도록 명하였다.”

이것은 하느님의 섭리와 어떤 은밀한 뜻 없이 이루어진 일이 아닙니다. 살아 있는 것들 가운데 홀로 이성을 부여받은 인간이, 눈을 들어 바라보는 하늘을 관조함으로써 자신이 그분을 위해 창조된 이 우주의 창조자를 알도록 하기 위함입니다. 그러므로 저는 점성술과, 말하자면 그 자식인 신학이 모든 학문 중 가장 고귀하며 인간의 본성에 가장 알맞은 학문이고, 다른 모든 학문은 이들을 뒤따르는 시녀와 같다고 정당하게 말할 수 있을 것입니다. 이 때문에 지극히 뛰어난 사람들, 다른 이들보다 더 고귀한 정신을 타고난 사람들은 특히 이 학문들에서 기쁨을 얻었습니다.

점성술에 관하여 말하자면, 고대의 모든 인물 중 제가 그 남다르게 고귀한 정신 때문에 가장 존경하는 가이우스 율리우스 카이사르에 대해서는, 그가 가장 큰 전쟁의 소용돌이와 가장 혼란스러운 사태 속에서도 점성술 연구를 위한 시간을 언제나 따로 남겨 두었다고 기록되어 있습니다. 루카누스의 작품에서 그는 자신에 관하여 이렇게 말합니다. “전투 한가운데에서도 언제나 별과 하늘의 영역, 그리고 천상의 것들을 위해 시간을 내었다. 나의 한 해는 에우독소스의 역일표에 뒤지지 않으리라.” 카이사르 다음 두 번째 로마 황제인 티베리우스는 신들과 종교, 아니 더 정확히 말하면 이교도의 미신에 다소 무관심한 사람으로 여겨졌습니다. 이는 수에토니우스가 전하듯 그가 전념했던 수리학 연구 때문이었습니다. 디온을 믿는다면, 그는 별에 대한 지식 덕분에 매우 뛰어난 예언자가 되었습니다.

수리학에 능숙했던 알렉산데르 황제도 로마에서 누구보다 먼저 점성가들에게 보수와 영예를 정해 주었으며, 이 학문을 공적으로 가르치도록 제도를 세웠습니다. 콘스탄티노폴리스의 황제 바르다스는 점성술에 매우 열심이어서, 수학자 레온에게 넉넉한 급료를 지급하고 수리 학문들을 공적으로 강의하도록 명했습니다. 카롤루스 대제가 이 학문들에 얼마나 전념했는지는, 그가 매우 박식하게 저술했다고 전하는 천문력이 충분히 증언합니다. 그는 밖에서는 무력으로 뛰어났던 만큼, 안에서는 천문 기구를 다루는 데 능숙했습니다.

에스파냐 국왕 알폰소에 대해서는 또 무슨 말을 하겠습니까? 그는 누구 못지않게 전념하던 점성술을 더 자유롭게 연구하기 위하여, 자진하여 자신에게 주어진 로마 제국의 제위를 거절하지 않았습니까? 그는 점성술 전반을 담아 자신의 지극한 노력으로 완성한 저 놀라운 표들을 후세에 남기지 않았습니까? 그 표들은 우리에게 큰 유익을 주었고, 그에게도 그만큼의 명예를 안겨 주었습니다. 그 명예는 왕국이나 그토록 큰 제국의 통치에서 누가 얻을 수 있었을 것보다 훨씬 크고 오래 지속되는 것이었습니다.

영원히 기억될 황제 카롤루스 5세가 이 지극히 뛰어난 학예를 얼마나 중히 여겼는지도 묵과할 수 없습니다. 밤낮으로 자신을 짓누르던 거의 끝없는 일들 사이에서 조금이라도 시간을 낼 수 있으면, 그는 특별히 이 연구에 그 시간을 바쳤고 놀라울 만큼 뜨거운 열정으로 그것을 추구했습니다. 그가 뛰어난 점성가들을 얼마나 귀하게 여겼는지는, 그들을 곁으로 불러들이기 위해 내렸던 막대한 보상으로 판단할 수 있습니다. 크레모나의 투리아누스가 스스로 고안한 기구들로 제8천의 운동을 보여 주었을 때, 황제가 그에게 얼마나 큰 영예와 호의를 베풀었는지는 모두가 알고 있습니다. [검열에 따른 원문 손실: 주저본과 대조사본 모두 이곳의 약 세 줄이 잉크로 지워져 있다. 주저본에서 읽을 수 있는 파편은 “Cuius etiam consilio” — “그의 조언으로도”, 그리고 끝부분 “quid eventurum esset” — “무슨 일이 일어날 것인지”이다. 사이의 지워진 부분과 연결 문장은 복원하지 않는다.]

그러나 수리 학문들을 다른 학문들보다 사랑했던 모든 탁월한 인물을 여기서 열거하는 것은 제 목적이 아닙니다. 왕다운 정신을 지닌 이들이 이 연구에 몰두한다는 말만으로 충분하겠습니다. 이 학예들 자체가 왕다운 무언가를 품고 있기 때문입니다. 그러므로 많은 사람이 이를 왕의 학문이라고 부르는 것은 지극히 정당합니다. 이 학문들은 설명하기 어려운 방식으로 정신을 덧없고 비천하고 속된 것들에서 불러내어, 영원하고 숭고하고 신성한 것들을 관조하게 합니다. 그리고 그 대상들을 향한 놀라운 사랑으로 정신을 불태워, 인간사의 일들을 완전히 잊게 합니다.

그러므로 지극히 고귀하신 가스파르 각하, 각하께서는 빛나는 고국에서 명예롭게 이어받은 가문의 고귀함에 더하여, 태어날 때부터 매우 고결한 정신까지 지니셨습니다. 각하의 편지와, 이곳에 계실 때 제가 함께 나누었던 대화에서도 알 수 있듯이, 각하께서는 특별한 열정으로 이 학문들에 이끌리십니다. 여러 사람에게 듣기로는, 각하께서 탁월한 식견을 지니신 시민법의 연구마저 잠시 중단하거나 아예 뒤로 미루고 천상의 사물에 대한 관조에 전적으로 몸을 맡기셨다고 합니다. 저는 각하의 그 지혜로운 결정을 진심으로 찬동하지 않을 수 없습니다. 고귀함이든 즐거움이든 용이함이든, 끝으로 무엇이 인간에게 가장 알맞은가를 따지든, 시민법이 그 자체로 매우 고귀하고 시대의 형편에 따라 다른 모든 학문보다 더 많은 성과와 수익을 낸다 하더라도 여러 면에서 점성술에 뒤진다는 사실을 누구도 의심할 수 없을 것이기 때문입니다.

각하의 이토록 고결한 학구열을 제 능력이 닿는 만큼 북돋우고 더욱 불붙이기 위하여, 저는 제 『점성술의 거울』의 이 두 번째 부분을 각하께 바쳐 출판해야겠다고 생각했습니다. 여기에는 각하께서 몹시 바라신다고 제가 알고 있는 것들이 담겨 있습니다. 그것들은 배우고자 하는 각하의 한없는 열망을 온전히 채워 드리지는 못하더라도, 적어도 어느 정도는 그 갈증을 덜어 드릴 수 있을 것입니다. 그러므로 각하를 위해 마련하고 그 많은 수고와 밤샘으로 완성한 이 책을, 각하를 향한 제 호의의 증표로서 기쁜 얼굴로 받아 주십시오. 이 책이 마음에 드신다는 것을 알게 된다면—늘 저를 기꺼이 대해 주셨던 각하의 마음을 보아, 저는 틀림없이 그러하리라고 믿습니다—앞으로도 하느님의 도움을 받아 각하께 즐거움을 드릴 만한 것을 끊임없이 마련하겠습니다. 안녕히 계십시오. 리옹에서, 1581년 5월의 칼렌다이, 곧 5월 1일.

융크티누스를 찬양하는 두 행

지극히 이름난 점성가 프란키스쿠스 융크티누스에게. 불타는 별들로 장식된 천축을 어깨로 돌리는 융크티누스는 자기 힘으로 버티는 또 하나의 아틀라스이다.

행성 이론 해설에 붙인 8행시

프란키스쿠스 융크티누스 각하의 지극히 박식한 연구로 해설된 행성 이론에 붙인, 요하네스 셰비녜우스〔원문 Ioannis Cheuignæi Belnen.; 출신지 약칭 Belnen.은 여기서 확정하지 않는다〕의 8행시. 신들이 우리에게 눈을 선물로 주신 것은, 플라톤이 증언하듯 천상의 거처들을 살펴보게 하기 위함이다. 그런데 우리는 어째서 스스로 지상의 찌꺼기에 달라붙으며, 더러운 진흙 속에서 늘 뒹구는 것을 즐기는가? 자, 진창 밖으로 나오라. 인간들이여, 이제 가장 아름다운 것들을 찾고, 새로운 것들을 최대한의 정성으로 숙고하라. 여기의 빛나는 저자와 거룩한 해설자가, 앞장서는 이들로서 너희 손을 잡고 그곳으로 이끌리라.

운명 도상과 그리스어 표어

도상 둘레의 그리스어: ΕΙΜΑΡΜΕΝΗ / ΠΟΡΕΙΑΝ — ‘운명’ / ‘여정〔대격형〕’. 두 단어의 인쇄 형태를 보존하며, 완전한 문장으로 임의 보정하지 않는다.

운명 도상 아래 이탈리아어 8행시

하늘이 바라는 대로 내 가혹한 운명이 험준하고 고된 오르막길을 가게 하며, 내가 아직도 고통스러운 삶밖에 살지 못하고 온갖 불행이 언제나 내 곁에 있다 하더라도, 나의 희망은 그럼에도 때때로 힘을 얻으며, 나는 앞으로 올 좋은 일도 예감한다. 운명은 틀림없이 길을 찾아내리라. 나에게 행운이 찾아오기까지 오래 걸리지 않으리라.

태양 이론 제1부 — 세 천구층과 그 중심

지극히 이름난 천문학자 게오르기우스 푸르바흐의 『행성 이론』. 신학과 수학에 매우 능숙한 프란키스쿠스 융크티누스의 주석으로 해설하였다. 태양에 관하여. 제1부는 천구층(天球殼)들과 그 중심들을 설명한다. 태양에는 서로 모든 부분에서 구별되면서도 서로 맞닿아 있는 세 천구층이 있다. 가장 바깥쪽 것은 볼록한 표면을 기준으로 하면 세계와 동심이지만, 오목한 표면을 기준으로 하면 이심이다. 가장 안쪽 것은 오목한 표면을 기준으로 하면 동심이지만, 볼록한 표면을 기준으로 하면 이심이다. 이 둘 사이에 놓인 세 번째 것은 볼록한 표면과 오목한 표면 어느 쪽을 기준으로 하든 세계와 이심이다. 중심이 세계의 중심과 같은 천구층을 세계와 동심이라고 하며, 중심이 세계의 중심과 다른 천구층을 이심이라고 한다.

따라서 앞의 두 천구층은 어떤 면에서 이심이며, 태양의 원지점을 운반하는 천구층이라고 부른다. 이들의 운동에 따라 태양의 원지점이 달라지기 때문이다. 세 번째는 무조건적으로 이심이며, 태양을 운반하는 천구층이라고 부른다. 그 천구층에 박혀 있는 태양의 몸체가 그 운동에 따라 움직이기 때문이다. 이 세 천구층에는 두 중심이 있다. 가장 바깥쪽 것의 볼록한 표면과 가장 안쪽 것의 오목한 표면은 같은 중심, 곧 세계의 중심을 지닌다. 그러므로 태양의 전체 천구는 다른 어느 행성의 전체 천구와 마찬가지로 세계와 동심이라고 한다. 그러나 가장 바깥쪽 것의 오목한 표면과 가장 안쪽 것의 볼록한 표면은 중간 천구층의 두 표면과 함께 또 하나의 중심을 지니는데, 이를 이심의 중심이라고 부른다.

주석 — 책의 구성과 행성 이론의 두 의미

주석. 이 책은 크게 세 부분으로 나뉜다. 저자는 먼저 각 행성을 따로 다루고, 둘째로 “행성을 순행한다고 한다”는 곳에서 모든 행성을 함께, 곧 그들의 공통된 성상을 다룬다. 그리고 다시 둘째로 [원문의 순서 표현] “제8천구는”이라는 곳에서 제8천구를 다룬다. 그는 태양 이론이 이해하기 더 쉽기 때문이거나, 더 주요한 별에 관한 것이기 때문에 그 이론에서 이 소책자를 시작한다. 태양의 천구에 대해서는 크게 세 가지를 한다. 먼저 그것을 이루는 구성 부분들을 설명한다. 둘째로 “천구층들은 움직인다”는 곳에서 실제적 부수 속성, 곧 운동과 운동에 속하는 것들을 설명한다. 학예〔원문 artes; 문맥상 용례에 유보를 둔다〕와 이와 비슷한 것들도 실제적인 것이 아니라 하더라도 여기에 포함한다. 셋째로 “그러므로 이심원은”이라는 곳에서 운동으로 말미암아 거기에 속하는 상정적 부수 속성, 곧 태양에 관하여 표에서 주로 구하는 것들을 다룬다.

따라서 행성 이론이라는 말은 두 가지로 이해할 수 있다. 첫째는 필연적인 것들을 다루는 점성술의 한 부분 자체이다. 둘째는 도형들과 천구들 자체로서, 우리는 그것들을 감각으로 파악할 수 있는 사물처럼 사용하여, 마치 어린아이처럼 손에 이끌리듯 앞서 말한 지식에 도달한다.

주석 — 세 천구층 모형은 증명인가, 현상을 보존하는 가정인가

“세 천구층”이라는 표현에서 유의해야 한다. 그 가운데의 것, 곧 운반천구층을 크레모나의 게라르두스는 같은 필요에 따라 다른 방식으로 설정했다. 곧 태양의 전체 천구가 세 개가 아니라 하나의 천구층이라고 상정하고, 그 안에 어떤 표면, 더 분명히 말하면 반지와 같은 둥근 구멍이 있다고 상정한다. 그 빈 공간은 태양의 몸체와 두께와 크기가 같다. 그 구멍 안에는 고리 모양의 몸체를 상정하는데, 태양이 그 안에 박혀서 반지의 보석처럼 고정되어 있다. 그 몸체의 운동에 따라 태양은 그 둥근 구멍을 통하여 운반된다. 그러나 요하네스 데 몬테레기오와 여기의 게오르기우스 푸르바흐는 그 고리 모양의 몸체를 태양의 중간 천구층으로 바꾸고, 앞서 보았듯 태양의 천구를 세 부분으로 나눈다. 이것은 그들 자신이 증명한 것도 아니고, 아마 반드시 요구되는 설명도 아니다. 그럼에도 더 그럴듯해 보인다. 운반천구층 외의 모든 천체는 모든 이의 견해에 따르면 구이기 때문이다. 하늘 자체처럼 세계의 중심을 완전히 둘러싸거나, 별과 주전원처럼 그 중심 밖에 완전히 놓여 있다. 다만 별들이 크기상 실제로 구, 곧 자기 천구층과 분리된 것이라고 할 경우이다. 그러므로 이 운반천구층들도 그러하다고 보는 것이 그럴듯하다.

“태양에는 있다”는 말은, 곧 태양에 세 천구층이 있다고 믿는다는 뜻이다. 이것은 증명된 것이 아니라, 하늘의 운동에서 나타나는 현상들을 보존하여 설명하기 위해 고안된 것이다. 중간 천구층의 이심량은 프톨레마이오스의 『알마게스트』 제4권 제3장에 따르면 2도 29분 30초이며, 볼로냐의 블란키누스에 따르면 2도 10분이다. 이것은 이심원의 반지름을 일흔 부분으로 잡은 값이다.

주석 — 분리·접촉·볼록면·오목면

“모든 부분에서 구별되는” 등에 관하여. 네 몸체에서 한 몸체가 다른 몸체 위에 놓이고 그것을 완전히 감싸서 아무리 작은 것이라도 그 사이에 들어갈 수 없으면서도, 한쪽이 다른 쪽 없이 움직일 수 있는 경우와 같다. 원소의 영역 위에 놓인 다른 천구나 천구층들도, 아무것도 사이에 끼지 않은 채 서로 맞닿아 있다. 거친 예를 들면 양파의 겹들이 서로를 감싸고 맞닿아 있으면서도 움직일 수 있는 것과 같다. 이 세 천구층이 연속적이거나 결합하여 하나의 꽉 찬 몸체를 이루는 것이 아니라, 부분으로 나뉘어 서로 구별된다는 사실은 서로 다른 운동으로 움직인다는 점에서 분명하다. 이는 뒤에서 보게 될 것이다. 만일 그것들이 연속적이고 하나로 결합되어 있다면 어느 하나가 다른 것보다 더 빠르게 움직일 수 없을 것이다. 『형이상학』 제5권에서 분명하듯, 연속된 것은 하나의 운동으로만 움직이기 때문이다. 그러나 이들은 맞닿아 있다. 가장 바깥의 표면들이 서로 접촉하기 때문이다. 그 표면들이 함께 있지 않고 떨어져 있다면 사이에 진공이 있어야 할 것이다. 그러므로 위쪽 천구층의 오목한 면은 아래쪽 천구층의 볼록한 면과 접한다는 것이 분명하다.

그러나 여기서 유의해야 한다. 천구층이 완전히 꽉 차 있어서 세계의 중심에 이르기까지 자기 안에 다른 아무것도 포함하지 않는다면, 그것은 오직 하나의 바깥 표면만을 지니며 이를 볼록한 표면이라고 한다. 반면 완전히 꽉 차 있지 않고 자기 안에 다른 본성을 지닌 몸체를 포함한다면, 안쪽과 바깥쪽의 두 표면을 지닌다. 안쪽은 오목한 표면, 바깥쪽은 볼록한 표면이라고 부른다. 이제 모든 천체는 이 두 표면을 지닌다. 다른 것에 둘러싸여 있거나 경계가 있으므로 볼록한 표면을 지니고, 자기 안에 다른 몸체를 포함하므로 오목한 표면도 지닌다. 땅을 제외한 모든 원소도 두 표면을 지닌다. 그러므로 저자가 설정한 태양의 세 천구층 역시 두 표면을 지니며, 그는 양쪽 표면을 기준으로 그 위치를 설명한다.

“어떤 면에서”에 관하여. 검은색으로 표시된 두 천구층을 어떤 면에서 이심이라고 부르는 것은, 각각의 두 표면이 모두 이심이어서 전체적으로 그러한 것이 아니라 어느 한쪽에서만 그러하기 때문이다. 저자 자신이 명료하게 설명하고 정의한 것도 이것이다. 어떤 것이 전체가 아니라 자기의 어느 한 부분에 관하여 그 성질을 지닐 때, 그것을 “어떤 면에서” 그러하다고 한다. 이 검은색의 두 천구층이 그러하다. 바깥 천구층의 볼록한 표면과 안쪽 천구층의 오목한 표면은 같은 중심 A, 곧 세계의 중심을 지닌다. 그러나 위쪽, 곧 바깥 천구층의 오목한 표면과 아래쪽, 곧 E.D.F. 천구층 안에 있는 아래 천구층의 볼록한 표면은 다른 중심 B를 지닌다. 이는 태양의 몸체를 운반하는 중간 천구층의 중심이다. 저자는 이 중간 천구층이 무조건적으로, 곧 그 두 표면 모두를 기준으로 이심이라고 말한다.

[도형 표기] A centrum mundi — A: 세계의 중심. B e[c]cen[trici] centrum — B: 이심원의 중심. C·D·E·F는 원호/천구층의 위치를 지시하는 원래 문자로 보존한다. 바깥 고리의 열두 사인 기호도 도상에 보존되어 있다.

주석 — 원지점과 운반천구층의 명칭

“그리고 원지점의 천구층들이라고 부른다”에 관하여. 이들 사이에 있는 원, 곧 저자가 세 번째라고 부르는 것은 그 어느 표면도 세계의 중심 A를 중심으로 하여 그려져 있지 않다. 그러므로 그 원은 중심 A로부터 같은 거리에 있지 않다. 만일 같은 거리에 있다면 유클리드 제1권의 원의 정의에 따라 A가 그 중심이어야 하기 때문이다. 따라서 A로부터 가장 멀리 떨어진 점이 있는데, 이것이 C이다. 그 점 C를 라틴어로 태양의 아우게라고 부른다. 이는 지구의 중심 A로부터 가장 높이 올라가거나 가장 멀리 떨어진 곳이라는 뜻이다. 태양이 그 원지점에 있으면 가장 높이 올라간 상태이다. 원지점은 언제나 가장 안쪽 천구층의 두꺼운 부분이자 가장 바깥쪽 천구층의 얇은 부분인 C에 있다. 이 부분들이 황도대에서 서로 다른 위치를 취하는 만큼 원지점 역시 그러하며, 그들의 운동에 따라 움직이고 변한다. 그러므로 이 천구층들을 태양의 원지점을 운반하는 것들이라고 부른다.

“그러나 세 번째 천구층은”에 관하여. 중간에 있으며 세 번째로 언급된 것은 무조건적으로 이심이다. 앞서 말했듯 한 표면만이 아니라 모든 표면에서 그러하기 때문이다. 어떤 것의 존재 자체에 따라 해당하는 성질은 무조건적으로 해당한다. 그러므로 이 중간 천구층을 무조건적으로 이심이라고 부른다. 태양의 몸체는 이 천구층에 박혀 있다. 더 정확히는 널빤지에 바싹 붙은 옹이처럼 그것과 연속되어 있는 더 조밀한 부분이다. 그래서 보통 행성 또는 주전원을 운반하는 것이라고 부른다. 따라서 이심천구층, 첨점이 벗어난 것, 중심이 벗어난 것, 운반천구층이라는 이름들이 왜 붙는지도 분명하다.

주석 — 원지점의 운동을 상정하는 절차

“그들의 운동에 따라 원지점은” 등에 관하여. 원지점의 변화를 상정하려면 뒤의 모든 내용을 상정하는 데 도움이 될 여러 사항을 먼저 설정해야 한다. 우선 각 하늘이 실제로도 그러하듯 두 표면을 지닌다고 상정하자. 곧 볼록한 바깥 표면이며, 그것으로 아래쪽 것과 접한다 [원문의 표면 열거와 접촉 방향에 불명료함이 있다]. 땅에 이르기까지 모든 원소에 대해서도 같으며, 땅만은 오목한 표면만을 지닌다〔이 대목의 원문은 concavam이다. 앞 절에서 땅을 볼록면만 가진 구로 설명한 내용과 모순되지만 볼록으로 고쳐 옮기지 않는다〕.

둘째로, 최초운동천의 오목한 표면에 평행한 세 원형 선이 있다고 상정하자. 가운데 선은 양쪽의 다른 선에서 각각 6도 떨어져 있다. 따라서 양 끝의 두 선 사이에 들어 있는 표면 전체의 폭은 12도이며, 가운데 선으로 같은 크기의 두 부분으로 나뉜다. 이 표면 전체가 제9천구의 황도대이다. 그것은 서쪽에서 동쪽으로 움직이지 않으므로 정확히는 움직이지 않는 황도대라고 불린다. 여기서 제9천구는 최초운동천을 가리킨다. 그 위에 다른 천구가 있다 하더라도 그러하며, 그 편이 더 그럴듯하고 성 토마스도 『명제집』 제2권에서 그렇게 주장한다. 이 천구는 자신이 창조되었던 배치에 늘 머물러 있다고 상정하자. 곧 양자리의 첫 점이 우리 반구의 동쪽 지평선에 있고, 북쪽 사인들이 같은 지평선 아래에 있는 배치이다.

셋째로, 제8천구의 오목한 표면에서 앞의 선들 아래에 다른 세 선이 놓여, 앞서의 황도대에 대응하고 모든 면에서 비례적으로 같은 다른 표면을 이룬다고 상정하자. 이 표면 전체가 제8천구의 황도대이다. 넷째로, 두 표면을 각각 길이 방향으로 열두 부분으로 나누고 이를 사인이라고 하며, 각각의 부분 또는 사인을 다시 도라고 부르는 30부분으로 나눈다고 상정하자. 다섯째로, 어느 하늘도 움직이지 않고 모두 정지하여 제8천구 황도대의 사인들이 제9천구 황도대의 사인들 아래에 있다고 상정하자. 곧 양자리는 양자리 아래, 황소자리는 황소자리 아래, 각 도는 해당 도 아래에 놓인다. 여섯째로, 태양의 이 세 천구층이 두 황도대 아래에 놓인다고 상정하자. 용어: 사인

다음으로 여러 점이 서로의 아래에 놓여 있다고 상정하자. A는 제9천구의 황도대에, B는 제8천구의 황도대에, C는 태양의 가장 바깥 천구층 중 얇은 곳에, D는 운반천구층에, E는 태양의 가장 안쪽 천구층 중 가장 두꺼운 곳에 있다. 그리고 그림에 따라 지구 중심에서 나와 모든 점을 통과하는 하나의 선을 상정하자.

[도형 라벨] orbis Solis medius — 태양의 중간 천구층. A·B·C·D·E의 위치와 바깥 두 황도대의 열두 사인 기호를 원도상에 보존한다.

그다음 어느 순간에 제8천구의 황도대, 또는 제8천구 자체가 고유 운동으로 동쪽을 향해 움직이기 시작하고, 앞서 말했듯 최초운동천을 뜻하는 제9천구의 운동에 따라 서쪽을 향해 움직이기 시작한다고 상정하자. 그리고 같은 제9천구에서 오직 서쪽으로 움직이기 시작한다고 하자〔Solum은 ‘오직’이라는 부사로 읽는다. 이 절의 운동 주체는 원문에 다시 명시되지 않는다〕. 그리하여 100년 동안—그렇게 말해지는 기간, 또는 표가 알려 주는 기간 동안—제8천구 양자리의 시작점이 제9천구의 황소자리에서 동쪽으로 1도를 지나가고, 같은 제9천구의 양자리에서는 다른 1도를 서쪽으로 남겨 놓는다고 한다.

그다음 A는 동쪽이 아니라 서쪽으로 움직이거나, 상정하기 더 쉽도록 움직이지 않고 정지한다고 하자. B와 C는 서쪽으로 균일하고 같은 속도로 움직여 언제나 앞의 선 위에 있게 한다. 한편 D 자체도 동쪽으로 앞의 것들과 마찬가지로 같은 속도로 움직이되, D를 담는 바탕 자체는 다른 점들을 담는 바탕보다 더 빠르게 움직인다고 하자. 뒤에서 설명할 것처럼 원지점은 이심원에서 지구로부터 가장 먼 점이므로 D와 같고, 원지점이 움직인다는 것은 D가 움직인다는 뜻이다.

D는 두 가지 방식으로 움직이고 변한다. 하나는 자신의 바탕 안에서이다. 이는 D가 운반천구층의 같은 부분에 항상 머무르지 않는다는 뜻이다. 다른 하나는 제9천구의 황도대에서이다. D가 황도대의 같은 점 바로 아래에 항상 있지는 않기 때문이다. 그 이유는 D가 B·C와 같은 선 위에 놓이는 운반천구층의 점을 가리키기 때문이다. 그 점이 어느 부분이든 상관없다. 그러므로 운반천구층이 움직이지 않거나 양 끝의 두 천구층과 균일하게 움직인다면, D는 언제나 동일한 부분을 바탕으로 지니게 될 것이다. 마찬가지로 E·C가 A와 다르게 움직이지 않는다면 언제나 제9천구 황도대의 같은 점 아래에 있을 것이다. 따라서 D가 운반천구층 안에서 위치를 바꾸는 원인은 운반천구층이 E·C보다 더 빠르게 움직이는 데 있다. 같은 D가 황도대에서 위치를 바꾸는 원인은 E·C의 운동에 있다. 저자는 운반천구층에 대한 원지점의 운동이 아니라 황도대에 대한 운동을 말하므로, 원지점이 움직인다는 것은 E·C가 움직인다는 것과 같다. 그래서 E·C가 있는 태양의 양 끝 천구층들의 운동에 따라 태양의 원지점이 달라진다고 말한다. 달라지는 곳은 제9천구의 황도대이며 제8천구의 황도대가 아니다. E·C·B가 균일하게 움직이기 때문이다.

주석 — 박혀 있는 태양을 행성이라 부르는 이유와 태양부터 시작하는 이유

“박혀 있는”에 관하여. 태양은 박혀 있지만 떠도는 별, 곧 행성이라고 불린다. 자기 운반천구층 안에서 떠돈다는 뜻은 아니다. 그 안에서는 고정되어 있기 때문이다. 자기 중심에 대해서도 아니다. 그 중심 둘레에서는 규칙적으로 움직이기 때문이다. 황도대에 대해서 그러하다. 그 안에서는 배치 때문에 불규칙하게 움직이기 때문이다. 또한 제8천구의 별들과 같은 상대 위치를 언제나 유지하지 않는다는 점에서 그 별들에 대해서도 떠도는 별이라고 한다.

[측주] 의문: 왜 태양에서 시작하는가.

이 순서에 관하여 의문이 제기된다. 저자는 학문의 서술에서도 행성들이 하늘에서 지니는 순서를 따라야 했던 것으로 보인다. 그런데 하늘에는 두 순서가 있다. 본성을 기준으로는 더 높은 행성일수록 앞서므로, 토성이 첫째이고 달은 마지막이자 가장 낮다. 우리를 기준으로 한 두 번째 순서에서는 우리에게 가까운 행성이 앞서므로, 달이 첫째이고 토성이 마지막이다. 그러므로 태양은 어느 순서에서도 첫째가 아니고 어떻게 세든 넷째인데, 태양 이론에서 시작한 것은 잘못으로 보인다.

[측주] 응답.

답한다. 저자는 합리적인 순서를 따랐다. 그 근거는 둘이다. 첫째, 모든 지식은 우리가 이해하기 쉬운 것에서 시작해야 하기 때문이다. 『자연학』 제1권과 『형이상학』 제5권에서 말하듯, 시작점은 사람이 쉽게 배우는 데 출발점이 되는 것이다. 그런데 태양 이론은 다른 것들 가운데 가장 쉽다. 태양에는 천구층이 더 적고, 따라서 더 적은 운동으로 움직이기 때문이다. 이는 이해하기 쉽다. 뒤에서 드러나듯 천구층의 수가 많고 운동이 다양하면 행성 운동에 대한 학문이 어려워진다. 그러므로 그는 다른 떠도는 별이 아니라 태양에서 시작했다. 둘째 이유는 특히 중요하다. 태양이 다른 행성들의 것을 구하는 데 일종의 기준이 되기 때문이다 [원문에서 “구할 것”의 명사는 명시되지 않는다].

제1부 주석 — 세 황도대와 태양 평균운동의 선행성

[측주] 태양 이론의 천구층들을 어떻게 상상해야 하는가.

그런데 여기서는 현대의 천문학자들이 하늘에 세 황도대를 상정하였다는 점을 주의해야 한다. 첫째이며 가장 높은 것은 제1운동천의 황도대이다. 이것은 움직이지 않고 고정되어 있다고, 곧 아래의 것들처럼 다른 어떤 것에 의하여 그런 방식으로 움직이지 않으며, 동쪽에서 서쪽으로 24개의 분점시 동안 완결되는 일주운동만 지닌다고 상상해야 한다. 이 황도대의 오목한 면 아래에는 제9천구의 황도대가 있다고 상상해야 한다. 이것은 그 자체로도, 우연적으로도 움직인다. 그 자체로 움직인다는 것은 제1운동천의 황도대 아래에서 지극히 느린 운동으로 서쪽에서 동쪽으로 나아간다는 뜻이다. 우연적으로 움직인다는 것은 나머지 이차적 운동체들과 함께 제1운동천에 이끌려 서쪽으로 운반된다는 뜻이다.

다시 그 아래에는 상상하기 쉽도록, 둘째가 첫째 아래에 있는 것과 같은 방식으로 셋째가 있다고 상상해야 한다. 이것은 해당 대목에서 설명하겠듯이 세 겹의 운동을 하며, 제8천구의 황도대이다. 이 세 황도대의 기점들은 한때 동일한 한 직선 아래에 있었지만, 지금은 서로 떨어져서 이미 여러 세기 동안 어느 것도 다른 것 아래에 놓이지 않았다. 그러므로 태양은 언제나 제8천구의 황도 아래에서 움직이며 결코 거기서 벗어나지 않으므로, 제8천구가 다른 두 천구로부터 어긋날 때 태양도 그 둘로부터 어긋난다는 결론이 나온다.

따라서 세 황도대에 관한 이러한 상상을 이해하였다면, 이어 태양 천구의 세 천구층이 제8천구 아래에 있고, 언제나 자기 운동자에 의하여 그 아래에서 운반되며, 어느 곳에서도 거기서 벗어나지 않는다고 상상해야 한다. 또한 두께가 고르지 않은 두 천구층이 운반하는 태양의 원지점은 제1운동천 아래에서 제8천구의 운동에 따라 잇달아 다른 위치를 얻는다고 상상해야 한다. 이것들을 상상 능력에 올바로 새겨 두면, 뒤에 나오는 원지점들, 곧 압시스들의 위치 변화에 관한 설명은 참으로 이해하기 쉬울 것이다.

[첫 어휘의 판독·통사 보류] 실제로 다른 천체 가운데 어느 것의 진운동을 계산하려 하더라도, 먼저 태양의 평균운동을 얻지 못했다면 바라던 것을 이룰 수 없다. 특히 태양이 다른 천체 하나하나와 공통되는 어떤 것을 지니기 때문이다. 달과는 다음 점을 함께한다. 태양의 평균운동을 매개로 달의 켄트룸, 곧 평균거리를 도출하고 찾아낸다는 점이다. 세 상위 행성의 아르구멘툼과 두 하위 행성의 평균운동도 태양의 평균운동을 매개로 하지 않고는 얻을 수 없다. 사정이 이러하므로, 저자는 프톨레마이오스처럼 다른 어떤 행성에서가 아니라, 상상하기 쉽고 단순한 태양에서 시작한 것이 마땅하다.

제1부 주석 — 겉보기 크기에서 이심천구층을 논증함

이와 관련하여 주의할 것은, 프톨레마이오스가 『알마게스트』 제5권 제14장과 제16장에서 나타나는 현상들을 설명하기 위하여 이심천구층들을 설정하였다는 점이다. 그는 다음과 같은 이유를 제시한다. 행성들, 특히 태양과 달은 항상 같은 크기로 보이지 않고, 때로는 더 크게, 때로는 더 작게 보인다. 겉보기 지름도 언제나 같지 않아서 때로 더 작고 때로 더 크다. 이는 지상의 사물이나 원소, 특히 공기 쪽에서 이러한 일이 생기게 할 수 있는 모든 원인을 제외한 경우의 말이다. 증기·비, 또는 공기를 두껍게 하거나 성기게 하는 다른 것들 때문에 매개체가 변화하지 않는 장소와 지역에서도 이 사실이 관찰되었기 때문이다.

그런데 사물은 더 크게 보일수록 더 가까이 있으며, 더 작게 보일수록 더 멀리 있다. 따라서 행성들이 지구에서 언제나 같은 거리에 있는 것이 아니라, 때로는 더 높이 있고 때로는 지구에 더 가까이 있다는 것이 분명하다. 이것은 이심천구층이나 주전원을 통해서가 아니면 성립할 수 없다. 프톨레마이오스는 『알마게스트』 제3권에서 이심원 또는 주전원을 설정하면 태양에서 나타나는 현상들을 설명할 수 있음을 증명한다. 그러므로 이심원이 존재한다는 결론이 나온다. 만일 모든 천구층이 동심이라면 천체는 언제나 지구에서 같은 거리에 있을 것이고, 따라서 눈에 보이는 지름도 언제나 동일하거나 같을 것이기 때문이다. 그러나 이는 감각에 비추어 거짓이며, 나타나는 현상들과도 반대이다.

태양과 달의 지름 크기를 어떻게 알아내는지를 설명하는 것은 여기의 목적이 아니다. 이를 위한 기구로 아스트롤라베·사분의·천문봉이 있기 때문이다. 이것들에 대해서는 겜마 프리시우스의 『천문봉에 관하여』라는 책을 보라.

제1부 주석 — 시간·각·호의 불균등과 이심원의 증명

프톨레마이오스의 『알마게스트』 제3권 제3장에 나오는 두 번째 논거는 이러하다. 행성들의 천구층과, 일반적으로 모든 천구층은 규칙적으로 움직인다. 천구층의 규칙적 운동은 뒤에서 설명하듯이, 같은 시간 동안 그 중심 둘레에 생기는 각들이 같은가에 따라 판단한다. 원의 중심에서 같은 각에는 그 원주의 같은 호가 대응하기 때문이다. 그런데 태양은 황도대에서 규칙적으로 움직이지 않는다. 양자리의 시작에서 처녀자리의 끝까지인 황도대의 북쪽 절반을 지나는 시간이, 천칭자리의 시작에서 물고기자리의 끝까지인 나머지 절반을 지나는 시간보다 더 길기 때문이다. 따라서 태양은 황도대의 중심, 곧 세계의 중심에서 같은 각들을 만들지 않는다.

태양은 자기 운반천구층에서 균등하게 움직이므로, 그 운반천구층의 북쪽 절반과 남쪽 절반은 같은 시간에 지나갈 것이다. 그러나 황도대의 두 절반은 같은 시간에 지나가지 않으므로, 황도대의 북쪽 절반 안에는 그 천구층의 더 큰 부분이 끼어 있고, 남쪽의 나머지 절반 안에는 더 작은 부분이 끼어 있다는 결론이 나온다. 북쪽 부분을 움직이는 더 긴 시간에는 자기 천구층의 더 큰 부분을 그리며, 황도대 남쪽 절반을 지나는 더 짧은 시간에는 그보다 작은 부분을 그리기 때문이다. 따라서 세계의 중심을 지나며 황도대를 같은 두 부분으로 가르는 직선은 태양의 운반원을 같지 않은 두 부분으로 가른다. 그러므로 그런 직선은 태양을 운반하는 천구층의 중심을 지나지 않는다. 만일 그 중심을 지난다면 『원론』 제1권의 지름 정의에 따라 그 원을 같은 두 부분으로 가를 것이기 때문이다. 따라서 태양 운반천구층의 중심은 세계의 중심이 아니라는 것이 분명하다.

이 도형은 앞에서 말한 것, 곧 세계의 중심을 기준으로 한 태양의 운동은 규칙적이지 않고 균등하지 않다는 것을 증명한다. 어떤 천구가 같은 시간 동안 어떤 중심 둘레에 같은 각들을 그린다면, 그것은 그 중심을 기준으로 균등하게 움직이기 때문이다. 중심각은 그 중심에서 만나는 두 직선으로 잡는다. 한 직선은 운동이 시작되는 끝점으로, 다른 직선은 운동이 도달하는 끝점으로 뻗는다. 이 각들이 같으면 운동은 규칙적이며, 같지 않으면 불규칙하다. 더 큰 각을 이루는 운동이 더 빠르다.

[도형] A·B·C·D·E·F·G·H·I·K의 위치와 두 원 및 연결선은 원도상에 보존한다. E는 황도대 중심, K는 이심원 중심이다. 본문이 소문자 g를 쓰는 곳도 임의로 다른 점으로 바꾸지 않는다.

예와 따름정리를 증명으로 이끌어 내기 위하여, E를 중심으로 황도대 ABCD를 그리고 K를 중심으로 이심원 FgHI를 그린다. F를 태양 원지점의 점으로, H를 그 맞은편 점으로 둔다. 그러면 태양이 F에 있다가 Bg 쪽으로 움직인다고 하자. KF와 Kg를 그으면 이심원의 중심에 각 FKg가 생긴다. 또한 태양이 H에 있다가 I로 움직일 때 KH와 KI를 그어 각 HKI를 만들게 하자. 이 각은 『원론』 제1권 제15명제에 따라 앞의 각과 같다. 태양은 K를 중심으로 규칙적으로 움직이기 때문이다.

또 세계의 중심에서 앞서 말한 위치들을 지나 황도대에 이르기까지 EFA와 EGB, 마찬가지로 EHC와 EID를 그으면, 세계의 중심에 두 각 AEB와 CED가 생긴다. 나는 이 둘이 같지 않음을 증명하겠다. 각 CED는 『원론』 제1권 제16명제에 따라 각 HKI보다 크다. 곧 외각은 그에 대하여 마주 놓인 내각보다 크므로, CED는 각 FKG보다도 크다. 또한 FKG는 같은 유클리드 제1권 제16명제에 따라 각 AEB보다 크다. 따라서 각 CED는 각 AEB보다 크다. 그러므로 태양은 같은 시간 동안 세계의 중심에서 같지 않은 각들을 만들며, 따라서 세계의 중심을 기준으로 불균등하게 움직인다. 프톨레마이오스도 『알마게스트』 제3권 제2장에서 이를 증명한다.

이로부터 다시 태양이 같은 시간 동안 황도대의 같지 않은 호들을 지나며 불규칙하게 움직인다는 결론이 나온다. 앞서 말했듯이 각 CED가 각 AEB보다 크므로, 첫 번째 각에 대향하는 호 CD도 호 AB보다 크다. 태양이 이심원에서 H에서 I로 움직이면 황도대에서는 호 CD를 그린다. 이는 태양의 중심을 지나 앞의 위치들로 뻗는 EHC와 EID가 보여 준다. 이심원에서 F에서 G로 움직이면 황도대에서는 호 AB를 지난다. 그러므로 태양은 황도대에서 불균등하게 움직인다. 또한 원지점 맞은편 쪽의 각 E와 호 CD가 원지점 쪽의 이심각과 호 AB보다 크므로, 태양은 원지점에서보다 그 맞은편에서 더 빠르게 움직인다는 결론이 나온다. 이것이 프톨레마이오스가 『알마게스트』 제3권 제1장에서 말한 것이다. 태양은 양자리의 시작에서 처녀자리의 끝까지인 황도대의 절반을 완주하는 데, 천칭자리의 시작에서 물고기자리의 끝까지인 절반보다 더 긴 시간을 쓴다는 것이다.

제2부 본문 I — 원지점 운반천구층들의 주기적 운동

제2부. 이 세 천구층의 주기에 관하여. 본문 I. 원지점을 운반하는 천구층들의 주기적 운동에 관하여. 태양의 원지점을 운반하는 천구층들은 서로 비례하는 고유운동으로 움직인다. 그리하여 바깥 천구층의 더 얇은 부분은 언제나 안쪽 천구층의 더 두꺼운 부분 위에 놓이며, 두 천구층은 뒤에서 설명할 제8천구 운동의 변화에 따라 같은 빠르기로 회전한다. 다만 이 운동의 극들은 제8천구 황도의 극들이다. 태양을 운반하는 이심원의 원지점은 그 동일한 황도면 안에서 끊임없이 회전하기 때문이다.

제2부 주석 — 고유운동의 복수성·황도면·원지점의 위치

저자는 이 부분에서 태양 이론, 곧 태양 천구의 실재적 속성들을 다룬다. 즉 운동들의 기체와 관련하여 그 천구의 운동들을 다룬다. 여기서는 세 가지를 한다. 먼저 양 끝 천구층들의 운동을 다루고, 둘째로 “그러나 천구층은”이라는 대목에서 운반천구층, 곧 가운데 천구층의 운동을 다룬다. 셋째로 “이로부터 드러난다”라는 대목에서 몇 가지 따름정리를 이끌어 낸다.

첫째 부분에 관해서는 “고유운동들로”라고 복수로 말한다. 이에 대하여 주의할 것은, 태양 천구의 양 끝 두 천구층이 움직이는 운동을 복수의 고유운동들이라고 부른다는 점이다. 이는 게라르두스가 말한 것처럼 그 둘이 가운데 구멍을 가진 하나의 물체가 아니라, 모든 부분에서 운반천구층이 사이에 끼어 있어 완전히 구별되고, 연속되지 않으며 서로 맞닿지도 않는 두 물체임을 이해시키려는 것이다. 『형이상학』 제5권에 따르면 한 물체에는 하나의 운동만 있으며, 두 물체가 하나의 운동을 지닌다는 것은 불가능하다. 하나의 우유가 두 기체에 속할 수 없는 것과 같다. 그러므로 이 운동들은 자연학적으로 둘이다. 자연학적으로는 운동이 그 실체에 따라 구별되기 때문이다. 그러나 어떤 의미에서는 하나이기도 하니, 축과 극을 기준으로 볼 때 그러하다. 또한 이 운동들을 고유한 것들이라고 부르는 것은 고유한 운동자에서 생겨나며 더 높은 하늘에서 생겨나는 것이 아니라는 뜻이다.

또 “제8천구 운동의 변화에 따라”라고 말한다. B·C·E가 제9천구의 황도대를 균등하게 지나가기 때문이다. 또한 “다만 그 극들은”이라고 반대·제한의 뜻으로 말한다. 곧 이 천구층들의 운동은 서로 구별되고 제8천구의 운동과도 구별되지만, 제9천구의 황도대 아래에서 이 운동들과 제8천구의 운동은 하나의 축을 지닌다는 말과 같다. 이 운동의 극들이 바로 제8천구 황도의 극들이며, 제8천구 자체도 그 극들을 기준으로 움직이기 때문이다.

또 “이심원의 원지점은”이라고 말한다. 이에 관해서는 면에 볼록한 면·오목한 면·평면의 세 종류가 있다는 것을 알아야 한다. 여기서 말하는 황도면은 그중 평면이다. 이것은 원형의 평면, 곧 황도라는 원형 선으로 경계가 정해진 면이다. 하늘 전체가 멈추어 있고, 황도대와 그 아래의 세계 천구 전체가 하나의 원형 평면에 의하여 같은 두 부분으로 갈라진다고 상상하라. 이 평면의 중심은 세계의 중심이고, 경계 또는 원주는 황도, 곧 황도대를 길이 방향으로 나누며 앞서 말한 세 선의 가운데 놓이는 원형 선이다. 이것을 황도면이라고 부른다. 이심원의 원지점, 곧 점 D는 언제나 이 면 안에 있다. D는 이심운동으로 그 면 안에 원형 선을 그어 면을 나눈다. 이 선은 이심원과는 동심이고 세계와는 이심이다. 이것이 원지점이 황도면 안에서 움직이거나 회전한다는 말의 뜻이다.

이와 관련하여 주의할 것은, 원지점이 프톨레마이오스 시대에는 쌍둥이자리의 앞쪽 절반에 있었지만, 우리 시대에는 게자리에 있으며, 원지점의 반대점은 맞은편 구역에 있다는 점이다. 실제로 우리는 여름에 태양이 원지점에 있을 때 고유운동으로 황도대에서 57분을 움직이고, 겨울에 원지점의 반대점에 있을 때는 61분을 움직이는 것을 본다.

제2부 주석 — 인공일·자연일과 하루 길이의 차이

이 따름정리를 설명한 데서 자연일들이 같지 않다는 결론이 나온다. 따라서 날에는 두 종류, 곧 인공일과 자연일이 있다는 것을 이해해야 한다. 인공일은 지평선 위에서 태양이 이동하는 것, 즉 지상과 지평선 위에서 이루어지는 태양의 이동을 재는 시간이다. 태양이 동쪽 지평선에 있을 때 시작하여 서쪽 지평선에 이를 때까지이며, 이런 날은 밤과 대비하여 구분한다. 밤은 지평선 아래에서 태양이 이동하는 것, 곧 그 아래에서 이루어지는 이동을 재는 시간이기 때문이다. 자연일은 태양이 일주운동으로 지구를 완전히 한 번 도는 것이다. 일주운동이라고 하는 것은 고유운동이 한 해를 만들기 때문이다. 이 한 번의 회전은 지평선 위와 땅 아래에서의 태양 운동을 모두 포함하므로, 자연일은 인공일과 밤을 포함한다. 그러므로 인공일들은 같지 않다.[원문 artificiales를 유지한다. 앞뒤 논의는 자연일의 불균등이므로 용어 불일치가 있으나 임의로 고치지 않는다.] 이를 예로 설명하겠다.

황도대 AB를 세계의 중심 둘레에 있는 첫 번째 원으로 두고, 그 남중 위치를 A라 하자. 태양의 이심원은 두 번째 원이라 하자. 또 황도대에서 양자리의 시작을 A라 하자. 태양이 자오선의 A에 있는 때가 날의 시작이며, 회전을 완결하고 다시 A로 돌아올 때가 끝이다. 이제 제1운동천이 움직여 A가 C에, 그 뒤 D에, 이어 E에, 마지막으로 A에 오도록 완전히 한 번 회전하게 하자. 이심원의 점 A에 있던 태양은 그동안 고유운동으로 A에서 B로 움직여 황도대의 점 B에 있게 된다. 그러므로 태양은 남중 도수에 있지 않으며, 따라서 그 날의 끝에도 이르지 않았다. 그러므로 점 B가 A에 이르기까지 더 움직여야 한다.

따라서 자연일은 적도와 황도대의 한 번의 완전한 회전 외에도, 태양이 고유운동으로 지나가는 어떤 추가분을 포함한다는 것이 분명하다. 그러나 이 추가분은 언제나 같지 않다. 태양이 원지점의 반대점에 있을 때는 원지점에 있을 때보다 더 빨리 움직이므로 추가분이 더 크다. 따라서 이 원인 때문에 태양이 원지점에 있을 때보다 그 반대점에 있을 때 자연일이 더 길다는 결론이 나온다.

자연일의 불균등에 관한 설명을 더 완전하게 하기 위하여 다른 원인을 제시하겠다. 태양이 고유운동으로 지나가는 추가분이 다른 추가분과 같다고 하더라도, 다른 경우에도 생기듯이 자연일들은 여전히 같지 않다. 자오선이나 정지평선 또는 사지평선에 대한 그 구역들의 운동의 같음[원문 aequalitatem. 뒤에서는 상승 시간의 차이를 설명하므로 문맥상 어긋나지만 원문의 표현을 유지한다] 때문이다. 어떤 때에는 곧게, 더 긴 시간에 떠오르므로 추가되는 시간이 더 크고, 어떤 때에는 비스듬하게, 더 짧은 시간에 떠오르므로 그 시간이 더 작다. 따라서 날들이 같지 않다. 『알마게스트』 제2편과 『천구론』 제3논고에서 설명하듯, 이 구역들의 운동 변화는 정지평선이나 자오선에서보다 사지평선에서 더 크다. 따라서 정오부터 시작하는 날은 일출이나 일몰부터 시작하는 날보다 불균등이 작다. 이것이 점성가들이 정오에서 날을 시작하는 이유이다. 차이가 더 작으므로 더 쉽게 균등하게 보정할 수 있기 때문이다.

도해

도형: A는 남중점이자 양자리 시작점, B는 태양의 고유운동 후 위치, C·D·E는 일주 회전의 경과 위치다. 두 원과 중심 연결선을 원상대로 보존한다.

제2부 본문 II — 태양 운반천구층의 운동

태양의 몸체를 운반하는 이심천구층의 주기적 운동에 관하여. II. 태양의 몸체를 운반하는 천구층은 자기 중심, 곧 이심원의 중심 둘레에서 고유운동으로 규칙적으로 움직인다. 사인들이 이어지는 방향을 따라 매일 약 59분 8초씩 움직이는데, 이는 태양 몸체의 중심이 한 번의 회전을 완결하며 그린 원주의 부분으로 잰 값이다. 이 운동의 극들은 앞서 말한 천구층들의 극들과 떨어져 있으며, 그 천구층의 축의 양 끝이다. 이 축은 이심원의 중심을 지나고 원지점을 운반하는 천구층들의 축에 평행한 직선이다.

제2부 주석 — 운반원·운반천구층·평행한 축

여기서는 운반천구층의 운동을 다룬다. “고유운동으로”라고 말하는 까닭은 앞서와 같다. 곧 이 천구층의 고유한 운동자에서 생기며, 일주운동처럼 더 높은 물체의 작용으로 부여되는 운동이 아니라는 뜻이다. 또 “이심원의 중심에서”라고 말한다. 그런데 여기의 eccentrici는 여러 뜻을 지닌 말이다. 뒤에서 말할 원형 평면인 이심원, 곧 운반원을 뜻할 수도 있고, 태양이 고정되어 있는 이심 물체 또는 천구층을 뜻할 수도 있다. 이 둘의 중심은 같으며, 태양을 운반하는 물체는 그 둘의 중심 둘레에서 움직인다.

또 “사인들이 이어지는 방향에 따라”라고 말한다. 이는 양자리에서 황소자리로, 이어 다른 사인들로 가는 것, 곧 서쪽에서 동쪽으로 가는 것이다. 또한 “59분씩”이라고 말한다. 여기서 주의할 것은, 태양이 매일 그만큼의 거리를 황도대에서 지나간다는 뜻은 아니라는 점이다. 황도대에서는 불규칙하게 움직이기 때문이다. 자기 운반천구층 안에서 지나간다는 뜻도 아니다. 그 안에서는 박혀 있기 때문이다. 그것은 운반원에서 지나가는 거리이다. 운반원은 운반천구층과 같은 것이 아니다. 움직이지 않는 원형 평면을 상상하자. 그 중심은 이심원, 곧 운반원의 중심이며, 그 원주는 운반천구층 안에서 움직이는 태양의 중심이 그린 원형 선이다. 이 평면을 운반원이라 한다. 이 면 또는 그 원주는 모든 천구의 원과 마찬가지로 황도대처럼 36도[인쇄값]로 나뉜다.

태양 또는 태양 운반천구층은 이 원의 원주에서 매일 약 59분 8초를 규칙적으로 지나간다. 그래서 본문은 약 59분 8초의 부분을 움직인다고 말한다. 즉 태양 몸체의 중심이 한 회전을 완결하며 그린 원주를 나눈 부분의 수로 잰 값이라는 뜻이다. 여기서 “그린”은 “원주”를 한정한다. 이 분과 초는 앞서 말한 원주의 부분들일 뿐 아니라, 뒤에서 드러나겠듯이 태양의 평균운동에 따라 같은 시간 동안 태양이 황도대에서 지나간 부분과도 같은 수이다.

또 “이 운동의 극들은 앞선 천구층들의 극들과 떨어져 있다”라고 말한다. 운반천구층의 중심과 양 끝 천구층들의 중심이 떨어져 있으므로, 그 중심들을 지나는 양쪽 천구층의 축들도 떨어져 있어야 하고, 축의 양 끝인 극들도 떨어져 있어야 한다. 그러나 이 축들은 서로 평행하며, 뒤에서 말하겠듯 하나가 다른 하나의 둘레를 원운동한다. 축과 극의 이론에서 이 축들을 평면에 그리는 것은 초심자의 상상을 어렵게 한다. 그러므로 원형 종이 두 장을 상상하라. 하나는 더 작은 이심의 종이이고, 다른 하나는 태양을 운반하는 것처럼 둔다. 이어 두 바늘로 각각 자기 중심을 꿰뚫고, 서로 평행한 이 축들을 마치 두 바늘처럼 상상하라.

도해

도형 표기: ECLIPTICA — 황도; AVX SOLIS — 태양의 원지점; POLVS ECLIP. — 황도의 극; AV. OPO. — 원지점의 반대점(축약). 중심 기호 A·B·L을 원상대로 보존한다. 안쪽 원의 좌우 POLVS DEFE…는 운반천구층의 극(축약)이다. 바깥 원의 양쪽 POLVS ECLIP.은 황도의 극을 가리킨다. 확대·회전 원상에서 재대조했으며 경도·위도 표기가 아니다. 도형 전체와 식별 가능한 라벨은 크롭에 보존했다.

제2부 본문 — 이심 중심·축·극의 회전과 불균등한 겉보기 운동

이로부터 다음이 드러난다. 원지점을 운반하는 천구층들이 제8천구 운동의 힘에 의하여 지니는 운동 때문에, 태양 운반천구층의 축은 이심원의 중심 및 그 극들과 함께, 원지점 운반천구층들의 축 둘레에 이심량에 따른 작은 원들의 원주를 그린다. 태양의 중심은 자신을 운반하는 천구층의 운동에 따라 이심원의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직이므로, 다른 어떤 점을 기준으로 하면 불규칙하게 움직일 수밖에 없다. 그러므로 태양은 같은 시간 동안 세계의 중심을 기준으로 같지 않은 각들을, 황도대의 원주에서는 같지 않은 호들을 그린다.

제2부 주석 — 중심과 축이 그리는 작은 원·기둥

여기서 저자는 몇 가지, 곧 세 가지 따름정리를 이끌어 낸다. 둘째는 “그런데”에서, 셋째는 “그러므로 태양은”에서 시작한다. 첫째에 관하여 주의하라. 제8천구는 모든 원지점 운반천구층 및 아래의 모든 천구와 함께 세계의 중심 둘레에서 움직인다. 따라서 그 중심 밖에 있는 모든 것을 그 중심 둘레로 운반하며, 자기 극들 밖에 있는 모든 것을 그 극들 둘레로 운반한다. 그 중심 밖의 것들과 관련해서는 이것을 상상 속에서 이해해야 한다. 만일 제8천구 자체가 세계의 중심까지 차지하는 하나의 물체였다면, 또는 아리스토텔레스가 『기상학』에서 말하듯이 공기와 불을 움직이는 것처럼 땅과 물, 그리고 마찬가지로 모든 행성 천구를 세계의 중심 둘레에서 움직인다면, 이는 단순한 상상이 아니라 실제로도 그러할 것이다.

따라서 태양 이심원의 중심은 세계의 중심 밖에 있으므로 그 중심 둘레를 회전하며, 그 둘레에 이심량에 따른 원을 그린다. 이 이심량은 프톨레마이오스의 『알마게스트』 제3권 제4장에 따르면 2도 29분 30초이다. 같은 이유로 극들도 극들 둘레를, 축도 축 둘레를 회전한다. 그리하여 이심원의 축은 제8천구의 축 둘레에 둥근 물체, 곧 기둥 모양을 그린다. 큰 종이를 자기 중심을 꿰뚫는 바늘 둘레로 움직이면 다른 바늘이 첫 바늘 둘레를 원형으로 도는 것과 같다.

제2부 주석 — 같은 중심의 균등성과 다른 중심의 불균등성

둘째 따름정리를 상상하기 위해서는, 규칙적이고 균일하게 움직이는 모든 것은 같은 시간에 같은 거리를 지난다는 것을 알아야 한다. 『자연학』 제6·7권에서 분명한 바와 같다. 따라서 원운동을 한다면 같은 시간에 같은 호들을 지나며, 그 운동의 중심 둘레에서 같은 각들을 그린다. 또한 물체가 움직이는 원의 중심에서 나와 그 물체의 중심을 지나는 직선도, 같은 시간에 그 중심 둘레에 그린 어떤 원에서든 같은 호들을 지나며 같은 각들을 만들 것이다. 이는 그 자체로 분명하다.

원운동을 하는 어떤 것이 중심에서 더 멀리 떨어져 있을수록, 같은 시간에 더 큰 호를 지난다. 그러나 그와 함께 균일하게 회전하면서 중심에 더 가까이 있는 운동체와 비교하면, 중심 둘레에서는 같은 각을 만든다. 중심에서 정한 동일한 각의 양변이 그에 대응하는 더 큰 호와 더 작은 호를 함께 둘러싸고 경계 짓기 때문이다. 이는 이 도형에서 분명하다.

또 알아야 할 것은, 어떤 것이 자기 고유한 중심 둘레에서 움직이면서 그와 함께 자기 중심에서 떨어진 다른 중심 둘레에서도 움직인다면, 앞의 설명에서 다음이 따라온다는 점이다. 자기 고유한 중심에서 나와 그 운동체의 중심을 지나는 직선은, 운동체가 규칙적으로 움직이더라도 같은 시간 동안 다른 중심의 원주를 때로는 더 많이, 때로는 더 적게 지나갈 것이다. 그 원주의 어떤 곳은 자기 고유한 중심에 더 가깝고 다른 곳은 더 멀기 때문이다. 원주가 운동의 중심에서 더 멀리 떨어져 있을수록 같은 시간 동안 더 큰 호를 지나게 된다. 이것들은 이 도형에서 분명하며, 앞에서 수학적으로도 증명하였다. 여기서 다루는 경우도 그러하다. 이것이 저자의 둘째 따름정리이며, 여기서 분명한 셋째 따름정리를 이끌어 낸다.

도해

도형의 A·B와 원둘레의 표시들은 원상대로 보존한다. 중심에서 정한 같은 각에 서로 다른 반지름의 호들이 대응함을 보인다.

제3부 본문 I–IV — 이심원·원지점·반대점·중간거리

본문. 제3부. 운동을 계산하기 위하여 알아야 할 용어, 곧 낱말들을 설명한다. I. 이심원, 또는 꼭짓점이 벗어난 원, 중심이 벗어난 원이라고 부르는 것은, 그 중심이 세계의 중심과 다르지만 세계의 중심을 둘러싸는 원이다. 태양의 경우에는 이심원의 중심에서 태양의 중심까지 가는 직선이 이심원의 중심 둘레에서 규칙적으로 한 번 회전하며 이심원을 그린다고 상상한다. 이 원은 언제나 제8천구 사인 원의 황도면에 속하는 부분이다.

II. 첫 번째 뜻에서 태양의 원지점, 곧 더 먼 거리는 이심원의 원주에서 세계의 중심으로부터 가장 멀리 떨어진 점이다. 이는 세계의 중심에서 이심원의 중심을 지나 양쪽으로 그은 직선으로 정해지며, 이 직선을 원지점선이라 한다.

III. 원지점의 반대점, 곧 더 가까운 거리는 이심원의 원주에서 세계의 중심에 가장 가까운 점이며, 언제나 지름을 사이에 두고 원지점과 반대에 놓인다.

IV. 중간거리는 원주에서 원지점과 그 반대점 사이에 놓인 점이다. 태양의 경우에는 세계의 중심에서 나와 원지점선과 직각을 이루는 직선으로 정해진다. 같은 이심원 안에서 이런 점은 오직 둘만 발견된다.

제3부 주석 — 상상적 원과 용어의 다의성

저자가 “그러므로 이심원은”이라고 하는 이 부분에서는 운동에 따라 태양 천구에 속하는 상상적 속성들을 다룬다. 이것들은 상상적인 크기들이거나 그러한 크기들을 포함하는 운동들이다. 이 부분에서는 세 가지를 한다. 먼저 운반원과 거기에 관계되는 것들을 다룬다. 둘째로 “평균운동선”이라는 대목에서 태양의 평균운동과 관련 사항을, 셋째로 “진운동선”이라는 대목에서 태양의 진운동을 다룬다.

첫째 부분에서 그는 일반적인 이심원의 정의를 제시한다. 그 정의에서는 두 가지가 그 개념에 속함이 분명하다. 첫째는 세계의 중심과 다른 중심을 지니는 것이고, 둘째는 세계의 중심을 둘러싸는 것이다. 따라서 지표 위에 놓인 바퀴와 마찬가지로, 주전원들은 그 중심이 세계의 중심과 다르더라도 세계에 대한 이심원이라고 부르지 않는다.

“꼭짓점이 벗어난”이라는 말은 형이상학적으로[원문 표현] 사용되며, “중심이 벗어난”이라는 말과 같다. 중심을 꼭짓점이라 부르는 것은, 원의 중심에서 그 안을 움직이는 물체의 중심으로 가는 직선이 그리는 각들의 원뿔 끝과 뾰족한 끝이 중심이기 때문이다. 이 원은 그 천구, 곧 태양 천구에 오직 상상적으로, 또 운동이라는 관점에서만 속한다. 태양의 중심을 끝점으로 갖는 직선을 상상 속에서 움직여 그리기 때문이다.

또 “제8천구 황도대 사인 원의 황도의 부분”이라고 한다. 이 원과 황도면은 하나의 평면 위에 있으며, 하나가 다른 하나를 포함한다는 점에서 다르기 때문이다. 황도면은 세계의 중심에서 사방으로 제8천구까지 뻗으므로 더 크다. 반면 이 원은 출발점인 태양 이심원의 중심에서 태양 몸체에 이르기까지만 뻗는다. 이는 앞에 그린 도형에서 분명하다. 이어 태양의 원지점을 설명한다. 원지점은 앞서 운반하는 물체 안에 있다고 말했더라도, 앞서 말한 원의 속성이다. 원지점이 있는 곳에서는 언제나 그 물체와 이 원이 함께 만나기 때문이다. 앞의 표현은 원들을 상상하도록 하기 위한 편의상의 말이었다.

제3부 주석 — 가장 먼 점의 존재와 거리 비교

도해 설명. A: 세계의 중심. B: 이심원의 중심. EOMN: 이심원. E: 태양의 원지점과 태양. FKGH: 황도.

따라서 “첫 번째 뜻에서 아우게”라고 말하는 것은, 뒤에서 드러나듯 아우게라는 말을 두 뜻으로 사용하기 때문이다. 또 “더 먼 거리”라고 말한다. 원지점이 본질적으로 길이라는 뜻은 아니다. 본질적으로는 점이기 때문이다. 길이, 곧 직선을 끝맺는다는 뜻에서 거리라고 부른다. 그 직선 역시 세계의 중심을 기준으로 더 먼 거리 또는 더 가까운 거리라고 한다. 그 끝점이 세계의 중심에서 더 멀리 떨어져 있으면 더 먼 거리이고, 그 중심에 더 가까이 다가가면 더 가까운 거리이다.

이에 관하여 주의하라. 이심원은 세계의 중심으로부터 고르게 떨어져 있지 않다. 만일 고르게 떨어져 있다면 세계의 중심이 그 원의 중심일 것이며, 유클리드 『원론』 제1권의 원 정의에 따라 동심원이 될 것이기 때문이다. 그러므로 더 멀리 떨어진 점과 가장 멀리 떨어진 점, 곧 최원점이 있으며, 이것을 아우게라고 한다. 아우게는 그리스어로 더 먼 거리와 같은 뜻을 지닌다. 그래서 앞서 말했듯 프톨레마이오스는 이를 더 먼 거리라고 부른다.

이런 점이 존재하며 어떤 점인지는 쉽게 드러난다. A를 중심으로 이심원 B·C·E·G를 그리고 세계의 중심을 D로 두자. D에서 이심원의 중심을 지나 이심원에 이를 때까지 DB를 그으면, 이 직선의 끝점 B가 D에서 가장 멀리 떨어져 있다고 나는 말한다. 또한 DAB는 세계의 중심에서 이심원으로 그을 수 있는 직선들 가운데 가장 길다. 이를 원지점선, 곧 원지점을 보여 주는 선이라 부른다. 만일 이심원의 중심을 지나는 DAB가 가장 길지 않다면 DC가 더 길거나 같은 길이일 것이다. 그러나 AC를 그으면 유클리드 제1권 제20명제에 따라 삼각형 ACD의 두 변 AC와 AD의 합은 세 번째 변 DC보다 길다. 원의 정의에 따라 DAB는 이 두 변 AD와 AC의 합과 같다. 따라서 DAB는 DC보다 길며, B는 가장 먼 점, 곧 원지점의 점이다.

DB는 직선들 가운데 가장 길 뿐만 아니라, D에서 이심원의 원주로 그은 어떤 직선이 이 직선에 가까워질수록 그 길이가 더 길어진다. 그러므로 DC는 DE보다 길다. AE를 그으면 삼각형 ACD의 두 변 AC·AD는 삼각형 AED의 두 변 AE·AD와 각각 같고, 각 CAD는 각 EAD보다 크다. 따라서 유클리드 제1권 제19명제에 따라 변 DC는 DE보다 길다. 이것이 보이려던 바이다.

동심원과 같은 각의 대응. 원둘레 및 선을 원상대로 보존한다.

중심이 다른 원들과 직선의 교차. 모든 원둘레와 선·점을 보존한다.

A: 세계의 중심. B: 이심원의 중심. EOMN: 이심원. E: 태양의 원지점과 태양. FKGH: 황도.

이심원의 최원점 증명. A·B·C·D·E·F·G와 모든 선을 보존한다.

제3부 주석 — 중간거리의 세 정의와 Giuntini의 선택

이어 원지점의 반대점을 정의한다. 이것도 본질적으로는 점이지만, 길이의 끝점이라는 뜻에서는 거리, 곧 직선이다. 앞서 말한 이유로 더 가까운 거리라고도 한다. 양 끝을 정의한 뒤에는 중간도 정의한다. 곧 원의 양쪽에서 원지점과 그 반대점 사이에 있는 중간점이다. 이 점에는 이름이 없었으므로 중간거리의 끝점이라는 이유로 중간거리라고 부른다.

그런데 이 중간거리가 무엇인지에 관하여 세 견해가 있다. 첫째는 사크로보스코의 요하네스 선생의 견해인 듯하다. 이심원의 중심에서 나와 원지점선에 수직인, 곧 그 선과 직각을 이루는 직선이 이심원의 원주에 지정하는 점이라는 것이다. 그는 자기 『이론』에서 이렇게 말한다. “원지점과 그 반대점 사이의 중간에 있는 원의 두 장소를 중간거리들이라고 부른다.” 이상이 그의 말이다. 그런데 중간점이라면 앞서 말한 직선이 지정하는 점들일 수밖에 없다. 그러나 그는 중간거리들을 정밀하고 점 단위로 지정하려 하지 않고 대략적으로 지정하려 하였다. 그래서 두 점이라고 하지 않고 두 장소라고 하였다.

둘째 견해는 이 『행성 이론』의 저자인 게오르기우스 푸르바흐와 대체로 모든 이의 견해이다. 두 끝에서 같은 거리에 있지는 않더라도 원지점과 그 반대점 사이의 점이므로 중간거리라고 부른다는 것이다. 두 끝 사이의 중점은 이심원의 중심에서 원지점선에 수직으로 나가는 직선으로 정해진다. 곧 그 선으로 명확히 표시하거나 드러낸다. 그러나 중간거리인 이 점은 세계의 중심에서 그 동일한 원지점선에 수직으로 나가는 직선으로 정한다. 따라서 이 선은 이심원의 중심에서 나오는 앞의 선과 평행하다.

그러나 레기오몬타누스의 요하네스는, 더 가까운 거리보다 큰 만큼 더 먼 거리보다 작은 것을 중간거리라고 부른다고 말한다. 이심원의 원주에서 앞의 두 평행선 끝점 사이의 중간에 지정하는 점이라는 것이다. 또 세계의 중심과 운반원의 중심 사이에 끼어 있는 원지점선 부분을 둘로 똑같이 나누고, 그 분할점에서 수선을 그으면, 그 선은 이심원의 원주에 중간거리의 점을 지정한다고 말한다. 그러나 그는 자기 대화편에서 문자와 원들을 그리고 아름다운 말을 많이 하지만, 자세히 보는 이에게 분명하듯 논점에 관해서는 아무것도 증명하지 않는다. 그 대화편에서는 자기 동료의 증언에 따르면 그가 언제나 크레모나 사람의 터무니없는 생각들을 훌륭히 논박한다지만 말이다. 뒤에서 드러나겠듯 게라르두스를 비난하는 것도 그다지 정당하지 않다.

따라서 나는 게오르기우스·게라르두스와 대체로 다른 이들의 견해를 지지하며 이렇게 말한다. 더 먼 거리는 맞은편의 거리, 곧 더 가까운 거리보다 초과한다는 데서, 더 가까운 거리는 더 먼 거리보다 부족하다는 데서 이름을 얻는다. 이와 마찬가지로 중간거리는 자기 맞은편에 대하여 초과하거나 부족하지 않다는 데서 이름을 얻는다. 그러므로 중간거리라 부르는 것은 그 맞은편이 자신과 같은 것, 곧 세계의 중심에서 같은 거리에 있어서 더 멀지도 더 가깝지도 않은 것이다. 따라서 중간거리들은 앞서 말했듯 세계의 중심에서 양쪽으로 나와 원지점선에 수직인 직선으로 정해지는 오직 두 점이다. 이심원의 원주에서 지름 방향으로 마주 놓인 다른 어떤 두 점을 잡더라도, 언제나 하나는 세계의 중심에 더 가깝고 그 원주에서는 더 멀며, 다른 하나는 그 반대가 되기 때문이다.

제3부 주석 — 레기오몬타누스 쪽의 반론과 작도

의문이 제기된다. 원지점선에 수직인 직선 EB·ED의 끝점인 B·D가 중간거리인지, 따라서 저자가 주장하듯 EB·ED가 중간거리의 직선인지 하는 것이다. 그렇지 않다는 논증은 이렇다. 프톨레마이오스의 뜻으로 보이는 바에 따르면, 중간거리선은 원지점선보다 부족한 만큼 원지점 반대점의 선보다 커야 한다. 그러나 앞의 두 직선 가운데 어느 것도 그러하지 않다. 뒤에서 드러나겠듯, EFA가 EB를 초과하는 양은 EB가 EC를 초과하는 양과 같지 않기 때문이다.

이런 직선을 찾으려면, 유클리드 제1권 제3명제에 따라 이심량 EF를 G에서 똑같이 둘로 나누고, G에서 이심원의 원주에 이르기까지 원지점선에 수직인 GH를 그어야 한다. 그러면 이심원의 점 H가 중간거리이며, EH를 그으면 이것이 중간거리선이 된다. FH를 그으면 가정에 따라 삼각형 GFH의 두 변 GF·GH는 두 변 HE·G[인쇄 표기]와 같고, 앞서 말했듯 G에 있는 두 각은 모두 직각이다. 그러므로 『원론』 제1권 제4명제에 따라 밑변 FH·EH가 같으며, 제1권의 첫 공리에 따라 EH·FA도 같다. 따라서 FA에 이심량 EF를 더한 전체 원지점선 EFA는 바로 그 이심량만큼 EH보다 길다.

또한 원의 정의에 따라 FH·FC는 같으므로 CH·FC[인쇄 표기]가 같다. 그러므로 FC에서 이심량 FE를 빼면 원지점 반대점의 선 EC가 되며, 이것은 같은 이심량만큼 EH보다 짧다. 따라서 EH는 이심량만큼 원지점선 EFA보다 짧고, 같은 이심량만큼 원지점 반대점의 선 EF[인쇄 표기]보다 길다. 그러므로 중간거리선은 EB가 아니라 EH이며, 중간거리는 B가 아니라 H라는 결론이 남는다. 이것이 지극히 뛰어난 재능을 지닌 요하네스 데 몬테레기오가 옛 이론들에 반대하는 대화편에서 제시한 논거이다.

이에 반대하여 본문의 저자는 중간거리선이 다른 선이 아니라 앞서 말한 EB이며, 점 B가 중간거리라고 주장한다.

원문 측주 Dubium: 의문. “의문이 제기된다” 문단에 대응한다.

도형의 A·B·C·D·E·F·G·H와 원둘레·선분을 원상대로 보존한다.

제3부 주석 — 최대 균차를 기준으로 한 응답과 첫 증명

이 질문에 대하여 나는 중간거리선은 EB, 곧 원지점선과 직각을 이루는 선이라고 답한다. 이를 보이기 위해 주의 깊게 알아야 할 것은, 지구의 중심에서 나와 태양의 중심을 지나는 선은 앞에서 증명했듯이 세계의 중심 둘레에서 불균등하게 움직이며, 따라서 같은 시간 동안 황도대의 같지 않은 호들을 지난다는 점이다. 반면 황도대에서나 세계의 중심 둘레에서나 규칙적으로 움직이는 선은 뒤에서 드러나듯 평균운동선이라 한다. 이 평균운동선과 태양의 중심을 지나는 진운동선이 서로 다를 때, 그 사이에 끼어 있는 황도대의 호를 균차(aequatio), 또는 프톨레마이오스의 말을 빌려 차이(diuersitas)라고 한다. 뒤에서 말하겠지만, 이것을 매개로 태양의 규칙적인 평균운동에서 불규칙한 진운동을 찾아내기 때문이다.

그러므로 이심원의 어디, 어느 점에서 차이가 더 크고 어디서 더 작은지, 나아가 모든 위치에서 차이가 얼마나 되는지를 알아야 한다. 그것을 얻어 태양의 실제 위치를 구하기 위해서이다. 그런데 뒤에서 드러나겠듯 원지점과 그 반대점이라는 두 맞은편 점에서는 균차가 전혀 없다. 이 때문에 점성가들은 원지점과 그 반대점을 상정하였다. 그곳에서는 균차, 곧 차이가 생기지 않는다. 반면 태양이 그곳에 있을 때 가장 큰 균차가 나타나는 이심원의 점을 중간거리의 점이라 부른다. 이는 두 끝의 성질을 모두 부정한다는 뜻에서 중간이다. 그들과 반대 성질을 지니기 때문이다. 양 끝에서는 균차가 없지만 여기서는 가장 크다. 가장 큰 균차는 앞서 말한 B·D에서 생긴다. 따라서 중간거리는 요하네스 데 레기오몬테가 주장하는 H가 아니라 B이다.

이는 뒤에서 평균운동선과 태양 균차를 알게 되면 더 잘 이해되겠지만, 여기서도 의도한 결론을 증명하는 논증을 생략하지 않겠다. 바로 이 논점에 해당하며, 그 증명들을 보면 이 내용도 더 잘 이해될 것이기 때문이다. A를 중심으로 황도대의 원 BICD를, H를 중심으로 이심원 EFG를 두고, 원지점 지름을 EHAG라 하자. 여기에 수직으로 중간거리선 AF를 긋는다. 태양이 F에 있을 때 HF와 거기에 평행한 평균운동선 AD, 그리고 진운동선 AC를 그으면, 이 선들 사이에 끼어 있는 호 CD라는 균차가 태양에서 생길 수 있는 가장 큰 균차가 될 것이다.

그렇지 않고 이것이 가장 큰 균차가 아니라고 하자. 태양을 이심원의 K에 놓고 HK, 이에 평행한 평균운동선 AI, 진운동선 AKB를 긋는다. 삼각형 HAF의 두 변 HA·HF는 삼각형 HAK의 두 변 HA·HK와 각각 같다. 그런데 각 AHF는 각 AHK보다 작으므로, H에서 『원론』 제1권 제23명제의 방법에 따라 AHK와 같은 각 FHL을 잡고, 같은 책 제3명제에 따라 HL을 HA와 같은 길이로 한다. LF를 그으면 삼각형 HLF의 두 변 HL·HF는 삼각형 HAK의 두 변 HA·HK와 각각 같고, 가정에 따라 각 FHL은 각 KHA와 같다. 그러므로 유클리드 제1권 제4명제에 따라 각 HFL도 각 K와 같다.

따라서 F에서의 전체 각은 각 K보다 크고, 평행선 사이에서 그 각과 엇각인 CAD는 『원론』 제1권 제29명제의 첫 부분에 따라 각 K의 엇각인 BAL보다 크다. 그러므로 유클리드 제3권 제25명제에 따라 호 CD는 호 BI보다 크다. 이것이 보이려던 바이다. 따라서 태양이 그 점, 곧 중간거리에 있을 때 가장 큰 균차가 생긴다.

제3부 주석 — 양쪽을 포괄하는 두 번째 최대 균차 증명

그러나 이 부분에서는 프톨레마이오스를 따르고자 한다. 내 생각에는 누구도 그보다 천체의 운동을 더 잘 탐구하지 못하였기 때문이다. 따라서 『알마게스트』 제3편 제3장의 그의 증명을 다른 방식으로 보이겠다. 이는 앞의 증명보다 더 일반적이라는 점에서도 그러하다. A를 중심으로 이심원 BCDE를 그리고, 지름 BAD 위에 세계의 중심 F를 둔다. F에서 중간거리의 수선 FC·FE를 긋는다. 내가 주장하는 것은, 태양이 C에 있을 때 가장 큰 균차가 생긴다는 것이다. AC를 그으면 C의 각이 가장 크기 때문이다.

그렇지 않고 G 또는 H에서 최대가 생긴다고 하자. AG·FG·AH·FH·EG·EH를 긋는다. 유클리드 제3권 제7명제에 따라 FG가 EF보다 길므로, 제1권 제19명제에 따라 각 FEG는 각 FGE보다 크다. 원의 정의에 따라 AG·AE가 같으므로 제1권 제5명제에 따라 AGE·AEG도 같다. 앞의 각들에서 이 같은 각들을 빼면, 『원론』 제1권의 공리에 따라 남은 각 AEF가 각 AGF보다 크다. 그런데 AC·AE가 같으므로 같은 제1권 제5명제에 따라 각 C와 각 ACF[인쇄 표기]는 같다. 따라서 각 C는 각 FGA보다 크다.

같은 방식으로 유클리드 제3권 제7명제에 따라 FE는 FH보다 길므로, 『원론』 제1권 제19명제에 따라 각 FHE는 각 FCH[인쇄 표기]보다 크다. AH·AE가 같으므로 제1권 제5명제에 따라 AHE·AEH가 같다. 이 같은 각들에서 앞의 각들을 빼면 각 AEF가 각 AHF보다 크게 남는다. 그런데 각 C는 각 AEF와 같으므로, 각 C는 각 AHF보다 크다. 따라서 C의 각이 G와 H의 각보다 크므로, C의 엇각도 G·H의 엇각들보다 크다. 그러므로 앞 증명에서 말한 바에 따라 C의 균차는 G·H의 균차보다 크다.

다만 프톨레마이오스는 다른 방식으로 진행한다. 그 각과 네 직각의 비가 그곳에서 생기는 균차와 전체 원의 비와 같음을 증명하는 것이다. 따라서 C에서 가장 큰 각이 잡히므로, 태양이 거기에 있을 때 가장 큰 균차가 생긴다. 이 증명은 에라스무스 오스발두스에게서도 볼 수 있다. 또한 앞서 말했듯 이 증명은 일반적이라는 점을 주의하라. 중간거리에서 생기는 균차가, G처럼 중간거리에서 원지점 쪽으로 떨어진 곳의 차이와 H처럼 반대점 쪽으로 떨어진 곳의 차이보다 크다는 것을 모두 결론짓기 때문이다. 앞 증명에서는 그렇게 하지 않았다. 거기서는 원지점 쪽의 균차가 중간거리에서 생기는 균차와 달라짐을 증명하였다. 나머지 쪽도 결론지을 수 있었지만 간결함을 위해 생략하였다. 따라서 중간거리는 원지점선에 수직으로 놓이는 선의 끝점이라는 것이 분명하다.

최대 균차의 첫 증명: B·I·C·D와 이심원 E·F·G, 중심 H·A 및 K·L을 원상대로 보존한다.

최대 균차의 두 번째 증명: A·B·C·D·E·F·G·H와 모든 원둘레·선분을 보존한다.

제3부 주석 — 산술적 초과와 비례적 초과의 구별

이제 앞에서 제기한 반론을 해소할 일이 남는다. 중간거리선은 원지점선보다 부족한 만큼 반대점의 선보다 크다고 말할 때, 이는 비례적인 초과라는 뜻에서는 참이지만, 그가 결론지은 양적인 초과라는 뜻에서는 그렇지 않다. 이에 관하여 유클리드 제5권과 보에티우스 『산술』 제1·2권에서 말하듯, 초과에는 두 종류가 있음을 주의 깊게 보아야 한다. 산술적, 곧 양적인 초과와 기하학적, 달리 말하여 비례적인 초과이다.

첫째 초과는 더 큰 양이 더 작은 양을 넘는 양적이고 절대적인 차이이다. 예를 들어 8은 6보다 2만큼 크므로, 2가 8과 6의 차이이다. 이것은 2가 6의 3분의 1이라는 관점이 아니라 절대적인 관점에서이다. 이런 초과에서는 8과 6, 그리고 6과 4가 같은 양만큼 차이 난다. 두 비교에서 모두 차이가 2이기 때문이다.

기하학적 초과는 비례적이며 관계적인 차이이다. 예를 들어 9는 6보다 3만큼 크며, 이 3은 6에 대한 9의 비례적 초과이다. 이를 절대적으로 그런 수라는 관점에서 보지 않고, 비교에서 작은 수인 6의 절반이라는 관계에서 본다. 이런 방식으로 이해하면 9와 6, 그리고 6과 4는 같은 초과로 차이 난다. 9가 6보다 큰 3은 6의 절반이며, 6이 4보다 큰 2는 4의 절반이기 때문이다. 따라서 두 차이는 절대적인 양으로는 같지 않더라도, 둘 다 더 작은 수의 절반이므로 같은 비례적 초과라고 한다.

이를 설명한 뒤 나는 이렇게 말한다. 중간거리선은 양적인 초과가 아니라 비례적인 초과에서, 원지점선보다 부족한 만큼 반대점의 선보다 크다. 프톨레마이오스도 다른 뜻으로 이해하지 않는다. 다만 요하네스 레기오몬타누스가 인용한 그대로의 내용을 나는 프톨레마이오스에게서 찾지 못하였다. 예를 들어 원지점선이 9피트이고 반대점의 선이 4피트라면 중간거리선은 6피트이다. 이런 이유로 이를 중간거리선이라 부른다. 원지점선과 반대점의 선 사이에서 비례적인 중간이기 때문이다.

제3부 주석 — 중간 비례선의 작도와 두 견해의 조화

[측주] 이 증명을 위하여 앞에서 제시한 도형, 곧 마지막 두 도형보다 앞에 있는 도형을 보라.

이런 선은 원지점선과 같은 각들을 만드는 선이다. F를 중심으로 이심원 ADC를 그리고 그 지름을 AC로 두자. 세계의 중심 E에서 여기에 수직으로 중간거리선 ED를 긋는다. 나는 ED가 원지점선 EFA와 반대점의 선 EC 사이의 비례적인 중간이라고 말한다. AD·DC를 그으면 삼각형 DCA의 D에서의 전체 각은 제3권 제30명제에 따라 직각이므로, 가정에 따라 직각인 AED와 같다. 또 A의 각은 두 삼각형에 공통이다. 그러므로 유클리드 제1권 제32명제에 따라 남은 각 C·ADE는 같다.

다시 전체 삼각형의 D에서의 전체 각은 DEC와 같다. 둘 다 직각이기 때문이다. C의 각은 공통이므로 같은 『원론』 제1권 제32명제에 따라 EDC는 A의 각과 같다. 따라서 두 삼각형 EDA·EDC는 서로 대응하는 각들이 같다. AED가 DEC와 같고, A가 CDE와 같으며, ADE가 C와 같기 때문이다. 그러므로 『원론』 제6권 제4명제에 따라 같은 각들에 마주한 선들은 비례한다. CDE와 A가 같으므로 EC·ED는 비례하고, 증명했듯 C와 ADE가 같으므로 ED·EA도 비례한다. 따라서 EC·ED·EA 세 선은 비례하며 ED가 그 중간이라는 결론이 나온다. 이것이 보이려던 바이다.

따라서 앞에서 제기한 반론에 대한 답이 분명하다. 중간거리선이 원지점선보다 부족한 만큼 원지점 반대점의 선보다 크다는 점은 인정하되, 양적으로가 아니라 비례적으로 그러하다는 것이다. 또한 이 답은 반론을 해소할 뿐 아니라 저자의 견해를 위한 둘째 논거도 제시한다는 점을 주의해야 한다. 그 형식은 다음과 같다. 중간거리선은 비례적이고 기하학적인 뜻에서 자신이 초과하는 만큼 다른 것에 의해 초과되므로 중간이라고 부른다. 세계의 중심에서 원지점선과 직각을 만드는 ED가 증명한 대로 바로 이런 선이다. 그러므로 같은 결론이 나온다.

그러나 앞의 반론을 제시한 요하네스 데 레기오몬테는 그 저술들이 보여 주듯 뛰어난 재능을 지닌 사람이었으며 천문학을 밝힌 사람이었다. 따라서 그의 견해를 전적으로 물리쳐서는 안 된다. 그러므로 이 견해들을 조화시키려 하는 것도 이치에 어긋나지 않는다. 나는 중간거리를 두 이유로 설정하고 상상할 수 있다고 말한다. 첫째는 원지점과 그 반대점에서는 균차가 생기지 않는 것과 달리, 태양 운동의 균차가 가장 커지는 이심원의 위치를 보여 주기 위해서이다. 최대 균차는 원지점선에 수직인 선의 끝점에서 발견되므로, 본문의 저자는 이 점을 고려하여 중간거리를 설정하였다.

둘째는 태양이나 행성이 그곳에 있을 때 지구에서 많이 멀어지지도, 가장 가까워지지도 않고 중간 상태에 있는 위치를 보여 줄 필요에서 상정하는 것이다. 이를 비례적으로 이해하면 중간거리는 다시 원지점선에 수직인 선의 끝점이다. 양적으로 이해한다면 중간거리는 요하네스가 말한 것, 곧 세계의 중심에서 나와 이심원의 반지름과 같은 길이를 지닌 직선의 끝점이다. 나는 이러한 조화가 질문에 충분히 답한다고 생각한다. 원지점과 그 반대점도 두 이유로 부르듯이, 중간거리도 선택한 관점에 따라 두 이유로 부를 수 있기 때문이다. 원지점과 그 반대점이라 하는 것은 균차가 전혀 없는 점들이며, 동시에 태양이나 다른 천체가 지구에서 많이 멀어지거나 가까워지는 점들이다. 같은 방식으로 중간거리라고 하는 것은 균차가 가장 큰 곳이며, 또한 전체의 중심에서 멀어지거나 가까워지는 관계에서 천체가 중간 상태에 있는 곳이다.

제3부 본문 V–VII — 평균운동선·평균운동·두 번째 뜻의 아우게

V. 태양의 평균운동선은 세계의 중심에서 황도대까지 뻗으며, 이심원의 중심에서 태양의 중심으로 그은 직선과 평행한 직선이다. 다만 이 두 선은 한 해에 두 번, 태양이 이심원의 원지점 또는 그 반대점에 있을 때 하나가 된다. 그중 하나가 자기 중심 둘레를 규칙적으로 돌듯이 다른 선도 자기 중심 둘레를 그렇게 돈다. 두 선이 서로 다를 때에는 언제나 원지점선과 이루는 각들이 같기 때문이다.

VI. 태양의 평균운동은 양자리에서 시작하여 사인들이 이어지는 방향을 따라 평균운동선까지 센 황도대의 호이다.

VII. 두 번째 뜻에서 태양의 아우게는 양자리에서 사인들이 이어지는 방향을 따라 원지점선에 이르는 황도대의 호이다.

제3부 주석 — 평균운동의 뜻과 상상적 운동체

여기서는 태양의 평균운동을 다룬다. 이것은 뒤에서 드러나겠듯 태양이 자기 고유한 원 안에서 실제로 하는 운동이 아니라, 다른 원 안의 상상적 운동이다. 이 운동과 관련 사항에 관해 말할 내용을 이해하려면, 태양이 황도대 전체에서 계속 불규칙하게 움직인다는 것을 알아야 한다. 황도대의 각 부분과 거기에 표시한 각 점은, 태양이 그 둘레를 움직이는 이심원의 중심에서 앞선 부분이나 점보다 더 멀거나 더 가깝기 때문이다. 이심원이 기울거나 높아지는 쪽의 절반 전체에서는 더 느리게, 나머지 절반 전체에서는 더 빠르게 움직인다. 앞 절반은 그 중심에서 더 멀고 다른 절반은 더 가깝기 때문이다. 그러나 어느 절반의 어떤 부분에서도 규칙적이고 균일하게 움직이지 않는다. 앞서 말한 이유로 각 부분에서 더 빠르거나 더 느리게 움직이기 때문이다.

서로 마주하는 두 부분을 같은 방식으로, 곧 같은 시간에 지나가는 경우가 있더라도, 그 어느 부분의 전체도 균일하게 지나가지는 않는다. 그러므로 황도대에서의 태양 운동에는 참으로 실재하는 최고의 빠름이나 느림이 없다. 크기 안에 마지막 부분이나 마지막 점이 없는 것과 같다. 그것은 오직 감각에 따른 것이다. 이는 표들에서 드러날 것이다. 그러나 그 빠름이 바로 직전보다 처음으로 작아지기 시작하는 어떤 순간은 있다. 황도대의 어떤 점은 원의 일정 부분까지 앞선 어떤 점보다도 운반원의 중심에 더 가깝기 때문이다. 이는 뒤에서 드러날 것이다.

따라서 태양의 평균운동은 균일하고 규칙적인 태양 운동이다. 이를 중간의 운동이라고 부르는 이유는, 가장 느린 운동보다 빠른 만큼 가장 빠른 운동보다 느리기 때문이다. 또는 태양이 중간거리들에 있을 때 빠름과 느림 사이의 중간 방식으로 움직이므로 그때의 태양에 알맞기 때문이다. 또는 이를 매개로 황도대에서 때로 느리고 때로 빠른 진운동을 알게 되기 때문이다. 태양의 평균운동에는 두 종류가 있다. 하나는 자기 운반원에서 태양에 실제로 속하는 운동이다. 그 안에서 태양은 언제나 빠른 운동과 느린 운동 사이의 중간 방식으로, 곧 규칙적이고 균일하게 움직인다.

다른 하나는 황도대에서 오직 상상적으로만 태양에 속하는 운동이다. 태양은 황도대에서 실제로는 불규칙하게 움직이지만 상상적으로는 규칙적으로 움직인다. 황도대에서 움직이는 물체를 상상하자. 그 물체의 중심은 세계의 중심에서 나오는 직선의 끝점이며, 이 선은 이심원의 중심에서 태양의 중심으로 나오는 선과 언제나 평행하거나 그 선과 하나가 된다. 그러면 그 물체는 황도대 전체와 각 부분에서, 태양이 운반원 전체와 각 부분에서 움직이는 것과 같은 방식으로 움직일 것이다. 그 물체의 운동을 태양의 평균운동이라 부를 수 있다. 운반원 안에서 태양이 지니는 평균운동과 수적으로 동일한 운동은 아니지만, 종류와 원을 도는 빠르기의 같음에서는 동일하기 때문이다.

여기서 말하는 것은 이 평균운동이다. 따라서 태양의 평균운동을 찾는 것은, 그 전체가 황도대 전체에 대하고 그 부분들이 황도대의 부분들에 대하는 관계가, 태양 운동의 전체가 운반원 전체에 대하고 그 부분들이 운반원의 부분들에 대하는 관계와 같은 운동을 찾는 것이다. 이것은 뒤에서 드러나듯 본문에서 말한 방식으로 구한다. 이 평균운동을 고안해야 하는 필요는 황도대에서 태양의 위치를 알기 위해서이다. 이를 위해서는 운반원 안에서의 운동을 아는 것만으로 충분하지 않다. 태양이 매일 운반원에서 몇 도를 지나는지 알아도, 황도대에서 같은 수의 도수를 지나는지는 알 수 없기 때문이다. 황도대에서는 같은 방식으로 움직이지 않는다. 그러나 뒤에서 설명할 평균운동·아르구멘툼·균차를 알고 그 균차를 더하거나 빼면 황도대에서 태양이 어디에 있는지 알게 된다.

제3부 주석 — 평균운동선을 사용하여 호를 정하는 이유

따라서 저자는 태양의 평균운동을 정의하려 하면서, 우리가 그것을 정하고 알아내는 평균운동선을 정의한다. 문면은 분명하다. 그는 이 선이, 거기에 평행한 다른 선처럼, 자기 중심인 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직인다고 말한다. 이에 대한 증명은 앞의 설명에서 분명하다. 각각 자기 중심에 같은 각들을 만드는 선들은 균등하게 움직이기 때문이다. 이 두 선은 태양이 원지점이나 그 반대점에 있을 때처럼 하나의 선이거나, 서로 평행할 때 각자의 중심에서 원지점선과 같은 각들을 이룬다.

이 평행선을 알게 해 준 것은 유클리드 『원론』 제1권 제29명제이다. 거기에는 두 평행선을 하나의 직선이 가르면 같은 쪽의 외각과 내각이 같다는 내용이 있다. 그러므로 세계의 중심과 이심원의 중심을 지나도록 두 평행선을 그으면, 두 선은 언제나 원지점선에 의해 잘리므로 한 중심의 외각은 다른 중심의 내각과 같다. 이 각에는 비례하는 호들이 대응할 것이다. 따라서 앞의 결론이 성립한다.

운동을 직선으로 정하는 까닭은, 운동의 빠르기를 운동체의 중심에 따라 살피며, 운동체는 그 중심을 통해서만 운동의 중심에 대응하기 때문이다. 운동체의 중심은 언제나 원의 중심 둘레에 있으므로 그 둘 사이에는 언제나 직선이 끼어 있다. 균등하게 움직이는 모든 것의 운동은 이 직선의 운동에 따른다. 또한 세계의 중심 둘레에서 운동이 규칙적인지 불규칙한지는 평면각으로 정해야 한다. 유클리드 『원론』 제1권에 따르면 평면각은 두 직선이 서로 만나는 것이다.

이어 표에서 찾아야 할 태양의 평균운동을 정의하면서 “황도대의 호”라고 한다. 이는 지나간 거리로 운동을 알려 주는 것이다. “양자리에서 시작하여”라고 하는 것은 모든 계산이 거기서 시작하기 때문이다. “사인들이 이어지는 방향으로”란 동쪽을 향해 평균운동선까지 세는 것이다. 우리는 이 평균운동으로 위치를 찾는 행성의 몸체가 그 선에 있다고 이해한다. 앞의 호를 태양의 평균운동이라 하는 것은, 그 호 전체에서 어떤 물체가 움직인 방식이 태양이 운반원의 호에서 움직인 방식과 같다고 이해하기 때문이다. 운반원 전체에 대한 그 운반원 호의 비는 황도대 전체에 대한 이 호의 비와 같다.

제3부 주석 — 1544년 아우게 계산의 실제 예

이어 평균운동과 연결되는 몇 가지를 설명한다. 언제나 또는 흔히 평균운동의 일부인 것, 곧 두 번째 뜻의 태양 아우게이며 그 정의는 분명하다. 그러나 우리의 계획은 이 호를 더 자세히 다룰 것을 요구하므로, 여기서 태양에 관하여 이 호를 찾는 방법을 제시하려 한다. 이 운동의 표를 어떻게 만들었는지는 뒤의 제8천구 논의에서 더 자세히 설명할 것이다. 다만 배우기 쉽도록 「태양 이론」의 끝에서 계산을 곁들여 태양의 아우게를 산정하는 방법도 제시하겠다.

그러면 가스파르 아를루누스가 밀라노에서 태어난 1544년 6월 17일 정오 후 1시 24분에 이 호가 얼마였는지 알고자 한다. 제9천구의 연운동은 26초·26삼분·54사분이다. 이 값에 앞서 적은 시간을 곱하여 0사인 11도 20분 22초 58삼분 4사분을 얻었다. 이는 앞서 말한 아를루누스가 세상에 태어난 때, 제10천구의 양자리 기점과 제9천구의 양자리 기점 사이에 있는 호이다.

이제 이어 제8천구의 진퇴운동을 구해야 한다. 그 연운동은 3분 5초 0삼분 58사분이다. 이를 앞서 말한 시간에 곱하여 2사인 18도 35분 24초 43삼분 38사분을 얻었다. 아를루누스가 태어났을 때 제8천구의 양자리 기점은 작은 원의 가장 높은 점에서 이만큼 떨어져 있었다. 이 운동의 균차는 8도 49분 12초 15삼분 58사분으로 구해졌다. 이 도수와 세부값을 아우게들과 항성들의 운동에 더하여 얻은 값은 공통 아우게, 곧 0사인 20도 9분 35초 14삼분 2사분이었다.

그 뒤 이 공통 아우게에 그리스도 시대의 태양 아우게, 곧 2사인 1도 25분 23초를 더하였다. 그렇게 하여 주어진 시각에 지구의 중심에서 가장 멀리 있는 태양의 점이 제10천구 양자리의 시작에서 떨어진 거리를 얻었다. 그 값은 3사인 1도 34분 58초 등이다[인쇄값; 앞 수치의 덧셈과 불일치]. 이제 나머지 선과 호의 정의로 돌아가야 한다.

제3부 주석 — 평균운동의 도형과 계산 기준

“평균운동선”에 관하여. 제1운동천에서 적도가 그것을 이해하는 데 필요한 모든 것의 기준이듯이, 이차적 운동체들에서는 평균운동선이 그러하다. 옛 천체 관찰자들이 이차적 운동체들에 이 선을 고안하지 않았다면, 자기 관측으로부터 어떤 확실한 내용도 제시할 수 없었을 것이다. 태양의 평균운동선이 무엇인지는 저자가 충분하고도 남을 만큼 명료한 말로 정의하였다. 한 해에 두 번 태양이 원지점이나 그 반대점에 있을 때 진운동과 평균운동이 같으므로, 이 두 선, 곧 평균운동선과 거기에 평행한 선이 동일한 선이 된다는 것은 확실하다.

태양이 원지점과 그 반대점에서 벗어나 움직일 때, 평행한 선이 자기 중심, 곧 이심원의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직이듯 평균운동선도 자기 중심 둘레에서 균등하게, 곧 규칙적으로 움직인다. 즉 두 선은 같은 시간에 같은 각들을 그린다. 이는 유클리드 제1권 제21명제에 따라 분명하다. 이어 “태양의 평균운동”에 관하여 말한다.

옛 천문학자들은 반복 관측을 통해, 우리의 눈으로 태양 운동을 볼 때 태양이 불균등하게 움직인다는 것을 알아냈다. 이런 불균등은 다른 사물에서도 흔히 그렇듯 어떤 매개를 사용하지 않고는 균등함으로 환원할 수 없다. 그래서 그들은 그러한 매개를 생각하였다. 그들에게 떠오른 것은 이미 여러 번 말했듯 태양이 균등하게 움직이는 어떤 원을 설정하는 것뿐이었다. 이 원을 이심원이라고 불렀다. 이것을 설정하면 지금 제시하는 것들이 필연적으로 따라와야 했다. 곧 평균운동선의 상정이다. 다른 중심에서 거기에 평행한 선이 주어지지 않았다면, 그들은 이 선을 상상하거나 가르칠 수 없었을 것이다.

평균운동의 끝을 정하는 이 선을 상상한 뒤에는, 제10천구의 양자리에서 시작하여 평균운동선에서 끝나는 평균운동의 호를 제시하기가 쉬웠다. 이 선이 황도대 아래에서 사인들의 순서에 따라 점에서 점으로 움직이면 이 호도 늘어난다. 이 모든 것은 아래 도형에서 충분히 분명하다. ABCD를 황도대, GHI를 태양의 이심원, A를 제1운동천 양자리의 시작, G를 첫 번째 뜻의 태양 원지점, I를 그 반대점, H를 운반원에서의 태양 위치, EC를 평균운동선으로 두고 FH가 그와 평행하게 하자. 호 ABC가 바로 저자가 앞서 정의한 호이다. 두 선 FH·CE를 BD 너머로 길게 연장하면, 유클리드 제1권 제29명제의 도움으로 두 각 GFH·BEC가 같은 이유를 알게 될 것이다.

제3부 주석 — 태양 평균운동표를 만드는 방법

이제 태양의 평균운동표를 만드는 방법으로 나아가야 한다. 그 방법은 다음과 같다. 먼저 태양의 균등한 하루 운동을 얻어야 한다. 이는 다음 방식으로 구할 수 있다. 모든 값을 먼저 적절히 풀어 환산한 뒤, 연주기의 양을 전체 원, 곧 360도에 적용하라[duc의 연산 지시 해석 보류]. 그러면 태양 자체의 균등한 하루 운동인 0도 59분 8초 19삼분 37사분 19오분이 나온다. 내가 말하는 이 결과는 알폰소년의 길이를 365일 5시간 49분 15초 58삼분 51사분 등으로 취했을 때 얻어진다.

하루 운동을 정한 뒤 그것을 두 배로 하거나 자기 자신에 더하면 이틀의 운동을 얻는다. 거기에 하루 운동을 더하면 사흘의 운동이 나오며, 그렇게 31일까지 계속하면 1사인 0도 33분 18초 8삼분 17사분이 나온다. 이것이 첫 달의 운동이다. 하루 운동을 계속 더함으로써 모든 달에 속하는 날들의 운동을 완성한다.

이를 얻었으면 로마 달력에 따라 각 달에 그 날수를 배정하라. 모든 달의 값을 모은 마지막 달, 곧 12월의 운동이 한 해의 운동이 된다. 그 값은 11사인 29도 45분 39초 22삼분 2사분이다. 이 운동을 두 배로 하면 두 해의 운동을 얻고, 여기에 한 해의 운동을 더하면 세 해의 운동이 나오며, 이후도 마찬가지이다.

한 시간에서 24시간 및 그 이후까지의 시간별 평균운동을 구성할 때도 같은 방식으로 진행해야 한다. 먼저 태양의 하루 평균운동을 24로 나누어 한 시간의 평균운동을 구한다. 우리는 이 규칙에 따라 아래의 표를 만들었다. 표가 이어진다.

도형 A·B·C·D·E·F·G·H·I 및 양자리 기호를 보존한다. 각 기호의 설명은 위 본문에 모두 번역했다.

[보조판독 근거] 호 ABC의 B는 주저본의 먹뭉침을 같은 대목의 대조사본에 명료하게 남은 ABC와 대조하여 읽었다.

원표제 Tabula medii motus Solis: 태양 평균운동표. Anni: 연수. 여섯 수치 열은 왼쪽부터 **사인(s.)·도(gr.)·분(min.)·초(sec.)·삼분(ter.)·사분(quar.)**이다. 삼분은 초의 60분의 1, 사분은 삼분의 60분의 1인 각도 세분이다.

100년 단위 기준값

100년부터 3000년까지 100년 간격 30행이다. 인쇄 수치를 임의 산술 보정하지 않았다.

표의 기준시점 — 원문 주기

이 기준값들은 그리스도의 탄생 직후에 이어지는 12월의 마지막 날 정오를 기준으로, 피렌체시의 자오선에 맞추어 정한 것이라고 말해 둔다.

1년부터 42년까지

연수 1–42의 42행이다. B는 윤년 표시이며 4·8·12·16·20·24·28·32·36·40년의 표지를 포함한다. 일부 인쇄 표지는 먹뭉침 사각형처럼 보이는 원상 그대로 보존했다.

원표제 Tabula medii motus Solis: 태양 평균운동표.

각 표의 수치 여섯 열은 왼쪽부터 **사인(s.) · 도(gr.) · 분(min.) · 초(sec.) · 삼분(ter.) · 사분(quar.)**이다. 삼분은 초의 60분의 1, 사분은 삼분의 60분의 1인 육십진 세분 단위이며, 여기서는 각도값이다. 연수 열의 Anni는 연수이고, 그 옆의 B는 윤년 표시이다. 연수와 월의 값 및 원문의 이상값을 임의로 산술 정규화하지 않았다.

43년부터 84년까지 — 42행

행 표지는 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84년이다. B 표시는 44·48·52·56·60·64·68·72·76·80·84년에 붙는다.

85년부터 100년까지 — 16행

행 표지는 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100년이다. B 표시는 88·92·96·100년에 붙는다.

평년의 월별 값 — 12행

Menses communes: 평년의 월들. 행 순서와 월명은 1월(Ianuarius), 2월(Februarius), 3월(Martius), 4월(Aprilis), 5월(Maius), 6월(Iunius), 7월(Iulius), 8월(Augustus), 9월(September), 10월(October), 11월(Nouember), 12월(December)이다. 원표의 약기 월명도 이 순서에 대응한다.

윤년의 월별 값 — 12행

Menses bisextiles: 윤년의 월들. 행 순서와 월명은 위 평년표와 동일한 1월부터 12월까지이다.

원표제 Tabula medii motus Solis: 태양 평균운동표.

• 왼쪽 dies: 일수, 1일부터 31일까지 31행. 뒤의 여섯 수치 열은 **사인(s.)·도(gr.)·분(m.)·초(2′)·삼분(3′)·사분(4′)**이다.
• 가운데 hor.: 시간, 1부터 30까지 30행. 뒤의 다섯 수치 열은 도·분·초·삼분·사분이다.
• 오른쪽 min.: 분, 31부터 60까지 30행. 뒤의 다섯 수치 열은 도·분·초·삼분·사분이다. 원표 머리의 *min.*과 행 번호 31–60은 그대로 보존한다. 수치가 앞 시간표에서 이어지는 듯한 배열을 보이더라도 표제를 임의로 고치지 않는다.

삼분은 초의 60분의 1이고, 사분은 삼분의 60분의 1이다. 수치 열의 이 단위들은 각도 세분 단위이다. 행 표지의 일·시간·분과 구별해야 한다.

평균운동표의 사용 절차

태양의 평균운동 기준값 표를 어떤 방식으로 구성했는지는 이미 간략히 설명하였다. 이제 그리스도 기원의 각 해가 시작할 때의 태양 평균운동 기준값을 어떻게 계산하는지 보여 주어야 한다.

그리스도 기원에서부터, 태양의 평균운동을 구하려는 해당 해의 시작까지 온전히 지난 연수를 살펴보라. 그 연수로 태양 기준값 표에 들어가, 필요에 따라 전개 연수와 합산 연수의 항목에서 그 수를 찾아라. 그것을 찾으면 바로 맞은편에 있는 값을 취하여 오른쪽에 쓰되, 그리스도 시대의 기준값 아래에 써라. 표에 놓인 차례대로, 같은 종류의 단위끼리 아래로 맞추어 쓴다. 이것들을 함께 더하면 해당 시각에 대하여 구하고자 한 평균운동 기준값이 나온다.

이를 더 분명히 하기 위하여, 앞에서 말한 가스파르 경이 태어났을 때 태양의 평균운동선이 양자리의 시작점, 곧 점A에서 얼마나 떨어져 있었는지 구해 보겠다. 앞의 그림에서 그 선은EC이고, 그것으로 호ABC를 잰다.

가스파르 아를루누스의 출생시각 계산

먼저 기준값, 곧1500년으로 표에 들어갔다. 그 맞은편에 적힌 값은9사인19도19분21초21삼분53사분이다. 다음으로 온전히 지난43년으로 다시 표에 들어갔다. 그 오른쪽에는11사인29도34분36초3삼분37사분이 적혀 있다.

이미 완성된 연수 외에 온전한 다섯 달과17일·1시간24분이 지났으므로, 이 수들로 윤년의 월표, 일표, 시간표 및 분표에 들어갔다.1544년은 윤년이었기 때문이다. 모든 값을 바르게 모으자3사인5도30분51초40삼분36사분이 나왔다. 아를루누스가 태어났을 때 선EC가 양자리의 시작점에서 떨어져 있던 양은 바로 이만큼이었다.

다만 윤년에는 윤년의 월표를 취해야 한다는 점에 유의해야 한다. 태양 평균운동을 계산할 때 그해2월은29일을 지니기 때문이다.

평균운동 계산 예시

Exemplum: 예시. 여섯 수치 열은 사인·도·분·초·삼분·사분이다. 원표의 빈칸은 아래에서도 **—**로 보존하며 0을 추정 삽입하지 않는다.

원문 차이: 앞면 산문에서 1500년 기준값의 분 값은 19분이라 서술하지만, 이 표에는 18분으로 인쇄되어 있다. 앞면 산문과 이 표를 임의로 일치시키거나 합계를 다시 산출하여 원문을 바꾸지 않았다. 숫자 7행과 빈칸을 실제 원표에서 전사했다.

본문 — 태양의 아르구멘툼

태양의 아르구멘툼은 아우게선에서 태양의 평균운동선까지, 사인들의 순서를 따라 잰 황도대의 호이다. 이 호는 이심원의 아우게에서 태양의 중심까지 같은 순서로 잰 이심원의 호와 언제나 닮은 관계에 있다. 여기에서 다음의 근거가 드러난다. 태양의 평균운동에서 둘째 의미의 태양 아우게를 빼거나, 그 평균운동에 원 한 바퀴를 더한 값에서 아우게를 빼면 태양의 아르구멘툼이 남는다.

주석 — 아르구멘툼의 두 종류와 균차의 증감

천문학자들 사이에서는 다른 호를 구하기 위하여 사용하는 모든 호를 형이상학적인 의미에서 아르구멘툼이라 부른다는 점을 알아야 한다. 그것이 논증처럼, 알지 못하던 것의 인식으로 우리를 이끌기 때문이다. 그러나 어느 특정한 호가 이 이름을 마치 고유명처럼 차지하였다. 다른 호를 알려 준다는 점에서 여러 호와 공통된 성질을 지니는 것 외에는 아무런 특별한 지위도 없는데 말이다. 용어: 아르구멘툼

아르구멘툼에는 두 종류가 있다. 하나는 균차를 적용한 아르구멘툼이다. 곧 균차가 그것에 더해지는 것이다. 이어지는 “그리고 그것의 아무것도 아니다”라는 구절은 [해석 불확실]하다. 이것은 진아르구멘툼이라고도 한다. 진운동선에서 끝나기 때문이다. 이는 아우게선에서, 뒤에서 설명할 진운동선까지의 황도대 호이다. 다른 하나는 평균 아르구멘툼이다. 이것도 아우게선에서 시작하지만 평균운동선에서 끝난다.

아우게나 그 반대점에서 중간거리의 위치까지 가면 이 두 아르구멘툼의 균차가 커진다. 즉 황도대에서 두 호가 서로 다른 만큼의 호, 다시 말하여 평균운동선과 진운동선 사이에 놓인 호가 커진다. 따라서 그 사이의 위치들에서는 일정한 비례에 따라 증가해야 한다. 아우게에서 중간거리까지는 균차가 계속 커지고, 중간거리에서 아우게의 반대점까지는 계속 작아진다. 다시 아우게의 반대점에서 다른 중간거리까지는 계속 커지며, 거기서 아우게까지는 다시 계속 작아진다. 그러므로 아우게를 출발점으로 잡고, 거기서부터 아르구멘툼을 계산해야 했던 것이다.

주석 — 두 호가 닮은 관계인 이유

저자는 평균 아르구멘툼의 호가, 이심원의 아우게에서 태양 중심까지 사인의 순서를 따라, 곧 동쪽으로 잰 이심원의 호와 언제나 닮은 관계라고 말한다. 닮았다는 것은 앞의 호가 황도대 전체에 대하여 지니는 비가, 뒤의 호가 태양의 이심원 전체에 대하여 지니는 비와 같다는 뜻이다.

그 이유는 태양과, 황도대 위에서 평균운동으로 움직인다고 상정한 물체가 처음에는 함께 아우게에 있었고, 그 뒤에도 언제나 둘 다 똑같이 빠르게 움직였기 때문이다. 따라서 그들이 지나간 구간은 비례상 같아야 한다. 지금은 똑같이 빠르게 움직이는 것과 똑같이 빠르게 한 바퀴 도는 것을 구별하지 말라. 실제로 황도대에서 균일하게 움직인다고 하는 물체는 운반원 위의 태양보다 더 빠르게 움직이기는 한다. 같은 시간에 더 큰 원을 지나가기 때문이다. 그러나 자기 원을 더 짧은 시간에 도는 것은 아니며, 같은 시간에 한 바퀴 돈다.

두 원의 중심과 원지점

• C — 태양의 원지점 (Aux Solis).
• B — 이심원의 중심 (centrum eccentrici).
• A — 세계의 중심 (Centrum mundi).
• D — 원지점의 맞은편 (oppositum Augis).
• CIRCVLVS ECC. — 이심원. 도형 안의 약기를 그대로 보존하고 한국어 뜻을 병기한다.

주석 — 같은 각과 호의 비례

이 점에 관하여 또한 알아야 할 것이 있다. 세계의 중심을 중심으로 하여 이심원과 같은 크기의 원을 상정해 보자. 서로 평행한 두 선을 아우게선이 가로질러 생기는 각들은 『원론』 제1권 제29명제에 따라 같다고 나는 말한다. 또 같은 크기의 두 원, 곧 이심원과 그것과 같은 크기의 원에서 그 선들 사이에 놓인 호들도 유클리드 제3권 제25명제에 따라 같다.

이심원과 같은 크기로 상정한 이 원의 호들은 황도대의 호들에 비례한다. 그러므로 『원론』 제5권 제7명제에 따라, 같은 크기로 상정한 원의 호들이 황도대의 호들에 대하여 지니는 비를 이심원의 호들도 같은 황도대의 호들에 대하여 지닌다. 이것은 이 그림에 나타나 있다. 더 쉽게 이해하도록 다음 증명을 제시하겠다.

저자가 “이것은 언제나 닮은 관계이다”라고 말할 때는 이렇게 이해해야 한다. 아르구멘툼인 호BC가 황도대 전체에 대하여 지니는 비는, 아래 그림에서 첫째 의미의 아우게와 태양 사이에 있는 호EF가 이심원 전체에 대하여 지니는 비와 같다. 이는 제1권 제29명제로 쉽게 이해할 수 있다. 그 명제에서 각EGF가 각BHC와 같음이 증명된다. 선FG가 선CH와 평행하기 때문이다. 같은 각에는 제3권 제25명제에 따라 같은 호가 대응한다. 그러므로 호BC, 곧 아르구멘툼은 호EF, 곧 아우게에서 태양까지의 거리에 비례한다. 다시 말하여 호BC가 자기 원BDA에서 차지하는 도수는, 호EF가 자기 원EFK에서 차지하는 도수와 같다.

도형의 본문상 대응: 호 BC는 아르구멘툼, 호 EF는 첫째 의미의 원지점에서 태양까지의 거리이다. 본문의 각 EGF와 BHC, 평행한 선 FG와 CH, 원 BDA와 EFK의 표기를 그대로 따른다. 도형 안팎의 나머지 라틴 문자도 원상에 보존했다. 문자 표지 자체는 도형의 지시 기호이며 별도 어휘를 추정하여 붙이지 않는다.

주석 — 아르구멘툼을 뺄셈으로 구하기

이 본문의 세 번째 부분에서 저자는B와C 사이의 아르구멘툼을 구하는 법을 가르친다. 그리고 위에서 아우게와 아르구멘툼을 정의한 데서 다음 따름정리가 나온다고 말한다. 즉 태양의 평균운동에서 둘째 의미의 아우게를 빼면 아르구멘툼이 남는 까닭이다. 평균운동은 아우게와 평균 아르구멘툼으로 이루어져 있으며, 전체에서 한 부분을 빼면 다른 부분이 남기 때문이다.

“원 전체를 더한 값에서 아우게를 뺀다”는 말은 이렇게 이해해야 한다. 때로는 아우게가 평균운동보다 커서 그 값에서 뺄 수가 없다. 그때는 원 전체와 평균운동을 합쳐 하나의 값으로 만들고, 그 전체에서 아우게를 빼야 한다. 예를 들어 아우게가2사인이고 평균운동이1사인이면,12사인에1사인을 더하여13사인으로 만든다. 거기서2사인을 빼면11사인이 남으며, 이것이 아르구멘툼이다.

또 어떤 계산에서 태양 평균운동이2사인3도2분으로 나왔다고 하자. 같은 계산에서 아우게의 호AB는3사인1도34분이었다. 여기서는 통상적인 뺄셈을 할 수 없으므로,2사인 등으로 이루어진 값에12사인을 더하였다. 그런 다음 빼고 나면11사인1도28분이 남으며, 이 값이 그 계산의 아르구멘툼으로 정해진다.

이 본문은 그 자체로 충분히 분명하므로 설명에 오래 머물 필요가 없다. 의문이 있다면 다음 예로 분명해질 것이다. 앞의 계산에서 두 호를 알고 있다. 하나는 태양 평균운동인 호ABC이다. 우리가 구한 값은3사인5도30분51초40삼분36사분이었다. 또 하나는 둘째 의미의 태양 아우게인 호AB로, 앞에서 구한 길이는3사인1도34분58초14삼분2사분이다.

이제 저자의 규칙에 따라 태양 평균운동에서 아우게를 빼면 호BC가 남는다. 그것이 가스파르 아를루누스의 출생시각에서 태양의 아르구멘툼이며,0사인3도55분53초26삼분34사분이었다. 나머지 경우에도 같은 방식으로 계산해야 한다. 태양의 아르구멘툼은 여기까지이다.

본문 IX — 태양의 진운동선

태양의 진운동선은 세계의 중심에서 태양 몸체의 중심을 지나 황도대까지 뻗은 선이다. 태양이 아우게나 그 반대점에 있을 때에는 이 선이 평균운동선과 같은 선이 된다.

본문 X — 태양의 진운동

태양의 진운동은 양자리의 시작점에서 진운동선까지의 호이다. 태양이 아우게나 그 반대점에 있을 때에만 평균운동과 진운동이 같다. 다른 곳에서는 언제나 서로 다르다.

본문 XI — 태양의 균차

태양의 균차는 평균운동선과 진운동선 사이에 놓인 황도대의 호이다. 태양이 아우게나 그 반대점에 있을 때에는 이 균차가0이다. 태양이 중간거리의 위치에 있으면 가능한 가장 큰 균차가 생긴다. 다른 위치에서는 아르구멘툼의 변화에 따라 커지거나 작아진다. 태양이 아우게나 그 반대점에 가까울수록 균차는 작고, 중간거리의 위치에 가까울수록 크다.

아르구멘툼이 통상의 사인6개보다 작을 때에는 평균운동선이 진운동선보다 앞서므로, 그때는 균차를 뺀다. 그러나6사인보다 클 때에는 그 반대가 된다. 따라서 그때에는 평균운동에 균차를 더하여 태양의 진운동을 얻는다.

주석 — 진운동이 황도대에 관련된다는 뜻

여기서는 태양의 진운동을 다룬다. 그 운동의 대상 자체와의 관계에서 다루는 것은 아니다. 그렇게 다루면 실재하는 운동이 되기 때문이다〔이유절의 원문 일부는 해석 불확실〕. 오히려 황도대와의 관계에서 다룬다. 황도대 위에서의 태양 운동은 실제로 있는 것이 아니라 상상적으로 있는 것이다. 다만 이는 태양이 황도대 바로 아래에서 직접 움직인다고 이해하는 경우의 말이다. 다른 의미에서는 태양이 실제로 황도대 아래에 있고 움직인다.

저자는 먼저 진운동선을 설명한다. 이는 지구 중심에 놓인 눈이 판단하는 방식에 따라 취하는 선이며, 글의 뜻은 분명하다. 둘째로 진운동을 설명하며, 이 역시 분명하다.

주석 — 최대 균차와 중간거리 논쟁

셋째는 균차이다. 이에 관하여 알아야 할 것은 저자와 크레모나의 게라르두스, 그리고 사크로보스코의 요하네스 선생이 모두 태양이 중간거리의 위치에 있을 때 균차가 최대라고 말한다는 점이다. 그러나 레기오몬타누스는 이를 비판하며, 최대가 되는 곳은 그 자신이 정한 중간거리의 위치가 아니라 그 근처라고 말한다. 즉 게오르기우스 푸르바키우스와 크레모나의 게라르두스가 중간거리라고 부르는 그 점에서 최대가 된다는 것이다.

하지만 그가 이들을 비판하는 방식은 그리 적절하지 않다. 첫째, 중간거리의 위치라고 하거나 그 근처라고 하는 것은 같은 말이다. 얼마 차이 나지 않는 것은 차이가 없는 것처럼 받아들이기 때문이다. 이는 아리스토텔레스의 『자연학』 제2권에 따른다. 둘째, 내 생각에는 그 자신이 중간거리를 올바르게 잡지 않았다. 설령 올바르게 잡았다고 해도 자기 주장을 증명하지 않는다. 살펴보면 알 수 있다. 그가 매우 박식한 사람이었다는 점과, 그의 훌륭한 저술들이 그것을 증언한다는 점은 이와 별개이다.

반론. 최대 균차는 태양의 평균운동선과 이심원 중심에서 나오는 선이 아우게선과 직각을 이룰 때이다. 이 선들은 그보다 더 멀리 떨어질 수 없기 때문이다. 따라서 평균운동선과 진운동선도 더 멀리 떨어질 수 없으며, 두 선의 거리가 바로 균차이다. 그런데 그때 태양은 중간거리의 위치에 있지 않다. 오직 그 두 평행선 사이만큼 떨어져 있을 뿐이며, 그중 한 선은 태양 중심을 지난다.

응답. 그 두 선이 직각을 이룰 때 태양은 평균운동선에 따르면 중간거리의 위치에 있다. 다만 진운동선에 따르면 그렇지 않다.

주석 — 통상의 사인과 물리적 사인

“통상의”라는 말에 유의하라. 통상의 사인은30도를 포함하며12개이다. 그런데 천문학자들이 물리적 사인이라고 부르는 어떤 사인들은 각각60도를 포함하며, 모두6개뿐이다. 용어: 사인과 별자리

주석 — 평균운동선과 진운동선의 앞섬

아르구멘툼이6사인보다 작다는 말은, 아직 아우게에서 그 반대점까지 뻗지 않았다는 뜻이라는 점에도 유의하라. 그 반대점에서 여섯 번째 사인이 완성된다. 그 점에 이르기까지는 언제나 평균운동선이 진운동선보다 앞선다. 아우게에서 중간거리까지 앞서는 이유는 황도대의 원주가 자기 중심에서 떨어진 거리가, 진운동선의 중심에서 떨어진 거리보다 크기 때문이다.

그 점에서 아우게의 반대점까지도 평균운동선이 앞서기는 한다. 하지만 이제는 앞의 이유 때문이 아니라, 그 이전 구간에서 이미 얻어 둔 초과분 때문이다. 다만 그 초과분은 아우게의 반대점에 이를 때까지 차츰 잃는다. 그 반대점에서는 진운동선이 앞서기 시작한다. 진운동선은 이미 한참 전에 더 빠르게 움직이기 시작하였고, 황도대 원주와 그 중심 사이의 거리로 말미암아 잃었던 것을 되찾았기 때문이다. 그러나 두 번째 중간거리의 위치에서는 다시 뒤따르기 시작한다. 그 이유는 앞서 말한 데서 분명하다.

이상으로 태양 천구를 더 상세히 다루었다. 뒤에서는 이 용어들을 다시 설명할 필요가 없게 하려는 것이다. 이제 저자가 말한 태양의 균차표가 이어진다.

Tabula aequationum Solis: 태양 균차표.

공통 열과 행의 읽기

• Signa: 사인 수. 위쪽과 아래쪽에 각각 다른 사인 수가 적혀 있다.
• 바깥쪽 gra. 또는 grad.: 도수. 왼쪽은 위에서 아래로 1–30, 오른쪽은 위에서 아래로 29–0이다.
• 각 구획 앞쪽 세 수치 열 gra., mi., sec.: 균차의 도·분·초.
• 각 구획 뒤쪽 두 수치 열 min., secun.: 차분의 분·초.
• Subtrah., Subtra., Subtrahe: 빼라. Adde: 더하라.
• Dif. 또는 Diffe.: 차분. *Dif. A.*는 더하는 차분, *Dif. sub.*는 빼는 차분이다. 3사인 구획에는 *Dif. A M.*이라고 인쇄되어 있어 두 글자를 그대로 병기한다. A M 약기의 정확한 풀이는 이 보완 단계에서 확정하지 않는다.

인쇄 27쪽 — 위 0·1·2사인, 아래 11·10·9사인

위쪽 세 구획의 표지는 순서대로 0사인, 1사인, 2사인이다. 각 구획은 균차에 빼라, 차분에 **더하라(Dif. A.)**라고 표시한다. 아래쪽 대응 표지는 11사인, 10사인, 9사인이며, 세 구획 모두 균차에 더하라, 차분에 빼라라고 표시한다.

인쇄 28쪽 — 위 3·4·5사인, 아래 8·7·6사인

위쪽 세 구획의 표지는 순서대로 3사인, 4사인, 5사인이다. 세 구획 모두 균차에 빼라라고 표시한다. 3사인 구획의 차분 표제는 차분 A M(Dif. A M.), 4·5사인의 차분 표제는 **빼는 차분(Dif. sub.)**이다. 아래쪽 대응 표지는 8사인, 7사인, 6사인이며, 세 구획 모두 균차와 차분에 각각 더하라라고 적혀 있다. 왼쪽 3도 행 근처의 C 모양 표지도 원상에 보존했다. 그 기호의 별도 기능은 근거 없이 부여하지 않는다.

태양의 진운동을 구하는 법

먼저 앞에서 제시한 계산 규칙에 따라 주어진 시각의 태양 평균운동과 그 아르구멘툼을 구하라. 부등운동의 아르구멘툼으로 태양 균차표에 들어가서, 그 아르구멘툼의 마지막 온전한 도수와 마주 놓인 태양의 균차를 도·분 및 그 이하의 분수 단위로 취하라. 표제가 요구하는 대로 이것을 태양의 평균운동에 더하거나 거기서 빼면 태양의 진운동이 나온다.

아르구멘툼에 분이나 초 등이 있으면, 그 마지막 온전한 도수와 마주 놓인 차분을 ‘더하라’ 또는 ‘빼라’라는 표제와 함께 취하라. 관례대로 60에 대한 비례를 세워 비례부분을 구하고, 그것을 균차에 더하거나 거기서 빼라. 이렇게 조정한 균차를 마지막으로 앞서 말한 대로 태양의 평균운동에 더하거나 거기서 빼면 구하던 것을 얻게 된다.

균차의 가감 표지

균차를 어떤 때에는 태양의 평균운동에 더하고 어떤 때에는 거기서 빼는 이유는 원저자의 본문에 충분히 분명하게 드러나 있다. 앞의 표에 있는 차분 열의 덧셈·뺄셈 표지도 쉽게 배열할 수 있다. 다음 균차의 각이 앞의 것보다 큰지 작은지를 주의하여 살피면 된다. 더 크면 차분 열의 머리에 표지 B를 붙이고, 더 작으면 표지 N을 붙여라.

이 기술을 처음 배우는 사람들에게 모든 것이 더 분명해지도록, 우리의 예를 다시 들고 전체를 하나의 일반 도해로 보여 주기로 하였다. B를 양자리의 시작점으로 삼자.

가스파르 아를루누스의 예 — 원호별 값

BCH는 태양 평균운동의 원호이다. 그 값은 3사인 5도 30분 51초 40삼분 36사분이다.

BC는 두 번째 의미에서의 아우게 원호이다. 그 값은 3사인 1도 34분 58초 14삼분 2사분이며, 태양의 평균운동에서 빼야 한다.

이 예에서 DGH는 아르구멘툼의 원호로, 0사인 3도 55분 53초 26삼분 34사분이다.

GH는 균차의 원호로, 대략 0도 8분 26초 9삼분 54사분이다. 이것을 태양의 평균운동에서 빼야 한다.

BG는 진운동의 원호로, 3사인 5도 22분 25초 30삼분 42사분이다. 가스파르 아를루누스가 태어났을 때 태양 천구의 배치는 이와 같았다는 것이다.

태양 천구의 배치 도해

두 중심에서 나온 선들이 바깥 원호와 태양의 여러 위치에 연결되어 있다. 도해 주위 본문은 BCH를 평균운동, BC를 아우게, DGH를 아르구멘툼, GH를 균차, BG를 진운동의 원호로 설명한다. 각 원호의 수치는 바로 앞의 번역에 보존하였다.

공통 아우게의 위치를 구하는 법

임의의 시각에 공통 아우게의 위치를 구하는 법. 각 행성의 고유한 아우게는 이 공통 아우게에서 구해진다.

태양의 아우게를 찾기 위하여 고정별의 운동을 계산하려면, 먼저 온전히 지난 해의 수를 살피고 그 해수로 제9천구 운동표에 들어가라. 태양 운동에서 했던 것처럼 거기 기록된 운동값들을 더하면 제9천구의 평균운동, 곧 고정별의 평균운동이 나온다. 이 운동이 어디서 시작하고 어디서 끝나는지는 제8천구 주석에서 충분히 설명하겠다.

그런데 전진과 후퇴의 평균운동을 알아보려면 더 세심하고 정확하게 계산해야 한다. 그 운동이 앞의 운동보다 더 빠르기 때문이다. 곧 태양 운동에서 했듯이 그리스도 기원과 구하려는 해 사이에 온전히 지난 해의 수를 살펴라. 그 해수로 제8천구 평균운동표에 들어가 기록된 운동값들을 알맞게 더하면 제8천구의 평균운동이 나온다. 이 운동은 그 천구의 아르구멘툼이라고도 부른다.

같은 출생 시각의 고정별 평균운동

나는 가스파르 아를루누스가 세상에 태어났을 때 고정별의 평균운동이 얼마였는지를 알고자 한다. 곧 그때 제9천구의 양자리 머리에 해당하는 점이 춘분점, 즉 제10천구의 양자리 점에서 얼마나 떨어져 있었는지를 알고자 하는 것이다.

이를 구하려고 조금 앞에서 설명한 방식에 따라 해당 출생 때까지 온전히 지난 1543년을 가지고 천구 평균운동표에 들어갔다. 먼저 1500년으로, 다음에는 43년으로 들어갔으며, 이어 5개월, 17일, 1시간, 24분을 취하였다. 이 값들을 합하여 구하려던 평균운동이 나왔다. 그것은 이 지극히 현명한 인물이 태어났을 때, 제10천구 위에서 제10천구와 제9천구의 양자리 시작점 사이에 있는 원호이다.

전진·후퇴 균차를 적용하는 순서

주어진 시각에 제8천구 전진·후퇴의 평균운동, 곧 그 천구의 평균 아르구멘툼을 구하는 경우도 크게 다르지 않다. 다음 도해의 원호 EM이 그것이다. 앞의 계산 규칙에서 이를 알 수 있다.

그런 다음 제8천구의 운동값을 그 제8천구 원의 균차표에 넣어라. 앞에서 설명했듯이 사인 수는 표의 위나 아래에서, 도수는 옆쪽 숫자 열에서 찾는다. 둘이 만나는 자리에서 그 각에 해당하는 균차를 취하여 덧셈 또는 뺄셈이라는 표제와 함께 자릿값에 맞추어 따로 적고, 양쪽의 차분도 적절한 자리에 균차 아래 써라.

다음에는 앞서 제시한 곱셈으로 비례부분을 구하라. 이것은 분과 그 이하의 분수 단위에 대응하는 제8천구의 균차이다. 표에는 온전한 도수에 해당하는 균차만 실려 있기 때문이다. 실제 계산에서는 도수 외에도 분과 다른 분수 단위가 있는 일이 흔하다. 이들에 비례하는 수로 필요한 균차를 구하는데, 그것을 비례부분이라고 부르겠다. 이 값은 언제나 해당 표제와 함께 앞서 구한 균차 아래 알맞은 자리에 적어 둔다.

차분 표제가 요구하는 대로 이 비례부분을 앞의 균차에 더하거나 거기서 빼면 조정된 균차가 나온다. 마지막으로 균차의 표제가 지시하는 대로 이 조정된 균차를 이미 구해 둔 아우게와 고정별의 평균운동에 더하거나 거기서 빼라. 그러면 주어진 시각의 공통 아우게를 구한 것이다.

이 공통 아우게를 각 행성의 그리스도 기원 아우게 기준값에 더하라. 그 기준값은 첨부한 표에 보인다. 그러면 지금 계산하고 있는 행성의 고유한 아우게를 얻는다.

그리스도 강생 기원의 행성 아우게 기준값

Radices augium planetarum incarnationis Christi. 열 *s., gra., min., sec.*는 사인·도·분·초이다.

공통 아우게 계산 예의 도입

그러나 여기에 예를 덧붙이면 더 분명하게 배울 수 있을 것이다. 나는 앞에서 말한 그 시각의 공통 아우게를 구하려고 한다. 그 계산은 다음과 같다.

아우게와 고정별의 평균운동 합산

열 *s., gra., min., sec., ter., quar.*는 사인·도·분·초·삼분·사분이다. 삼분과 사분은 각각 앞 단위의 60분의 1이다.

같은 시각의 전진·후퇴 운동 합산

원문 차이: 앞면 산문은 24분을 계산에 넣었다고 서술하지만, 이 두 표의 행명에는 각각 21분과 22분으로 인쇄되어 있다. 양쪽 표의 원문을 그대로 보존했다. 전진·후퇴표 1시간 행의 초 자리에서 주저본은 검은 먹뭉침이 있으나, 같은 표의 대조사본에서 0이 명료하여 그 글자만 대조 보완했다. 합계의 비정상 여부를 산술로 정규화하지 않았다.

균차의 비례부분과 태양 아우게의 결과

이제 제8천구의 전진·후퇴 균차표에서 떨림운동의 사인 수인 2를 찾는다. 이것은 표의 위쪽에 보인다. 도수는 숫자 열을 아래로 따라가며 18을 찾는다. 두 항목이 만나는 자리에서 8도 48분 5초로 놓인 균차를 덧셈이라는 표제와 함께 취한다. 가감 표지는 언제나 온전한 사인 수가 있는 쪽에서 취해야 한다.

여기서 차분은 1분 54초이다. 표에 직접 넣을 수 없었던 나머지가 있으므로, 거기서 1분 7초 15삼분 58사분이라는 비례부분이 나온다. 이를 구한 뒤 표제의 표지가 지시하는 대로 균차에 더하면, 조정된 균차 8도 49분 12초 15삼분 58사분이 나온다.

이 균차의 표제도 덧셈을 뜻하므로, 이것을 아우게와 고정별의 운동에 더한다. 그러면 앞서 정한 시각의 공통 아우게 운동은 20도 9분 35초 14삼분 2사분이 된다. 나아가 그 행성의 개별적이고 고유한 아우게가 필요하면, 그리스도 기원 아우게 표에서 그 행성의 기준값을 취하여 여기에 더하라. 그러면 예에서 드러나는 것처럼 구하려던 것이 확정된다. 이런 방법으로 찾은 태양의 아우게는 3사인 1도 34분 8초이며, 그 밖의 값도 나타난다.

전진·후퇴 도해의 설명

설명.

제1운동천의 황도는 ABI이다. 그 천구의 양자리 시작점은 A이다. 제9천구의 양자리 시작점이자 작은 원의 중심은 B이다. 사인의 순서는 A에서 B를 지나 I로 간다.

제8천구의 양자리가 제9천구의 양자리 둘레에 그리는 원은 DKEI이다. 그 가운데 D는 가장 북쪽에 있는 점이다.

아우게와 고정별의 평균운동은 황도의 원호 AB이다. 제8천구의 양자리가 F점에 있을 때 전진·후퇴의 평균운동은 작은 원의 원호 DF이다.

이 전진·후퇴 운동의 균차는 황도의 원호 BH이다. 전진운동이 아직 6사인에 이르지 않았을 동안에는 언제나 이것을 더해야 한다. 6사인이나 그 이상이면, 이 균차를 아우게와 고정별의 평균운동에서 빼야 하며, 그렇게 하여 진운동이 나온다.

전진·후퇴와 아우게·고정별 운동 도형

• MERIDIES — 남쪽.
• ORIENS — 동쪽.
• OCCIDENS — 서쪽.

Tabula Augium, & stellarum fixarum: 아우게와 고정별의 표.

인쇄 31쪽 — 100년 단위 및 낱년 1–84

왼쪽 구획의 Anni는 연수이다. 행은 100년부터 3000년까지 100년 간격, 총 30행이며 수치 여섯 열은 **사인(s.)·도(gra.)·분(mi.)·초(sec.)·삼분(ter.)·사분(4.)**이다.

가운데 구획은 낱년 1–42, 오른쪽 구획은 낱년 43–84, 각각 42행이다. 수치 네 열은 **분(mi.)·초(sec.)·삼분(ter.)·사분(4.)**이다. 연수 옆 B는 윤년 표시로, 4년 간격으로 붙는다. 원상에서 먹번짐이 있는 기호도 이미지 그대로 보존한다.

기준시점: 이 기준값들은 그리스도의 탄생 직후에 오는 12월의 마지막 날 정오를 기준으로, 피렌체시의 자오선에 맞추어 정하였다고 한다. (Radices has constitutas esse dicimus ad meridiem ultimi diei Decembris, proxime sequētis Nativitatem Christi, ad meridianum Florētiae civitatis.)

인쇄 32쪽 왼쪽 — 낱년 85–100과 월별 값

• 낱년 85–100: 16행. 열은 연수(Anni)·분(min.)·초(sec.)·삼분(ter.)·사분(quar.). 윤년 B 표시는 88·92·96·100년에 붙는다.
• 평년의 월들(Menses communes): 12행. 각 월 뒤 수치 세 열은 초·삼분·사분이며 위 연수표의 분 열에 대응하는 자리는 월명 쪽에 들어간다.
• 윤년의 월들(Menses bisextiles): 같은 세 수치 열, 12행.
• 두 월표의 행 순서: 1월(Ianuarius), 2월(Februarius), 3월(Martius), 4월(Aprilis), 5월(Maius), 6월(Iunius), 7월(Iulius), 8월(Augustus), 9월(September), 10월(October), 11월(Nouember), 12월(December).

인쇄 32쪽 오른쪽 — 일·시간·분

• 일수(Dies): 1–31일, 31행. 수치 열은 초(sec.)·삼분(ter.)·사분(quar.).
• 시간(Horae): 1–30시간, 30행. 수치 열은 삼분(ter.)·사분(quar.).
• 분(minut.): 31–60분, 30행. 수치 열은 사분(quar.)·오분(quint.). 각 구획의 실제 머리와 행 번호를 그대로 보존하며 시간표와 분표의 연속된 숫자를 임의로 다시 번호 매기지 않는다.

시간표 아래 단위 재지정:

삼분·사분·오분·육분은 각각 앞 단계 단위의 60분의 1이다. 행 입력값의 시간 단위와 표의 각도 세분 단위는 구별한다.

표제와 단위

Tabula accessus & recessus octauae sphaerae: 제8천구의 전진·후퇴 표. Anni: 연수. s.: 사인, gra./gr.: 도, mi.: 분, sec.: 초, ter.: 삼분, 4./quar.: 사분. 삼분은 초의 60분의 1, 사분은 삼분의 60분의 1이다. 연수 옆 B는 윤년을 나타낸다. 원판에서 먹뭉침처럼 보이는 표지도 임의로 삭제하지 않는다.

100년 단위 기준값, 1–84년 및 기준시점

왼쪽 표는 100–3000년의 30행이며 사인·도·분·초·삼분·사분 여섯 수치 열이다. 가운데는 1–42년, 오른쪽은 43–84년이며 각각 도·분·초·삼분·사분 다섯 수치 열이다. 총 600개 본표 수치 칸을 보존한다.

원문 주기: 이 기준값들은 그리스도의 탄생 직후에 이어지는 12월 마지막 날 정오를 기준으로, 피렌체시의 자오선에 맞추어 정한 것이라고 말해 둔다.

왼쪽 아래 radix Augis Solis는 태양 아우게의 기준값이다. 인쇄된 여섯 값은 2사인 11도 25분 23초 0삼분 0사분이다.

85–100년, 월·일·시간·분

• 왼쪽 위: 85–100년, 16행×5열(도·분·초·삼분·사분).
• Menses communes: 평년의 월들. Menses bissextiles: 윤년의 월들. 각 12행이다. 월명은 위에서부터 1월·2월·3월·4월·5월·6월·7월·8월·9월·10월·11월·12월(Ianuarius, Februarius, Martius, Aprilis, Maius, Iunius, Iulius, Augustus, September, October, Nouember, December). 월 표의 네 수치 열은 분·초·삼분·사분이며, 연수 표와 단위가 다르다.
• Dies: 일수, 1–31일의 31행. 수치 열은 초·삼분·사분.
• Horae: 시간, 원판 표제 아래 1–30의 30행. 수치 열은 초·삼분·사분. 표제를 근거 없이 분으로 바꾸지 않는다.
• m.: 분, 31–60의 30행. 수치 열은 초·삼분·사분.

Tabula aequationum octauae sphaerae: 제8천구의 균차표.

세 묶음은 각각 30행이다. 각 묶음의 수치 열은 균차 도(gra.)·분(mi.)·초(sec.), 차분 **분(min.)·초(secun.)**의 다섯 열이다. *grad./gr.*는 양쪽의 도수 행표지이다. 위쪽 사인을 사용할 때 왼쪽 도수1–30을 위에서 아래로, 아래쪽 사인을 사용할 때 오른쪽 도수29–0을 아래에서 위로 읽는다. 숫자·빈칸·인쇄상 먹뭉침은 그대로 보존한다.

행성 고유의 아우게를 얻는 법

공통 아우게에 아래의 아우게 기준값들을 더하면, 각 행성 고유의 아우게가 나온다.

원표 머리는 *supra. gra. min. sec. ter.*로 보인다. 첫 열은 사인 수에 해당하며, 원판의 supra. 표기는 별도로 보존한다. 나머지는 도·분·초·삼분이다.

행성의 평균 센트룸을 계산하기

태양의 아르구멘툼은 금성의 센트룸이다.

수성·화성·목성·토성은 각각의 평균운동에서 그 행성 고유의 아우게를 빼라. 그러면 각각의 평균 센트룸이 나온다.

달의 평균운동에서 태양의 평균운동을 빼라. 그러면 이각, 곧 거리가 나오며, 이를 두 배로 한 것이 달의 평균 센트룸이라고 불린다.

행성의 평균 아르구멘툼을 구하기

태양의 평균 아르구멘툼은 태양의 평균운동에서 그 고유의 아우게를 빼면 나온다.

달·금성·수성의 평균 아르구멘툼은 평균운동을 구할 때와 같이, 각각의 고유한 표에서 취한다.

토성·목성·화성의 평균 아르구멘툼은 태양의 평균운동에서 각 행성의 평균운동을 빼면 나온다.

달에 관하여 — 제1부: 천구각과 중심

달에는 네 천구각과 하나의 작은 구가 있다. 먼저 태양의 경우와 같은 도형으로 배열된 세 천구각이 있다. 곧 어떤 면에서 이심인 두 천구각은 달 이심원의 아우게를 운반하는 천구각이라 불린다. 이 둘 사이에 놓인 셋째 천구각은 전적으로 이심이며, 주전원을 운반하는 천구각이라 불린다.

다음으로 세계와 동심인 천구각이 있다. 이것은 나머지 세 천구각의 결합체를 둘러싸며, 용의 머리를 운반하는 천구각이라 한다. 마지막으로 주전원이라 불리는 작은 구가 셋째 천구각의 두께 속에 잠겨 있다. 달의 몸체는 바로 이 주전원에 고정되어 있다.

도형 해설(Scholia)

• S: 이심원의 중심.
• T: 세계의 중심.
• V: 이심원의 중심과 지름을 사이에 두고 마주 놓인 점.
• G와 H·K: 두 개의 두께가 고르지 않은 천구층.
• F·M: 주전원을 운반하는 이심천구층.
• D·E: 용의 머리와 꼬리를 운반하는 넷째 천구층.

F 근처의 주전원은 이심원의 두께를 차지하며, 그 중심은 F이다. 달은 주전원의 표면에 고정된 채 운반된다. F 근처의 검은 표지가 이를 보여 준다. 용어: 주전원

주석 — 달 이론의 구성과 두 가지 추가 요소

저자는 두 번째 이론인 달 이론에서 세 가지 일을 한다. 먼저 달 천구를 이루는 부분들을 다룬다. 둘째로 “아우게를 운반하는 것은 움직인다”에서 그 실재적 부수성을 다루며, 셋째로 “그러므로 달의 평균운동선은”에서 상정된 부수성을 다룬다.

제1부에 관하여 먼저 주목할 것은, 달의 천구가 태양에 설정한 세 천구각에서는 태양의 천구와 일치하지만 두 요소에서 다르다는 점이다. 하나는 저자가 ‘작은 구’라고 부르는 주전원이고, 다른 하나는 세 천구각을 둘러싸는 별도의 천구각이다. 이 별도 천구각은 달의 천구에 속한 것 가운데 가장 크며, 전적으로, 곧 모든 표면에서 세계와 동심이다. 그것은 아래쪽 것의 볼록한 표면 및 위쪽 것의 오목한 표면과 맞닿는데, 그 두 표면은 모두 세계와 동심이기 때문이다.

주전원과, 그것이 달에는 필요하고 태양에는 필요하지 않은 까닭은 『천구론』 주석의 제4장에서 다룰 것이다. 한편 세계와 동심인 이 별도의 넷째 천구각을 설정해야 하는 까닭은 용의 머리와 꼬리의 운동에 원인을 부여하기 위해서였다. 이에 관해서는 곧 말하겠다.

주석 — 작은 구와 천구각이라는 이름

둘째로 주목할 것은, 앞에서 말했듯 주전원을 설정하는 방식이 두 가지인데, 이 저자는 더 합리적인 방식을 따른다는 점이다. 그는 “주전원이라 불리는 작은 구가 잠겨 있다”라고 한다. 곧 셋째 천구각의 두께 속에 완전히, 깊숙이 잠겨 있다는 말이다. 프톨레마이오스는 이 주전원을 별들을 회전시키는 천구각이라고 부른다.

셋째로, 저자가 앞에서 이것을 천구각이라고 부르지 않고 오히려 천구각과 구별했다는 점에 주목해야 한다. orbis라는 말은 두 방식으로 받아들일 수 있기 때문이다. 엄밀한 뜻으로는 이심이든 동심이든 세계의 중심을 둘러싸는 구만을 가리킨다. 주전원은 그 중심을 둘러싸지 않고 완전히 세계의 중심 밖에 떨어져 있으므로, 이 뜻의 orbis로 받아들일 때 저자는 그것을 천구각이라 부르지 않았다.

둘째 방식으로는, 행성의 운동을 위해 마련된 모든 천체를 더 넓은 뜻으로 orbis라 할 수 있다. 세계의 중심을 둘러싸든 그렇지 않든 마찬가지이다. 이 뜻에서는 주전원을 작은 천구각이라 한다. 이 사항들은 거의 모두 태양 이론에서 알려졌으므로, 여기서는 예시 도형으로만 설명하겠다.

주석 — 달의 다섯 요소를 도형으로 설명함

T를 세계의 중심, S를 이심원의 중심이라 하자. IHK와 G는 그림에서 보이듯 두께가 고르지 않은 두 천구각으로, 태양의 경우와 같이 아우게를 운반한다. 그 사이에는 중심이 S이고 두께가 고르며 주전원을 운반하는 이심천구각 M이 놓인다. 넷째는 바깥쪽 위에 있는 천구각 DE로, 동심이고 두께가 고르며 ‘용을 운반하는 것’이라 불린다.

마지막은 작은 천구각, 곧 주전원 F이다. 그 중심은 그 한가운데에 있으며, 운반천구각의 오목한 표면에서 주전원의 볼록한 표면 크기에 맞는 곳에 놓인다. 앞으로 보게 되듯 그것은 그곳에서 원운동을 하며, F에서처럼 그 가장자리에 고정된 달을 위쪽과 아래쪽으로 움직여 운반한다.

설명하여 정의하자면 주전원은 그 중심이 세계의 중심이 아니고, 세계의 중심을 둘러싸지도 않는 작은 천구각이다. 이심원도 세계의 중심과 다른 중심을 가지지만, 앞 이론에서 말했듯 세계의 중심을 둘러싸기는 한다. 반면 주전원은 세계의 중심을 전혀 둘러싸지 않고 완전히 그 밖에 있다. 이 점에서 주전원과 이심원은 다르다. 용어: 주전원

주석 — 철학자의 반론과 용의 머리 운반천구각의 발견

그러나 철학자들은 세계의 중심과 다른 중심을 지닌 천구각이 있다는 것을 인정하지 않는다. 더구나 앞서 설명한 주전원처럼, 세계의 중심 밖에 완전히 놓여 그 중심을 전혀 둘러싸지 않는 것이라면 더욱 그러하다. 따라서 이제 주전원이라 불리는 이 천구각이 있는지, 그것을 설정해야 하는 까닭이 무엇인지 살펴보아야 한다. 이심원을 무너뜨리는 듯하고 주전원을 부정하는 주석자 아베로에스의 논거는 거의 모두 우리의 『천구론』 주석 제4장에서 해결하였다. 거기서 볼 수 있으므로 여기서는 되풀이하지 않겠다.

용의 머리를 운반하는 천구각과 작은 구, 곧 주전원들을 어떻게 발견하였는지 이제 간단히 설명하겠다. 용의 머리 운반천구각은 다음과 같이 알아내었다. 황도대에서 식이 일어나는 위치를 관측하자 그 위치들이 바뀌며, 그 변화가 사인의 순서와 반대 방향으로 일어남을 발견했다. 예를 들어 어느 해 9월에 양자리의 시작에서 월식이 일어났다가, 몇 해가 지나 같은 달에 다시 월식이 일어나면 양자리의 시작이 아니라 그 근처, 곧 물고기자리의 끝이나 물병자리의 중간에서 일어나는 것을 발견했다.

이러한 변화를 보존하여 설명하기 위해, 달의 천구 안에 전체 결합체를 둘러싸고 세계와 동심인 천구각을 설정하게 되었다. 이 천구각은 교점들, 곧 용의 머리를 황도대 아래의 다른 위치들로 옮겨 간다. 실물로 만든 달 천구 모형을 사용하면 이것은 쉽게 그려 볼 수 있다.

주석 — 주전원을 설정하는 첫째 이유: 빠르기의 변화

주전원의 발견에는 세 가지 주요 이유를 들 수 있다. 첫째는 달 운동의 빠르기에서 취한다. 달의 운동을 관측하였을 때, 달이 때로는 더 빠르고 때로는 더 느리게 움직인다는 것을 분명히 보았다. 태양에서도 그런 일이 생겨, 이미 여러 번 말했듯 아우게 부근에서는 더 느리고 그 맞은편에서는 더 빠르게 움직인다. 그러나 달에서는 사정이 매우 다르다. 달은 자기 이심원의 아우게에 있을 때에도 어떤 때는 느리고 어떤 때는 빠르게 움직이며, 아우게의 맞은편에서도 마찬가지임이 관측되었기 때문이다.

그들은 이것이 다음과 같은 천구각을 설정하지 않고서는 생길 수 없다고 결론지었다. 곧 그 자체 전체가 세계의 중심 밖에 있고, 이심원 안에서 움직이되 위쪽 부분에서는 사인의 순서와 반대로, 아래쪽 부분에서는 사인의 순서대로 움직이는 천구각이다. 달이 아래쪽 부분에 있으면, 늘 사인의 순서대로 움직이는 운반천구각과 같은 방향의 운동을 한다. 이때 두 운동이 같은 방향으로 합쳐지므로, 달이 자기 이심원의 아우게에 있더라도 그 운동은 더 빠르게 보일 것이다. 반대로 주전원의 위쪽 부분에 있으면 그와 반대가 된다.

주석 — 둘째 이유: 달과 지구 사이의 거리

둘째 이유는 달이 지구의 중심에 가까워지고 멀어지는 데서 취한다. 달의 몸체가 단지 이심원 또는 동심원에서 회전하고, 또 [원문 연결 불명료] 태양의 경우처럼 그 반지름이 이심량과 같은 주전원에 있다면, 자기 이심원의 아우게에 있을 때에는 태양과 마찬가지로 지구의 중심에서 가장 멀리 있어야 할 것이다.

그러나 옛 수학자들은 달이 자기 이심원의 아우게에 있을 때 관측하여, 달이 지구에 어떤 때는 더 가깝고 어떤 때는 더 멀다는 것을 발견했다. 이에 따라 달은 태양처럼 이심원에서 운반되는 것이 아니라, 전체가 세계의 중심 밖에 놓인 다른 어떤 원에서 운반된다고 결론지었다.

도형 해설(Scholia)

• A: 세계의 중심(Centrum mundi).
• B: 이퀀트의 중심(Centrum aequantis).
• C: 원의 일부의 중심(Centrum partis circuli). 원문의 이 표현을 ‘주전원의 중심’ 등으로 임의 대체하지 않는다.
• D: 이심원의 중심(Centrum eccentrici).
• E: 이심원 원지점의 맞은편(Oppositum Augis eccentrici).
• F: 이심원의 아포게온(Apogeon eccentrici).

주석 — 같은 아우게에서도 달의 거리가 달라지는 예

첫째 원은 A점에서 세계와 동심이라고 하자. EF는 전체가 흰색으로 된 이심원이며, 그 중심 D는 세계의 중심 A 밖에 있다. 달이 주전원에서 움직이지 않는다면, 아우게, 곧 주전원의 가운데인 F점에 있을 때 틀림없이 지구에서 가장 멀고, 반대쪽 E점에서는 지구에 가장 가까울 것이다.

그러나 실제로는 그와 달리, 달이 아우게에 있을 때에도 지구와의 거리가 같지 않다. 주전원에서 F보다 위에 있으면 F점에 있을 때보다 훨씬 멀리 보이고, 다시 F점에 있을 때에는 주전원에서 F점보다 아래에 있을 때보다 멀리 보인다. 이심원에서 운반되는 태양에서는 이런 일이 생기지 않는다. 태양은 아우게에 있을 때 가장 멀고, 그 맞은편에 있을 때 지구에 가장 가깝다. 따라서 주전원을 설정하지 않고서는 달의 운동을 보존하여 설명할 수 없다.

주석 — 셋째 이유: 식의 지속 시간이 달라짐

달이 주전원에서 운반된다는 셋째 이유는 식의 지속 시간에서 취한다. 옛 천체 관측자들이 두 식의 지속 시간을 비교하였을 때, 두 식 모두에서 태양과 달이 용의 머리·꼬리에 대하여 같은 배치에 있는데도 한 식이 다른 식보다 더 오래 지속된다는 것을 발견했다. 이는 한 식에서는 달이 다른 식에서보다 더 큰 지구 그림자 안으로 들어갔다는 것 외에 다른 이유로는 설명될 수 없었다. 이 때문에 그들은 달이 단지 이심원에서만 회전하는 것이 아니라, 이심원과 주전원에서 함께 회전한다고 주장하게 되었다.

달이 단지 이심원에서 운반된다면, 용의 머리와 꼬리에 대한 달과 태양의 배치가 서로 같은 식들은 틀림없이 같은 시간 동안 지속될 것이다. 달은 합일 때나 충일 때나 늘 자기 운반원의 아우게에 놓이기 때문이다. 지구의 그림자가 원뿔이라는 것은 『광학』 제23명제에서 얻어진다. 거기서는 더 작은 어두운 물체, 곧 불투명한 물체가 더 큰 발광체와 마주 놓이면, 불투명한 물체에서 원뿔 모양 그림자가 생기며 그 물체에서 멀어질수록 그림자가 작아진다는 것을 증명한다. 아래 도형에서 이를 볼 수 있다.

이 문제는 우리가 요하네스 데 사크로 보스코의 『천구론』 제4장에 쓴 주석에서 충분히 다루었다. 더 살펴보려는 독자는 그 주석을 보라. 이제 서로 다른 때에 바로 용의 머리에서 두 식이 일어난다고 하자. 달의 몸체가 단지 이심원에서 운반된다면, 한 식이 다른 식보다 오래 지속하지 않고 둘의 지속 시간이 같아야 한다는 것은 확실하다. 태양이 자기 아우게에 있을 때 어느 때의 운동이 다른 때보다 더 빠르지 않은 것과 같다.

길게 말할 필요가 있겠는가? 같은 배치에서 일어나는 식들의 지속 시간이 같지 않다는 것은 우리에게도 옛사람들에게도 분명하다. 그 까닭은 달이 지구에서 떨어진 거리에 따라 어떤 때는 더 큰 지구 그림자에, 어떤 때는 더 작은 그림자에 들어가기 때문이다. 주전원 아우게의 맞은편, 곧 지구 쪽에서 일어나는 식은 주전원의 아우게 자체에서 일어나는 식보다 더 오래 지속된다. 이것은 달의 주전원 운동 외의 다른 이유로는 일어날 수 없다. 이 세 이유로부터, 옛 수학자들이 왜 달이 세계의 중심에서 완전히 벗어난 어떤 원에서 움직인다고 생각했는지는 충분히 분명하다.

• SOL: 태양.
• Deliquium Solis: 일식.
• Defectus Lunae: 월식.
• 원도의 A·B·C와 천체·그림자 위치를 보존한다.

• Terra: 지구.
• 위쪽 태양과 지구 뒤 그림자, 여러 위치의 달을 원형 그대로 보존한다.

주석 — 달의 밝기에 관한 반론과 답변

그러나 다음과 같은 의문이 제기된다. 철학자들은 달의 본성이 지구의 본성과 비슷하다고 보는데, 다른 별들에는 보이지 않는 달의 얼룩이 이를 드러낸다고 한다. 따라서 지구가 원소들의 찌꺼기로서 불투명하고 빛을 지니지 않는 것처럼, 달도 다른 행성들에 대하여 그러할 것이다. 그렇다면 달이 어떻게 더 많은 빛을 나누어 받을 수 있겠는가?

이에 대해서는 이렇게 답한다. 점성가들은 철학자들보다 감각과 겉모습에 따라 사물을 더 많이 살핀다. 달은 나머지 다섯 행성보다 더 큰 빛을 지닌 듯 보이는데, 그것이 사물의 참모습에서 실제로 그러한지, 아니면 가까이 있기 때문에 그렇게 보이는지는 그들의 관심사가 아니다. 달이 다른 행성들보다 지구에서 더 멀리 있다면 그 거리 때문에 지금처럼 많은 빛을 보이지도, 그처럼 밝게 나타나지도 않을 것이다. 그러므로 달이 더 큰 빛을 지녔다는 것은 절대적으로 그러하다는 뜻이 아니라, 가까이 있기 때문에 그러하다는 뜻이다.

반면 철학자들은 단지 눈에 보이는 것만으로 판단하지 않는다. 감각은 가까움이나 멂 때문에 사물의 크기를 실제보다 더 크거나 작게 판단하며 속기 때문이다. 감각은 달이 다른 다섯 행성보다 더 크고 달빛도 그들의 빛보다 더 강하다고 판단하지만, 실제로는 그렇지 않다. 철학자들은 이성에 따라 살핀다. 이성이 달은 나머지 행성들보다 덜 고귀하다고 결론짓기 때문에, 달은 가장 낮고 빛에 관해서도 그들보다 덜 존귀하다고 불린다.

따라서 감각에 따라 살피는 점성가들과 이성 및 참모습에 따라 살피는 철학자들이 서로 모순되는 것은 아니다. 점성가들은 달의 작용과 가까움에 따라 달이 어떻게 나타나는지를 살핀다. 이러한 방식에서는 달이 다른 행성들보다 더 존귀하므로, 저자가 태양 다음에 달을 다루는 것은 마땅하다.

주석 — 운동 논의의 네 갈래

이어서 저자가 “운반하는 것들은 움직인다”라고 말하는 곳에서는 달 천구의 실재적 부수성, 곧 그 운동들을 운동의 주체들과 관련지어 다룬다. 여기서는 네 가지 일을 한다. 첫째로 달의 운반천구각을 둘러싸며 그 이심원, 곧 운반원의 아우게를 운반하는 두 천구각의 운동을 다룬다. 둘째로 “한편 천구각은”에서 주전원을 운반하는 천구각의 운동을 다룬다. 셋째로 “그러나 넷째 천구각은”에서 나머지 세 천구각의 결합체를 둘러싸는 넷째 천구각의 운동을 다룬다. 넷째로 “한편 주전원은”에서 주전원의 운동을 다룬다. 첫째에 관해서는 다음과 같이 말한다.

달 이론 제2부 — 주기 운동·축·극: 아우게 운반체의 운동

제2부는 주기 운동과 축, 극을 다룬다.

I. 이심원의 아우게를 운반하는 것들의 운동.

이심원의 아우게를 운반하는 것들은 세계의 중심을 기준으로, 사인의 순서와 반대로 함께 규칙적으로 움직인다. 일주운동 외에 자연일 하루 동안 약 11도 12분을 움직인다. 이 운동의 축은 세계의 중심에서 황도대의 축과 교차한다. 따라서 그 극들도 황도대의 극에서 기울어져 있으며, 그 기울기는 언제나 변하지 않는 5도이다.

주석 — 반대 방향의 두 아우게 운반천구각

이 부분에서 “사인의 순서와 반대로”라는 말은 서쪽을 향한다는 뜻임에 주목하라. 태양 이심원의 아우게를 운반하는 천구각들에 대해서는 이와 반대로 말하였다. “함께”라고 한 것은 하나가 움직이는 만큼 다른 하나도 움직이기 때문이다. 따라서 하나의 더 넓은 부분이 언제나 다른 하나의 더 좁은 부분에 대응하며, 거꾸로도 마찬가지이다.

주석 — 세계의 중심에서 만나는 축과 극의 거리

“세계의 중심을 기준으로 규칙적으로”라고 한 것은 세계의 중심이 그 두 천구각의 고유한 중심이기 때문이다. 그들은 전적으로 이심인 것이 아니다. 위쪽 것은 아래쪽 표면에서만, 아래쪽 것은 위쪽 표면에서만 이심이다. 따라서 둘과 그 중간의 것을 합한 전체는 바깥 표면과 안쪽 표면에 관해서 세계와 동심이다.

이 운동은 동쪽에서 서쪽으로 향하지만 황도대의 극이나 축을 기준으로 이루어지지는 않는다. 황도대의 축이 세계의 중심에서 분점원의 축, 곧 세계의 축과 교차하고 그 극들이 세계의 극에서 기울어져 있는 것처럼, 이 축도 같은 세계의 중심에서 분점원 및 황도대의 축과 교차한다. 그 극들과 황도대의 극 사이 거리는 이 도형과 같다. 황도대의 극이 세계의 극에서 23도 30분 떨어져 있듯, 이 극들은 황도대의 극에서 약 5도 기울어진 거리를 언제나 변함없이 유지한다. 그 극들 주위를 같은 거리를 유지하며 움직이기 때문이다. 세계의 극과의 거리는 28도 30분이다.

이 축들이 세계의 중심에서 서로 만나는 것은, 그 중심을 기준으로 움직이는 천구각들이 앞서 설명했듯 세계와 동심이기 때문이다.

주석 — 아우게의 서향 운동을 도입한 까닭

이심원의 아우게를 운반하는 것들에 서향 운동, 곧 사인의 순서와 반대인 운동을 도입한 이유는 다음과 같았음에 주목해야 한다. 옛 천문학자들은 달과 지구 사이의 거리를 관측하여, 달이 매달 두 번 지구에 가깝고 두 번 가장 멀다는 것을 발견했다. 그들은 이를 세심하게 그려 보고 따져 보아, 태양의 경우처럼 아우게 운반체가 사인의 순서대로 움직여서는 그런 일이 생길 수 없다고 판단했다. 그래서 이심원의 아우게는 사인의 순서와 반대로 운반되며, 이심원의 중심도 아우게 자체와 같은 빠르기로 세계의 중심 둘레를 돈다고 결론지었다.

주석 — 축·극 도해와 이심량

나머지의 해설로 나아가기 전에 위에 실은 도형을 제시하는 것이 유익하다고 생각했다. 이 학예를 배우는 사람은 그 도형에서 주전원 운반천구각의 극들과 이심원의 아우게 운반체의 극들 사이 거리를 볼 수 있다.

MFG를 용의 머리와 꼬리를 운반하는 것이라 하자. 이것은 뒤에서 다룰 것이며, 제8천구의 축 XTV를 기준으로 움직인다. 그 평면은 직선 RTQ가 나타낸다. DK 천구각들을 이심원의 아우게 운반체들이라 하자. 앞서 말했듯 그 운동은 사인의 순서와 반대로 축 FTI를 기준으로 이루어지며, 그 축은 세계의 중심 T에서 황도대의 축과 만난다. 그들의 평면은 직선 OTP, 극들은 FI라고 하자. 앞서 말했듯 이 극들은 황도대의 극 VX에서 변함없이 5도 떨어져 있다.

ASD를 주전원을 운반하는 것이라 하자. 이것은 축 DSA를 기준으로 사인의 순서대로 움직인다. 이 천구각의 극 A와 D는 이심원의 아우게 운반체의 극 F와 D에서 이심량만큼 떨어져 있다. 그 이심량은 조금 앞에서 10도 19분 등으로 구하였다.

축과 극의 이론 도해

왼쪽 측주 Theorica axium & polorum: 축과 극의 이론.

원형 도형의 글자(반복 표기 포함):

• ORBIS SIGNOR.: 사인들의 원, 곧 황도대.
• POL. ECLIP. S.: 황도의 북극(septentrionalis); POL. ECLIP. M.: 황도의 남극(meridionalis). BG47의 명료한 약기와 독립 판독을 대조하였다.
• AVG. DEFER.: 운반원의 원지점(aux deferentis).
• OPPOS. AVG.: 원지점의 맞은편.
• POL. ECCEN.: 이심원의 극.
• AXIS ECCEN.: 이심원의 축.
• AXIS ORBIVM DEFE…: 운반 천구층들의 축(마지막 어미 약기).
• AXIS ECLIP… 8. SP…: 황도/제8천구의 축(원도 약기).
• 세로 두 표기는 *SVPERF[ICIES] PLANA ECLIP[TICAE]*와 SVPERF[ICIES] PLANA DEFER[ENTIUM], 곧 황도의 평면과 운반체들의 평면이다. BG47 및 본문의 RTQ/OTP 설명과 독립 대조했다. 대괄호 속 라틴어 완성형의 어미는 약기를 풀어 제시한 것이며 실제 인쇄는 약기 상태이다.
• A·B·C·D·E·F·G·H·I·K·L·M·N·O·P·Q·R·S·T·V·X 및 도형의 천체 표지를 보존한다. 본문이 제시한 RTQ·OTP·FTI·DSA 등의 대응은 기존 산문에 옮겨져 있다.

세 선의 AXIS MVNDI: 세계의 축; AXIS ZODIACI: 황도의 축; AXIS AVG[IS] LVNAE: 달 원지점의 축; 교점의 CENTRVM MVNDI: 세계의 중심.

주석 — 주전원 운반체 운동의 두 단계

이어서 “한편 주전원을 운반하는 천구각은”이라고 말하는 곳에서는 운반체의 운동을 다루며 두 가지 일을 한다. 먼저 그 자체를 따로 논하고, 둘째로 “앞서 말한 천구각들은”에서 이 운동과 앞의 운동을 태양 천구의 운동과 비교한다. 첫째 단계에서도 두 가지 일을 한다. 먼저 운반체의 운동을 설명하고, 둘째로 “이것들로부터 따라오는 것은”에서 몇 가지 따름정리를 끌어낸다. 그러므로 먼저 다음과 같이 말한다.

본문 II — 주전원을 운반하는 천구각의 운동

한편 주전원을 운반하는 천구각은 세계의 중심을 기준으로, 사인의 순서대로 규칙적으로 움직인다. 이 운동에 의해 주전원의 중심은 자연일 하루마다 약 13도 11분을 지나간다.

그러나 이 운동의 축은 이 천구각의 중심, 곧 이심원의 중심이라 불리는 점을 지나며, 아우게 운반체들의 축과 나란한 거리를 유지하면서 움직인다. 따라서 이 운동의 극들도 아우게를 운반하는 천구각들의 극에서 이심량만큼 떨어져 있을 것이다.

달의 운반천구각과 태양의 운반천구각의 공통점·차이

여기서 주의할 것은 달의 운반천구각이 태양의 운반천구각과 두 가지 점에서 일치한다는 것이다. 곧 사인들의 순서를 따라 움직인다는 점과 규칙적으로 움직인다는 점이다. 그러나 두 가지 점에서는 다르다. 첫째, 태양의 운반천구각은 더 느리게, 더 긴 시간에 걸쳐 움직인다. 하루의 운동은 약 59분 8초이다. 달의 운반천구각은 날마다 13도 10분 35초를 움직인다. 둘째, 태양의 운반천구각은 자기 중심 둘레에서 규칙적으로 움직이지만, 달의 운반천구각은 다른 중심, 곧 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직인다.

이는 다음과 같은 방식으로 이루어질 수 있다. 이 천구각을 움직이는 지성체가 다른 중심 둘레에서는 규칙적인 운동이 이루어지도록 유의하면서, 그 천구각을 자기 중심 둘레에서는 불규칙하게 움직이는 것이다.

서로 만나지 않는 두 축과 그 둘레의 원운동

어떤 이는 황도대의 축이 적도원의 축과 만나고, 달의 아우게를 운반하는 천구각들의 축이 황도대와 적도원의 축들과 만나는 것처럼, 이 운동의 축, 곧 달의 운반천구각의 축도 아우게를 운반하는 천구각들의 축과 만난다고 생각할 수 있다. 저자는 이런 생각을 물리치면서, 두 축은 만나지 않고 서로 평행하다고 말한다. 두 축이 같은 중심을 지나지 않기 때문이다.

모든 축은 자기 원의 중심을 지난다. 따라서 이심천구각, 곧 주전원을 운반하는 천구각의 중심과 아우게를 운반하는 천구각들의 중심이 다른 것처럼, 그 축들도 떨어져 있어야 하며, 따라서 축의 극들도 떨어져 있어야 한다. 이 축은 저 축의 가까이에서, 또는 그 둘레에서 기둥 모양을 그린다. 그 극들도 다른 극들의 가까이에서, 또는 그 둘레에서 원들을 그린다. 이는 앞의 이론에서 비슷한 경우에 관하여 말한 바와 같다.

식의 간격으로 구하는 달의 하루 황경 운동

옛사람들이 달의 하루 황경 운동을 찾아내는 데 매우 많은 노력을 기울였다는 점에 주의해야 한다. 이는 프톨레마이오스 제4권 제2장에서 볼 수 있다. 그들은 달의 하루 황경 운동량을 구하기 위해, 두 식에서 달이 주전원 안에서 같은 속도로 움직였던 두 식을 골랐다. 이로부터 두 번째 식 때 달이 자기 원에서 첫 번째 식 때 있었던 점으로 돌아왔다고 추론하였다.

그들이 찾아낸 이 간격은 126,007일과 한 시간이며, 그 사이에는 달의 달이 4,267번 있었다. 이 간격의 날수를 달의 수로 나누면 달의 한 달 길이는 약 29일 31분 50초가 된다. 이 한 달의 분수 일수를 태양의 하루 운동인 0도 59분 8초와 곱하고, 그 곱에 원 하나 전체, 곧 360도를 더하면 약 389도 6분 23초가 나온다. 다시 이 도수를 한 달의 날수, 곧 29일 31분 50초로 나누면, 본문에서 언급하는 달의 하루 황경 운동인 약 13도 10분 35초를 얻게 된다.

본문의 13도 11분이라는 근사값

그런데 저자는 각각의 자연일마다 황도 위에서 약 13도 11분을 지나간다고 하였다. 그가 이렇게 말한 것은 정확히 11분인 것이 아니라 10분 35초이기 때문이다. 초를 언급하지 않으면서 35초 대신 1분을 놓아 11분이라고 한 것이다.

그다음 “이로부터 첫째로 다음이 따라 나온다”라고 할 때에는, 앞에서 말한 것들로부터 몇 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 본문에서 볼 수 있듯 그가 제시하는 다섯 따름명제에 따라 이를 다섯 부분으로 다룬다. 따라서 다음과 같이 말한다.

달의 운반 운동에 따르는 첫째·둘째 명제

이로부터 첫째, 주전원을 운반하는 이심천구각은 자기 축과 극을 중심으로 움직이지만, 그 축과 극을 중심으로 규칙적으로 움직이는 것은 아니라는 결론이 나온다.

둘째, 달의 주전원이 자신을 운반하는 천구각의 아우게에 가까울수록 그 중심은 더 빠르게 움직이고, 그 아우게의 대점에 가까울수록 더 느리게 움직인다. 세계의 중심에서 아우게 쪽과 그 대점 쪽에 같은 크기의 각들을 표시하면, 아우게 쪽의 각이 그 대점 쪽의 각보다 이심원에서 더 큰 호를 끼고 있기 때문이다.

달의 운반 운동에 따르는 셋째·넷째 명제

셋째, 달의 이심천구각의 중심은 세계의 중심 둘레를, 그 천구각의 축은 아우게를 운반하는 천구각들의 축 둘레를, 그 극들은 아우게를 운반하는 천구각들의 극 둘레를 규칙적으로 돈다. 이들은 사인들의 순서를 거슬러 둘레를 그린다.

넷째, 달의 이심천구각의 아우게 역시 사인들의 순서를 거슬러 나아가며 규칙적으로 움직이고, 황도를 지나가게 된다. 따라서 때로는 황도의 평면 위에 있고, 때로는 그 평면에서 남쪽 또는 북쪽으로 벗어나 있게 된다. 이 때문에 이심천구각의 중심 역시 때로는 황도의 평면에서 서로 반대쪽으로 벗어나게 된다.

다섯째 명제와 이심원의 평면

다섯째, 황도의 평면이 이심원의 평면을 언제나 똑같은 두 부분으로 자르는 것은 아니다. 이심원의 아우게가 위도를 가질 때에는, 그 이심원 평면의 더 큰 부분이 아우게 쪽에 있게 된다. 이심원의 평면은 세계의 중심을 지나는 황도의 지름을 따라 황도의 평면에 의해 잘리기 때문이다.

이심원의 평면이라고 부르는 것은, 이심원의 중심에서 주전원의 중심까지 뻗은 선이 한 번 회전하여 그려 내는 원이다. 그 원둘레의 부분들은 태양의 경우처럼 아우게, 아우게의 대점, 중간거리라고 불린다.

첫째 따름명제: 한 중심에서의 규칙성과 다른 중심에서의 불규칙성

첫째 따름명제에 관해서는, 그 운동이 세계의 중심 둘레에서 규칙적이라고 말한 데서 이 명제가 따라 나온다는 점을 알아두어야 한다. 그로부터 다른 모든 중심 둘레에서는 불규칙하다는 결론이 나오기 때문이다. 어떤 것도 두 중심 둘레에서 규칙적으로 움직일 수 없으며, 두 중심에서 같은 시간 동안 같은 크기의 평면각을 그릴 수도 없다. 오히려 가까운 중심에서는 언제나 더 큰 각을 그린다. 이는 다음과 같이 밝힐 수 있다.

두 중심에서 생기는 각의 비교

중심 E 위에 이심원 ABCD를 그리고, 그 지름을 AEC라고 하자. 세계의 중심은 F라고 하자. 주전원의 중심이 이 세계의 중심 둘레에서 같은 시간 동안 균일하게 움직이므로, 그 중심에서는 같은 크기의 각들을 그린다. 따라서 같은 두 각 AFB와 CFD를 취하면, 이심원의 중심에는 서로 같지 않은 각 AEB와 CED가 생긴다.

유클리드 제1권 명제 16에 따르면 각 AEB는 각 AFB보다 크다. 따라서 AFB와 같은 각 CFD보다도 크다. 그런데 CFD는 각 CED보다 크므로, 같은 명제에 따라 각 AEB는 각 CED보다 더욱 크다. 이심원의 중심에서 같은 간격으로 생기는 각들에 관하여 이와 같이 말할 수 있다.[간격에 관한 구문 불확실] 또한 『원론』 제3권 명제 25에 따르면 이심원의 호 AB는 호 CD보다 크다. 그러므로 주전원의 운동은 이심원의 중심에서 보아도, 그 원둘레에서 보아도 균일하지 않다.

도형 안 A·B·C·D·E·F, 바깥 둘레와 그 주변 N·M·H·g 및 별도로 인쇄된 H를 원형대로 보존한다. 앞의 두 중심에서 생기는 각의 비교와 첫째·둘째 따름명제에 해당한다.

둘째 따름명제: 빠르고 느린 운동은 어느 원에서 일어나는가

둘째 따름명제도 같은 데서 따라 나온다. 이를 이해하려면 다음을 알아야 한다. 운반천구각이 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직인다면, 주전원 자체도 실재적으로, 또는 주전원의 중심도 상상적으로 그 중심 둘레에서 규칙적으로 움직여야 한다. 이는 운반천구각으로 인해 주전원에 주어지는 운동에 관해서 하는 말이다. 주전원은 자신을 운반하는 천구각의 운동에 따라 우연적으로 움직이므로, 그 천구각과 똑같이 빠르거나 느리게 움직이기 때문이다. 운반천구각이 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직인다는 것은, 그 안에 표시한 어떤 것, 이를테면 주전원의 중심이 규칙적으로 움직인다는 뜻과 다르지 않다.

따라서 주전원은 세계의 중심에서 표시한 모든 같은 각들을 같은 시간에 지나간다. 이것이 어떤 중심 둘레에서 규칙적으로 움직이는 물체의 성격에 속하기 때문이다. 주전원이 운반천구각의 아우게에 가까울 때에는 더 빠르게 움직인다. 그때에는 앞서 말한 각들이 운반원에서 더 큰 호를 끼고 있으므로, 주전원이 같은 시간에 더 긴 거리를 지나기 때문이다. 이것이 더 빠르게 움직인다는 뜻이다. 아우게의 대점에 가까울 때에는 반대 이유로 더 느리게 움직인다.

다만 빠르고 느리게 움직인다는 것은 운반원 안에서의 일이지 황도대에서의 일은 아니라는 점을 이해해야 한다. 황도대는 세계와 중심을 같이하므로, 주전원이 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직이는 것처럼 황도대 아래에서도 같은 시간에 같은 호를 지나면서 규칙적으로 움직인다. 이는 이 도형에서 볼 수 있다.

첫 도형을 다시 사용한 설명

첫째 따름명제의 도형에서도 같은 사실을 볼 수 있다. 앞서 말한 따름명제에서 밝혔듯, 주전원의 중심이 이심원의 중심에서 아우게 쪽에 그리는 각 AEB는 그 대점 쪽의 각 CED보다 크다. 제3권 명제 25에 따르면 아우게 쪽의 호 AB는 대점 쪽의 호 CD보다 크다. 이 호들은 같은 시간 동안 그려지므로, 주전원은 이심원 안에서 아우게 쪽에 있을 때 그 대점 쪽에 있을 때보다 더 빠르게 움직인다. 그러나 황도대에서는 앞서 말한 대로 균일하게 움직인다.

저자의 설명에 더 가까운 또 다른 논증

같은 결론은 다른 방식으로도 이끌어 낼 수 있으며, 그 방식은 저자의 뜻에 더 가깝다. 다만 그만큼 엄밀한 학문적 논증은 아니다. 앞에서 보인 것처럼 지름이 AC인 이심원 ABCD와 세계의 중심 F를 표시하고, 그 중심에서 같은 두 각, 곧 아우게 쪽의 AFB와 그 대점 쪽의 CFD를 만들자. 선 FB와 FD를 그으면, 주전원의 중심이 중심 F 둘레에서 이 각들을 같은 시간 동안 그린다는 것이 분명하다.

그런데 『원론』 제3권 명제 7에 따르면 FA와 FB 각각은 FC와 FD 각각보다 길다. 따라서 호 AB는 호 CD보다 크다. 한 점에서 만나는 선들은 더 멀리 연장할수록 서로 더 많이 벌어지기 때문이다. 그러므로 이심원에서 아우게 쪽에 형성하는 호가 그 대점 쪽에 형성하는 호보다 크다. 저자는 본문에서 “세계의 중심에 아우게와 그 대점 쪽으로 같은 각들을 표시하면, 아우게 쪽의 각이 더 큰 호를 끼고 있다”라고 할 때 이 이유를 암시한다. 아우게 쪽의 선들이 아우게의 대점 쪽 선들보다 더 길기 때문이다.

원지점과 대점의 도형

• AVX: 원지점.
• CEN. DEF.: 운반원의 중심.
• CEN. MVN.: 세계의 중심.
• OP. AV.: 원지점의 맞은편.
• 바깥 A·B·C·D 및 각 선을 보존한다.

두 종이 원판으로 상상하는 황도와 운반원의 평면

셋째·넷째·다섯째 따름명제를 상상할 수 있게 하려면, 아직 익숙하지 않은 사람들의 수준에 어느 정도 맞추어 설명할 필요가 있다. 앞의 설명에서도 알 수 있듯 황도의 면은 오목하거나 볼록한 면이 아니라, 둥글게 잘라 낸 종이처럼 평평한 면이다. 천문학에서는 구체를 나눌 때 생기는 면 모두를, 그리고 그런 면만을 평면이라고 부른다. 따라서 이는 언제나 원형 또는 둥근 원판이지, 구면은 결코 아니다.

초학자는 먼저 둥근 종이를 상상하되, 그 중심으로 바늘 하나가 지나간다고 생각하라. 그 바늘은 황도의 축이고 종이는 황도의 평면이다. 종이 가장자리를 둥글게 두르는 선은 황도 자체이다. 둘째로는 첫 번째보다 작은 또 다른 둥근 종이를 상상하되, 그 중심에도 바늘이 있다고 생각하라. 이 종이를 중심 가까이까지 자르고, 앞의 종이도 같은 방식으로 잘라라. 그다음 잘라 놓은 틈을 통해 두 종이를 서로 끼워, 한 종이의 중심이 다른 종이의 중심 가까이에 있게 하라.

두 번째 바늘은 선을 운반하는 원의 축이고[목적어 판독·해석 보류], 두 번째 종이는 운반원 자체, 곧 다섯째 따름명제에서 말할 원형 평면이다. 이 원형 평면은 황도의 평면과 교차하여 그것을 나누고, 동시에 그 평면에 의해 나뉘면서 양쪽으로 기울어져 벗어난다. 두 번째 축은 첫 번째 축에 평행하다.

이 종이들을 천상에 옮겨 상상할 때에는, 첫 종이의 중심을 세계의 중심에 놓고, 그 종이가 황도대까지 뻗어 황도대를 가운데서 둥글게 나누는 선에 이른다고 생각하라.

셋째 따름명제: 중심·축·극의 운동

다만 태양의 경우와 마찬가지로 달에서도 ‘운반하는 것’이라는 말은 입체를 가리킬 수도 있고 원을 가리킬 수도 있다는 점을 알아야 한다. ‘이심의 것’이라는 말도 마찬가지이다.

저자는 셋째 따름명제에서 달의 이심천구각의 중심이 세계의 중심 둘레에서 사인들의 순서를 거슬러, 곧 서쪽으로 규칙적으로 움직인다고 말한다. 세계의 중심은 달의 아우게를 운반하는 천구각들의 중심이기도 하다. 같은 방식으로 이심천구각 축의 극들은 아우게를 운반하는 천구각들 축의 극들 둘레에서, 그 축은 다른 축 둘레에서 움직이며 둘레들을 그린다. 중심과 극들이 그리는 것은 원형의 선들이지만, 축이 그리는 것은 기둥 모양 입체의 표면이다. 여기서 이를 ‘둘레’라고 부르는 것은 그 낱말의 유래를 따른 것으로, 어떤 것이 다른 어떤 것 둘레로 운반되면서 그것을 그린다는 뜻이다.

그 이유는 다음과 같다. 앞서 말했듯 이심천구각의 축과 평행한 축을 지닌, 달의 아우게를 운반하는 천구각들이 세계의 중심 둘레를 사인들의 순서와 반대로 원운동한다. 그러므로 그 천구각들 안에 들어 있고 달의 천구에 속하면서, 그들의 중심인 세계의 중심 밖에 있는 모든 것은 상상적으로 그 중심 둘레를 움직이게 된다. 이심천구각의 중심도 세계의 중심에서 떨어져 있으므로 그 둘레를 움직인다. 같은 이유로 이심천구각의 축도 아우게를 운반하는 천구각들의 축 둘레를, 극들도 극들 둘레를 움직인다. 그 천구각들이 규칙적으로 움직이는 만큼, 이들도 규칙적으로 돈다.

따라서 달의 운반천구각이 동쪽으로 움직이면서 그 중심은 서쪽으로 움직인다고 해도 모순되지 않는다. 그 중심은 동쪽을 향한 운반천구각 고유의 운동에 따라 움직이는 것이 아니라, 서쪽을 향한 아우게 운반천구각들의 운동에 따라 움직이기 때문이다.

넷째 따름명제: 아우게와 중심이 황도면을 벗어남

저자는 넷째 따름명제에서, 이심천구각의 중심이 앞서 말한 중심 둘레로 원운동하듯 그 이심천구각의 아우게도 그 중심 둘레로 원운동해야 한다고 말한다. 따라서 아우게는 그 중심 둘레에 원을 그린다. 또 이심원, 곧 운반원의 평면은 종이가 종이를 가르듯 황도의 평면과 교차한다. 그러므로 아우게는 매번 회전할 때마다 두 번 황도의 평면에 놓여야 한다. 곧 두 교차점에 있을 때이다. 그 밖의 시간에는 황도면에서 남쪽 또는 북쪽으로 벗어난다.[첫 시간구의 연결은 역주 참조] 같은 이유로 이심천구각의 중심도 매 회전에서 두 번 황도면에 놓이고, 나머지 시간에는 그 면에서 벗어난다.

달의 이심천구각이 사인들의 순서대로 움직인다는 사실은 앞의 설명과 어긋나지 않는다. 사인들의 순서대로 움직인다는 것은 고유 운동, 곧 그 자체의 운동에 관해서 참이기 때문이다. 그러나 아우게 운반천구각들의 운동에 따라서, 곧 우연적으로는 다른 축과 극을 중심으로 사인들의 순서를 거슬러 움직인다. 이는 앞서 말한 데서 분명하다.

둘째 따름명제의 도형에서도 이를 볼 수 있다. 거기서 황도의 평면 AB와 아우게 운반천구각들의 평면 CD는 세계의 중심에서 서로 교차한다. 따라서 아우게가 세계의 중심의 교차점에 있을 때에는[위치 설명 불명료] 황도에서 전혀 벗어나지 않고 황도 위에 있게 된다. 반면 C에 있으면 북쪽으로, D에 있으면 남쪽으로 황도에서 벗어난다.

또 여러 번 말했듯 이심천구각의 중심은 세계의 중심에서 아우게 쪽으로 떨어져 있다. 세계의 중심에서 아우게로 나아가는 선은 이심천구각의 중심도 지난다. 따라서 이심천구각의 중심 역시 아우게가 황도 아래에 있을 때 그곳에 놓이고, 때로는 아우게와 마찬가지로 황도에서 북쪽으로 또는 남쪽으로 벗어나게 된다.

다섯째 따름명제: 원판의 균등·불균등 절단

다섯째 따름명제에 관해서는, 앞서 말했듯 달의 운반하는 것 또는 이심의 것이라는 말이 주전원이 놓인 입체를 가리킬 수도 있고, 어떤 원 또는 원형 평면을 가리킬 수도 있다는 점에 주의해야 한다. 평면을 뜻할 때에는 본문에서 말한 대로, 이심원의 중심에서 주전원의 중심까지 뻗은 선이 한 번 회전하여 그리는 원이다. 이 원둘레의 부분들은 태양의 경우처럼 아우게, 아우게의 대점, 중간거리라고 불린다고 본문에 적혀 있다. 이는 원형 선의 부분들 자체를 그렇게 부른다는 뜻이 아니라, 그 부분들이 그렇게 불리는 네 점에서 끝난다는 뜻으로 이해해야 한다.

따라서 저자는 그 평면, 곧 운반원이 황도면에 의해 언제나 똑같은 두 부분으로 잘리는 것은 아니라고 말한다. 원형 평면을 똑같이 나누는 절단은 중심을 지나는 절단, 곧 중심을 지나는 지름에 의한 절단이기 때문이다. 그러므로 운반하는 이심원의 아우게가 황도 아래에 있을 때에는 그 절단은 균등하다. 그때에는 이심원의 중심도 황도 아래에 있으므로, 절단이 중심을 지나기 때문이다.

[이하 앞 조건과의 연결 불명료] 이심원의 평면에서 더 큰 부분은 아우게 쪽에 있게 되며, 절단은 균등하지 않게 된다. 그때에는 이심원의 중심도 황도면 밖에 있으므로, 황도를 가르는 지름이 그 중심을 지날 수 없기 때문이다. 그 지름은 양쪽에서 황도에 닿으면서 세계의 중심을 지나지만, 그때에는 세계의 중심과 황도 사이에 이심원의 중심이 놓여 있지 않다. 이는 둘째 따름명제의 도형에서 볼 수 있다.

예를 들어 아우게가 C에서처럼 위도를 가지고 있다면, 이심원의 중심은 도형에 표시된 점에 있게 된다. 황도의 지름 AB가 이심원의 평면을 OP. AV.와 아우게라고 표시된 점에서 자르고[도형 지시 구문 불명료], 이심원의 중심을 지나지 않으므로, 이심원의 중심을 포함하는 부분 ACB는 나머지 부분 BDA보다 크다. 같은 방식으로 그 중심이 D 쪽, 곧 남쪽에 있을 때에는 이심원의 더 큰 부분이 C 쪽이 아니라 D 쪽에 있다. 이심원의 아우게가 그곳에 있기 때문이다.

그러나 그 중심이 황도 아래에 있을 때에는 황도의 지름이 이심원의 중심을 지난다. 따라서 유클리드 제1권의 지름의 정의에 따라 이심원을 같은 두 부분으로 나눈다. 그때에는 두 절단점 중 하나에 아우게가, 다른 하나에 그 대점이 있게 된다. 아우게에서 대점까지의 부분과 대점에서 아우게까지의 부분이 같으므로, 이심원의 평면은 황도의 평면에 의해 균등하게 나뉜다. 이는 입체적인 천구 모형에서는 쉽게 보여 줄 수 있지만, 평면에서는 그만큼 잘 나타낼 수 없다.

원형 평면의 의미와 태양 운동과의 비교로 넘어감

“그런데 …라고 부른다.” 이 말에서 저자는 행성들의 운동을 설명하기 위해 원이 아니라 천구각들을 상정하면서도, 어떤 이유로 이심원의 평면을 고려해야 하는지를 가르친다. 이 문제는 앞의 태양에 관한 논고에서 이미 충분히 많이 말했으므로, 그 내용을 여기에도 적용해야 한다.

그다음 “앞서 말한 천구각들은 …”이라고 할 때에는 그 천구각들의 운동을 태양 천구의 운동과 비교하여 다룬다. 여기서는 두 가지 일을 한다. 첫째로 방금 말한 비교를 하고, 둘째로 “이로부터 그 이유가 분명하다”라는 곳에서 몇 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 따라서 먼저 다음과 같이 말한다.

달의 이심천구각 및 아우게 운반천구각의 운동과 태양 운동의 관계

앞서 말한 달의 천구각들의 운동은 태양의 운동과 다음과 같은 관계를 맺는다. 태양의 평균운동선은 언제나 달의 주전원 중심과 달의 이심천구각의 아우게 사이의 중간에 있거나, 그 둘과 함께 있거나, 그 둘이 함께 있는 자리의 맞은편에 있다.

따라서 태양과 달의 모든 평균 합에서는 달의 주전원 중심, 태양의 평균운동선, 달의 이심천구각의 아우게가 황경상으로 황도대의 한 점에 있다. 이 때문에 두 천체의 모든 평균 사분위에서는 달의 주전원 중심이 그 이심천구각의 아우게 대점에 놓인다. 모든 평균 충에서는 다시 아우게에 놓인다.

평균 합·충·사분위와 달의 센트룸

이 부분에서는 먼저 다음을 알아야 한다. 달의 평균 합은 태양과의 실제 합 위치에 가까운 자리로, 평균운동선에 의해 정해진다. 평균 충 역시 실제 충에 가까운 자리이다. 평균 사분위도 평균운동선들에 의해 정해지는 황도대의 4분의 1만큼의 거리이며, 실제 운동선들에 의해 정해지는 참된 사분위에 가깝다.[문법적 연결은 잠정] 용어: 평균 합과 평균 충

달의 센트룸은 달의 이심천구각의 아우게에서 달의 평균운동선까지 계산한 주전원 중심의 위치이다. 이는 태양의 평균운동 아르구멘툼을 태양의 평균운동선까지 계산하던 방식과 같다. 이 점은 아래에서 더욱 분명해질 것이다.

고유 운동과 상위 천구에서 전달되는 운동

둘째로, 몇몇 천문학자, 특히 사크로보스코의 요한에 따르면 태양의 이심천구각은 제8천구의 운동을 받는 경우를 제외하면, 다른 것의 운동, 곧 상위 물체의 운동에 의해서는 움직이지 않는다는 점을 알아야 한다. 그러나 그 고유 운동으로는 서쪽에서 동쪽으로 움직이므로, 태양의 중심은 하루 동안 59분 8초를 움직인다. 달의 이심천구각은 다른 것의 운동, 곧 아우게를 운반하는 천구각들의 운동에 의해 날마다 동쪽에서 서쪽으로 약 11도를 움직인다. 그러나 고유 운동으로는 동쪽으로 움직여, 주전원의 중심이 하루 동안 약 13도를 움직이게 한다.

이에 관해서는 제1동천이 자기 운동, 곧 일주운동을 달에 이르기까지 모든 아래 천구에 전달하며, 더 나아가 불·공기·물에도 어느 방식으로 전달한다는 점에 주의하라. 이는 바다의 밀물과 썰물에서 볼 수 있다. 따라서 태양의 이심천구각이 외부 물체에 의해 움직이지 않는다고 하는 것은, 바로 바깥의 물체가 자기 고유 운동을 전달하여 그것을 움직이는 경우가 아니라는 뜻이다. 그러나 제8천구는 자기 고유 운동을 그것에 전달한다. 제1동천도 마찬가지이지만, 이는 분명한 사실이므로 여기서는 말하지 않는다.

서로 반대 방향으로 움직이는 아우게와 주전원 중심

그러므로 어느 시각에 태양의 중심, 또는 태양의 평균운동선, 달의 주전원 중심, 달 운반천구각의 아우게, 이 세 가지가 하늘의 한 자리에 함께 있었다면, 다음 날 같은 시각에 태양은 그 자리에서 동쪽으로 1도 떨어져 있을 것이다. 달의 이심천구각의 아우게는 서쪽으로 11도 12분 19초, 달의 주전원 중심은 동쪽으로 13도 10분 35초 떨어져 있을 것이다. 따라서 태양은 아우게와 달의 주전원 중심 사이의 중간에 있게 된다.

그러므로 태양에서 달의 주전원 중심까지의 거리를 두 배로 하면, 아우게와 주전원 사이의 거리를 얻게 된다. 두 쪽은 11도와 13도만큼 벌어지며, 그 합은 24도이다. 태양은 앞서의 자리에서 이미 약 1도 떨어져 있으므로, 13도 떨어진 주전원의 중심과는 12도만큼만 떨어진다. 이를 두 배로 하면 24도가 된다. 이와 같이 두 배로 한 거리를 달의 센트룸, 이중 간격, 또는 이중 거리라고 부른다.

태양이 두 점의 중간에 있게 되는 이유

이로부터 앞서의 세 점은 함께 있거나, 태양이 나머지 두 점 사이의 중간에 있거나, 두 점이 함께 있는 자리의 맞은편에 태양이 있다는 사실이 분명하다. 증명은 다음과 같다.

이 세 점이 어느 점 아래에 함께 있다가 모두 그곳에서 멀어지기 시작할 때, 주전원의 중심은 아우게보다 더 많이 멀어진다. 아우게가 11도 떨어질 때 주전원의 중심은 12도 떨어지기 때문이다.[뒤의 13도와 불일치] 그래도 주전원의 중심이 태양에서 떨어지는 거리는 아우게가 태양에서 떨어지는 거리보다 크지 않다. 그 차이는 태양의 운동으로 보완되어 같아지기 때문이다. 태양이 그동안 앞의 자리에서 1도 멀어지면, 그 자리에서 11도 떨어져 있는 아우게 쪽의 거리에 1도가 더해져 12도가 된다. 13도 떨어져 있는 주전원 중심 쪽에서는 1도가 줄어들어 12도가 남는다.

그렇게 두 점이 다시 합칠 때까지 태양은 언제나 그 중간에 있거나, 그 중간에서 조금 떨어져 있다. 두 점이 다시 갈라지기 시작하면, 그들은 같은 방식으로 태양에 가까워지기 시작하여 같은 속도로, 또는 거의 같은 속도로 태양과 합친다. 태양에서 멀어질 때에도 두 점은 같은 정도로 멀어졌다. 태양은 더 빠른 운동체를 뒤따르고 더 느린 운동체로부터 달아나면서 거리를 같게 만들었기 때문이다. 태양에 가까워질 때에도 같은 정도로 다가온다. 태양이 더 빠른 운동체로부터 달아나고 더 느린 운동체와는 마주 나아가면서 거리를 같게 만들기 때문이다.

황경상의 합과 위도에 관한 합의 구별

앞서 말한 것들로부터, 저자가 본문에서 다소 불명료하게 말한 다음 내용도 분명해진다. 곧 태양과 달의 모든 평균 합에서 달의 주전원 중심, 태양의 평균운동선, 달의 이심천구각의 아우게는 황경상으로 황도대의 한 점에 있다. 이는 황도를 직각으로 가로지르는 한 선 위에 있다는 뜻이다.

태양과 달이 황도에 직각으로, 곧 구면의 직각으로 교차하는 같은 원형 선 위에 있을 때에는 황경상으로 합친다고 한다는 점을 알아야 한다. 달이 황도에서 많이 떨어져 있더라도 그러하다. 그러나 황도의 같은 점에 있을 때에는 위도에 관해서 합친다고 한다. 달이 황경상으로 합치면서 황도에서 조금 떨어져 있을 때에는 위도에 관해서 거의 합친다고 한다.

따라서 실제 합에 가까우면서 언제나 황도 아래에서 이루어지는 것은 아닌 평균 합에서는, 이 점들이 위도에 관해서 또는 거의 그러한 방식으로 합친다.[설명의 연결 불확실] 또한 평균 사분위에서는 달의 주전원 중심이 그 이심천구각의 아우게 대점, 곧 가까운 거리에 있다는 것도 분명하다. 평균 충에서는 다시 아우게에 있다. 달의 주전원 중심과 그 이심천구각의 아우게는 태양에서 같은 정도로 멀어지므로, 주전원의 중심이 태양과 마주 보면서 아우게에 있지 않을 수는 없기 때문이다.

1도·11도·13도를 사용한 도형 예

이는 다음과 같은 예로 설명할 수 있다. 행성들의 위치를 취할 황도대의 원과 그 중심 A를 그리고, 두 광체의 평균 합을 B에 놓자. 두 광체의 평균운동을 나타내는 선 AB를 그으면, 첫째 가정에 따라 달의 주전원은 아우게에 있게 된다. 따라서 달의 주전원 중심, 태양의 평균운동선, 달의 아우게는 함께 황도대의 같은 점에 놓이고, 같은 선이 이 세 가지를 지나간다.

여기서 달의 주전원이 동쪽으로 13도 움직여 C에 이르고, 아우게는 서쪽으로 11도 움직여 D에 이른다고 하자. 둘 사이에 있는 태양의 평균운동선은 동쪽으로 1도 움직여 E에 이르며, 그때 양쪽에서 같은 거리에 놓인다. 11도를 포함하는 BA에[도형 문자 불일치] 1도인 BE를 더하면 달의 아우게와 태양의 평균운동선 사이의 거리 12도가 나오기 때문이다. 또한 그 1도를 운동 BC의 13도에서 빼면 달의 EC에 12도가 남는다.

그러므로 달의 주전원은 태양의 평균운동선에서 사인들의 순서대로 12도 떨어져 있고, 아우게도 사인들의 순서를 거슬러 같은 만큼 떨어져 있다. 따라서 태양의 평균운동선은 양쪽에서 같은 거리에 있으므로 둘의 중간에 있다. 이것이 제시한 것들 가운데 첫째 내용의 설명이다.

둘째 가정에 따르면, 태양의 평균운동선이 달의 주전원 중심에서 원의 4분의 1만큼 떨어졌을 때, 곧 평균운동에 따라 취한 평균 사분위일 때에는, 달의 아우게에서도 원의 4분의 1만큼 떨어져 있다. 증명했듯 같은 거리로 중간에 있기 때문이다. 따라서 달의 주전원과 그 아우게는 원의 4분의 2, 곧 반 원만큼 떨어져 있다.

예를 들어 태양의 평균운동선이 F로 움직이고, 달의 평균운동선이 그곳에서 원의 4분의 1만큼 떨어진 G에 있다고 하자. 달의 아우게는 같은 거리만큼 떨어진 H에 있다. GH는 반 원이고, H는 아우게이다. 따라서 G는 아우게의 대점이다. 그러므로 모든 평균 사분위에서 달의 주전원 중심은 아우게의 대점에 놓인다.

도형의 중심 A, 둘레의 B·C·D·E·F·G·H, 두 광체의 표지, 외곽 원 및 각 반지름을 보존한다. 별도 라틴어 문장 라벨은 없다. B는 평균 합, C는 달의 주전원이 동쪽으로 13도 이동한 위치, D는 원지점이 서쪽으로 11도 이동한 위치, E는 태양의 평균운동선이 동쪽으로 1도 이동한 위치이다. F·G·H는 뒤의 평균 사분위 예에서 사용된다. 이 설명은 원문의 도형 해설에 따른 것이며 그림의 위치를 현대식으로 수정하지 않았다.

근사값의 차이에 관한 의문과 응답

그러나 의문이 남는다. 이 계산은 태양의 운동이 정확히 1도, 달 아우게의 운동이 11도, 주전원의 운동이 13도라는 가정 아래에서 들어맞는다. 그런데 이것은 사실과 다르다. 계산을 방해하는 것처럼 보이는 몇 분의 차이가 있기 때문이다. 아우게는 여기에 약 12분을 더 움직이고, 주전원의 중심은 4분을 더 움직이며[앞의 수치와 불일치], 태양은 1분 덜 움직인다.

이에 나는 다음과 같이 답한다. 이 논증은 도를 단위로 계산하면 들어맞으며, 분과 다른 분수 단위들을 오류 없이 취하여 계산해도 마찬가지일 것이다. 태양 운동의 규칙성을 전제할 때, 아무리 작은 차이라도 있다면 시간이 지나면서 합 때 태양이 달과 언제나 아우게에서 만나지는 않게 되었을 것이기 때문이다. 그런데 그렇게 되지 않는다는 것은 매우 확실하다. 그러나 우리는 별들의 운동에 관한 아주 작은 분수값을 대개 가지고 있지 않다. 따라서 저자는 이런 문제를 피하고자 그 운동량이 ‘대략’ 그러하다고 말하였으며, 그 말로 독자를 표에 돌려보내려는 것이다.

평균 이각에서 달의 센트룸을 구함

이로부터 달의 평균운동에서 태양의 평균운동을 빼면 두 천체의 평균 이각이 남고, 이를 두 배로 하면 달의 센트룸이 나오는 이유가 분명하다. 태양의 평균운동선에서 달의 평균운동선까지 사인들의 순서대로 잰 거리를 두 천체의 평균 이각이라고 부르기 때문이다. 이심천구각의 아우게에서 달의 평균운동선까지 사인들의 순서대로 잰 거리는 달의 센트룸, 이중 거리, 또는 이중 간격이라고 한다.

또한 달의 매 한 달 동안 달의 주전원 중심이 이심천구각의 아우게를 운반하는 천구각들을 두 번 지나간다는 것도 분명하다.

평균 이각과 센트룸이라는 명칭

저자는 두 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 둘째는 “또한 매 한 달 동안 …라는 사실도 분명하다”에서 시작한다. 우선 달의 평균운동은 양자리에서 시작하여 사인들의 순서를 따라가는 황도대의 호이며, 지구의 중심에서 달의 주전원 중심을 거쳐 황도대까지 나아가는 선에서 끝난다는 점에 주의하라. 태양의 평균운동도 앞서 말했듯 같은 점에서 시작하여 태양의 평균운동선에서 끝난다. 이 두 평균운동선 가운데 하나에서 다른 하나까지의 거리가 태양과 달의 평균 이각이다.

그러므로 달의 평균운동이 태양의 평균운동보다 클 때에는, 달의 평균운동은 태양의 평균운동과 그 이각으로 이루어진다. 따라서 태양의 평균운동을 빼면 그 일부인 이각이 남는다. 또 앞서 말했듯 태양, 곧 태양의 평균운동선은 달의 평균운동선과 달의 아우게에서 같은 거리에 있다. 따라서 두 거리 중 하나를 두 배로 하면 양쪽을 합친 거리가 나온다.

이 거리를 달의 센트룸이라고 한다. 나눌 수 없는 점이며 달의 한가운데에 있다는 뜻에서 중심이라고 부르는 것이 아니다. 언제나 아우게에서 이루어지는 합 또는 충의 시각 이후에, 그러한 중심이 그 거리 전체를 지나갔기 때문에 그렇게 부르는 것이다. 또한 이중 간격이라고도 한다. 곧 아우게에서 태양까지, 그리고 태양에서 주전원 중심 또는 달의 평균운동선까지의 두 간격·구간·거리라는 뜻이다. ‘interstitium’은 ‘inter’와 ‘sto’를 합친 말로, ‘solstitium’이 ‘Sol’과 ‘sto’를 합친 것과 같다. 이중 거리라고 하는 것도 같은 뜻이다.

한 달 동안 아우게를 두 번 지나감

둘째 따름명제에 관해서는, 달의 한 달이란 달이 태양에서 출발하여 다시 태양에 이르기까지의 한 번의 완전한 회전이라는 점에 주의하라. 이는 일상적인 시간으로 29일 12시간 44분과 몇 초에 걸쳐 이루어진다. 이 한 달 동안 달은 아우게에 세 번 놓인다. 첫째는 달의 시작에 있는 합에서, 둘째는 달의 중간에 있는 충에서, 셋째는 달의 끝에 있는 합에서이다. 따라서 그 구간 전체를 두 번 지나간다.

게라르두스는 이곳에서 같은 뜻을 다른 말로 표현한다. 달의 주전원 중심이 자기 이심원을 두 번 지나간다고 말하는데, 이는 그것이 고정되어 있는 입체가 아니라 원을 뜻한다. 한 번은 고유 운동으로, 다른 한 번은 아우게의 운동으로 지나간다. 두 운동은 서로 반대이므로 하나가 다른 하나의 속도를 더해 준다. 따라서 아우게가 지체한다면 충은 아우게가 아니라 아우게의 대점에서 일어날 것이고, 한 달 동안의 회전도 한 번뿐일 것이다.

도형과 표 계산 규칙의 연결

이를 모두 예로 설명하겠다. 앞의 도형에서 태양의 평균운동선을 AF, 달의 평균운동선을 AG라고 하자. 호 FG는 태양과 달의 평균 이각, 곧 두 천체의 평균운동선 사이의 벌어짐과 거리라고 불린다. 달의 센트룸은 달의 평균운동선 또는 주전원 중심에서 그 이심천구각의 아우게까지의 거리이다. 앞의 도형에서 달의 이심천구각의 아우게를 H에 놓으면 달의 센트룸은 거리 HFG가 된다. 그 거리의 끝과 종점은 주전원의 중심인 G이고, AH에서 시작한다.[구문·문자 연결 불명료] 센트룸이라는 이름은 그 끝과 종점에서 취해진 것이다. 또 HF와 FG라는 같은 두 거리로 이루어져 있으므로, 앞서 말했듯 이중 거리·구간·간격이라고 불린다.

이 점을 밝히면 달의 실제 위치를 구하는 데 사용하는 표의 두 계산 규칙의 이유도 분명해진다. 첫째 규칙은 달의 평균운동에서 태양의 평균운동을 빼면 태양과 달의 평균 이각이 남는다는 것이다. 예를 들어 양자리의 시작이 D에 있을 때, 달의 평균운동은 DFG이다. 거기서 태양의 평균운동 DF를 빼면 평균 이각 FG가 남는다. 이것이 첫째 규칙의 이유이다.

둘째 규칙은 방금 구한 평균 이각을 두 배로 하면 달의 센트룸이 나온다는 것이다. 앞서 말한 대로 호 FG와 FH는 같으므로, 호 FG를 얻어 두 배로 하면 그 두 배인 호 HFG, 곧 달의 센트룸이 나온다. 따라서 둘째 규칙의 이유도 분명하다. 두 규칙은 서로 구별되지만 첫째가 둘째를 위한 것처럼, 하나가 다른 하나를 향해 배열되어 있다.

그다음 저자는 “그러나 넷째 천구각은 …”이라고 할 때, 앞의 운동들을 비교하느라 중단했던 달의 천구각들의 운동 서술로 돌아온다. 달의 모든 다른 천구각을 둘러싼 가장 높은 천구각이 어떻게 움직이는지 가르치면서 다음과 같이 말한다.

용의 머리와 꼬리를 운반하는 넷째 천구각의 운동에 관하여 — III.

그러나 용의 머리를 운반하는 넷째 동심천구각은 황도대의 축을 중심으로, 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직인다. 그 운동은 사인들의 순서를 거스르며, 자연일마다 약 3분이다. 이 운동으로 자신이 둘러싼 세 천구각의 결합체를 끊임없이 함께 돌린다.

그 때문에 이심원의 원둘레는 황도의 평면과 끊임없이 교차하면서, 그 교차점을 황도에서 서쪽의 다른 점들로 옮겨 간다.

또한 이 운동으로 아우게를 운반하는 천구각들의 극들은 황도대의 극들 둘레를 움직이면서 원둘레들을 그리게 된다.

용의 머리·꼬리의 정의와 그 축

이를 이해하려면 앞서 말한 다음 내용에 주의하라. 달의 이심원 평면은 황도면에 의해 잘려, 한 부분은 황도에서 남쪽으로 기울고 다른 부분은 북쪽으로 기운다. 주전원의 중심이 놓였을 때 북쪽으로 움직이기 시작하는 교차점은 용의 머리라고 부르고, 다른 교차점은 꼬리라고 부른다. 머리와 꼬리 사이에 놓인 평면 자체는 어떤 닮음 때문에 비유적으로 용이라고 부른다.

그러므로 이 넷째 천구각은 황도대의 축을 중심으로 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직이며, 사인들의 순서를 거슬러, 곧 서쪽으로 약 3분 움직인다. 그것은 달의 다른 모든 천구각을 둘러싸므로, 달의 천구에 속하면서 세계의 중심 밖에 있는 모든 것을 그 중심 둘레로 함께 끌고 간다.

그런데 이 천구각은 황도대의 축, 곧 황도의 축을 중심으로 움직인다. 달의 이심원 평면도 같은 축과 극을 중심으로 움직인다면, 황도면에서 결코 벗어나지 않고 언제나 그 일부일 것이다.[조건 접속의 보충적 해석] 그러나 그 축은 다른 축이며 서로 평행하지도 않다. 따라서 첫째, 이심원의 원둘레는 그 천구각이 움직이는 서쪽을 향해 황도면의 다른 점들에서 계속 교차한다. 둘째, 그 운동으로 아우게 운반천구각들의 극들은 황도대의 극들 둘레에 원을 그린다.

그러나 그 운동의 축이 황도대의 축 둘레를 움직인다는 결론은 나오지 않는다. 앞서 말했듯 그 축은 세계의 중심에서 황도대의 축과 만나기 때문이다. 이는 위에 그린 도형에서, 또는 다른 도형에서 더 잘 볼 수 있다.

황도대의 축과 용의 축

• 위·아래의 AXIS DRACONIS: 용의 축.
• 위의 AXIS ZOD., 아래의 AXIS ZODIACI: 황도대의 축.
• 위 도형 중앙 Centrum Mundi: 세계의 중심.

두 원형 끝면 및 아래의 비스듬한 끝면, 중앙 교차점과 전체 선을 원형대로 보존한다.

달의 위도 회귀에서 구하는 용의 머리의 하루 운동

이제 달이 위도상으로 되돌아오는 것과 용의 머리의 하루 운동을 찾아내는 문제를 설명하겠다. 이 회귀들을 관찰하려면, 달 지름에서 가려지는 양이 같은 두 월식을 취하라. 두 식에서 가려지는 부분은 모두 남쪽이거나 모두 북쪽이어야 한다. 또한 달은 자기 주전원에서 같은 위치에 있어야 하고, 두 식은 같은 교점, 곧 용의 머리 근처 또는 용의 꼬리 근처에서 일어나야 한다. 위도의 아르구멘툼을 올바르게 계산하면 이 조건들을 쉽게 갖출 수 있다.

그런 두 식 사이의 간격은 달의 위도 회귀를 밝혀 줄 것이다. 옛사람들은 이와 같은 조건을 갖춘 두 식의 간격을 5,458개월로 구했으며, 그동안 달의 위도 회귀는 5,923번 있었다. 따라서 5,923회의 회귀에 360도를 곱하고 그 곱을 5,458개월로 나누면, 위도의 하루 운동은 약 13도 13분 45초가 나온다.[월수에서 일수로의 환산은 본문에 생략됨]

이 결과에서 주전원 중심의 하루 황경 운동인 13도 10분 34초를 빼면, 사인들의 순서를 거스르는 용의 머리의 하루 운동으로 3분 11초가 남는다. 이 문제에 관해서는 여기까지 말하겠다.

달의 주전원의 운동에 관하여 — IIII.

주전원은 그 안에 고정된 달의 몸체를 자기 중심 둘레로 운반한다. 위쪽 부분에서는 사인들의 순서를 거슬러, 아래쪽 부분에서는 그 순서를 따라 운반하면서, 이심원의 원둘레 위에 직각으로 놓인 자기 축을 중심으로 움직인다. 따라서 주전원의 운동으로 달의 몸체 중심이 그려 내는 주전원 원둘레의 평면은 이심원의 평면 안에 머무르며, 그 평면에서 전혀 벗어나지 않는다.

주전원 운동의 불규칙성

그러나 주전원은 자기 중심과 축을 중심으로 불규칙하게 회전한다. 이 불규칙성은 다음과 같은 균일성으로 환원된다. 주전원의 평균 아우게가 되는 점이 어느 점이든, 그 점에서 매 자연일마다 약 13도 4분씩 멀어지는 방식으로 규칙적으로 떨어져 간다는 것이다.

주전원의 축과 회전 방향

저자는 주전원의 운동을 다루면서 세 가지 일을 한다. 첫째로 방금 말한 것을 설명하고, 둘째로 “그런데 아우게는 …”이라는 곳에서 주전원의 아우게와 그 대점을 정하며, 셋째로 “이로부터 분명한 것은 …”이라는 곳에서 몇 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 따라서 먼저 “그런데 주전원은 …”이라고 말한다.

이에 관해서는 앞서 말했듯 주전원 전체가 운반천구각, 곧 이심천구각의 두께 안에 잠겨 있다는 점에 주의하라. 그러나 주전원 전체가 이심원의 둘레 안쪽에 있는 것은 아니다. 그 둘레에는 주전원의 중심이 놓여 있다. 이심원은 이심원의 중심에서 주전원의 중심까지 그은 선이 그려 내는 원이기 때문이다. 주전원의 축은 주전원의 중심을 지나므로 한 점에서 그 원둘레에 닿으며, 본문에서 말했듯 직각으로 닿는다.[이어지는 구문의 연결은 잠정]

평면, 곧 주전원의 중심에서 달의 중심까지 나아가는 선이 그리는 주전원은 이심원의 평면 또는 원과 서로 교차하여 기울어지는 것이 아니라 그 평면 안에 머무른다. 이는 중심에서 아래쪽으로 놓인 부분에 관해서이다. 주전원은 이심원의 원둘레 위에 놓인 그 축을 중심으로 움직인다.

작은 호·세로축·축끝 표지를 원형대로 보존한다. 별도 글자 라벨이나 수치는 없다.

만일 주전원의 중심이 세계의 중심이라면, 주전원은 전체적으로 서쪽으로 움직일 것이다. 그러나 주전원 전체가 세계의 중심 밖에 있으므로, 한 부분, 곧 위쪽 부분에서는 사인들의 순서를 거슬러 서쪽으로 움직이고, 다른 부분에서는 그 순서를 따라 동쪽으로 움직인다.

평균 아우게를 기준으로 한 규칙적 멀어짐

주전원은 자기 중심 둘레에서 불규칙하게 움직이는데, 이를 움직이는 지성체가 그 운동을 통해 어떤 목적을 지향하기 때문이다. 그 목적은 곧 설명될 것으로, 달이 날마다 평균 아우게에서 13도씩 떨어지게 하는 것이다.

이 불규칙성은 본문에서 말한 방식으로 균일성에 환원된다. 주전원을 360도로 나누면, 주전원 안에서는 때로 13도보다 더 많이, 때로는 더 적게 움직이더라도, 평균 아우게를 기준으로는 날마다 13도씩 움직인다. 평균 아우게는 때로 주전원과 마찬가지로 서쪽으로 움직이며, 그때에는 주전원이 더 빨리 움직여야 한다. 때로는 뒤에서 말하듯 동쪽으로 움직이고, 그때에는 주전원이 더 느리게 움직인다.

이 도수들은 양자리에서부터 세지 않는다. 주전원에는 사인들이 없기 때문이다. 대신 평균 아우게가 어느 점이든 그 점에서부터 센다. ‘어느 점이든’이라고 말하는 것은, 뒤에서 밝혀지듯 그 점이 때로는 이 점이고 때로는 다른 점이기 때문이다.

그러나 주전원이 13도 움직인다는 말은 주전원 전체가 그 자체로 그만큼 이동한다는 뜻이 아니다. 주전원 전체는 운반천구각의 운동에 따라 우연적으로만 그렇게 움직인다. 여기서 말하는 것은 주전원의 한 부분이나 그 부분에 표시한 점, 또는 주전원에 고정된 달의 중심에 따른 운동이다.

밀고 당기는 운동으로 설명한 주전원의 위아래

앞서 말한 것들을 이해하려면 먼저 아리스토텔레스 『자연학』 제7권의 견해에 따라 다음을 알아야 한다. 세계의 중심을 둘러싸지 않고 그 중심의 완전히 바깥에 있는 물체의 모든 원운동은 당기는 운동과 미는 운동이라는 두 운동으로 이루어진다. 바퀴를 둥글게 돌리는 경우, 이를 움직이는 것은 한쪽 부분을 자기 쪽으로 당기고 다른 부분을 자기에게서 밀어낸다. 이 두 운동은 위치의 서로 다른 방향을 향한다. 철학자가 같은 곳에서 말하듯 당기기와 밀기는 서로 다른 쪽에서 끝난다. 미는 운동의 출발점이 당기는 운동의 도착점이기 때문이다.

따라서 주전원은 세계의 중심에서 완전히 벗어나 있고, 위치의 서로 다른 방향들을 향해 원운동하므로, 각각의 부분에 따라 다른 방향으로 움직인다. 한쪽 부분에서는 서쪽으로, 사인들의 순서를 거슬러 움직이고, 다른 부분에서는 동쪽으로, 사인들의 순서를 따라 움직인다. 그러므로 위쪽 부분과 아래쪽 부분에 서로 다른 운동을 배당해야 한다. 그래서 저자는 주전원이 위쪽 부분에서는 사인들의 순서를 거슬러, 아래쪽 부분에서는 그 순서를 따라 움직인다고 말한 것이다.

위쪽과 아래쪽은 세계의 중심에서 황도대까지 나아가는 선들이 주전원에 닿는 두 접점에 의해 구별된다. 예를 들어 중심 A에 황도대 PFK를, 이심원에 주전원 ON을 표시하자. 세계의 중심에서 황도대까지 나아가며 주전원의 O와 N에 닿는 두 선 ANK와 AOP를 그어라. 호 OFN은 위쪽이라 부르며, 달은 그곳에서 사인들의 순서를 거슬러 움직인다. 나머지 호 NCO는 아래쪽이며, 달은 그곳에서 사인들의 순서를 따라 움직인다.

달이 O에 있다가 위쪽 호를 지나 F에 이르면, 실제 위치를 보여 주는 선들을 그었을 때 황도대에서는 P에서 K로 바뀐다.[도형 대응 보류] 거기서 N에 이르면 황도대의 위치는 K가 된다. 따라서 주전원의 위쪽 OFN을 지나면서 황도대의 구간 PFK를 사인들의 순서와 반대로 그린 것이다. 그러나 그 뒤에는 더 이상 그 순서를 거슬러 움직일 수 없다. 멀어질 수 있는 한계가 접점 N이기 때문이다. 그 뒤 주전원의 아래쪽을 따라 C와 O에 이르면, 황도대에서는 K에서 F로, F에서 P로 움직여 사인들의 순서를 따르게 된다.

이로써 주전원이 서로 다른 두 부분, 곧 위쪽과 아래쪽에 따라 어떻게 반대 방향으로, 사인들의 순서를 따라 또는 거슬러 움직이는지가 분명하다.

주전원 운동을 강제 운동이라고 부를 수 있는가

〔의문〕 그러나 여기서는 누군가 합리적으로 다음과 같은 의문을 제기할 수 있다. “철학자의 『자연학』 제7권에 따르면 미는 운동과 당기는 운동은 강제 운동이다. 그곳에서 철학자는 강제 운동을 밀기·운반·당기기·회전으로 나누기 때문이다. 그러므로 주전원이 회전 운동을 하고, 따라서 밀고 당기는 운동을 한다면, 그것은 강제적으로 움직이는 것이다. 그러나 이런 천체들에 관해서 그렇게 말하는 것은 적합하지 않다. 그러면 그 운동들이 영원하지 않게 되기 때문이다. 따라서 주전원은 존재하지 않는 것처럼 보인다.”

〔응답〕 이에 대해서는 다음과 같이 답해야 한다. 주전원의 운동을 회전·밀기·당기기라는 이름으로 부르려 한다면, 그것은 엄밀한 용법이 아니다. 앞서 인용한 곳에서 알 수 있듯, 그런 운동은 본래 물체들에 의해 움직여지는 것들에서 일어나기 때문이다. 강제 운동인 회전은 본래 이 아래의 소멸 가능한 물체들에서만 발견된다. 그 물체들의 중심은 세계의 중심 밖에 있으며, 그들은 무겁거나 가볍다. 회전 운동은 위로 감·아래로 감·옆으로 감으로 이루어지기 때문이다. 무거운 물체가 이 운동을 하면 위로 가는 운동이 그에게 강제적이고, 가벼운 물체라면 아래로 가는 운동이 강제적이다. 옆으로 가는 운동도 마찬가지이다. 그러나 무겁지도 가볍지도 않은 천체에 관해서는 이를 말할 수 없다.

〔반론〕 그래도 누군가는 “적어도 주전원이 서로 다른 부분에 따라 올라가고 내려간다는 것은 인정되는 것 아닌가”라고 할 것이다. 그것은 부정하지 않으며, 앞의 태양 이론에서 증명했듯 그 운동이 직선들을 따라 이루어지는 것이 아니라면 부적합한 일로 여기지도 않는다.

주전원의 위쪽·아래쪽과 황도대상의 이동

세계의 중심 A에서 두 접선 AOP와 ANK가 주전원의 O와 N에 닿는다. 위쪽 호 OFN과 아래쪽 호 NCO가 그 두 접점으로 나뉘며, 그 운동은 바깥 황도대의 구간 PFK에 대응한다. 원판에는 주전원의 다른 위치들을 함께 나타내는 원과 표지들도 인쇄되어 있다.

달의 운동이 세계의 중심에서 균일하지 않은 이유

둘째로, 달의 운동이 세계의 중심에서 보아 균일하지 않은 원인은 주전원이라는 점을 알아야 한다. 달에 주전원이 없다면 그 운동은 언제나 균일할 것이기 때문이다. 주전원의 중심은 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직인다. 따라서 주전원이 있는 자리에 달의 중심이 있다면 달도 그 균일성을 가질 것이다. 달이 이를 갖지 않는 것은 주전원 안에서 하는 운동 때문이다. 이는 다음과 같이 설명한다.

이 도형에서 B를 중심으로 황도대를 상상하고, 황도대를 네 부분 DG·GE·EH·HD로 나누는 같은 크기의 직각 네 개를 그려라. B에서 그 네 점까지 직선을 그으면, 주전원이 B의 네 각과 황도대의 네 사분역을 같은 시간에 지나간다는 것이 분명하다.

따라서 D·G·E·H 각각에 주전원을 네 번 그리자. 주전원이 D에 있을 때 달도 주전원의 점 D에 있다면 D는 달과 주전원 양쪽의 위치가 된다. 주전원이 거기서 C로 움직이고 달이 주전원의 한쪽에 놓여, 선 AC가 세계의 중심 B에서 나와 주전원의 C쪽에 이른다고 하자.[도형 문자·구문 불명료] 실제 위치의 이동은 그 이론에서 실제운동선으로 설명하게 될 것이다. 이때 달은 주전원보다 느리다. 중심의 더 작은 각과 황도대의 더 큰 호가 이를 보여 준다.

그러나 주전원이 두 번째로 E에 움직이고, 달이 주전원의 앞선 점에서 H로 움직여 두 위치가 모두 E가 되면, 이번에는 달이 주전원보다 더 빠르게 움직인 것이다. 앞과 마찬가지로 그 각과 선들이 이를 밝혀 준다. 다음으로 주전원이 C에 있고 달이 ‘태양에 옮겨졌을’ 때[원문 판독·연결 보류], 달의 황도대 위치는 F가 되며 주전원보다 빠르다. 그 뒤 주전원이 D에 있고 달도 D 자체에 있으면 더 느리게 움직인 것이다.

따라서 주전원은 세계의 중심에서 언제나 균일하지만 달은 때로 그보다 느리고 때로 빠르므로, 주전원의 운동 때문에 달이 불균일하게 움직인다는 사실이 분명하다. 실제로 달의 참된 운동은 때로 12도 또는 그보다 적고, 때로는 14도보다 많다. 반면 주전원은 언제나 약 13도 11분 움직인다. 이 예를 숙고하면, 앞서 말한 이유로 달은 주전원의 아래쪽에서 빠르고 위쪽에서 느리다는 것을 이해할 수 있다.

중심 A·B, 왼쪽 C·G, 오른쪽 F·H, 위 D 및 아래 E를 원형대로 보존한다. 기존 그림 설명의 ‘오른쪽 E’·‘아래 D 반복’은 오독이므로 각각 오른쪽 F, 아래 E로 교체한다. 도형과 후속 본문의 문자 연결이 불명료한 구절은 확정하지 않는다.

주전원의 평균 아우게와 참된 아우게

주전원의 평균 아우게는, 작은 원에서 이심원의 중심과 지름상으로 마주 보는 점으로부터 주전원의 중심을 지나 그은 선이 가리키는 주전원 원둘레의 점이다.

그러나 주전원의 참된 아우게는 세계의 중심에서 주전원의 중심을 지나 그은 선이 가리키는 같은 원둘레의 점이다. 주전원의 중심이 운반원의 아우게 또는 그 대점에 있을 때에는 이 두 아우게가 한 점이다. 그 밖의 모든 위치에서는 서로 다르다.

운반천구각의 아우게와 주전원의 아우게를 구별함

저자는 앞서 언급한 주전원의 아우게와 그 대점을 다루지만, 중간거리들은 다루지 않는다. 어떤 운동을 이해하는 데 그것들을 사용할 필요가 없기 때문이다.

달의 천구에서는 아우게가 일반적으로 두 종류, 곧 운반천구각의 아우게와 주전원의 아우게로 구별된다는 점에 주의해야 한다. 아우게란 세계의 중심에서 높아지거나 멀어진다는 뜻이다. 주전원이 운반천구각의 아우게에 있든 그 대점에 있든, 주전원의 한 부분은 높고 다른 부분은 낮다. 그러므로 주전원의 아우게는 운반천구각의 아우게와 구별해야 한다.

그런데 왜 저자는 저것들이 아니라 이것들을 특별히 다루는가? 내가 답하자면, 달의 운반천구각과 태양의 운반천구각에서는 아우게와 그 대점을 같은 방식으로 취하지만, 달의 주전원에서는 그렇지 않기 때문이다. 따라서 태양에 관해 말한 것들에서 달의 운반천구각을 어떻게 이해해야 하는지는 알 수 있지만, 주전원에 대해서는 그렇지 않다. 중간거리들도 두 경우에 똑같은 방식으로 유용한 것은 아니다. 달은 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직이기 때문이다.

평균 아우게를 정하는 반대점

그러므로 저자는 평균 아우게, 곧 참된 아우게에 가까운 아우게가 무엇인지, 또 참된 아우게가 무엇인지를 말한다. 둘 다 본문에서 알 수 있지만, 이심원의 중심과 지름상으로 마주 보는 점에 관해서는 설명이 필요하다. 그것은 이심원의 중심이 세계의 중심 둘레를 돌면서 그리는 원의 원둘레에 있는 점이다. 그 점에서 세계의 중심을 지나 직선을 그으면, 그 선은 반대편에서 이심원의 중심에 닿는다.

따라서 이 점은 이심원의 중심과 마찬가지로 세계의 중심 둘레에서 끊임없이 위치를 바꾼다. 그 점은 언제나 이심원의 중심과 지름상으로 마주 보는데, 곧 그 원을 같은 두 부분으로 나누는 지름을 따라 반대에 놓인다. 아우게가 무엇인지 알면 아우게의 대점이 무엇인지도 알 수 있다. 같은 원에서 아우게와 지름상으로 마주 보는 점이기 때문이다.

이 아우게들은 두 위치에서 하나, 곧 한 점이 된다. 주전원의 중심이 운반원의 아우게에 있을 때와 그 대점에 있을 때이다. 그때 세 아우게와 세 아우게 대점을 나타내는 선들은 같은 위치에 있어 수학적으로 한 선이 된다.[원문의 수 표현 보류] 다만 이심원의 아우게를 나타내는 선은 그때 주전원의 중심에서 끝나는 것으로 이해한다. 주전원의 중심이 주전원의 원둘레를 그린다고 적혀 있다.[원 명칭의 연결 보류]

이렇게 한데 모이는 까닭은, 그때에는 이 아우게들의 정의가 뜻하는 것이 하나로 합쳐지기 때문이다. 이는 선들과 운동의 모형을 살펴보면 알 수 있다. 이 모두는 다음 예로 설명할 것이다.

참된 아우게와 대점이 가장 멀고 가까운 이유

이를 위해 알아야 할 것은, 주전원의 원둘레가 세계의 중심, 이심원의 중심, 또는 이심원 안에 있는 그 밖의 어느 점에서도 같은 거리에 놓이지 않는다는 것이다. 그 점들 가운데 어느 것도 주전원의 중심이 아니기 때문이다. 따라서 그 원둘레에서 세계의 중심으로부터 가장 먼 점을 정하게 되며, 이를 주전원의 참된 아우게라고 부른다. 아우게란 가장 높아짐, 곧 가장 먼 점이라는 뜻이고, ‘참된’이라고 하는 것은 세계의 중심에서 취하기 때문이다. 주전원에서 세계의 중심에 가장 가까운 점은 참된 아우게의 대점이라고 부른다.

이 두 점은 세계의 중심에서 주전원의 중심을 지나는 직선으로 찾는다. 그 선이 주전원과 두 점에서 만나면 위쪽 교점은 아우게, 아래쪽 교점은 아우게의 대점이다. 따라서 중심 A에 이심원 BC를 표시하고, 세계의 중심을 D, 점 B 위의 주전원을 EFGH라고 하자. 주전원의 중심을 지나 E와 H에서 자르는 선 DHBE를 그어라. 나는 E가 세계의 중심에서 가장 멀며 DE가 가장 긴 선이고, H가 가장 가까우며 DH가 가장 짧은 선이라고 말한다.

만일 DE가 가장 긴 선이 아니라면 DF가 그것일 것이다. BF를 연장하면, 선 DBE는 DB와 BF를 합친 것과 같다. 그런데 DB와 BF는 삼각형 DBF의 두 변이므로 『원론』 제1권 명제 20에 따라 나머지 변 DF보다 길다. 따라서 DE는 DF보다 길며, E는 참된 아우게의 점이다.

같은 방식으로 DH가 더 짧지 않다면 DG가 그러할 것이다. BG를 연장하면, 유클리드 제1권 명제 20에 따라 두 변 GD와 GB는 나머지 변 DB보다 길다. 여기서 원의 정의에 따라 같은 두 선 BG와 BH를 각각 빼면, Dg가 여전히 DH보다 길게 남는다. 따라서 H는 참된 아우게의 대점이다.

평균 아우게와 참된 아우게가 합쳐지는 두 위치

그런데 앞에서 보였듯 이심원의 중심은 세계의 중심 둘레를 움직이며 원을 그린다. 그 원에서 이심원의 중심과 지름상으로 마주 보는 점을 I로 취하고 그곳까지 지름을 그으면, 그 점에서 주전원의 중심을 지나 주전원의 원둘레에 닿을 때까지 그은 선이 평균 아우게와 그 대점을 나타낸다. 그러므로 평균 아우게와 그 대점 L도 같은 방식으로 밝혀진다.[시작 구문 불명료]

선 INM·CM·CN을 그으면, 선 ICH는 IC와 CM을 합한 것과 같다.[문자 불일치] 이들은 선 IM보다 길므로 선 CK는 IM보다 길며, K는 아우게의 점이다. 같은 방식으로 NI와 NC는 IC보다 길다. 같은 선 CN과 CL을 빼면, 공통 개념에 따라 IN은 IL보다 길다. 따라서 L은 평균 아우게의 대점이다. 이를 평균 아우게라고 부르는 이유는 뒤에서 분명해질 것이다.

또 같은 선은 이심원의 아우게, 그 중심, 세계의 중심, 이심원의 중심과 지름상 반대인 점, 아우게의 대점을 모두 지난다. 이는 선 BADIO에서 볼 수 있다. 태양 이론에서 분명하듯 이 다섯 점은 모두 같은 선 위에 있다. 따라서 주전원의 중심이 이심원의 아우게 또는 그 대점에 있을 때에는 참된 아우게와 평균 아우게, 그리고 그 대점들이 서로 다르지 않다.

한 선은 세계의 중심에서, 다른 선은 이심원의 중심과 반대인 점에서 출발하여 주전원의 중심을 지난다. 주전원이 앞서의 두 위치에 있을 때 이 선들은 하나로 합쳐지므로 그 끝점들도 합쳐진다. 이는 앞의 도형과 다음 도형에서 직접 살펴볼 수 있다.

이심원의 외곽, 중심 A, 세계의 중심 D, 작은 원과 그 점 C·I, 위쪽 주전원 B·E·F·g·H, 옆의 주전원 O·M·K·N 및 그 왼쪽 표지 I를 원형대로 보존한다. 선이나 문자 배치를 현대 기하학적 기대에 따라 수정하지 않는다. 별도 문장 라벨은 없다.

달과 다른 다섯 행성의 주전원 운동이 다르게 설명되는 이유

초학자가 다음 의문으로 괴로워하지 않도록 설명해 두겠다. 왜 달은 주전원에서 위쪽 반원을 지날 때 사인들의 순서를 거슬러 움직이고 아래쪽 반원에서는 그 순서를 따라 움직이는가? 그런데 주전원을 배당하는 나머지 다섯 행성에서는, 각자의 자리에서 밝혀지겠지만, 왜 그 반대가 되는가?

이 반대의 원인은 주전원 중심들의 운동이 서로 다르다는 것 말고는 없다. 달의 주전원 중심은 자기 운반원을 따라, 달 자체가 주전원 안에서 움직이는 것보다 더 빠르게 돈다. 따라서 달이 자기 주전원의 위쪽 반원에서는 사인들의 순서를 거슬러, 아래쪽 반원에서는 그 순서를 따라 움직인다고 상상해야 한다.

주전원을 배당하는 나머지 다섯 행성에서는 같은 일이 일어나지 않는다. 그 행성들의 주전원 안에서의 운동이 운반원 안의 주전원 중심들의 운동보다 훨씬 빠르기 때문이다. 천구들에서의 밀기와 당기기 운동을 올바르게 상상할 줄 아는 사람은 이를 아무 어려움 없이 이해할 것이다.

주전원 안에서의 달의 하루 운동을 구함

이제 달의 주전원 안에서의 하루 운동을 어떻게 구하는지를 살펴볼 차례이다. 이것은 뒤에 달의 아르구멘툼 표를 작성하는 데 도움이 될 것이다. 옛 관측자들은 달이 자기 주전원의 같은 부분에 있어 같은 속도로 움직였던 두 월식으로부터, 달의 4,267개월 동안 불균등성의 회귀가 4,573번 일어난다는 것을 알아냈다.

그 비율은 251개월과 469회전의 비율과 같다고 적혀 있다.[바로 뒤의 269와 불일치] 그러므로 269회전에 360도를 곱하면 96,840도가 나온다. 이를 다시 약 7,412일 10분 45초로 나누면, 주전원 안에서의 달의 하루 운동 13도 3분 53초가 나온다. 주전원의 성질·양·배치에 관해서는 이만큼 말하겠다.

그다음 “이로부터 분명한 것은 …”이라고 할 때에는 두 따름명제를 이끌어 낸다. 둘째는 “이로부터 또한 따라 나오는 것은 …”에서 시작한다. 먼저 첫째에 관하여 말한다.

주전원을 둘러싼 오목한 면과 두 아우게의 변화

이로부터 주전원이 놓이는 오목한 면의 어떤 동일한 점도 주전원의 평균 아우게 또는 참된 아우게 위에 계속 머물러 있지는 않다는 사실이 분명하다. 주전원의 중심이 운반원의 아우게 또는 그 대점에 있을 때 주전원의 평균 아우게와 참된 아우게 위에 놓이는 오목한 면의 점은, 주전원의 중심이 어디에 있든, 이심원의 중심에서 주전원의 중심을 지나 그은 선으로 정해진다.

그러나 주전원의 중심이 아우게나 그 대점이 아닌 다른 곳에 있을 때에는 그 점이 주전원의 평균 아우게 위에도, 참된 아우게 위에도 있지 않다. 오히려 참된 아우게와 평균 아우게는 그때 그 오목한 면의 서로 다른 자리 아래에 놓인다. 앞서의 점들을 가리키는 세 선이 그때 주전원의 중심에서 서로 교차하기 때문이다.

다만 참된 아우게가 평균 아우게와 서로 다를 때에는[원문의 연결 잠정], 참된 아우게는 평균 아우게와 오목한 면의 한 점 사이에 있다. 그 점은 주전원의 중심이 운반원의 아우게 또는 그 대점에 있을 때, 참된 아우게가 그 아래에 놓이곤 하는 점이다. 따라서 주전원의 평균 아우게와 참된 아우게는 모두 끊임없이 변한다.

또한 이로부터, 주전원 중심이 이심원의 위쪽 반원을 지날 때에는 주전원이 자기 중심 둘레를 더 빠르게 회전하고, 아래쪽 반원을 지날 때에는 더 느리게 회전한다는 결론이 나온다.

오목한 면의 고정점을 가리키는 선

이 따름명제를 상상하려면 먼저 다음을 바탕으로 삼아야 한다. 이심원의 중심에서 나와 주전원의 중심을 지나고, 주전원을 둘러싼 오목한 면의 어느 점에 닿는 선 A는 달의 이심원이 한 번 회전하는 동안 언제나 그 점에 닿는다. 그 오목한 면이 이심원의 중심에서 언제나 같은 거리에 있기 때문이다.

이로부터 다음이 따라 나온다. 주전원이 이심원의 아우게 또는 그 대점에 있을 때, 주전원의 참된 아우게선 또는 평균 아우게선이 그 오목한 면에서 닿는 점은, 이심원의 중심에서 나오는 선 A가 이심원의 한 회전 내내 닿으며 가리키는 점이다. A가 닿는 점, 평균 아우게를 가리키는 선 B가 닿는 점, 참된 아우게를 가리키는 선 C가 닿는 점은 그때, 곧 주전원이 이심원의 아우게 또는 대점에 있을 때 한 점이기 때문이다.

따라서 A가 그중 한 점을 언제나 가리킨다면, 앞에서 보인 것처럼 나머지 두 점도 언제나 가리키는 셈이다. 곧 아우게 또는 그 대점에서 선 B와 C가 향하는 점을 가리킨다. 또한 A가 가리키는 점은 이심원의 아우게나 그 대점을 제외한 곳에서는 B나 C가 가리키는 점이 아니다. 그 밖의 모든 위치에서는 A·B·C가 주전원의 중심에서 서로 교차하기 때문이다. 이는 첫 번째 도형에서 볼 수 있다.

세 선과 오목한 면의 점들

• C.M.: 세계의 중심.
• PVN. OP.: 반대점.
• A·B·C 선의 표지, 위 A 및 아래 B, 모든 원과 선을 원형대로 보존한다.

운반원의 중심과 운동선

원문 도형 아래의 전 캡션:

• A Centrum mundi: A — 세계의 중심.
• B Centrum deferentis: B — 운반원의 중심.
• C Oppositum defer.: C — 운반원의 대점.
• AE linea medij motus: AE — 평균운동선.
• CE Aux media: CE — 평균 원지점.
• AE Aux vera: AE — 참된 원지점.
• AD linea veri motus: AD — 참된 운동선.

두 아우게는 변하지만 면 위의 기준점은 변하지 않음

이로부터 또한, 주전원이 운반원의 아우게 또는 그 대점에 있을 때 평균 아우게와 참된 아우게 위에 놓이는 오목한 면의 점은, 다른 위치에서는 두 아우게 위에 놓이지 않는다는 것이 따라 나온다. 다른 위치에서는 그 점이 아우게를 가리키는 선 B와 C로 정해지지 않고, A로만 정해지기 때문이다.

이것이 본문의 증명이며, 어느 때 두 아우게 위에 놓이는 그 밖의 모든 점에도 적용된다. 어떤 점도 순간을 넘어서 그 위에 계속 놓이지 않기 때문이다. 따라서 저자가 이 따름명제에서 “점은 …”이라고 보편적인 결론을 제시한 뒤 “그러한 오목한 면의 점은 …”이라고 개별적인 증명을 하더라도, 그 증명은 모든 점에 대한 보편적인 것이다. A·B·C가 언제나 서로 다른 점들에서 교차하기 때문이다. 그러므로 A가 같은 한 점을 계속 가리키는 동안, B와 C는 그 오목한 면에서 계속 다른 점들을 가리키거나 정해야 한다.

이 모든 것의 원인은 다음과 같다. 그 오목한 면은 A가 나오는 중심과 언제나 같은 거리에 있으므로 A는 언제나 같은 점을 가리킨다. 그러나 C가 나오는 세계의 중심과의 거리, B가 나오는 점과의 거리는 계속 달라진다. 따라서 D와 C[앞의 B와 불일치]는 그 면에서 계속 다른 점들을 가리키며, 앞서 말한 대로 참된 아우게는 언제나 가운데에 있다.

다만 운반원의 한쪽 반원에서는 A가 오른쪽에, B가 왼쪽에 있고, 다른 반원에서는 반대이다. 두 선이 하나로 될 때 서로 자리를 바꾸기 때문이다. 또한 A가 가리키는 점만 움직이지 않고 변하지 않는다는 사실도 분명하다.

움직이는 평균 아우게와 주전원 회전의 속도

그다음 “이로부터 또한 따라 나오는 것은 …”이라고 할 때에는 둘째 따름명제를 제시한다. 주전원은 자기 중심이 이심원의 위쪽 반원, 곧 세계의 중심에서 더 멀고 그 한가운데에 이심원의 아우게를 지닌 부분을 지날 때 더 빠르게 움직인다. 반대쪽의 나머지 반원을 지날 때에는 더 느리게 움직인다. 내가 말하는 빠르고 느림은 주전원 자체의 중심 둘레에서의 운동이다.

그런데 이 따름명제는 앞의 설명에서 어떻게 나오는가? 나는 다음과 같이 말한다. 주전원이 평균 아우게에서 날마다 13도씩 규칙적으로 움직이고, 평균 아우게는 계속 변하면서 주전원을 둘러싼 오목한 면의 움직이지 않는 점에서 멀어지거나 그 점에 가까워진다면, 주전원은 자기 중심 둘레에서 불규칙하게 움직여야 한다.

이는 다음과 같이 분명해진다. 어떤 표지로부터 날마다 같은 거리만큼 멀어지는 운동체가 있는데, 그 표지가 때로는 운동체를 뒤따르고 때로는 운동체로부터 달아난다고 하자. 그러면 그 표지가 뒤따를 때 운동체는 더 빨리 움직여야 하고, 그 표지가 달아날 때에는 더 느리게 움직여야 한다. 이는 그 자체로 분명하다. 달은 날마다 주전원의 평균 아우게에서 같은 거리, 곧 13도씩 멀어진다. 그런데 그 아우게는 때로 달을 뒤따르고 때로 달에게서 달아난다.

이심원을 네 점, 곧 아우게 A, 그 대점 B, 두 중간거리 또는 거의 중간거리인 C와 D로 나누면, 평균 아우게는 D 또는 그 근처에서 C 또는 그 근처까지 달을 뒤따르고, C에서 D까지는 달로부터 달아난다.

평균 아우게선은 B에서 A까지 참된 아우게선과 움직이지 않는 점의 선에 비해 동쪽에 있으며, 그 선들과 주전원의 중심에서 교차한다. A에서 B까지는 서쪽에 있다. A에서 동쪽 관계로부터 서쪽 관계로 바뀌는 것처럼, D 또는 조금 앞선 곳에서 변화가 시작된다. 따라서 D에서 서쪽으로 움직이기 시작하여 C 또는 그 근처까지 계속 움직인다. 그 결과 역시 서쪽으로 움직이는 달을 뒤따른다.

같은 방식으로 B에서 서쪽 관계로부터 동쪽 관계로 바뀔 때에는 C에서 변화가 시작된다. 따라서 C에서 동쪽으로 움직이기 시작하여 D 또는 그 근처까지 움직이며, 그 결과 달로부터 달아난다. 그러므로 달은 D에서 C까지 더 빠르게, C에서 D까지 더 느리게 움직인다. 이는 앞서 그린 첫 번째 도형에서 볼 수 있다.

마지막 부의 계산 용어 설명으로 넘어감

그다음 “그러므로 평균운동선은 …”이라고 할 때에는 상상적으로 설정되는 부수적 요소들을 다룬다. 먼저 달의 천구각들의 실제운동선과 평균운동선, 그리고 그 선들에 관련되는 것들을 다룬다. 둘째로는 “달의 이심원의 평면은 …”이라는 곳에서 용의 머리의 실제운동선과 평균운동선을 다룬다.

첫째 부분에서는 두 가지 일을 한다. 먼저 방금 말한 것을 설명하고, 둘째로 “그러나 균차들은 달라진다”라는 곳에서 몇 가지를 비교한다. 그 첫 설명도 두 가지로 나뉜다. 먼저 실제운동선과 평균운동선, 그리고 그 운동들 자체를 서술한다. 그다음 “중심차는 호이다”라는 곳에서, 실제의 것이지만 상상적으로 정해진 경계를 갖는 다른 것들을 설명한다. 그러므로 먼저 다음과 같이 말한다.

제3부 · 용어의 해설 — 달의 평균운동선과 실제운동선

제3부는 용어, 곧 그 뜻을 알아야 운동을 계산할 수 있는 낱말들을 해설한다.

그러므로 달의 평균운동선은 세계의 중심에서 주전원의 중심을 지나 황도까지 뻗어 나가는 선이다.

달의 평균운동은 황도에서 양 사인의 시작부터 앞서 말한 위치까지 이르는 호이다.

달의 센트룸은 앞서 말한 것들로부터 분명하다.

달의 실제 위치선, 곧 실제운동선은 세계의 중심에서 달의 몸체 중심을 지나 황도까지 뻗는 선이다.

달의 실제운동은 황도에서 양 사인의 시작부터 앞서 말한 선까지 이르는 호이다.

달의 센트룸과 운동·위치의 구별

이 부분 전체는 앞에서 말한 내용으로 명백하다. 그 내용으로부터 달의 센트룸이란 달의 평균운동선과 이심원의 아우게 사이에 놓이는 거리이며, 사인이 이어지는 순서에 따라 잰다는 점도 명백하다.

실제운동과 실제 위치가 어떻게 다른지는 태양 이론에서 알 수 있다. 여기서 실제운동을 양 사인의 시작부터 이어지는 호라고 하는 것은, 앞서 말한 선에 이르기까지 호 위에서 이루어진 운동을 사인의 순서에 따라 센다는 뜻이다. 그러나 실제 위치는 이 호의 끝이자 앞서 말한 선의 끝이다. 이 점은 그곳에서 더 자세히 설명하였다.

이어서 ‘중심차’라고 할 때에는 다른 몇 가지를 설명한다. 네 가지를 설명하므로 네 부분으로 나뉜다. 둘째는 ‘달의 평균 아르구멘툼’이라는 곳이고, 셋째는 ‘그러나 실제 아르구멘툼’이라는 곳이며, 넷째는 ‘아르구멘툼의 균차’라는 곳이다. 그러므로 첫째에 관하여 다음과 같이 말한다.

중심차의 정의

중심차는 주전원의 참된 아우게와 평균 아우게 사이에 끼이는 주전원의 호이다. 주전원의 중심이 이심원의 아우게 또는 그 대점에 있으면 이 균차는 없다. 그러나 그 중심이 운반원의 중간거리 지점들을 조금 못 미친 곳에 있을 때에는 최대가 된다.

왜 중심차라고 하는가

중심차라는 이름은 달의 주전원 중심이 균차를 필요로 하기 때문에 붙은 것이 아니라는 점에 유의해야 한다. 그 중심은 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직이며, 그 운동은 언제나 실제운동이지 결코 평균운동이 아니기 때문이다. 앞서 말했듯이, 달의 주전원이 그 운동을 따라 움직이는 달의 운반원은 세계의 중심 둘레에서 규칙적으로 움직인다.

오히려 중심차란 주전원 중심의 서로 다른 위치 때문에 필요한 균차를 뜻한다. 뒤에서 드러나겠지만, 그 중심의 위치가 달라짐에 따라 아르구멘툼들의 차이가 생기기 때문이다. 그러므로 표에서는 그 센트룸에 따라 어떤 균차를 놓는데, 이것이 아르구멘툼들의 균차이다. 앞서 말한 이유에서 이를 중심차라고 부르며, 그 외에 뒤에서 다룰 아르구멘툼의 다른 균차가 있기 때문이기도 하다.

주전원의 중심이 운반원의 아우게 또는 그 대점에 있을 때 이 균차가 없는 까닭은, 앞서 말한 대로 이 균차의 양끝을 정하는 두 선이 그때 하나의 선으로 합쳐지기 때문이다. 그러나 그 중심이 운반원의 중간거리 지점들에 조금 못 미친 곳에 있을 때에는 최대가 된다.

중간거리에 못 미친다는 말과 최대 균차의 위치

여기서 중간거리 지점들이라고 부르는 것은, 태양에 관하여 말했듯이 지구의 중심에서 양쪽으로 뻗어 아우게 선과 직각을 이루는 선이 정하는 지점들이다. 같은 이유에서 주전원의 중심이 아직 그 지점들에 도달하지 않았을 때에는 중간거리 지점들에 못 미쳐 있다고 하고, 자기 운동으로 그 지점들을 지나갔을 때에는 넘어서 있다고 한다. 그러므로 서쪽에서는 그 지점과 아우게의 대점 사이에서 그 지점에 못 미쳐 있을 때를 말하며, 동쪽에서는 그 지점과 아우게 사이에 있을 때를 말한다.

그러나 저자가 뜻하는 바는, 서쪽에서 못 미쳐 있을 때, 곧 이심원의 아우게 선에서 가로질러 나오는 어떤 선이 가리키는 점에 있을 때 균차가 최대라는 것이다. 동쪽에서는 넘어선 곳, 곧 아우게의 대점에서 같은 거리만큼 떨어진 점에 있을 때를 말한다. 저자는 한 중간거리 지점에는 못 미치고 다른 지점은 넘어섰다고 하지 않고, 단지 중간거리 지점들에 못 미쳤다고만 한다. 운동이 오는 쪽의 한 지점이 못 미친 곳에 있고 나머지 지점은 그것에 대응하기 때문이다.

균차가 최대가 되는 두 점, 또는 그 사이에 최대 균차가 놓이는 두 점이 무엇인지를 말하자면 다음과 같다. 평균 아우게 선이 이심원 중심이 그리는 원에 오직 한 점에서 접할 때, 곧 이심원의 아우게 선에 대하여 가로놓일 때, 참된 아우게 선과 평균 아우게 선이 닿는 점들이다. 그 배치는 이 그림과 같다.

중심차 도해

도해 설명(Scholia)

• A Centrum mundi: A — 세계의 중심.
• D Centrum deferentis: D — 운반원의 중심.

B·C의 반복 표지, 모든 원과 교차선은 원형 그대로 보존한다.

최대 균차의 위치를 정하는 세 견해

그러나 어떤 이들은 지구의 중심에서 이심원 중심의 반대편 점으로 나가는 선이, 지구의 중심에서 주전원의 중심으로 나가는 선과 직각을 이룰 때 균차가 최대라고 말한다.

또 어떤 이들은 주전원의 중심에서 서로 교차하는 참된 아우게 선과 평균 아우게 선이 서로 같을 때 최대라고 말한다.

그러므로 이에 관해서는 세 견해가 있다. 첫째는 아우게 선에 수직인 중간거리 선이 닿는 점에서 최대가 된다는 것이고, 둘째는 이심원의 중심점에서 나와 그 선과 평행한 선이 닿는 점에서 최대가 된다는 것이다. 셋째는 그 두 점의 중간점에서 최대가 된다는 것이다. 이 세 견해는 이 그림에 나타나 있다.

• CEN. DEF.: 운반원의 중심.
• 세로로 인쇄된 CENT. MVN.: 세계의 중심.
• B·C 선과 오른쪽의 세 OP. 표지는 그대로 보존한다. OP.는 세 견해를 비교하는 문맥상의 표지이며, 원문이 약어로만 인쇄했으므로 본문에 없는 번호나 완전한 라틴어 단어를 그림에 덧씌우지 않는다.

외곽 원과 안쪽 원, 작은 중심원, 선·글자 및 원상 자체의 끊어진 선을 그대로 보존했다. 훼손된 인쇄선을 추정하여 복원하지 않는다.

두 번째 견해를 지지하는 기하학적 논증

그러나 참일 수 있는 것은 둘째 견해뿐이다. 그 까닭은 다음과 같이 명백하다. 두 선이 서로 교차하여 더 큰 호를 끼워 잡게 되는 직접적인 원인은, 그 교점에서 이루는 각이 더 크다는 데 있다. 이 점은 그 자체로 명백하다.

그런데 이 각이 더 커지는 데에는 첫째로 바르게 놓인 밑변의 크기가 원인이 된다. 그 밑변이 클수록 삼각형의 두 변은 서로 더 멀리 벌어지고, 두 변이 만나는 각도 커진다. 여기서 바르다는 말은 직각을 이루는 밑변을 뜻하는 것이 아니라, 두 변이 같아지도록 그 변들에 대하여 바르게 놓인 밑변을 뜻한다. 어떤 때에 밑변이 그렇게 놓여 있지 않더라도, 두 변을 같게 했을 경우 그에 대응하여 바르게 놓일 밑변이 더 커질 만큼 그 각을 크게 한다.

둘째 원인은 두 선이 만나거나 교차하는 점이 가까워지는 데 있다. 다만 밑변의 같음은 유지되어야 한다. 바르게 놓인 밑변이 동일하거나 서로 같은 채로 있을 때에는, 두 변이 짧을수록 각이 커지기 때문이다. 이 가까워짐이 오직 한 변의 짧아짐만으로 생기더라도 그렇다. 그때에는 바르게 놓인 밑변이 그렇게 놓이지 않게 되고, 그것에 대응하는 바른 밑변은 더 커지기 때문이다.

그러므로 이 두 원인은 앞서 말한 세 점 가운데 둘째 견해가 말하는 점 외에는 어느 점에서도 함께 성립하지 않는다. 더 나아가 운반원의 둘레에서도 그러한 점 외에는 어느 점에서도 함께 성립하지 않으며, 운반원에는 그 점이 두 곳 있다.

그때 평균 아우게 선과 참된 아우게 선, 곧 C와 B가 이루는 삼각형의 밑변이 최대가 된다. B와 C의 밑변이 더 커지는 것과, 이심원의 중심이 그리는 원을 B가 잘라내는 부분이 더 작아지는 것은 서로 함께 일어나기 때문이다. B가 그 원을 같은 두 부분으로 나눌 때에는 밑변이 없다는 것이 명백하다. B가 이심원의 아우게 선과 같아질 때가 그러하다. 이어서 밑변은 차례로 커지고 잘리는 부분은 작아진다. 따라서 앞서 말한 점에서처럼 잘리는 부분이 없을 때에는 밑변이 최대가 된다.

그때 앞서 말한 두 선 각각은 다른 두 점에서보다 더 짧기도 하다. 아우게의 대점에 더 가깝기 때문이다. 또한 밑변이 작아지지 않는 한 그 선들은 더 짧아질 수 없다. 그때 밑변이 최대이고, 그 지점부터 줄어들기 시작하여 B와 C가 아우게의 대점에 있을 때의 상태에 이르기 때문이다. [말미 문장 연결 불확실] 이어서 둘째 항목에 관하여 말한다.

평균 아르구멘툼과 실제 아르구멘툼

달의 평균 아르구멘툼은 주전원의 평균 아우게에서 달 몸체 중심의 운동 방향을 따라 그 달의 중심까지 센 주전원의 호이다.

글의 뜻은 명백하다. 이어서 셋째 항목에 관하여 말한다. 그러나 실제 아르구멘툼은 참된 아우게에서 달 몸체의 중심까지 뻗는다. 그러므로 이 두 아르구멘툼이 서로 다를 때 그 차이는 중심차이다. 달의 센트룸이 여섯 사인보다 작으면 실제 아르구멘툼이 평균 아르구멘툼보다 크다. 그러므로 중심차를 평균 아르구멘툼에 더한다. 그러나 여섯 사인보다 크면 반대가 된다. 따라서 그때에는 실제 아르구멘툼을 얻기 위하여 그 균차를 뺀다. 용어: 중심차

주전원에서 두 아우게와 두 아르구멘툼의 관계

평균 아르구멘툼은 주전원 둘레에서 평균 아우게로부터 달의 중심까지, 그 중심의 운동 방향, 곧 동쪽에서 서쪽으로 센 호라는 점에 유의해야 한다. 이것은 참된 아우게에서 같은 달의 중심까지 이르는 실제 아르구멘툼에 대하여, 전체가 부분에 대하는 것과 같은 관계를 지닌다.

이는 주전원이 이심원의 아우게와 그 대점 사이의 서쪽에 있을 때의 일이다. 그때에는 평균 아우게가 언제나 더 동쪽에 있고 참된 아우게를 포함하기 때문이다. 반대로 주전원이 아우게의 대점과 아우게 사이의 동쪽에 있을 때에는 참된 아우게가 동쪽에 있고 평균 아우게를 포함한다. 이 점은 제시된 도형들로 명백하다.

그러므로 두 아르구멘툼이 서로 다를 때 그 차이가 중심차라고 한 것은 옳다. 앞서 그 균차를 참된 아우게와 평균 아우게 사이에 끼이는 호라고 하였기 때문이다. 그러나 주전원의 중심이 이심원의 아우게 또는 그 대점에 있으면 이 두 아르구멘툼은 서로 다르지 않다.

보통의 사인과 60도 사인 — 시간과 공간의 60진 분할

앞서 말한 내용을 이해하려면 다음을 알아야 한다. 위에서 말했듯이 주전원에는 그 한 부분이 양 사인이고 다른 부분이 황소 사인이라는 식의 고유한 이름을 가진 사인들은 없다. 그렇지만 그 안에도 사인은 있다. 곧 황도 사인의 부분들에 대응하는 부분들이 있다는 뜻이다. 주전원의 둘레도 황도처럼 360도로 나뉘고, 또한 각각 30도를 포함하는 보통의 사인 열둘로 나뉘기 때문이다. 또는 각각 60도를 포함하는 철학적 사인, 곧 자연학적 사인 여섯으로 나누기도 한다. 그러므로 주전원 둘레의 호들도 사인과 도에 따라 센다.

뒤의 내용을 이해하기 위해서는, 여기서는 보통의 사인들을 취하지만 천문학자들이 표에서는 계산을 쉽게 하려고 대개 철학적 사인들을 사용한다는 점도 알아야 한다. 시간을 60진수에 따라, 곧 사분·삼분·초로 나눌 때에는 그 각각에서 둘째 것은 첫째 것 60에 해당하고, 셋째 것은 둘째 것 60에, 넷째 것은 셋째 것 60에 해당한다. [단위 열거의 뜻은 역주 참조] 마찬가지로 공간도 스페인 왕 알폰소의 표에서 사용하는 방식에 따라 도·분·초·삼분·사분 등으로 나눈다. 사인도 60도로 나누면, 도를 60분으로, 분을 60초로 나누는 것과 마찬가지가 된다. 이런 식으로 시간의 모든 항목도 그 분할에 매우 쉽게 대응하게 되는데, 그 점은 표들에서 드러날 것이다.

센트룸이 여섯 사인보다 작거나 클 때의 가감

그러므로 저자는 달의 주전원 센트룸이 여섯 사인보다 작을 때 실제 아르구멘툼이 평균 아르구멘툼보다 크다고 말한다. 이는 주전원이 자기 운반원의 서쪽에서 동쪽으로 향하는 운동을 따라, 운반원의 아우게에서 시작하여 아직 보통의 사인 여섯을 지나지 않았을 때를 뜻한다. 달은 그 아우게에서 태양과의 합을 통하여 한 번의 회전을 마친다.

이때 세는 곳은 운반원이 아니라 주전원이며, 사인이 이어지는 순서와 반대 방향으로 센다. 앞서 말한 대로 실제 아르구멘툼이 시작되는 참된 아우게가 그때 평균 아우게보다 더 동쪽에 있고 그것을 포함하기 때문이다. 따라서 실제 아르구멘툼을 얻으려면 평균 아르구멘툼에 중심차를 더해야 한다.

그러나 여섯 사인보다 클 때, 곧 이미 아우게의 대점을 넘어 움직였을 때에는 반대가 된다. 그때에는 평균 아우게가 더 동쪽에 있기 때문이다. 따라서 그때 실제 아르구멘툼을 얻으려면 균차를 빼야 한다. 이어서 넷째 항목에 관하여 말한다.

아르구멘툼 균차의 정의와 가감

아르구멘툼의 균차는 평균운동선과 실제운동선 사이에 놓이는 황도의 호이다. 달 몸체의 중심이 주전원의 참된 아우게 또는 그 대점에 있을 때에는, 주전원의 중심이 어디에 있든 이 균차가 없다.

그러나 주전원의 중심이 이심원 아우게의 대점에 있고, 동시에 달이 세계의 중심에서 주전원의 둘레에 접하도록 그은 선 위에 있을 때에는 이 균차가 최대가 된다.

실제 아르구멘툼이 여섯 사인보다 작을 때에는 평균운동선이 사인의 순서에서 실제운동선보다 앞선다. 그러므로 그때에는 평균운동에서 아르구멘툼의 균차를 뺀다. 그러나 여섯 사인보다 클 때에는 반대가 된다. 따라서 그때에는 실제운동이 나오도록 그 균차를 더한다.

아르구멘툼과 그에 대응하는 황도호

그러므로 달의 아르구멘툼 균차는 평균운동선과 실제운동선 사이에 놓이는 황도호라고 말한다. 두 선은 모두 지구의 중심에서 나오지만, 하나인 평균운동선은 달의 주전원 중심을 지나고 다른 하나는 달의 중심을 지난다.

실제 아르구멘툼이 이 두 선 사이의 주전원 둘레에 놓이는 호이므로, 그 뜻은 명백하다. 아르구멘툼의 균차는 같은 두 선 안에서 그 아르구멘툼에 대응하는 황도호 외에 다른 것이 아니다. 따라서 달의 중심이 주전원의 참된 아우게 또는 그 대점에 있으면 이 균차는 없다. 그때에는 두 선이 하나이고 어떤 호도 끼워 잡지 않기 때문이다.

이는 주전원의 중심이 어디에 있든, 이심원의 아우게에 있든 다른 어디에 있든 그러하다. 주전원의 중심이 어디에 있더라도 참된 아우게 선은 세계의 중심에서 나와 그 점을 지난다. 달이 참된 아우게 또는 그 대점에 있다면 실제운동선도 마찬가지이다. 그때 달의 중심을 가리키려면 앞서 말한 선들과 같아질 수밖에 없기 때문이다.

그러나 주전원의 중심이 아우게의 대점에 있고, 동시에 달이 세계의 중심에서 주전원의 둘레에 접하도록 그은 선 위에 있으면 이 균차는 최대가 된다. ‘접하도록’은 그 선에 접한다는 뜻이다. 그 선은 주전원이나 달을 가로질러 지나가지 않고, 주전원과 달의 둘레에 접할 뿐이다. 또는 달이 ‘접한 채 있다’는 말은 선과 둘레가 닿는 곳에 있다는 뜻이다. 이 그림에서 명백한 바와 같다.

• CEN. DE.: 운반원의 중심.
• CEN. MVN.: 세계의 중심.
• 세로축·주전원 전체·왼쪽 접점·접선 및 굽은 호를 그대로 보존한다.

아르구멘툼 균차가 최대가 되는 두 원인

그 이유는 이 균차가 더 커지는 원인이 두 가지이기 때문이다. 하나는 달의 중심과 주전원의 중심을 지나는 선 사이의 거리가 더 큰 것이다. 그 거리가 클수록 그것을 끼우는 두 선은 더 넓게 벌어지고, 그 결과 황도에서 더 큰 호를 끼워 잡는다. 이 거리는 달이 앞서 말한 배치에 있을 때보다 더 커질 수 없다. 그때 달은 주전원의 중심을 지나는 선과 직각을 이루는 선 위에 있기 때문이다.

다른 원인은 이 거리가 세계의 중심에 가까워지는 것이다. 세계의 중심에서 각을 이루는 두 선의 간격이 같더라도, 그 간격이 각의 꼭짓점에 가까울수록 두 선은 더 크게 벌어진다. 그런데 주전원의 중심이 아우게의 대점에 있을 때보다 더 가까워질 수는 없다. 그때 가장 가까운 거리의 위치에 있기 때문이다.

달이 주전원 앞쪽과 뒤쪽에 있을 때

이 균차는 어떤 때에는 평균운동에서 빼고, 어떤 때에는 거기에 더한다. 참된 아우게에서 시작하는 실제 아르구멘툼이 여섯 사인보다 작을 때, 곧 주전원 둘레에서 그 운동 방향을 따라, 다시 말해 사인의 순서와 반대로 센 보통의 사인 여섯보다 작을 때를 보자. 달이 주전원의 아우게와 그 대점 사이에서 오른쪽, 곧 서쪽에 있을 때가 이에 해당한다.

그때 주전원의 중심을 지나는 평균운동선은 달의 중심을 지나는 실제운동선보다, 동쪽을 향하는 사인의 순서에서 앞선다. 따라서 그때 달의 평균운동은 실제운동보다 크다. 앞서 말한 대로 평균운동선이 앞서 있기 때문이다. 이 말은 동쪽을 향하는 운반원의 운동에 관해서 이해해야 한다. 그러므로 그때에는 실제운동을 얻기 위하여 평균운동에서 아르구멘툼의 균차를 뺀다.

그러나 여섯 사인보다 클 때, 곧 달이 주전원 아우게의 대점을 지나갔을 때에는 반대이다. 실제운동선이 더 동쪽에 있고 사인의 순서에서 앞서기 때문이다. 따라서 실제운동이 더 크며, 실제운동이 나오도록 평균운동에 균차를 더한다.

달의 운동선과 균차의 도해

도해 설명(Scholia)

1. T–B는 평균운동선이며 D점에서 주전원의 참된 원지점도 가리킨다.
2. 주전원 위 E점은 평균 원지점이다.
3. 평균운동은 황도의 호 A–B이다.
4. F는 달을 나타내는 표지이다.
5. 실제운동선은 T–F–C이다.
6. 실제운동은 황도의 호 A–C이다.
7. 중심차는 주전원의 호 D–E이다.
8. 평균 아르구멘툼은 주전원의 호 E–F이다.
9. 실제 아르구멘툼은 D–E–F이다.
10. 아르구멘툼 균차는 황도의 호 B–C이다.

원형 전체·각 주전원·문자 및 바깥 사인 표지는 원본대로 보존한다. 문자 방향이 회전된 부분도 회전·재배치하지 않는다. 이어지는 두 균차의 가감 적용과 제1절 「지름 차와 비례분」은 기존 번역의 원래 순서에 둔다.

도해에 덧붙인 두 균차의 적용 순서

주전원이 이심원의 아우게를 떠나 그 대점으로 갈 때에는 실제 아르구멘툼을 얻기 위하여 평균 아르구멘툼에 중심차를 더해야 한다. 그러나 주전원의 중심이 아우게의 대점에서 다시 그 아우게로 갈 때, 곧 N 또는 O 부분에서처럼 달의 센트룸이 여섯 사인보다 클 때에는 그 균차를 뺀다.

한편 아르구멘툼의 균차는 아르구멘툼이 여섯 사인보다 작을 때에는 평균운동에서 빼고, 더 클 때에는 더한다. 이로부터 마침내 달의 실제 위치가 구해진다.

이어서 ‘그러나 균차들은 달라진다’라고 할 때에는 앞서 말한 것들 가운데 일부, 곧 몇몇 아르구멘툼 균차를 서로 비교한다. 이는 두 부분으로 나뉜다. 먼저 앞서 말한 것들을 비교하고, 다음으로 ‘그러나 이들의 초과분’이라는 곳에서 비교한 한 값이 다른 값보다 얼마나 더 큰지를 취하는 법을 가르친다. 그러므로 첫째에 관하여 다음과 같이 말한다.

지름 차와 비례분 — 같은 아르구멘툼의 서로 다른 균차

지름 차와 비례분에 관하여.

I. 그러나 주전원의 중심이 운반원의 아우게에서 그 대점으로 갈 때에는 같은 아르구멘툼들의 균차도 달라진다. 주전원의 중심이 세계의 중심에 가까워짐에 따라 그 균차들은 계속 커지기 때문이다. 그 결과 각각 대응하는 값을 서로 비교하면, 주전원의 중심이 이심원의 아우게 대점에 있을 때 생기는 각 아르구멘툼의 균차는 그 중심이 이심원의 아우게에 있을 때 생기는 각 균차보다 크다. 이 값들이 저 값들보다 더 큰 초과분을 ‘작은 원의 지름 차’라고 부른다.

같은 주전원호를 비교한다는 조건

이를 위해서는 앞서 말한 대로 실제 아르구멘툼의 균차가 주전원의 참된 아우게 선, 곧 달의 평균운동선과 실제운동선 사이의 주전원호에 대응하는 황도호라는 점을 알아야 한다. 같은 주전원호라도 지구에 더 가까운지 더 먼지에 따라 그에 대응하는 황도호는 더 크거나 더 작다. 앞의 본문에서 말했듯이, 이것이 균차가 더 커지는 둘째 원인이기 때문이다.

또한 달의 표에 실린 아르구멘툼 균차들은 주전원의 중심을 이심원의 아우게에 움직이지 않게 놓거나, 가정상 그렇게 인정하여 계산한 것임을 알아야 한다. 이는 이 도형에 따라 하나의 호에 얼마만 한 황도호가 대응하는지를 알기 위해서이다.

그러므로 주전원을 아우게의 대점에 놓으면 같은 주전원호들에 대응하는 균차들은 더 커질 것이다. 따라서 아우게에 있는 주전원의 호에 해당하는 균차를, 아우게의 대점에 있는 주전원의 같은 호 A에 해당하는 균차와 비교하면, 첫째가 둘째보다 더 클 것이다. 위에 그린 도형에서 명백한 바와 같다.

• 위·아래 ZODIACVS: 황도.
• CEN. DEF.: 운반원의 중심.
• CEN. MVN.: 세계의 중심.
• 오른쪽 원 안의 EPICICLVS: 주전원.
• A·B 표지와 모든 호·원·선은 원형대로 보존한다.

원문 비교급 불일치의 명시

「같은 주전원호를 비교한다는 조건」 마지막 문장 ‘첫째가 둘째보다 더 클 것이다’는 원문 erit prima maior quam secunda 그대로이다. 이는 바로 앞에서 원지점의 대점에 있는 주전원의 균차가 더 크다고 설명한 관계와 상충한다. 번역에서 비교 대상을 바꾸거나 ‘작다’로 고치지 않고 원문 불일치로 남긴다.

거리가 달라질 때의 균차 — 대응값끼리 비교해야 한다

그러므로 저자가 ‘달라진다’고 한 것은, 주전원의 중심이 운반원의 아우게에서 그 대점으로 사인의 순서를 따라 움직일 때, 같은 아르구멘툼, 곧 크기가 같은 주전원호의 균차가 더 커지는 쪽으로 달라진다는 뜻이다. 주전원호들이 계속 지구의 중심에 더 가까워지기 때문이다. 이것이 균차를 더 크게 만드는 둘째 원인이다.

그래서 ‘계속 커진다’고 덧붙인 것이다. 곧 주전원의 중심이 세계의 중심에 접근함, 다시 말해 가까워짐에 따라 균차 자체가 커진다는 뜻이다. 같은 이유에서 주전원이 아우게의 대점에서 아우게로 움직이면 균차가 작아진다는 점도 이해해야 한다.

이로부터 주전원의 중심이 이심원의 아우게 대점에 있을 때 생기는 각 균차는 그 중심이 아우게에 있을 때 생기는 균차보다 크다는 결론을 낸다. 이는 각각 대응하는 것을 그 대응값과 비교할 때, 곧 양쪽에서 크기가 같은 주전원호를 취할 때의 말이다. 그렇지 않으면 반대가 될 수 있으며, 그 중심이 이심원의 아우게에 있을 때 균차가 더 클 수도 있다. 예컨대 달의 중심이 주전원의 아우게 또는 그 대점 가까이 있을 때의 균차를, 실제 아르구멘툼의 호가 더 큰 주전원 중간거리 지점들에서 생기는 균차와 비교하는 경우가 그러하다.

왜 ‘작은 원의 지름 차’라고 하는가

이어서 ‘그러나 이 값들의 초과분’이라고 할 때에는 한 균차가 다른 균차보다 얼마나 큰지를 취하는 법을 가르친다. 여기서는 세 가지를 한다. 먼저 그 초과분을 어떻게 부르는지 말하고, 둘째로 ‘그러나 세계의 중심에서 그은 선’이라는 곳에서 이 초과분을 얻을 근거를 제시한다. 셋째로 ‘그러므로 주전원의 중심이’라는 곳에서 그것을 얻는 방법을 이끌어 낸다. 그러므로 첫째에 관하여 ‘그러나 초과분은…’이라고 말한다.

이 초과분은 같은 직각사인, 곧 주전원 둘레의 호에 대한 시위들이 세계의 중심으로부터 서로 다른 가까움에 놓이기 때문에 생긴다는 점에 유의하라. 그런데 직각사인은 그 원의 지름 위에서 계산한다. 따라서 앞서 말한 초과분을 작은 원, 곧 주전원의 지름 차라고 부른다.

이어서 ‘그러나 선은’이라고 할 때에는 이 초과분을 얻을 근거를 제시한다. 여기서 제시하는 네 가지에 따라 이 부분은 네 부분으로 나뉜다. 둘째는 ‘그러나 그 선의 초과분’이라는 곳이고, 셋째는 ‘왜냐하면 그 선은’이라는 곳이며, 넷째는 ‘그러나 균차들은’이라는 곳이다. 그러므로 다음과 같이 말한다.

비례분 60의 정의와 표에 실린 기본 균차

II. 세계의 중심에서 운반원의 아우게까지 그은 선은, 같은 중심에서 아우게의 대점까지 뻗은 선보다 길다. 앞의 선이 뒤의 선보다 더 긴 부분을 같은 크기의 60부분으로 나눈 것을 비례분이라고 부르며, 이 초과 길이는 이심거리의 두 배이다.

달의 평균운동선이 이심원의 아우게를 향할 때에는 그 부분들 가운데 어느 것도 이심원 둘레 바깥에 두지 않고 전부 안에 둔다. 반대로 아우게의 대점을 향하는 선은 전부 바깥에 두고 어느 것도 안에 두지 않는다. 그러나 이심원의 다른 위치로 뻗는 선들은 그 부분들 가운데 얼마를 바깥에 둔다. 주전원의 중심이 아우게의 대점에 가까울수록 더 많은 부분을 바깥에 두고, 아우게에 가까울수록 더 적게 둔다.

III. 표에 적힌 아르구멘툼 균차들은 주전원의 중심이 운반원의 아우게에 있을 때 생기는 값들이다.

IIII. 그러나 앞서 말했듯이 그 값들은 주전원의 중심이 다른 곳에 놓였을 때 생기는 값들보다 작다.

균차의 전체 초과분을 60부분으로 나누는 이유

그러므로 첫째는 세계의 중심에서 달 운반원의 아우게로 나가는 선이, 같은 중심에서 아우게의 대점으로 나가는 선보다 길다는 것이다. 이는 명백하다. 둘째에 관해서는 한 선이 다른 선보다 더 긴 부분을 60부분으로 나눈 것을 비례분이라고 부른다고 말한다.

이를 위해서는 앞서 말한 대로 하나의 동일한 아르구멘툼, 곧 주전원호의 균차, 다시 말해 그 호에 대응하는 황도상의 거리가 어떤 곳에서는 크고 어떤 곳에서는 작다는 점을 알아야 한다. 그 호가 세계의 중심에 더 가까운지 덜 가까운지에 따라 달라지기 때문이다. 따라서 서로 대응하는 값들을, 곧 다른 조건이 같은 것들을 비교하면, 달의 중심이 이심원의 아우게 대점에 있을 때 균차가 최대이고 아우게에 있을 때에는 작다.

큰 값이 작은 값보다 더 큰 부분 전체를 취하여 60으로 나눈다. 그러므로 아우게로 그은 선이 그 대점으로 그은 선보다 더 긴 부분도 60으로 나누면, 이 선분의 부분들은 저 균차 초과분의 부분들과 비례할 것이다. 하나는 이 초과분과 저 초과분 모두의 60분의 1이며, 30분의 것·셋째 것·20분의 것·넷째 것·15분의 것도 그와 같이 대응한다. [이 열거의 연결은 불확실하다.]

그러므로 한 선이 다른 선보다 더 긴 부분을 ‘미누타’, 곧 작은 부분들이라고 부른다. 말하자면 그 방식이나 실제 나눔에서 가장 작은 것이라는 뜻이다. [이 구문의 판독·해석은 불확실하다.] 그러나 우리의 능력에 비추어 더 나눌 수 없는 것이라는 뜻은 아니다. 그 초과분을 100으로 나누고 이것들을 미누타라고 부를 수도 있었기 때문이다.

또 그 부분들이 균차 초과분의 부분들에 비례하므로 비례분이라고 부른다. 이 초과 길이는 이심거리, 곧 세계의 중심과 달 운반원의 중심 사이 선분의 두 배이다. 아우게가 높아지는 만큼 그 대점은 낮아지기 때문이다. 예컨대 아우게가 30만큼 높아지고 대점은 전혀 낮아지지 않는다면, 그 초과 길이는 아우게가 높아진 양과 같은 이심거리에 해당할 것이다. 그러나 아우게가 높아지는 만큼 그 대점도 낮아지므로 두 배, 곧 60이 나온다.

평균운동선의 안팎에 비례분을 놓는 방법

셋째에 관해서는 ‘왜냐하면 그 선은’이라고 말하는데, 이는 ‘그러므로’라는 뜻으로 쓴 것이다. 여기서 nanque는 증명을 제시하는 뜻으로 쓰이지 않는다. 뒤에 덧붙이는 내용은 앞서 말한 것의 증명이 아니기 때문이다. 오히려 문장을 잇거나 이어 나가는 뜻으로 쓴 것이다.

그러므로 달의 평균운동선, 곧 달 주전원의 중심을 지나 이심원의 아우게를 향하는 선은, 이 부분들, 곧 60비례분 가운데 어느 것도 이심원 둘레 바깥에 두지 않는다고 말한다. 여기서 둘레란 이심원의 아우게 점이 세계의 중심 둘레에서 그리는 둘레이다. ‘둔다’는 것은 가지고 있다는 뜻이며, 그 부분들을 전부 안쪽에 가지고 있다.

이를 이해하기 위하여 이심원 중심에서 그 아우게로 나가는 선에서 앞서 말한 60비례분이 포함하는 만큼을 취하고, 그것을 여섯 부분으로 나누자. 각각은 앞서 말한 비례분 10에 해당한다. 이 여섯 부분을 일곱 점으로 표시하되, 이 도형에 따라 가장 위의 점은 아우게이고 가장 아래의 점은 아우게의 대점이라고 하자.

비례분과 지름 차의 도해 — 13도와 15도의 예

달의 비례분과 지름 차의 이론.

바깥 원과 각 동심원·주전원·부채꼴 선, 10·20·30·40·50·60의 수치, A·B·C·D·E·F·H·T 등 인쇄된 문자와 기호를 원형대로 보존한다. 별도 문장 라벨은 없다. 수치와 문자 일부가 선 또는 먹과 겹치는 곳도 추정 재작성하지 않는다.

그림에 덧붙인 설명: 주전원호 D–F가 여덟 사인의 아르구멘툼이라고 하자. 그로부터 이심원의 아우게에서는 황도호 B–C 13도의 아르구멘툼 균차가 나오고, 아우게의 대점에서는 같은 B–C가 15도를 포함한다고 하자. 그러면 두 균차의 차이, 곧 지름 차라고 부르는 값은 2도가 된다.

표에 적힌 달의 아르구멘툼 균차들은 이심원의 아우게에서 생기는 값들이므로 모두 가장 작은 값들이다. 주전원의 중심이 아우게의 대점에 있으면 전체 비례분, 곧 60을 가진다. 따라서 실제 균차를 얻으려면 표에서 찾은 균차에 지름 차 전체를 더해야 한다.

그러나 주전원이 중간거리 부근에 놓여 비례분의 절반, 곧 30을 가진다면, 같은 균차에 지름 차의 절반을 더하여 실제 균차를 만든다. 앞에서 가정한 예에서는 균차가 13도이고 지름 차가 2도였다. 그 절반인 1도를 아직 보정되지 않은 균차에 더하면 실제 균차는 14도가 된다.

일곱 점이 그리는 두 종류의 원둘레

그러므로 이 점들은 자기 운동으로 두 종류의 원둘레를 그릴 것이다. 먼저 운반원의 다른 운동에 따라 세계의 중심 둘레에 일곱 원을 그린다. 그 운동이 세계의 중심 둘레에서 이루어지기 때문이다. 이 원들은 각각 세계와는 동심이고 이심원의 중심에 대해서는 이심이다. 마찬가지로 이심원 자체의 운동에 따라 이심원의 중심 둘레에도 일곱 원을 그린다. 그 운동은 그 중심 둘레에서 이루어지기 때문이다. 이 원들은 각각 이심원과는 동심이고 세계의 중심에 대해서는 이심이다.

이심원의 중심 둘레에 그린 모든 원은 앞서 말한 비례분을 자기 바깥에 가진다. 그 가운데 첫 원은 아우게가 그리며 아우게의 대점도 지나기 때문이다. 아우게와 그 대점은 이심원의 중심에서 같은 거리만큼 떨어져 있다. 그런데 아우게의 대점은 그 비례분 전체의 폭만큼 이심원의 중심에 더 가깝다. 이 비례분은 아우게의 대점 바깥에 있는 거리의 초과분을 나눈 것이다. [이 단락의 중심 지시와 문장 연결은 불확실하다.]

한편 앞서 말한 일곱 점이 세계의 중심 둘레에 그리는 원들 가운데, 그 비례분을 모두 포함하는 것은 아우게가 그리는 단 하나의 원뿐이다. 아우게는 세계의 중심에서 그 비례분으로 나눈 거리의 바깥 끝만큼 떨어져 있기 때문이다. 같은 중심에서 보아 아우게는 중심 쪽의 다른 끝인 아우게의 대점보다 그 전체 거리만큼 더 멀다.

그러나 둘째 점이 그리는 둘째 원은 이미 10비례분을 바깥으로 내놓고, 셋째 원은 20, 넷째는 30, 다섯째는 40, 여섯째는 50, 일곱째는 60을 바깥으로 내놓는다. 따라서 저자는 이심원의 아우게로 뻗은 선이 그 모든 부분을 안에 가진다고 말한다. 곧 그 선의 끝점이 모든 부분을 포함하는 원둘레를 그린다는 뜻이다. 아우게의 대점으로 뻗은 선은 반대 이유에서 모든 부분을 밖에 둔다. 그러나 이심원의 다른 위치, 곧 앞서 말한 도형에서 아우게와 그 대점 사이에 표시한 다른 점들로 뻗는 선들은, 아우게 또는 그 대점에 얼마나 가까운지에 따라 더 많은 부분 또는 더 적은 부분을 바깥에 둔다.

넷째에 관해서는 이미 앞에서 말한 것을 다시 말한다. 표에 적힌 아르구멘툼 균차는 주전원의 중심이 이심원의 아우게에 있을 때 생기는 균차와 같은 종류의 값들이며, 앞의 설명으로 알 수 있듯이 모두 가장 작은 값들이다. 이어서 앞서 말한 초과분을 얻는 법을 다음과 같이 가르친다.

비례분에 따른 지름 차의 가산

IIII. 그러므로 주전원의 중심이 어느 위치에 놓이면—달의 센트룸이 어떤 값을 가질 때가 그러하다—센트룸을 이용하여 표에서 비례분을 취하고, 실제 아르구멘툼을 이용하여 지름 차를 취한다. 비례분이 60이면, 앞서 표에서 얻은 아르구멘툼 균차에 지름 차 전체를 더한다.

그러나 비례분이 60보다 작으면 전체를 더하지 않고, 비례분이 60에 대하여 가지는 비율과 같은 비율의 일부만 더한다. 그러면 그 주전원의 위치에 해당하는 실제 아르구멘툼 균차가 나온다.

비례분이 나타내는 중간 위치의 보정량

이 본문에 관하여 다음 점에 유의해야 한다. 앞의 설명으로 명백하듯이, 같은 주전원호라도 지구에서 더 먼지 더 가까운지에 따라 그에 대응하는 균차, 곧 황도호는 어떤 곳에서는 더 크고 어떤 곳에서는 더 작다.

가장 먼 극한 거리인 아우게에서 가장 가까운 극한 거리인 아우게의 대점으로 가려면 중간을 거쳐야 한다. 따라서 주전원이 아우게의 대점에 가까워질수록, 자기의 멂과 가까움의 비율에 따라 그 대점의 상태에 더 많이 참여한다. 앞서 말한 비례분이 이 거리를 알려 준다.

그 비례분이 60으로 나눈 전체 선의 얼마만 한 부분인지에 따라, 지름 차에서도 그와 비례하는 부분이 따로 취해진다. 지름 차란 아르구멘툼 균차의 차이이며, 표에서는 아우게에서 취한 아르구멘툼 균차 곁에 표시되어 있다. 원둘레 바깥으로 나온 비례분이 커지는 만큼 균차도 커진다. 주전원이 세계의 중심에 더 가까워지는 상태에 그만큼 참여하기 때문이다. 따라서 아우게에서 취한 균차와 같은 값을 얻어야 한다면, 앞서 말한 지름 차에서 줄여야 한다.

센트룸으로 비례분을, 실제 아르구멘툼으로 지름 차를 찾는다

그래서 ‘그러므로 주전원의 중심이 다른 곳에 놓이면’이라고 말한다. 이는 아우게가 아닌 다른 곳에 놓인다는 뜻이며, 달의 센트룸이 어떤 값을 가질 때가 이에 해당한다. 앞의 설명으로 알 수 있듯이 달의 센트룸은 이심원의 아우게와 주전원의 중심, 또는 달의 평균운동선 사이의 거리이기 때문이다.

센트룸으로 표에서 비례분을 취한다는 말은, 달의 센트룸, 곧 주전원 중심이 아우게에서 떨어진 거리에 따라 취한다는 뜻이다. 이 비례분은 주전원의 중심이 아우게에서 멀어지는 정도, 곧 달의 센트룸이 커지는 정도에 따라 커진다. 또한 실제 아르구멘툼으로 지름 차, 곧 균차의 차이를 취한다.

실제 균차를 얻으려면 어떤 때에는 표에서 앞서 얻은 아르구멘툼 균차에 지름 차 전체를 더해야 한다. 비례분이 60일 때가 그러하다. 그때에는 균차의 초과분이 최대이기 때문이다. 그러나 비례분이 60보다 작을 때에는 전체를 더하지 않는다. 그때에는 비례분이 60에 대하여 가지는 비율만큼의 일부를 더한다.

60이라는 수의 열 가지 분할

그러나 이런 초과분, 곧 긴 선이 짧은 선보다 더 긴 부분이나 큰 균차가 작은 균차보다 더 큰 부분을, 다른 수보다 60부분으로 나눈 까닭에 주목해야 한다. 천문학자들은 모든 양을 60으로 나누기 때문이다. 예컨대 자연학적 사인을 60도로, 도를 60분으로, 분을 60초로, 초를 60삼분으로 나누고, 그 뒤도 마찬가지이다. 표에서는 시간도 나누는데, 하루는 24시간으로, 각 시간은 60분으로, 분은 60초로 나누며 이후도 같다.

프톨레마이오스는 『알마게스트』 제1권 제9장에서 그 이유를 설명한다. 계산을 하는 점성가는 특히 비례하는 부분들을 취하기 위해 여러 방식으로 나눌 수 있는 수가 필요하다는 것이다. 그런데 60보다 작은 수 가운데 60만큼 여러 부분으로 나눌 수 있는 수는 없다.

60은 열 가지 방식으로 나뉜다. 첫째, 두 절반으로 나누면 각각 30이다. 둘째, 세 개의 3분의 1로 나누면 각각 20이다. 셋째, 네 개의 4분의 1로 나누면 각각 15이다. 넷째, 다섯 개의 5분의 1로 나누면 각각 12이다. 다섯째, 여섯 개의 6분의 1로 나누면 각각 10이다. 여섯째, 열 개의 10분의 1로 나누면 각각 6이다. 일곱째, 열두 개의 12분의 1로 나누면 각각 5이다. 여덟째, 열다섯 개의 15분의 1로 나누면 각각 4이다. 아홉째, 스무 개의 20분의 1로 나누면 각각 3이다. 열째이자 마지막으로 서른 개의 30분의 1로 나누면 각각 2이다.

이처럼 여러 정수 부분으로 나눌 수 있으므로 점성가가 이 수를 앞세워 자기 계산에 사용하는 것은 마땅하다. 또한 표에는 주전원이 이심원의 아우게에서 떨어진 다양한 위치와 달 센트룸의 변화에 따라 여러 비례분 값이 나타나므로, 이 60이라는 수로 나누는 것이 필요하였다. 이것들을 미누타라고 부르는 것도 그 때문이다. 미누툼은 한 도의 60분의 1이며, 마찬가지로 이 각각의 부분도 그 초과분의 60분의 1이다. 그 초과분은 한 도와 마찬가지로 하나의 전체라는 점에서 도와 공통적이다.

비례분의 계산 예 — 6도에서 3도를 취하기

또한 비례분을 이용하여 달의 지름 차에서 비례하는 부분을 취한다는 점에 유의해야 한다. 앞서 말한 대로, 비례분이 60에 대하여 가지는 것과 같은 비율을 전체 지름 차에 대하여 가지는 부분을 취하기 때문에 비례분이라는 이름이 붙었다.

이 계산은 본래 표의 사용 규칙에서 설명하는 편이 더 알맞다. 그러나 그곳에서는 계산의 이유를 밝히지 않아 계산 절차가 다소 혼란스러우므로, 비례의 규칙에 따라 여기서 설명하는 것이 적절하다.

예를 들어 지름 차가 6도라고 하자. 비례분이 60이라면 이 6도 전체를 균차에 더해야 한다. 그러나 비례분이 30뿐이므로, 30이 60에 대하는 것과 같은 비율로 전체 지름 차에 대하는 부분을 취하겠다.

이를 위해 세 수를 차례로 놓는다. 첫째는 60비례분이고, 둘째는 지름 차 6도이며, 셋째는 30비례분이다. 그리고 첫째 수가 둘째 수에 대하는 것과 같은 비율로 셋째 수가 대할 넷째 수를 구한다. 그러므로 셋째 수에 둘째 수를 곱한다. 곧 30에 6을 곱하면 180이 나온다. 이것을 첫째 수인 60으로 나누면 3이 된다.

이것이 넷째 수, 곧 지름 차의 일부이다. 30비례분이 이 3에 대하는 관계는 60이 전체 지름 차 6에 대하는 관계와 같으며, 양쪽 모두 10배의 비율이다. 비례분이 30일 때 균차에 더해야 하는 것은 이 지름 차의 일부이다.

이어서 저자는 ‘달 이심원의 평면’이라고 할 때 용의 머리와 꼬리의 실제운동선과 평균운동선을 다음과 같이 논한다.

달의 용 — 머리와 꼬리의 정의 및 운동

달의 용에 관하여.

앞서 말했듯이 달 이심원의 평면은 아우게를 운반하는 천구각들의 극이 기울어져 있기 때문에, 세계의 지름 위에서 황도면과 교차한다. 그러므로 그 한 부분은 황도에서 북쪽으로, 다른 부분은 남쪽으로 기울어진다. 달 이심원의 둘레와 황도면이 만나는 교차점 가운데, 주전원의 중심이 그곳에 이르렀을 때 북쪽으로 움직이기 시작하는 점을 용의 머리라고 부르고 나머지 점을 꼬리라고 부른다.

이 교차점들은 달의 다른 세 천구각이 이루는 집합을 둘러싸는 천구각의 운동에 힘입어, 일주운동 이외에 매일 서쪽으로 약 3분씩 움직인다.

그러므로 달의 용의 머리의 평균운동은, 양 사인의 시작부터 사인이 이어지는 순서와 반대로, 세계의 중심에서 머리의 교차점을 지나 뻗는 선까지 센 황도호이다.

그러나 머리의 실제운동은 양 사인의 시작부터 앞서 말한 선까지 사인의 순서에 따라 센 황도호이다.

꼬리에 관해서도 마찬가지로 말할 수 있다.

이로부터 열두 사인에서 머리의 평균운동을 빼면 그 실제운동이 남는다는 점이 명백하다. 그래서 달의 머리가 평균운동으로 궁창과 반대로 가는 만큼 실제로는 궁창과 함께 간다는 통상적인 말을 다음과 같이 이해한다. 달의 머리의 평균운동은 사인의 순서와 반대 방향으로, 실제운동이 사인의 순서에 따라 이르는 바로 그 점까지 뻗는다는 것이다.

황도는 선만이 아니라 폭을 지닌 띠이다

이 부분 전체도 앞서 말한 것으로 명백하다. 그래도 초학자를 위하여 저자가 여기서 주로 다섯 가지를 한다고 말해 두자. 첫째는 앞에서 말한 몇 가지의 요약이며 본문의 뜻은 명백하다. 둘째는 ‘그러므로 그 교차점’이라는 곳에서 용의 머리와 꼬리가 무엇인지 설명하는 것으로, 그 본문 역시 명백하다. 셋째는 ‘그러나 움직인다’라는 곳에서 용의 머리와 꼬리의 운동을 논하며 이것도 명백하다. 넷째는 ‘그러므로 평균운동은’이라는 곳에서 머리의 평균운동과 실제운동, 따라서 꼬리의 그것도 설명한다.

그러나 이 부분을 위해 먼저 알아야 할 점이 있다. 앞의 설명에서 드러나듯이 황도대는 한 선이 아니라 폭이 12도인 면이며, 그 가운데를 지나는 원형의 선을 황도라고 부른다. 그러므로 황도에서 기울어져 벗어나는 것도 황도대 안에 포함될 수 있고 황도대의 호에 따라 정의될 수 있다. 더구나 황도에서 벗어나지 않는 머리의 평균운동과 실제운동은 황도대의 호, 곧 황도대 위에 표시한 호로 서술할 수 있다. 용어: 황도 용어: 황도대

바깥 원, 안쪽 두 원과 중심의 작은 원, 점선 및 폭을 표시한 두 선을 보존한다. 옆으로 인쇄된 폭의 약기와 수치는 원상으로 남긴다. 본문은 폭을 명확하게 12도라고 한다.

교점의 평균운동과 실제운동 — 하나의 선, 서로 다른 셈 방향

둘째로, 태양에 평균운동을 부여하는 이유와 달에 부여하는 이유, 또 각각의 운반원에서 용의 머리에 부여하는 이유는 서로 다르다는 점을 알아야 한다. 앞의 경우 그 이유는 황도에 대하여 태양의 이심원 운동 또는 달의 주전원 운동이 불규칙하다는 데 있다. 그러나 여기서는 그 이유가 해당하지 않는다. 용의 머리는 황도대의 축을 기준으로 세계의 중심 둘레를 움직이기 때문이다. 머리는 황도와의 교차점이므로 언제나 황도 위에 있으며, 머리를 움직이는 천구각도 그 축을 중심으로 움직인다. 또한 앞에서 말한 대로 그 천구각이 규칙적으로 움직이므로 머리 역시 규칙적으로 움직인다.

그러므로 사크로보스코의 요한네스는 평균운동을 부여하는 이유를 다음과 같이 언급한다. ‘머리의 운동은 서쪽에서 동쪽으로 향하는 행성들의 운동과 다르다. 운동들 사이의 유사성을 갖추기 위하여, 겐자아르의 머리는 실제로 궁창과 함께, 곧 서쪽으로 가는 만큼 평균운동으로는 궁창과 반대로, 곧 동쪽으로 간다고 말한다.’ 이것이 그의 말이다.

그가 뜻하는 바는, 다른 행성들의 운동에서 하듯이 사인이 이어지는 순서에 따라 계산하여 실제운동을 얻으려는 것이 그 이유라는 점이다. 머리의 실제운동과 평균운동은 언제나 황도의 모든 사인을 함께 포함한다. 그러므로 황도 전체에서 사인의 순서에 따라 계산한 평균운동을 빼면, 언제나 사인의 순서와 반대인 실제운동이 남는다. 본문에서도 그렇게 말했다고 한다.

따라서 이 운동들을 서로 반대 방향으로 움직이는 두 선, 또는 같은 방향으로 움직이는 두 선으로 상상해서는 안 된다. 두 운동 모두 수적으로 하나의 동일한 선에서 끝나기 때문이다.

다섯째로 ‘다른 것들로부터 명백하다’라는 곳에서는 두 따름결론을 이끌어 낸다. 그 가운데 둘째는 머리의 평균운동을 동쪽으로 움직이는 한 선으로, 실제운동을 같은 속도로 서쪽으로 움직이는 다른 선으로 상상하는 잘못을 배제하기 위한 것이다. 나머지는 앞에서 말한 것으로 명백하다.

어느 교차점을 머리라고 부르는가

이제 초학자를 위하여 어느 교차점을 머리라고 하고 어느 교차점을 꼬리라고 하는지 살펴보아야 한다. 달의 주전원 중심은 어떤 때에는 북쪽에 있고 어떤 때에는 남쪽에 있다. 한쪽에서 다른 쪽으로, 또 반대로 옮겨 가려면 먼저 두 교차점 가운데 하나에 이르러야 한다. 교차점이 중간이기 때문이다. 아리스토텔레스가 『자연학』 제5권에서 말하듯이, 연속적으로 변하는 것은 끝에 이르기 전에 중간에 이른다.

남쪽에 있던 것이 북쪽으로 옮겨 갈 때 지나는 교차점을 머리라고 부르고, 북쪽에서 남쪽으로 옮겨 갈 때 지나는 나머지 교차점을 꼬리라고 부른다. 황도대를 평면에 놓는다고 하자. ‘황도’라고 적힌 원에서 보듯이 북쪽 극은 그림의 위쪽 부분인 A라고 한다. 그래서 그려진 황도에서 D 쪽으로 기울어지는 것은 북쪽의 것이 되게 한다. [이 방향 지시는 도해와의 대조를 더 요한다.] 그러나 남쪽 극은 프톨레마이오스가 그의 평면천구도에서 증명하듯이 같은 평면에 그려 나타낼 수 없다.

황도 밖으로 벗어나는 것은 B와 D에서 황도와 교차한다고 하자. 그러므로 g에 있어 남쪽에 놓인 주전원이 위쪽으로 와서 북쪽의 것이 되려면 D의 교차점을 지난다. 그 때문에 D를 머리라고 부른다. 반대로 B는 꼬리이다. 북쪽의 위쪽 점에서 이 점을 지나 g로 옮겨 가면 남쪽의 것이 되기 때문이다.

• ECLIPTICA: 황도.
• CIRCVLVS LVNARIS: 달의 원.
• A: 위쪽의 북극 방향. B: 왼쪽 교차점, 꼬리. D: 오른쪽 교차점, 머리. g: 아래쪽의 남쪽 위치.
• 두 교점 옆 기호, 달과 태양, 중심 구체 및 원호를 인쇄된 모습 그대로 보존한다.

본문의 ita quod quicquid ab ecliptica descripta versus D. declinat, septentrionale sit는 그려진 황도에서 D 쪽으로 벗어나는 것이 북쪽이라는 원문의 방향 지시이다. 도형을 현대 좌표에 맞추어 고치지 않는다.

반론 — 극과 평면의 기울기를 서로로 증명하면 순환논증인가

앞서 말한 내용에 관하여 의문이 생긴다. 저자는 달의 아우게를 운반하는 천구각들의 극이 황도의 극들에서 기울어져 있으므로, 그 천구각들의 평면과 따라서 달 이심원의 평면도 황도면에서 기울어진다고 증명하였다. 그런데 달 이론의 처음에서는 반대로, 평면들이 기울어지므로 극들이 기울어진다고 수학적으로 증명하였다.

그러므로 이는 아리스토텔레스가 『분석론 후서』 제1권에서 가르친 바에 반하는 순환논증으로 보인다.

응답 — 원인으로 결과를, 알려진 결과로 원인을 논한다

이에 대해서는 다음과 같이 답한다. 이 두 명제는 서로를 따라 나오며 서로 전환된다. 극들이 기울어진다. 따라서 한 평면이 다른 평면에서 기울어진다. 반대로 한 평면이 다른 평면에서 기울어진다. 따라서 극들도 기울어진다. 이는 앞서 그곳에서 말했듯이 서로 동심인 천구각들에 관해서 성립한다.

그러므로 두 명제는 서로를 함축하지만 방식은 서로 다르다. 극들의 기울어짐 때문에 평면이 기울어진다고 결론 내릴 때에는, 결과를 그 원인으로부터 이끌어 내기 때문이다. 어떤 천구각이 존재하기 시작한다고 한다면, 먼저 그 극들을 정하고, 그 극들로부터 같은 거리인 곳에서 평면을 재거나 그린다. 극들이 달라지면 그에 따라 평면도 달라질 것이다. 또한 극들이 황도의 극들과 일직선에 놓여 같은 축 위에 있다면, 평면도 황도와 나란한 자리에 놓일 것이다.

그러나 평면의 기울어짐으로부터 극의 기울어짐을 이끌어 낼 때에는, 우리에게 더 잘 알려진 결과가 알려지지 않은 자기 원인을 드러내는 것이다. 극들의 기울어짐은 우리에게 알려져 있지 않다. 극은 나눌 수 없는 점이어서 어떤 방식으로도 직접 지각되지 않으며, 그곳에는 별이 없기 때문이다. 『천체론』 제2권에서 말하듯이 천구각의 모든 부분 가운데 눈으로 지각되는 것은 별뿐이다. 여기서 나는 제8천구가 아니라 그 아래 천구들의 천구각을 말한다. 그러나 행성이 기울어져 있다는 것은 지각되었고, 그에 따라 그 천구각들의 평면도 기울어져 있다고 알 수 있으므로, 그 극들도 기울어져 있다고 결론 내린다. 그러므로 두 명제가 서로를 함축하더라도 방식은 다르다는 것이 명백하다.

이제 반론에 답하겠다. 앞의 이론에서 평면도 기울어지기 때문에 극들이 기울어진다고 보였을 때에는, 뒤에 오는 것에서 출발하는 논증, 곧 감각에 명백하게 드러나 지각된 것에서 출발하는 논증이었다. 반대로 지금 저자가 극들의 기울어짐을 통해 평면의 기울어짐을 설명할 때에는 알려지지 않은 것을 증명하는 것이 아니라, 감각을 통해 알려진 것의 원인을 제시한다. 이것은 앞에 오는 것에서 출발하는 논증이다. 철학과 형이상학에서 설명하듯이 이런 논증은 배척되지 않고, 오히려 거의 모든 이가 받아들인다. 아리스토텔레스도 여러 곳에서, 특히 『천체론』 제2권에서 이를 사용하기 때문이다.

그가 『분석론 후서』 제1권에서 순환하는 논변을 부정할 때에는 동일한 방식의 논변을 뜻한다. 곧 계속 원인을 통해서만 진행하거나 계속 결과를 통해서만 진행하는 경우를 말한다. 그러나 여기서 우리가 다루는 것은 그런 경우가 아니다.

둘째 의문 — 왜 북행 교차점을 머리라고 부르는가

둘째로, 남쪽에서 북쪽으로 가는 교차점 D를 머리라고 하고 나머지 B를 꼬리라고 부르는 까닭이 의문이다. 반대로 B를 머리, D를 꼬리라고 불러도 마찬가지로 가능했을 텐데, 왜 이렇게 부르는가?

이에 대해서는 이것이 증명에 따른 이유로 정해진 것이 아니라, 다만 개연적이고 설득력 있는 이유로 정해졌다고 답해야 한다. 남쪽에 있던 주전원이 북쪽으로 움직이면 북쪽에 있는 우리에게 다가온다. 반대로 여기서 남쪽으로 움직이면 우리에게서 멀어진다. 다가옴이 물러감보다 더 귀하다는 것은 명백하므로, 남쪽에서 북극 쪽으로 다가오는 운동을 취하자.

남쪽에 있던 주전원이 북쪽으로 움직여 우리에게 가까워질 때에는 B보다 먼저 교차점 D에 이른다. 머리는 꼬리보다 앞서고 더 고귀하므로, D를 꼬리보다 머리라고 불렀다. 더 움직여 북쪽에서 남쪽으로 가면 둘째로 B에 이른다. 또한 이 운동에서는 우리에게서 물러가므로 B를 머리보다 덜 귀한 꼬리라고 불렀다.

남반구의 관점과 관습적 명칭

그러나 남쪽에서 북쪽으로 움직이는 것이 북쪽에 있는 우리에게 다가오는 운동이므로, 그때 지나는 교차점이 다른 교차점보다 더 귀하여 머리라고 불려야 하고 나머지가 꼬리라고 불려야 한다는 점에 유의해야 한다.

반면 지구의 남쪽 부분에 사람이 살고 있다면, 남쪽 사람들에게는 반대가 될 것이다. 북쪽에 있던 주전원이 남쪽으로 움직이면 그들에게 다가갈 것이기 때문이다. 따라서 그때 지나는 교차점 B가 그들에게는 머리이고, 그들에게서 멀어지는 교차점 D가 꼬리이다.

그러나 이는 본래 선택과 관습에 따른 것이며 증명하는 이유를 가진 것이 아니므로, 그 명칭들이 고대인들의 뜻에 따라 우리에게 정해졌다고 말해도 아무 문제가 없다.

표.

표제와 열·행의 뜻

• Tabula medii motus Capitis Draconis: 용의 머리의 평균운동표.
• Motus medii Capitis dra. in annis: 연수에 따른 용의 머리 평균운동. Anni는 연수, S.는 사인, gra.는 도, min.은 분, se.는 초. 1–20년,40·60·80·100·200·300·400·500·600·700·800·900·1000년의 33행이다. 왼쪽 십자 모양 표지와 B는 그대로 보존한다.
• Motus in mensibus anni communis: 평년의 월별 운동. Menses는 월, 나머지는 사인·도·분·초. 12행.
• Motus in mensibus Anni Bisextilis: 윤년의 월별 운동. 같은 네 수치 열,12행.
• 두 월표의 Ianuarius·Februarius·Martius·Aprilis·Maius·Iunius·Iulius·Augustus·September·October·November·December는 차례로 1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12월이다.
• Radices Capitis draconis: 용의 머리의 기준값. 1510·1530·1550·1570·1590·1610년의 6행. 각 연도 뒤 네 값은 사인·도·분·초이다. 기준값 표제 오른쪽의 작은 ‘21’처럼 보이는 표시는 원형으로 보존하고 별도의 의미를 추정하지 않는다.
• Motus in diebus: 일수에 따른 운동. di.는 일수, gr.·mi.·se.는 도·분·초.1–31일31행.
• Motus in hor. & fra.: 시간과 그 분수에 따른 운동. ho.는 시간, mi.·sec.는 분·초.1–31의31행이다. 아래에 인쇄한 *m. se. tert.*는 분·초·제3분, *se. te. qua.*는 초·제3분·제4분의 단위를 나타낸다. 제3분은 초의60분의1, 제4분은 다시 그60분의1이다. 이 하단 단위 두 줄을 추가 수치 행으로 세지 않는다.

보존 범위

연수표33×5=165칸, 월별 두 표24×4=96칸, 기준값6×5=30칸, 일수31×4=124칸, 시간31×3=93칸으로 행 식별 숫자를 포함한508칸을 원상에 보존한다. 월 이름24칸과 표제·단위·빈칸은 이 수치칸 집계와 별개다. 아래 테두리 바깥으로 내려간1610년 기준값 행까지 크롭에 포함했다. 원문값을 계산으로 정규화하지 않았다. 가시 전행·모든 경계의 포함을 실제 이미지로 확인했으나508칸을 새 텍스트로 입력하고 셀별 이중 대조한 상태는 아니다.

용의 머리의 실제 위치를 찾는 방법

용의 머리의 실제운동을 찾는 방법.

태양에 관하여 한 것과 같은 방법으로, 용의 머리의 평균운동을 해당 표들에서 모아라. 모은 값을 12사인에서 빼라. 이를 편리하게 하려면 한 사인을 도와 그보다 작은 단위들로 풀어라. 나머지는 머리의 실제 위치, 곧 달이 북쪽으로 올라가는 교차점의 위치를 나타낸다.

예를 들어 1544년 6월 17일, 정오 뒤 1시 24분이라고 하자. 머리의 평균운동을 1사인 14도 54분 39초라고 하면, 이를 12사인에서 뺀 나머지인 머리의 실제운동은 10사인 15도 5분 21초가 된다.

그리고 꼬리, 곧 달이 남쪽으로 내려가는 교차점은 언제나 황도에서 머리의 맞은편 점에 있다.

달의 운동을 계산하는 데 필요한 개념 — 도형은 가르치기 위한 장치이다

달의 운행을 계산하기 위해 알아야 할 것들에 관하여.

하늘에 선·중심·원·아포게이아·아르구멘타·균차의 호와 같은 것들이 있다고 생각하는 것은 지극히 불합리하다. 그러나 뛰어난 이들이 가르치기 위하여 이런 것들을 생각해 냈다. 그들이 이런 구상을 세우지 않았더라면 우리는 어떤 방법으로도 별들의 운동을 이해할 수 없었을 것이다.

이론에서 구성하는 이 모든 것 가운데 쓸모없는 것은 하나도 없다. 각각은 자기 역할이 있으며, 운동을 실제로 탐구할 때 이를 경험한다. 그러므로 달의 운행을 알아내는 일이 수고로운 만큼, 얼마나 많은 보조 장치가 필요하고 그것들이 무엇인지 살펴보자. 앞서 했듯이 여기서 그것들을 정의하겠다.

태양에 관하여 천문학적 고찰을 전에 전혀 맛보지 못한 독자라면, 정의들을 앞에 놓은 도식과 대조하라. 눈을 길잡이로 삼으면 그 내용에 다가갈 수 있을 것이다.

평균운동선·실제운동선과 달의 센트룸을 다시 정의함

달의 평균운동선은 세계의 중심에서 주전원의 중심을 지나 황도대까지 뻗는 선이다. 달의 실제운동선도 같은 세계의 중심에서 나오지만, 달 몸체의 중심을 지나 황도대까지 뻗는다. 그 차이를 보라. 한 선은 주전원의 중심을 지나고 다른 선은 달 몸체의 중심을 지난다.

이제 달의 평균운동도 태양의 평균운동을 정의한 것과 다르지 않게 정의한다. 이는 양 사인의 시작에서 출발하여 평균운동선에서 끝나는 황도호이다. 같은 방식으로 달의 실제운동은 양 사인의 시작에서 실제운동선까지 뻗는 황도호이다.

그리고 달의 센트룸은 사인이 이어지는 순서에 따라, 이심원의 아우게에서 달의 평균운동선까지 센 거리라고 한다.

참된 아우게·평균 아우게와 두 아르구멘툼

여기에서도 주전원 위의 평균 아우게 점에서 달의 중심이 얼마나 떨어져 있는지 아는 일이 중요하므로, 주전원의 평균 아우게가 무엇인지 알아야 한다. 그것은 주전원의 둘레에 있는 점이며, 이심 중심의 맞은편 자리에서 시작하여 주전원의 중심을 지나는 선이 그 점을 가리킨다.

이심 중심의 맞은편인 그 자리 또는 점은 작은 원의 둘레에서 볼 수 있다. 이 작은 원은 달의 아포게이온과 에피게이온을 운반하는 천구각들의 운동에 따라 이심원의 중심이 세계의 중심 주위에 그리는 원이며, 앞의 그림에서 V라는 문자로 표시되어 있다. 주전원의 참된 아우게는 같은 주전원의 둘레에서, 세계의 중심에서 주전원의 중심을 지나 그은 선이 가리키는 점이다. 중심차는 주전원의 참된 아우게와 평균 아우게 사이의 주전원 호이다.

아르구멘툼은 주전원에서 참된 아우게와 달의 중심 사이에 끼인 간격이라고 한다. 언제나 달이 나아가는 쪽으로 세어야 한다. 평균 아르구멘툼은 주전원의 평균 아우게와 달의 중심 사이에 있는 주전원 호라고 한다. 이 두 아르구멘툼 사이의 차이를 중심차라고 부른다.

아르구멘툼 균차의 크기와 작은 원 지름의 차이

그러나 아르구멘툼의 균차 자체는 평균운동선과 실제운동선 사이의 황도호, 곧 황도에서 잰 두 중심 사이의 거리이다. 한 선은 달 몸체의 중심을 지나고 다른 선은 주전원의 중심을 지나기 때문이다.

이 아르구멘툼의 균차는 계속 달라진다. 달의 주전원 중심이 운반원의 아우게에서 그 대점으로 움직일 때마다 커져서 더 큰 값이 된다. 그때에는 주전원의 중심이 세계의 중심에 점점 더 가까워지는 것을 볼 수 있다. 더 가까워질수록 아르구멘툼의 균차도 더 커진다. 곧 달 몸체의 중심과 주전원 자체의 중심 사이에서 황도상으로 잰 거리가 더 커지는 것이다.

아우게의 대점인 페리게이온에서 균차는 가장 크다. 그때 주전원의 중심이 세계의 중심에 가장 가깝기 때문이다. 거기서 조금 더 나아가면 다시 작아진다. 어떤 균차가 다른 균차를 초과하는 양을 달의 작은 원 지름의 차이라고 부른다.

표로 달의 실제 위치 계산하기 — 평균운동과 두 배의 이각

표로 달의 실제 위치를 계산하는 방법.

위에서 태양 이론에서 가르친 것과 같은 방법으로 달의 평균운동과 평균 아르구멘툼을 구하라.

그런 다음 달의 평균운동에서 태양의 평균운동을 빼면 이각, 곧 거리가 나온다. 이를 두 배로 한 것을 달의 평균 센트룸이라고 부른다.

중심차와 비례분의 보간

둘째로 센트룸에 대응하는 곳, 곧 그 사인과 도수에 맞는 곳에서 중심차, 비례분, 그리고 각각의 A 또는 M 표지가 붙은 차이값들을 취하라. 도 아래에는 도를, 분 아래에는 분을 적어 각 값을 같은 종류 아래에 놓아라.

양쪽의 차이란에 모두 영을 나타내는 숫자가 있다면, 중심차와 비례분은 이미 보정된 값일 것이다. 그러나 어떤 값이 있다면, 센트룸의 도 미만 부분과 해당 차이값으로 비례 부분을 구하라. 이를 차이값의 표지에 따라, 표에서 얻은 해당 균차에 더하거나 그 값에서 빼라. 그러면 보정된 참된 중심차가 나온다. 그 값에도 A 또는 M 표지를 붙여라. 비례분도 같은 방법으로 보정하여 따로 적어 두어라.

보정 아르구멘툼과 지름 차이의 비례 부분

셋째로 이 보정된 중심차를, 그 표지가 지시하는 대로 평균 아르구멘툼에 더하거나 그 값에서 빼라. 그러면 보정된 아르구멘툼, 곧 참된 아르구멘툼이 나온다. 그에 대응하는 곳에서 작은 원 지름의 차이와 그 차이값 및 문자 표지들을 취하라. 그리고 지름의 차이를 보정하라.

이 값과 따로 적어 둔 비례분을 사용하여 다시 비례 부분을 구하라. 곧 ‘표들의 표’의 왼쪽 첫 선에서 비례분을 찾고 위쪽에서 지름의 차이를 찾거나, 그 반대로 찾아라. 두 값이 만나는 칸에는 지름의 차이와 비례분에 대한 비례 부분이 있을 것이다. 이를 다시 따로 보관하라.

아르구멘툼 균차의 두 차례 보정과 실제 위치

넷째로 같은 참된 아르구멘툼, 곧 보정 아르구멘툼을 사용하여 아르구멘툼의 균차와 그 차이값을 취하라. A 또는 M 표지도 함께 취하고, 아르구멘툼의 균차를 보정하라. 이를 첫 번째로 검토한 균차라고 부른다.

다섯째로 이 첫 번째로 검토한 균차에, 따로 보관해 둔 지름 차이의 비례 부분을 더하라. 그러면 두 번째로 검토한 아르구멘툼의 균차가 나온다.

여섯째로 이 두 번째로 검토한 균차를, 그 표지가 지시하는 대로 달의 평균운동에 더하거나 그 값에서 빼라. 그러면 주어진 시각에 대한 최초 운동천에서의 달의 실제 위치 또는 실제운동이 나온다.

비례 부분용 표의 위치를 알리는 여백 주기

이 표는 아래에 놓은 우리의 표들 가운데에서 보라. 그 표제는 「비례 부분을 구하는 데 쓰이는 표들의 표」이다.

계산할 때 유의할 네 가지

작은 주의사항들.

1. 달의 센트룸으로 표를 찾았을 때 비례분이 0분 0초라면, 비례 부분이나 지름의 차이를 구할 필요가 없다. 그때에는 첫 번째로 검토한 균차가 곧 두 번째로 검토한 균차이기 때문이다.

2. 참된 아르구멘툼으로 찾아서 지름의 차이가 0도이고 차이값도 0이라면, 비례분은 아무 역할을 하지 않으며 지름의 차이에 대한 비례 부분을 구할 필요가 없다. 첫 번째로 검토한 균차가 곧 두 번째로 검토한 균차일 것이다.

3. 비례분에서 60을 얻고 차이값에서 0을 얻었다면, 비례분과 지름의 차이로 비례 부분을 구할 필요가 없다. 지름의 차이 자체가 비례 부분이 되므로, 이를 첫 번째로 검토한 균차에 더하면 두 번째로 검토한 아르구멘툼의 균차가 된다.

4. 센트룸이나 아르구멘툼으로 균차표에 들어가라는 지시를 받았는데 사인에는 어떤 수가 있고 도수에는 0이 있다면, 사인 하나를 30도로 풀어야 한다. 그리고 남은 사인 수와 30도를 가지고 같은 균차표에 들어가야 한다.

달의 위치를 계산 예제로 탐구하기

Locum Lunae exemplari computatione perscrutari.

합산·나눗셈에서 열두 사인을 넘는 값의 처리

합산과 나눗셈의 작업을 쉽게 하기 위하여, 행성들의 평균운동과 아르구멘툼에서 사인 수가 12개의 통상 사인을 넘을 때에는 가능한 만큼 12를 거듭 빼고, 나머지를 사인 칸 아래에 적어라. 우리는 다음 계산에서 이 방식을 따를 것이다.

평균 아르구멘툼과 중심차

마지막 왼쪽 지시 Minue ab aequatione centri inaequata — 미보정 중심차에서 빼라. 오른쪽 pars proportionalis Min. 역시 비례 부분을 빼라는 뜻이다. A/M 중 여기의 M은 빼기 표지다. 달·태양 도상기호는 항목 이름으로 풀고 원형도 표 이미지에 보존했다. 원표의 계산값과 빈칸은 산술적으로 정상화하지 않았다.

원상에는 사인·도·분·초·제3분·제4분의6열이 있다. 빈칸은 —이며0과 구별한다. A(Addenda)는 더하기, M/Minuenda는 빼기다. 부분곱의 행 번호는 대응을 위한 편집 표지이며 원문에는 별도 행 이름이 없다.

가시 수치39행의6열, 총234칸(빈칸 포함)을 전사했다. 원문 표제 Aequatio centri aequata minuenda, minuta proportionalia aequata, Argumentum medium, Argumentum aequatum, Aequatio Argumenti inaequata Addenda, Differentia Min., pars proportionalis M., Aequatio arg. primo examinata A., diversitas diametri inaequata, Differentia Minuenda, Diversitas diametri aequata, Pars propor. divers. Diametri & mi. pro., Aequatio arg. coaequata Addenda, Medius motus Lunae, Verus locus Lunae를 해당 행에 모두 옮겼다. 반복 표제도 반복하여 보존했다.

최종 실제 위치는 원표의 2사인5도5분10초10제3분48제4분이다. 원표 계산의 합산 또는 반올림이 맞지 않더라도 숫자를 조정하지 않는다.

달 평균운동표

Tabula medii motus Lunae — 달의 평균운동표.

• Radices — 기준값. an. — 연수.100·200·300…3000년의30행이다.
• 열 S.·gra.·mi.·sec.·ter.·4. — 사인·도·분·초·제3분·제4분.
• 두 Anni 표 — 연수.1–42년42행과43–84년42행. 각 연수 뒤에는 사인·도·분·초가 놓인다.
• B 표시와 표 바깥의 짧은 횡획도 원형 보존한다.

왼쪽 하단 주석: 이 기준값들은 그리스도의 탄생 직후에 이어지는12월의 마지막 날 정오를 기준으로 정한 것이라고 말해 둔다. (Radices has constitutas esse dicimus ad Meridiem ultimi diei Decembris, proxime sequentis nativitatem Christi.)

행 식별 숫자를 포함하여 기준값30×7=210칸, 연수84×5=420칸, 총630칸을 이미지에 보존한다. 일부 먹번짐·빈칸은 추정 숫자로 채우지 않는다.

달 평균운동표의 계속

표제는 앞면과 같은 달의 평균운동표.

• Anni — 연수.85–100년에 대응하는16행. 첫 두 행 식별값이85처럼 반복 인쇄된 곳도 원형대로 남긴다.
• Menses communes — 평년의 월들. Menses bisextiles — 윤년의 월들. 각각12행, 사인·도·분·초의4열이다.
• Ianuarius·Februarius·Martius·Aprilis·Maius·Iunius·Iulius·Augustus·September·October·November·December — 차례로1·2·3·4·5·6·7·8·9·10·11·12월.
• dies — 일수.1–31일31행, 뒤 수치는 사인·도·분·초.
• H. — 시간.1–30 및31–60의 두 묶음60행이며 뒤 수치는 도·분·초.
• 시간표 아래 하위 단위: M./min.는 분, sec.는 초, tert.는 제3분, qua./quart.는 제4분,5.는 제5분. 시간 대신 분을 입력하면 결과 세 열의 단위는 분·초·제3분, 초를 입력하면 초·제3분·제4분, 제3분을 입력하면 제3분·제4분·제5분이다. 각 단계는 바로 앞 단위의60분의1이다.

연수16×5=80칸, 월24×4=96칸, 일수31×5=155칸, 시간60×4=240칸, 총571칸을 보존한다. 월 이름24칸과 단위줄·B 표지는 이 숫자칸 집계와 별개이다.

달 평균 아르구멘툼표

Tabula Medii Argumenti Lunae — 달 평균 아르구멘툼표.

• Radices — 기준값.100년 간격으로100–2400년에 대응하는24행.1600년에 대응할 자리에1602로 보이는 인쇄도 자동 교정하지 않는다.
• anni — 연수.1–20 및40·60·80·100의24행.
• dies — 일수.1–31일31행.
• Horae — 시간.1–30시간30행.
• Menses communes / Menses bisextiles — 평년의 월들 / 윤년의 월들. 나란한 두12행 묶음이다. 월 이름의 번역은 위와 같다.
• 기준값·연수·일수·월표의 S./gra./mi./sec.는 사인·도·분·초. 시간표의 세 수치열은 도·분·초이며, 아래 M./S./T.는 분·초·제3분 입력을 뜻한다. 그때 결과 단위는 각각 분·초·제3분 / 초·제3분·제4분 / 제3분·제4분·제5분(qui.)이다.

기준값24×5=120칸, 연수24×5=120칸, 일수31×5=155칸, 시간30×4=120칸, 월24×4=96칸, 총611칸을 보존한다. 빈 추가 칸과 실제 마모·번짐은 그대로 남겼다.

다음 다섯 표의 표제는 모두 Tabula aequationis Lunae — 달의 균차표.

공통 열과 단위

왼쪽에서 오른쪽으로 다음 수치열을 읽는다. 인쇄상 폭을 벌린 공백은 별도 수치열로 세지 않는다.

1. gra. — 입력 도수(왼쪽1–30). 2–3. Aequatio Centri — 중심차, 도·분.
2. Differ. — 차이값, 분.
3. Mi. prop. — 비례분, 분.
4. Differ. — 차이값, 분. 7–9. Aequatio Argumenti — 아르구멘툼 균차, 도·분·초. 10–11. Differentia — 차이값, 분·초. 12–13. Diversitas Diametri — 지름 차이, 도·분.
5. Differ. — 차이값. 일반적으로 mi.(분)이나 **사인3/8 표에는 sec.(초)**라고 인쇄되어 있어 이 차이를 원형대로 보존한다.
6. 반대편 입력 도수(오른쪽29–0).

상단과 하단의 Signa는 사인 수이다. Adde/A.는 더하라, Minue/M.는 빼라. 숫자 수열의 증가·감소를 보고 인쇄된 가감 표지를 임의 수정하지 않는다. 각 표에는30행×15열=450칸(양쪽 도수 및 빈칸 포함)이 있고, 다섯 표 합계2250칸을 이미지에 보존했다.

각 표의 사인 수와 가감 지시

다음 표의 다섯 지시는 차례로 중심차/그 차이값, 비례분 차이값, 아르구멘툼 균차, 그 차이값, 지름 차이의 차이값에 대응한다. 지름 차이 본값에 별도 가감 지시가 있는 것으로 오해하지 않는다.

사인4/7 표에서 센트룸 본값의 Adde와 차이값의 M, 하단 Minue와 차이값 A는 각각 서로 다른 열의 실제 표지이다. 이 둘을 모순이라 하여 통일하지 않았다. 사인4/7 표 오른쪽 위 마지막 가감 표지는 일부 획만 남아 있어 A 또는 M이라고 추정 확정하지 않는다. 원상5배 확대에서도 명료한 완전 글자가 아니므로 판독 유보한다.

사인0 / 사인11

사인1 / 사인10

사인2 / 사인9

사인3 / 사인8

사인4 / 사인7

다섯 표의 마지막30행과 오른쪽0, 하단 가감 지시와 사인 수, 인쇄된 숫자·빈칸·번짐·밑줄·별도 표시를 원형대로 보존한다. 다음 사인5/6 표와 이어진다.

인쇄 73쪽 — 달 균차표

Tabula æquationis Lunæ: 달의 균차표. 위쪽은 사인 5, 아래쪽 역방향 입력은 사인 6이다. 양쪽 도수 표지와 30행을 모두 보존한다.

• Æquatio centri: 중심차. 도(gra.)·분(mi.).
• Differ.: 차분. 분(min.).
• Mi. prop.: 비례분. 분(min.).
• 다음 Differ.: 비례분의 차분. 분(min.).
• Æquatio argumenti: 아르구멘툼 균차. 도(gra.)·분(mi.)·초(sec.).
• Differentia: 차분. 분(min.)·초(secun.).
• Diversitas diametri: 지름 차. 도(gra.)·분(mi.).
• 마지막 Differ.: 차분. 분(mi.).

연산 표지: Adde 또는 A.는 더함, Minue 또는 M.은 뺌이다. 위 사인과 아래 역순 사인의 표지가 다르므로 각 열의 위·아래에 인쇄된 표지를 그대로 보존한다. 상단 센트룸은 Adde, 센트룸 차분은 M.; 비례분 차분은 A.; 아르구멘툼과 그 차분은 Minue, 마지막 차분은 M.이다. 하단에는 센트룸 Minue·차분 A., 비례분 차분 M., 아르구멘툼 및 그 차분 Adde, 마지막 차분 A.가 표시된다. 차분이 두 행 사이에 놓인 원표의 위치를 새 계산값처럼 재배열하지 않는다.

인쇄 74쪽 — 교정된 날짜 균차표

Tabula æquationis dierum recognita: 교정된 날짜 균차표. recognita는 원저자가 붙인 표제의 일부이다.

왼쪽 태양 기호 아래 1–30은 태양의 사인 내 도수이다. 이어지는 열두 사인은 양·황소·쌍둥이·게·사자·처녀·천칭·전갈·사수·염소·물병·물고기 순서이다. 각 사인의 값은 **시간의 분(mi.)과 초(sec.)**로 적혀 있다. 30행 × 12사인 × 두 수치 열, 720칸을 빈칸·손상 상태와 함께 보존한다.

도시의 경도를 시간으로 환산하기

프톨레마이오스의 『지리학』에서 찾은 그대의 도시나 읍의 경도에서 피렌체의 경도를 빼라. 피렌체의 경도는 33도 56분이며, 이 표들은 그 경도를 기준으로 계산되었다. 그대가 있는 지역의 경도가 피렌체보다 서쪽이라면 거꾸로 빼라.

그렇게 얻은 값을 다음의 작은 표로 시간과 시간의 분수 부분으로, 또는 분수 부분만으로 환산할 수 있다. 그대의 장소가 피렌체보다 서쪽이면 그 시간과 분수 부분을 그대의 시각에 더하고, 동쪽이면 빼라. 그러면 보정된 시각을 얻는다. 그 시각을 가지고 행성들의 위치를 계산할 수 있는데, 마치 이 표들의 기준값이 그대가 있는 지역에서 계산된 것과 같아진다.

시간을 도와 분으로 바꾸는 표

Tabula convertendi horas in grad. & mi.: 시간을 도와 분으로 바꾸는 표. H.는 시간, G.는 도, Horarum은 ‘시간의’라는 뜻이다. 첫 구획은 1–24시간을 15–360도로 바꾼다. 다음 두 구획은 시간의 1–30분과 31–60분을 도(G.)와 각분(min.)으로 바꾼다. 60분 행의 마지막 각분 값은 실제 원상에서 0으로 보인다. 기존 독자본의 ‘15도 뒤 빈칸’ 설명은 채택하지 않는다.

아래의 단위 재지정은 다음과 같다. 두 분 구획에 같은 관계가 반복된다.

삼분·사분은 각각 앞 단위의 60분의 1이다. 시간의 세분과 각도의 세분을 구분한다.

도를 시간과 분으로 바꾸는 표

Tabula convertendi Gradus in horas & min.: 도를 시간과 분으로 바꾸는 표. Æquator는 적도, G.는 적도상의 도수, H.는 시간, min.은 시간의 분이다. 세 구획의 입력값은 각각 **1–30도, 31–60도, 70–360도(10도 간격)**이다. 각 구획의 모든 행과 수치·손상은 원표로 보존한다. 마지막 구획의 330 다음 인쇄값은 240으로 보이며 앞의 240과 중복된다. 이에 대응하는 22시간 40분은 그대로 두고 도수를 임의로 340으로 고치지 않는다.

앞 두 구획 아래의 단위 재지정:

날짜 균차와 통상의 날·보정한 날

행성의 운동을 위한 천문표에서 날짜 균차가 유용하다고 하는 까닭은, 그 운동들, 특히 달의 운동을 일력에서 가져온 임의의 시간과 분에 더 정밀하게 맞출 수 있기 때문이다.

불균등한 날, 곧 겉으로 나타나는 통상의 날은 별개의 것이다. 이것은 하늘의 거의 어느 점에서든 시작을 정할 수 있다. 불균등함은 한편으로 태양이 일출에서, 또는 정오에서 출발하여 같은 하늘의 자리로 돌아가는 일주운동에 태양의 운동이 불균등하게 더해지기 때문에 생긴다. 다른 한편으로는 황도대와 지평선의 기울기, 그리고 그 때문에 황도대의 부분들이 서로 다르게 상승하기 때문에 생긴다. 이러한 이유로 앞서 별들을 관측한 선배들은 위에서 말했듯이, 불균등하다고 파악되는 모든 자연일을 날짜 균차표를 이용하여 균등하게 맞추어야 한다고 가르쳤다.

그러므로 여기서 말하는 균등한 날은 다른 것이다. 천문학자의 관례에 따라 어느 정오에서든 시작을 정하며, 행성의 운동과 별들의 운동에 관한 각각의 표를 그 날에 아주 정밀하게 맞춘다. 또 아래에서 설명할 보정한 날도 따로 있다. 원동천의 회전에 태양의 하루 운동이 불균등하게 더해짐으로써 겉으로 나타나는 날이 평균의 균등한 운동보다 더 길어지거나 덜 길어질 때, 여기에 상승에 관한 규준을 적용하면 같은 날은 이 표 고유의 규준에 따라 균등하게 된다. 날짜 균차가 시간의 33분 또는 그 가까이까지 커지면, 곧이어 시간의 양이 차츰 줄면서 아무것도 없는 값, 곧 0으로 돌아간다.

따라서 행성의 운동을 맞추려는 해당 월의 날짜와 시각이 주어졌다면, 태양의 실제 위치로 이 날짜 균차표에 들어가라. 사인과 태양의 실제 위치가 함께 만나는 칸에서 찾은 시간의 분을 모두 통상일의 시각에서 빼라. 그 시각은 어느 자오선을 기준으로 얻은 것이어도 되며, 어센던트와 나머지 하늘의 하우스들을 세울 때 쓰는 시각이다. 이 감산을 마친 뒤 남은 시간과 분을 가지고, 앞에 설명한 표의 작성 방식에 따라 일력에서 행성들의 실제 운동을 알아낼 수 있다. 다만 자오선들 사이의 차이는 그보다 먼저 빼거나 더해 놓아야 한다.

상위 세 행성 — 제1부, 천구층의 수

상위 세 행성은 저마다 상상에 따라 서로 구별되는 세 천구층을 가진다. 이는 태양의 세 천구층에 적용한 방식에 따른다. 다만 그 가운데 천구층, 곧 온전히 이심인 천구층 안에 각각 주전원이 있다. 달에 관하여 언급했듯이 행성의 몸체는 그 주전원에 고정된다.

상위 세 행성의 이론을 먼저 설명하는 이유

저자는 이 저작의 목적에 관계되는 만큼 달에 관한 이론적 고찰과 달의 용에 관한 규정을 마쳤다. 이제 순서상 세 번째 이론에서 상위 세 행성, 곧 토성·목성·화성을 계속 다룬다. 여기서 제시하는 거의 모든 것이 금성과 수성에도 들어맞지만, 상위 세 행성이 금성·수성과 어떻게 다른지는 각 행성의 이론에서 밝혀질 것이다.

이러한 마무리에서도 저자는 합리적인 순서를 벗어나지 않는다. 화성·목성·토성이 금성·수성보다 더 완전하다는 것을 누가 의심하겠는가? 이들은 그보다 더 높이 있으며 첫 원리에 더 가깝다. 그 효과들도 더욱 고귀하고 오래 지속된다. 이들은 가까이 있으며, 그 효과들 또한 더 고귀하고 오래 지속된다. 이는 판단에 관한 개별 책들에서 설명될 사항이다. 또한 이 이론은 세 행성을 한꺼번에 다루므로 뒤따르는 다른 이론들보다 더 공통적이다. 『자연학』 제1권에 따르면 가르침의 순서에서는 공통적인 것을 앞에 놓아야 한다.

두 번째 이유는 이 이론에서 많은 것을 설명하고 논증하는데, 뒤의 이론들은 그것들을 전제로 삼고 여기서 설명한 내용을 받아들이기 때문이다. 이는 앞으로 보게 될 것이다. 더욱이 금성은 거의 같은 이론과 운동의 성질을 가지며, 위도에서만 이 세 행성과 다르다. 저자도 이론 도해의 머리에 “상위 세 행성과 금성의 이론”이라고 적어 그 점을 나타냈다. 그러므로 뒤따르는 다른 두 이론보다 상위 세 행성의 이론을 먼저 두는 것은 매우 적절했다.

상위 세 행성과 금성의 천구층·중심 도해

상위 세 행성과 금성의 천구층과 중심을 나타내는 도해.

세계의 중심은 D, 이심 운반원의 중심은 C, 이퀀트의 중심은 H이다. 이심 운반원의 둘레는 BFG, 이퀀트의 둘레는 KFL이다. 주전원은 B에 있다. 주전원 안에 고정된 행성은 그 중심을 돌아 움직인다. 주전원의 위쪽 부분에서는 사인의 순서를 따라, 아래쪽 부분에서는 그 반대 방향으로 움직인다. 편집주 1

상위 행성 이론의 구성

그러므로 저자는 평소의 방식대로 상위 행성들의 이론을 세 가지로 나누어 다룬다. 먼저 그들을 이루는 부분들을 설명하고, 둘째로 “그런데 천구층들은”이라는 곳에서 실제적인 부대 성질들을 설명한다. 셋째로는 “평균운동선은”이라는 곳에서 상상으로 정하는 것들, 곧 특히 표에서 찾는 사항들을 설명한다. 첫 번째 것은 본문에서 보듯이 짧게 설명한다.

두 번째 것에서도 세 가지를 다룬다. 먼저 이심원의 원지점을 운반하는 것들의 운동을, 둘째로 “그러나 천구층은”이라는 곳에서 주전원을 운반하는 천구층의 운동을, 셋째로 “그런데 주전원은”이라는 곳에서 주전원의 운동을 다룬다. 첫 번째에 관하여 다음과 같이 말한다.

제2부 — 주기 운동·축·극

I. 이심원의 원지점을 운반하는 것들의 운동

원지점을 운반하는 천구층들은 제8천구의 운동의 힘에 의하여 황도의 축과 극을 중심으로 움직인다.

II. 주전원을 운반하는 것의 운동

그러나 주전원을 운반하는 천구층은 황도대의 축과 교차하는 자기 축을 중심으로 사인의 순서를 따라 움직인다. 그 극들은 황도대의 극들에서 서로 같지 않은 거리만큼 떨어져 있다.

따름정리 또는 부가 사항

그러므로 이심원들의 원지점은 결코 황도를 가로지르지 않고, 항상 황도에서 북쪽에 머무르며 그 대점은 남쪽에 머무른다. 그리하여 주전원을 운반하는 것들의 원지점과 그 대점들, 그리고 이심 운반원들의 중심과 극들은 제8천구의 운동의 힘에 의하여 황도면에 평행한 둘레들을 그린다. 또한 그들의 이심원 면은 황도면에 의해 불균등하게 잘리며, 더 큰 부분은 원지점 쪽에, 더 작은 부분은 그 대점 쪽에 남는다.

주전원 운반원의 불균등한 운동

주전원을 운반하는 것의 운동은 자기 중심과 극에 관해서는 불균등하다. 그러나 이 불균등함에는 다음과 같은 규칙성이 있다. 주전원의 중심은 원지점선 위의 어떤 점에 관해서는 균등하게 움직인다. 그 점은 이 천구층의 중심에서, 그 중심이 세계의 중심에서 떨어진 거리와 같은 만큼 떨어져 있다. 따라서 그 점을 이퀀트의 중심이라 한다. 그 점을 중심으로 운반원과 같은 크기로, 또 그것과 같은 면 위에 상상한 작은 원을 이심 이퀀트라 한다.

따라서 이 행성들에서는 달에서 일어났던 것과 정반대의 일이 필연적으로 일어난다. 곧 주전원의 중심은 운반원의 원지점에 더 가까울수록 더 느리게, 그 대점에 더 가까울수록 더 빠르게 움직인다.

원지점의 공통 운동을 이해하는 방법

“원지점을 운반하는 천구층들은”이라는 말에 관해서 먼저 알아둘 것은, 이 천구층들이 사인의 순서를 따라 움직인다는 점이다. 그것들을 움직이게 하는 제8천구가 그렇게 움직이기 때문이다. 이 운동은 황도의 축과 극을 중심으로 이루어진다. 그러나 주전원 운반원의 원지점이 항상 그 운반원의 극들에서 같은 거리만큼 떨어져 있는 것은 아니다. 이는 곧 드러날 것이다.

저자가 “제8천구의 힘에 의해 움직인다”고 할 때, 그것을 단순히 제8천구의 고유 운동, 곧 전진과 후퇴에 따른다고 이해해서는 안 된다. 오히려 제9천구에서 받아 사인의 순서를 따라가는 부수적 운동에 따른다고 이해해야 한다. 그 증거는 옛사람들이 전해 준 행성의 아우게를 찾는 방법이다. 거기서는 먼저 공통 아우게를 찾으라고 지시한다. 그것을 찾으려면 고정별들의 운동을 알아야 하는데, 이것은 제10천구 양 사인의 시작점과 제9천구 양 사인의 시작점 사이에 놓인 호일 뿐이다. 이어 제8천구의 균차를 알아야 한다. 그것은 제9천구 양 사인의 시작점과 그 시작점들을 지나는 원 사이의 호이다[기하학적 지시 대상 불확실]. 여기에 그리스도 시대 또는 다른 기점에 대한 아우게 기준값들을 더하면 아우게의 위치가 나온다.

그것이 어떻게, 어떤 방식으로 이루어지는지는 적절한 기구가 없는 천문학 초학자들에게 다음과 같이 이해시켜야 한다. 세 개의 분점 분지경계선가 차례로 서로 아래에 있다고 상상하라. 그 가운데 맨 위의 것은 고정되어 있다고 상상하며, 물질로 만든 천구 모형의 분점 분지경계선가 그것을 나타내도록 하라. 그것을 그리스도 시대에 떨어져 있던 그 위치에 놓는다. 예를 들면 다음과 같다.

아우게 기준값의 예

사인 수는 원문 숫자 그대로이며 특정 사인 이름으로 다시 계산하지 않았다.

태양과 금성의 초는 이 면에서 25, 수성의 사인은 6으로 인쇄되어 있다. 앞쪽 표의 다른 값과 일치시키려고 고치지 않았다.

1544년의 분지경계선 위치와 공통 아우게

이미 말한 고정 분지경계선 아래에는 제9천구의 분지경계선가 있다. 이것은 사인의 순서, 곧 그 뒤를 잇는 방향으로 고정 분지경계선에서 멀어져 왔다. 그 아래에서 세 번째 분지경계선, 곧 제8천구의 분지경계선도 함께 운반한다. 가스파르 아를루누스가 태어난 시각인 1544년 6월 17일 1시 24분까지, 그 위치는 0사인 11도 20분 23초에 이르렀다. 이 운동을 표에서는 고정별들의 운동이라 부른다.

이것들을 상상으로 파악한 뒤에는, 이 움직이는 분지경계선에서 제8천구의 분지경계선이 떨어져 나간다고 상상하라. 그 아래에는 원지점을 운반하는 것들이 있으며, 그것은 두 개의 작은 원에서 흔들린다. 내가 말하는 이 분지경계선은 조금 앞서 언급한 시각에 상위의 분지경계선에서 8도 49분 12초, 이어 17[마지막 수의 단위 미상]만큼 떨어졌다. 이 도수에 딸린 분과 초를 앞의 값들에 더하면 공통 아우게가 나온다.

그러므로 이 공통 아우게에 각각의 행성의 기준값을 더하면 주어진 시각에 황도 아래에서 각 원지점이 차지하는 위치가 나온다. 이로부터 상위 세 행성 원지점의 순행 방향 운동이 어떤 방식인지 이해하기는 어렵지 않을 것이다. 그러나 그것들의 하루 운동이 얼마인지는 여기서 설명할 사항이 아니다. 이제 다른 사항으로 넘어가자.

주전원 운반원의 운동과 점을 지정하는 두 방식

다음으로 저자는 “그러나 주전원을 운반하는 천구층은”이라고 하면서 운반원의 운동을 다룬다. 여기서는 그것을 이심원이라고 부르지 않고 주전원 운반원이라고 부른다. 이 행성들에 설정한 다른 이심원, 곧 이퀀트라고 부르는 것과 구별하기 위해서다. 여기서 네 가지를 다룬다. 먼저 그 운동을, 둘째로 “그러므로”라는 곳에서 몇 가지 따름정리를, 셋째로 “그런데 운동은”이라는 곳에서 운동의 규칙성을, 넷째로 “따라서 필연적으로”라는 곳에서 하나의 따름정리를 이끌어 낸다.

첫 번째에 관해서는 “그러나 주전원을 운반하는 천구층은”이라고 말한다. 그 운동은 사인의 순서를 따르지만 황도 또는 황도대의 축을 중심으로 하는 것은 아니다. 그 축은 황도대의 축을 가로지른다. 그렇다고 해서 그 극들이 황도대의 극들에서 똑같이 떨어져 있는 것도 아니다. 한쪽 극이 다른 쪽보다 더 가깝다.

이 부분과 다음 부분에서 말하는 내용을 상상하려면, 주전원 운반원에 어떤 점을 지정하는 방식이 두 가지임을 알아야 한다. 지정하는 것은 같은 위치에서 움직이지 않고 있거나, 그들이 움직이는 것과 다른 방식으로 움직일 수 있다. 첫째는 한순간에 지정하는 방식이다. 지정을 마치면 지정하는 것이 더 이상 지정하지 않는다. 마치 누군가가 상상으로 그 안에 점을 표시한 뒤 상상을 다른 데로 돌리는 것과 같다. 둘째는 시간 속에서 계속 지정하는 방식이다. 지정하는 것이 항상 고정되어 있으면서 계속 지정한다. 이를테면 더 높은 하늘의 오목한 면 위의 한 점이, 앞서 말한 운반원 위의 원지점을 계속 지정한다고 상상하는 경우이다.

첫 번째 방식의 점은 그것이 표시된 물체와 같은 방식으로 움직인다. 따라서 그 물체 위에서, 그 안에서 매우 빠르게 움직이는 선에 따라 또는 선 아래에 이처럼 지정된 점은 언젠가 황도면에 이르고, 그 물체와 마찬가지로 황도면을 가로지른다[선에 관한 구문 불확실]. 축이 축을 가로지른다면 원도 원을 가로질러야 하기 때문이다. 이는 도해에서 드러난다.

축의 교차와 계속 지정되는 점

축들이 동일한 중심, 곧 한가운데에서 서로 교차하지 않는 경우에도 마찬가지이다[구문 불확실]. 다만 교차 지점이 가로지르는 축의 극에서 떨어진 거리가, 가로질러지는 것의 중간 또는 중심에서 떨어진 거리보다 더 크지 않아야 한다. 구형 물체에서는 축의 크기만큼 그 축을 중심으로 움직이는 원의 지름도 크기 때문이다. 또는 그것이 필연적이지는 않더라도 가능한 것은 도해에서 드러난다.

그러나 두 번째 방식으로 지정된 점은 그 물체가 움직이는 방식으로 움직이지 않고, 지정하는 것이 움직이는 방식으로 움직인다. 계속 지정하는 것의 표지 아래에 지정된 것이 계속 있어야 하기 때문이다. 그러므로 지정된 점은 운반원의 언제나 다른 부분에 있게 된다. 점이 물체를 바탕으로 존재하는 방식, 곧 상상에 의해서이거나 그 자체로 일차적인 것은 아닌 방식으로 그렇게 되는 것이다. 물체 자체가 일차적으로 바탕이 되는 것은 양뿐이다. 따라서 이러한 점은 황도를 가로지르거나 언젠가 황도 아래에 있어야 할 필요가 없다. 지정하는 점 자체에도 같은 일이 일어나는 경우는 예외이다.

축과 극의 도해 설명

축과 극, 그리고 여기에서 생기는 사항을 설명하는 도해.

황도와 이심원의 원지점 운반원들의 축은 E–D–F이다. 이심원의 축은 M–C–N이다. 운반원의 극 N은 반대편 극 M보다 황도의 축에서 덜 떨어져 있다. M–P, K–L, A–B, N–O, C–B는 원지점 운반원들의 운동에 실려 그려진, 황도에 평행한 둘레들이다.

작은 도해들에는 AXIS(축), 아래의 원에는 **ÆQVINOCTIALIS(적도)**라고 적혀 있다. 큰 도형의 AUX는 원지점, OPPOS.는 그 반대점, SUPERFICIES ECLIPTICÆ는 황도의 면, SUPERFICIES ECCENTRICI는 이심원의 면이다. A–R 등의 점 표지는 원그림의 문자 그대로 유지한다.

평행한 원들과 황도 위에 남는 원지점

둘째로 알아둘 것은, 어떤 천구층 위에 지정된 점은 그 천구층이 움직이면 그 축을 둘러싼 원을 그리며, 그 원의 모든 부분은 그 극들에서 같은 거리 관계를 유지한다는 점이다. 그리하여 모든 점이 그리는 모든 원은 서로 평행하다. 제8천구의 운동에서 바로 그런 일이 일어나는 것을 뚜렷하게 볼 수 있다. 북극 가까이에 있는 별들은 그 주위를 돌아 둘레를 그린다. 그 둘레의 모든 부분은 극과 축에서 같은 거리 관계를 유지하며, 그 극에서 멀어질수록 원도 더 커진다. 이는 움직이는 그 천구층의 한가운데, 곧 적도원에 이르기까지 그러하다. 도해에서도 드러난다.

셋째로 알아둘 것은, 앞서 말한 이심원 위의 원지점을 지정하는 천구층은 두 원지점 운반원 가운데 하나이며, 본문에서 말하듯 황도의 축과 극을 중심으로 움직인다는 점이다. 따라서 그 위에 표시된 한 점이 양쪽 극에서 똑같이 떨어져 있다면, 그 점은 항상 황도선 아래에서, 황도면 위를 움직인다. 그 밖의 다른 점은 모두 황도면과 평행한 면을 그린다. 바로 앞의 도해에서도 적도를 황도로 바꾸어 보면 이 점이 드러난다.

원지점이 황도를 가로지르지 않는 이유

넷째로 알아둘 것은, 앞서 말한 주전원 운반원의 축은 황도의 축을 가로지르며, 따라서 자기 원지점을 운반하는 것들의 축도 가로지른다는 점이다. 그러나 교차 지점은 황도의 바로 그 중심이 아니라 그 옆에 있다. 운반원이 모든 면이나 어느 면에 관해서든 공심인 것은 아니므로, 그 중심이 세계의 중심 위에 있을 수 있는 것처럼 옆에도 있을 수 있다. 구형 물체에서 위에 있는 것과 옆에 있는 것은 수학적으로 말하면 우리와의 관계 말고는 차이가 없기 때문이다.

그러므로 이 운반원의 원지점은 황도에서 벗어나 있어야 한다. 원지점은 항상 그것이 놓인 바탕의 극들에서 같은 거리 관계를 유지하기 때문이다. 따라서 더 높은 천구층에서 원지점을 지정하는 점도 황도에서 떨어져 있어야 한다. 그 높은 천구층은 일주운동을 제외하면 오직 황도의 축을 중심으로 움직이므로, 원지점을 지정하는 그 점은 황도에 평행한 원을 그려야 한다. 지정된 원지점과 그것을 지정하는 점은 서로 분리되지 않기 때문이다.

이렇게 해서 먼저 운반원과 주전원은 황도를 지나는데 그 위에 지정된 원지점은 황도를 지나지 않는 이유가 드러난다. 원지점이 언제나 같은 부분에 지정되는 것이 아니라, 계속 다른 부분에 지정되기 때문이다. 지정하는 것 자체는 제8천구의 황도로 접근할 수 없고, 그것에 더 가까워지거나 덜 가까워질 수도 없다.

둘째로 운반원 축의 극들이 황도대 또는 황도의 극들에서 같지 않은 거리로 벗어나는 이유도 드러난다. 이심 운반원의 중심이 세계의 중심을 지나 황도로 그은 선 밖에, 곧 세계의 중심 위이면서 그 선의 옆에 놓이기 때문이다. 그러한 축은 황도의 축을 불균등한 부분으로 자른다고 이미 말했다. 따라서 두 축이 평행할 수 없고, 같은 중간점을 가질 수도 없다[지시 관계 불확실]. 운반원의 중심은 황도 아래에 있으므로, 원지점이 기우는 쪽의 극은 나머지 극보다 황도의 극에 더 가까이 간다. 이는 도해에서 드러난다.

운반원이라는 말의 두 뜻

두 번째 사항인 “그러므로”라는 곳에서 저자는, 여기서 그들의 이심원 원지점은 결코 황도를 가로지르지 않고 언제나 북쪽에 머무르며 원지점의 대점은 남쪽에 머무른다는 결론이 나온다고 말한다. 이는 앞의 말에서 드러난다. 하나의 주전원 운반원에 대해 말한 것은 세 행성 모두에 대해 말한 것이기 때문이다.

이 부분의 나머지 사항들도 앞의 말에서 드러난다. 다만 위에서도 말했듯이, 운반원이라는 말은 물체를 뜻하기도 하고 운반원의 원지점이 그리는 원을 뜻하기도 한다. 이 원을 운반원의 면 또는 이심원이라 부른다는 점을 덧붙여야 한다.

운반원과 같은 크기의 이퀀트

세 번째 사항인 “그런데 주전원 운반원의 운동은”이라는 곳에서는, 주전원 운반원의 운동이 자기 중심에 관해서 불균등하다, 곧 불규칙하다고 말한다. 이 부분을 이해하거나 상상하려면 상위 세 행성 각각에 두 개의 이심원이 있음을 알아야 한다. 두 원은 같은 평면 위에 있고 크기가 같으며, 제8천구의 운동과 땅을 둘러싸고 동쪽에서 서쪽으로 도는 하루의 일주운동을 제외하면 움직이지 않는다. 그 중심들은 세계의 중심에서 운반원의 원지점을 향해 뻗은 같은 직선 위에 있다. 한 원의 중심이 다른 원의 중심에서 떨어진 거리는, 그 다른 중심이 세계의 중심에서 떨어진 거리와 같다. 이는 도해와 같다.

도형의 C. EQ.는 이퀀트의 중심, C. D.는 운반원의 중심, C. M.은 세계의 중심이다.

그 가운데 중심이 세계의 중심에 더 가까운 것을 이심 운반원이라고도 부른다. 그 둘레를 따라 주전원의 중심이 서쪽에서 동쪽으로 운반된다. 나머지는 이퀀트라 부른다. 그것에서는 주전원의 중심이 날마다 균등하게 움직인다고 이해하기 때문이다. 이 균등한 기준을 상상하고 설정해야 하는 까닭은, 결여를 그에 해당하는 성질을 갖춘 상태를 통해 알듯이 불균등한 것을 균등한 것을 통해 알기 때문이다. 따라서 이심 운반원의 중심과 세계의 중심 둘레에서 일어나는 불균등한 운동을 알기 위해서는 균일한 운동을 찾아야 했다. 또 운반원 자체를 통해 추론할 수 있도록 이퀀트를 운반원과 같은 크기로 그린다.

그러므로 “주전원 운반원의 운동은 자기 중심과 극에 관해서 불균등하고 불규칙하다”고 말한다. 그러나 운반원의 중심에 관해서 불규칙한 그 운동이, 원지점선 위에 있는 이퀀트의 중심에 관해서는 규칙적이기 때문에 다음 설명을 덧붙인다. “그러나 이 불균등함”, 곧 이 불균등한 운동에는 규칙성의 규준이 있다. 주전원의 중심은 원지점선 위의 어떤 점, 곧 이퀀트의 중심으로 사용하는 점에 관해서 규칙적으로 움직인다. 그 점은 이 천구층, 곧 운반원의 중심에서, 운반원의 중심이 세계의 중심에서 떨어진 만큼 떨어져 있다. 이미 말했듯이 운반원의 중심이 세계의 중심에서 떨어진 만큼 이퀀트의 중심도 운반원의 중심에서 떨어져 있다. 나머지는 분명하다.

달의 모형과 뒤집어 비교하는 따름정리

네 번째 사항인 “따라서 필연적으로”라는 곳에서 하나의 따름정리를 이끌어 낸다. 달에서는 주전원의 중심이 원지점에 가까울수록 더 빠르게, 그 대점에 가까울수록 더 느리게 움직였다. 그러나 여기서는 필연적으로 반대가 일어난다. 곧 원지점에 가까울수록 더 느리게, 원지점의 대점에 가까울수록 더 빠르게 움직인다.

그 이유는 달의 주전원 중심이 규칙적으로 움직이는 황도대가 달의 운반원에 대해 맺는 관계를, 이 행성들에서는 이퀀트가 운반원에 대해 맺기 때문이다. 다만 이퀀트는 운반원과 크기가 같지만 황도대는 그렇지 않다는 차이가 있다. 또한 달의 운반원 원지점 대점이 황도대에 대해 맺던 관계를, 여기서는 운반원의 원지점이 이퀀트에 대해 맺는다.

그러므로 이 행성들의 도해를 뒤집고 이퀀트의 중심을 황도대 또는 세계의 중심이라 불러 보라. 그러면 달의 도해와 같아진다. 따라서 주전원의 중심이 때로는 더 빠르게, 때로는 더 느리게 움직이는 것도 앞서 말한 방식대로 된다.

달도 이퀀트를 갖는가 — 의문과 반대 논거

[측주: 의문(Dubium).]

다섯 행성만 이퀀트를 가지고 두 광체는 가지지 않는지 의문이 제기된다. 달도 이를 가진다는 것은 다음과 같이 입증된다. 이심원의 중심에 대하여 운동이 불규칙한 행성은 모두 이퀀트, 곧 이심원과 같은 크기의 원을 가진다. 그 중심에 대해서는 운동이 균등하며, 앞서 말한 것처럼 규칙성이 그 중심에 귀속된다. 그런데 달의 이심원은 달의 이론에서 말했듯이 자신의 중심에 대하여 균일하게 운동하지 않는다. 오히려 주전원의 중심이 원지점에 있을 때가 그 맞은편에 있을 때보다 더 빠르다. 따라서 운동이 균등한 세계 중심을 중심으로 달의 이퀀트를 상정해야 한다. 그러므로 달은 이퀀트를 가진다.

이것은 『천구에 관하여』의 저자가 제4논고에서 한 말의 권위로도 뒷받침된다. 그는 태양을 제외한 각 행성이 세 원, 곧 운반하는 이심원과 주전원과 이퀀트를 가진다고 하며, 달의 이퀀트는 지구와 동심이고 황도면 안에 있다고 덧붙인다. 그러므로 이퀀트를 가지는 것은 상위 세 행성과 금성·수성뿐 아니라 달도 마찬가지다.

이에 반대되는 것은 이 책의 저자가 달의 이론에서 이퀀트를 전혀 언급하지 않았다는 점이다. 달이 그것을 가진다면 저자의 설명은 불완전했을 것이다. 그러나 그렇게 말해서는 안 된다.

달의 이퀀트 — 운동의 필요와 교점 설명의 편의

[측주: 답변(Resp.).]

이 물음에 간단히 답하겠다. 달은 상위 세 행성과 같은 이퀀트를 필요로 하지도, 가지지도 않는다. 앞서 말했듯 이퀀트는 주전원이나 행성이 균등하게 운동하는 실재하는 원을 갖지 않을 때, 그 운동을 규칙적인 것으로 나타내는 상상의 원이다. 상위 세 행성 및 금성과 수성의 경우가 그러하다. 이들은 이심원 중심에 대해서도 황도대 중심에 대해서도, 따라서 이 두 원 어느 쪽에서도 불규칙하지만, 앞서 말한 중심에 대해서는 균일하다. 그러므로 그 중심을 중심으로 이들이 균일하고 규칙적으로 운동하는 이퀀트를 상정해야 한다. 이 필요가 없어지면 이퀀트도 필요하지 않다. 달의 규칙성은 지구 중심에 대하여, 따라서 황도대에서 성립하므로, 달에는 이퀀트가 필요하지도 않고 있지도 않다. 누군가 아무 까닭 없이 쓸데없이 원의 수를 늘리고자 하는 경우는 예외다. 이퀀트를 설정하는 이유는 전적으로 운동의 불균등성에 있다. 달은 세계 중심에 대하여 규칙적이므로 이퀀트를 가지지 않는다. 이 때문에 저자는 달의 이론에서 그것을 설정하지 않았다.

그러나 같은 곳에서 보았듯이 이심원은 황도와 교차하여 용을 만든다. 황도와 달의 이심원처럼 크기가 다른 원들에서는 교차가 일어날 수 없는 것처럼 보인다. 그래서 『천구』의 저자는 황도 중심을 중심으로 이심원과 같은 크기의 이퀀트를 상정했다. 이것이 이심원과 교차하여 머리와 꼬리를 만들게 한 것이다. 이는 그의 저작 제4논고에서 분명하다. 거기서 그는 용이 이심원과 이퀀트의 교차로 생긴다고 설명한다. 이심원과 황도가 서로 접하지 않으므로 서로 교차할 수도 없는 것처럼 보이기 때문에, 오직 이를 더 쉽게 상상하도록 하려고 그는 달에 이퀀트를 설정했다. 운동을 균등하게 만들기 위해서가 아니다. 그곳에서는 그러한 운동을 전혀 언급하지 않는다.

그렇다면 그대는 물을 것이다. 이 책의 저자도 앞서 말한 이론에서 용을 언급하는데, 왜 그 필요, 곧 용을 만들기 위해 이퀀트를 설정하지 않았는가? 다음과 같이 답해야 한다. 이심원과 황도가 서로 접하지 않더라도 이심원의 한 부분은 북쪽으로, 나머지 부분은 남쪽으로 기울어 있으므로 이심원은 황도와 교차한다. 그리하여 머리와 꼬리가 생기며, 이를 위해 이퀀트를 설정할 필요는 없다. 다만 이러한 교차가 황도와 일어난다고 상상하기가 이퀀트라는 원과 일어난다고 상상하는 것만큼 쉽지 않으므로, 앞서 말했듯 『천구』의 저자는 그것을 설정했다. 이로써 의문에 대한 답이 분명해진다.

상위 세 행성의 회귀를 알아내는 관측 절차

상위 세 행성의 회귀를 알아내는 법.

상위 세 행성이 이전 관측 때 떠나기 시작했던 황도대의 어떤 일정한 위치로 되돌아오는 것을 알아내려면 다음과 같이 진행해야 한다. 이로부터 황도대에서의 행성 주기와 주전원의 회전 횟수를 결론지을 수 있다. 먼저 어느 행성이든 황도대의 알려진 구역에 있을 때 태양과 이루는 일정한 거리를 선택한다. 그런 뒤 그 별이 황도대의 같은 위치로 돌아올 때까지 기다리되, 태양과의 거리도 이전과 같아야 한다. 그 거리는 황도대의 행성 위치 관측에 적합한 기구, 이를테면 프톨레마이오스식 혼천의나 주의 깊고 정밀하게 제작된 토르퀘툼으로 쉽게 알아낼 수 있다.

이와 같이 확인하면 두 원의 이전 변동이 모두 되돌아왔다는 점을 의심할 필요가 없다. 곧 주전원의 중심을 운반하는 원의 변동과 주전원 자체의 변동이다. 주전원, 즉 그 안의 별의 경우에는 태양의 평균운동으로부터의 거리가 같기 때문이다. 운반원 위 주전원 중심의 경우에는 황도대의 같은 위치로 되돌아왔기 때문이다. 따라서 두 관측 사이의 시간을 알면 상위 세 행성 각각의 경도 운동이 얼마 만에 한 주기를 마치는지 알 수 있다. 한편 변동의 회전 횟수, 즉 주전원 위 별의 회전 횟수는 그 일정한 시간 동안 태양이 회전한 횟수로부터 구한다.

히파르코스의 권위에 따라 제시한 회전 횟수와 기간

프톨레마이오스는 히파르코스의 권위에 따라, 토성이 59년 1일 18시간 동안 변동의 회전을 57회 마쳤다고 말한다. 목성은 태양년 71년에서 4일 및 하루의 2분의 1·3분의 1·15분의 1을 뺀 시간 동안 변동의 회전을 대략 65회 마쳤다. 화성은 태양년 69년과 3일, 그리고 하루의 6분의 1·10분의 1 동안 변동의 회전을 대략 37회 마쳤다.[마지막 두 분수의 접속·구두점 불확실]

이 연수와 회전 횟수로부터 상위 세 행성 각각의 주전원 위 일운동을 찾아낸다. 이것을 알면 주전원 중심을 운반하는 원들의 일운동도 쉽게 구할 수 있다.

연수를 일수로 환산하는 토성 계산 예제

그러므로 별들의 주전원 위 일운동을 구하려면 먼저 연수를 일수로 풀어 쓰고, 남은 일수와 그 분수들을 더하라. 환산은 다음과 같이 한다. 앞서 말한 상위 세 행성 각각의 연수를 365일 14분 48초에 곱한다. 프톨레마이오스가 한 해를 그만큼의 일수와 일의 분수로 정했기 때문이다.

여기서는 토성의 연수를 환산할 대상으로 삼는다. 59년에 365일을 곱하면 21,535일이 된다. 여기에서 남은 1일을 버리면 21,536일이 된다고 되어 있다.[원문의 연산 동사와 결과 불일치] 그 뒤 다시 365일에 14분을 곱하고, 끝으로 48초를 곱한다. 초의 곱을 다시 60으로 나누면 47분 12초가 나온다. 이것을 826분에 합친 다음, 합한 것을 60으로 나누면 14일 33분이 나온다. 이것을 앞의 곱에 더하면 21,560이 된다.[인쇄값 보존]

또 18시간도 분으로 바꾸면 45분이 된다. 이를 33분과 합하여 1일 18분으로 만들었다. 이 모든 것을 합산하여 토성의 제시된 연수에 대한 환산값으로 21,551일 18분을 얻었다.

상위 행성 주기 계산의 계속

나머지 두 상위 행성에 대해서도 같은 방식으로 계산해야 한다.

주전원 위 일운동의 수치

이제 그 사이의 운동을 구하려면 토성의 변동 회전 57회에 360도를 곱하라. 다른 행성들도 같은 방식으로 한다. 그러면 20,520도가 된다. 먼저 필요한 단위 환산을 하고, 이것을 21,551일 18분으로 나누면 토성의 주전원 위 일운동은 0도 57분 7초 43삼분 41사분이 된다.

목성도 같은 방식으로 계산하면 0도 54분 9초 2삼분 46사분이다.

화성은 0도 27분 41초 40삼분 19사분이다. 하위 두 행성의 주전원 위 일운동은 아래에서 해당 위치에 이르러 설명하겠다.

주전원 중심·운반원의 일운동

주전원 중심의 일운동을 구하는 법.

주전원 중심, 곧 운반원의 일운동을 구하려면 앞에서 간단히 지나가듯 말했고 뒤에서 더 자세히 설명할 것을 다시 기억해야 한다. 곧 이 행성들의 별들은 자신의 주전원에서 한 번 회전하는 데 태양 자체와 같은 시간을 필요로 한다는 것이다. 여기서 상위 세 행성 가운데 어느 하나의 주전원 위 일운동과 그 운반원의 일운동을 함께 합하면 태양의 일운동과 같다는 것이 분명해진다. 따라서 세 행성 각각에 대하여 방금 열거한 운동을 태양의 일운동에서 빼면, 남는 것이 그 행성에 귀속되는 주전원 중심, 곧 운반원 자체의 일운동이 된다. 이 일은 어렵지 않지만, 이 뛰어난 학술의 초심자들에게는 예시가 있으면 더 분명할 것이다.

태양의 평균 일운동인 0도 59분 8초 17삼분 13사분에서, “화성의, 곧 바로 토성의 변동”인 0도 57분 7초 43삼분 41사분을 빼 보라.[원판에 두 행성명이 함께 인쇄됨] 그러면 토성 주전원 중심의 이심원, 곧 운반원의 평균 일운동으로 0도 2분 0초 34삼분 31사분이 남는다.

목성은 0도 4분 59초 14삼분 27사분이다.

화성은 0도 31분 26초 36삼분 53사분이다.

운반원에서 한 번 회전하는 기간과 뒤의 설명 순서

이 일운동들로부터 각 행성이 자신의 운반원에서 한 번 회전을 마치는 데 필요한 시간을 찾아내기는 어렵지 않다. 토성은 황도대 아래에서 대략 10,787일 7시간 36분 만에 한 번 회전한다. 곧 이집트년 29년 162일 7시간 36분이다.

목성은 4,330일 17시간 14분, 곧 이집트년 2년 314일 17시간 14분이다.[원판의 두 기간이 서로 일치하지 않음]

화성은 686일 22시간 24분이며, 이는 이집트년 1년 321일 22시간 24분이 된다.

평균운동표를 만드는 법은 이 이론의 끝부분에서, 평균운동의 호와 선들을 언급할 때까지 남겨 두겠다.

주전원 중심을 운반하는 원들의 운동 성질은 여기까지 설명했다. 이제 원문이 이어진다.

이어서 “한편 주전원은…”이라고 말하는 곳에서 저자는 주전원의 운동을 다루며 네 가지를 설명한다. 첫째는 주전원의 운동이다. 둘째는 “그리고 그 중심에 대해서는…”이라는 곳에서 그 운동의 규칙성과 불규칙성이다. 셋째는 “한편 주전원의 회전은…”이라는 곳에서 그 운동의 양, 곧 지속 시간이다. 넷째는 “그런데 원지점은…”이라는 곳에서 주전원의 평균 원지점과 참된 원지점이다. 그러므로 첫째 사항에 관하여 그는 다음과 같이 말한다.

주전원의 주기적 운동 — 경도 운동과 규칙성

원문. 주전원의 주기적 운동. III.

한편 주전원은 두 운동을 가진다. 하나는 경도 방향의 운동이고, 다른 하나는 위도 방향의 운동이다. 둘째 운동은 뒤에서 말하겠다. 경도 방향의 운동은 자신의 중심 둘레로 운동하면서 자신에 고정된 행성체를 위쪽 부분에서는 사인의 순서대로, 아래쪽에서는 그 반대로 운반하는 운동이다. 따라서 이 점에서는 달의 주전원과 반대다. 이 운동의 축은 원둘레를 가로지르는 방향에 놓이며, 뒤에서 분명해지겠지만 황도의 축과 때로는 평행하고 때로는 그렇지 않다.

주전원들의 불규칙한 운동.

그리고 이 운동은 주전원의 중심에 대해서는 불규칙하다. 그러나 이 불규칙성에는 다음 규칙이 있다. 주전원의 평균 원지점이 어느 점이든, 행성체는 그 점으로부터 규칙적으로 멀어진다. 그러므로 달의 경우와 마찬가지로 이 행성들에서도 주전원의 평균 원지점과 참된 원지점이 함께 끊임없이 변해야 한다. 또한 운반원의 위쪽 절반에서는 주전원이 자신의 중심 둘레로 회전하는 운동이 더 빠르고, 아래쪽 절반에서는 더 느려야 한다.

태양 운동에 대한 비례와 평균 아르구멘툼

주전원의 운동이 태양의 운동에 대하여 가지는 비례, 그리고 그로부터 구하는 주기 시간.

주전원 회전의 척도는 이렇다. 태양과 해당 행성의 평균 합에서 바로 다음 평균 합까지의 시간에 정확히 한 번 회전한다. 그 결과 모든 평균 합에서 행성체의 중심은 주전원의 평균 원지점에 놓인다. 따라서 모든 그러한 평균 충에서는 주전원 원지점의 맞은편에 놓인다.

그러므로 행성체의 중심과 주전원의 평균 원지점 사이의 거리인 도수와 분수는 언제나 태양 평균운동선과 행성 평균운동선 사이의 거리와 같다. 따라서 태양의 평균운동에서 행성의 평균운동을 빼면 반드시 행성의 평균 아르구멘툼이 남는다.

원문 계속 — 느린 운반원과 빠른 주전원

2. 여기서 다음 일이 일어나는 것으로 보인다. 행성 주전원의 중심이 더 느리게 돌아갈수록 그 주전원은 더 빠르게 회전한다. 그러한 느림 때문에 태양 운동과 그 행성의 평균 합이 더 빨리 되돌아오기 때문이다.

3. 또한 이 세 행성 가운데 어느 것의 평균운동이든, 자신의 주전원에서 이루어지는 운동을 여기에 합하면 도수와 분수에서 태양의 평균운동과 같다.

제3부 — 상위 세 행성과 하위 두 행성의 용어 설명

제3부. 상위 세 행성과 하위 두 행성에서 사용하는 용어의 설명.

주전원의 평균 원지점은 이퀀트의 중심에서 주전원의 중심을 지나 뻗은 선으로 나타낸다.

참된 원지점은 세계 중심에서 주전원의 중심을 지나 뻗은 선으로 나타낸다. 주전원이 운반원의 원지점이나 그 맞은편에 있을 때에는 황도대의 경도 방향에서 이 둘 사이에 아무 간격도 없다. 그러나 주전원이 운반원의 중간거리들 가까이에 있을 때에는 그 차이가 가장 크다. 이 중간거리들은 운반하는 이심원의 중심에서 원지점선에 직각으로 그은 선으로 정해진다.

두 번째 의미에서 행성의 아우게는 양 사인으로부터 원지점선까지의 황도대 호이다.

선과 운동의 도해 — 원문 라벨

선과 운동의 도해. 도해 설명.

A: 세계 중심, 곧 황도대 중심. B: 주전원을 운반하는 원의 중심. C: 이퀀트의 중심. AE: 행성 또는 주전원의 평균운동선. AF: 세계 중심에서 주전원의 중심을 지나는 주전원의 실제운동선. AG: 행성체의 중심을 지나는 행성의 실제운동선. 양 사인에서 AE선까지의 호: 행성 또는 주전원의 평균운동. 양 사인에서 AF선까지의 호: 주전원의 실제운동. 양 사인에서 AG선까지의 호: 행성의 실제운동. CD선: 평균 원지점선. AH선: 참된 원지점선. F까지 연장하면 동시에 주전원의 실제운동선이다. 양 사인에서 원지점선까지의 호: 두 번째 의미의 아우게. 황도대에서 원지점과 E 사이의 호: 행성의 평균 센트룸. 황도대에서 E와 F 사이의 호: 중심차. 주전원에서 D와 H 사이의 호: 주전원 안의 중심차. 주전원에서 H와 행성체 중심 사이의 호: 참된 아르구멘툼. 황도대에서 F와 G 사이의 호: 아르구멘툼의 균차.

주전원 경도 운동과 그 축에 관한 주석

여기서 주의할 것은 경도에 따른 운동이라는 말이 사인의 순서를 따르거나 그 반대로 이루어지는 운동을 뜻한다는 점이다. 이 운동으로 상위 세 행성의 주전원은 위쪽 부분에서는 서쪽에서 동쪽으로, 곧 사인의 순서대로 운동하고, 아래쪽 부분에서는 그 순서의 반대로 운동한다. 달의 주전원에서는 이와 반대였다.

이 운동의 축이 가로놓인다는 것은 원둘레, 곧 운반원의 원둘레에 직각으로 놓인다는 뜻이다. 이 원둘레는 축이 지나가는 주전원의 중심이 그리는 것이기 때문이다. 그리고 이 축은 황도의 축과 때로는 평행하고 때로는 그렇지 않다. 이는 뒤에서 분명해질 것이다.

둘째 사항에 관하여 저자는 “그리고 주전원의 중심에 대해서는…”이라고 말한다. 이 부분 전체는 달의 이론에서 말한 것으로부터 분명함을 알아 두라.

평균 합·평균 충과 두 평균운동선의 간격

셋째 사항에 관하여 저자는 “한편 주전원의…”라고 말한다. 태양과 어떤 행성의 평균 합, 또는 행성 상호 간의 평균 합이란 평균운동선들이 서로 합쳐지는 때임을 알아 두라. 주전원이 한 번 회전하는 시간과, 태양이 어떤 행성과의 평균 합을 떠나 바로 다음 평균 합에 도달하는 시간은 같다. 그러므로 태양과 행성의 모든 평균 합에서 행성체의 중심은 주전원의 평균 원지점에 놓인다. 그 원지점은 이퀀트의 중심에서 주전원의 중심을 지나 나오는 선으로 나타낸다.

따라서 원문에서 도출하듯, 모든 그러한 평균 충에서 행성체의 중심은 주전원 원지점의 맞은편에 놓인다. 앞서 말했듯 행성체 중심이 평균 원지점으로부터 규칙적으로 운동한다면, 전체 시간에 전체 거리를 통과할 때 절반 시간에는 절반 거리를 통과해야 하기 때문이다. 그러므로 평균 충에서 원지점의 맞은편에 놓여야 한다. 그렇지 않으면 태양이 불규칙하게 운동한다고 말해야 한다. 또한 마찬가지로 도출되는 바와 같이, 행성체 중심이 주전원의 평균 원지점으로부터 떨어진 만큼 태양 평균운동선은 행성 평균운동선으로부터 떨어진다.

크기가 다른 원과 움직이는 기준점의 예

여기서 알아 둘 것은 하늘의 원은 크든 작든 모두 황도대나 황도처럼 360도로 나눌 수 있다는 점이다. 따라서 움직이는 두 것 A와 B가 크기가 다른 자신의 원들을 똑같이 빨리 한 바퀴 돈다면, A가 더 큰 자신의 원에서 몇 도를 통과하든 B도 더 작은 자신의 원에서 같은 도수를 통과해야 한다. 그렇지 않으면 둘 가운데 하나가 더 빨리 한 바퀴 돌 것이며, 이는 가정에 어긋난다. A는 같은 시간에 더 큰 원을 통과하므로 더 빠르게 이동하지만, 가정한 대로 원을 한 바퀴 도는 시간은 같다.

여기도 마찬가지다. A를 C, 곧 행성의 평균운동선으로부터 떠나는 태양이라 하고, B를 주전원의 평균 원지점에 있는 바로 B로부터 떠나는 행성이라 하자.[반복된 도형 문자 보존] A는 떠났던 표지, 곧 앞서 말한 선으로 똑같이 빨리 돌아가고 B도 마찬가지다. 그러나 차이가 있다. 이 표지들은 고정되어 있지 않고 그것들 자체도 움직인다. 그러므로 A와 B, 곧 태양과 행성이 각자의 원에서 수적으로 같은 도수를 통과하지 않더라도, 떠나온 표지로부터의 도수 거리는 같아야 한다.

A가 하루에 10도 움직이고 이를 뒤따르는 C가 5도 움직인다고 가정하자. 마찬가지로 B는 6도, D는 1도 움직인다고 하자. 그러면 날이 저물 때 양쪽 모두 자신의 표지로부터 5도 떨어지게 된다. A가 더 많은 도수를 통과했더라도 그러하다.[주저본 6배 재대조: in sero. 기존 ‘여섯째에서’라는 독법을 수정함.]

평균 아르구멘툼의 같음은 위치의 동일함이 아니다

이로부터 저자는 첫째로, 태양의 평균운동에서 행성의 평균운동을 빼면 행성의 평균 아르구멘툼이 남는다고 도출한다. 우리는 표에서 이 계산법을 사용한다.

여기서 알아 둘 것은 행성의 평균 아르구멘툼이란 뒤에서 설명하듯, 평균 원지점에서 행성체 중심까지 그 운동 방향을 따라 헤아린 주전원의 호라는 점이다. 또한 이 말은 지금 다루는 행성들, 곧 태양보다 느리게 운동하는 행성들에만 적용됨을 알아 두라. 이들의 평균운동이 태양의 평균운동에 대해 가지는 관계는 부분과 전체의 관계와 같다. 그러므로 자신의 평균운동선에서 끝나는 행성의 평균운동을 빼면, 태양의 평균운동 가운데 그 선과 태양 운동선 사이에 들어가는 만큼이 남는다.

이 간격이 행성의 평균 아르구멘툼, 곧 주전원의 평균 원지점과 행성체 중심 사이의 간격이다. 앞서 말했듯 행성체 중심이 그 원지점으로부터 떨어진 도수·분수는 태양 평균운동선이 행성 평균운동선으로부터 떨어진 도수·분수와 같기 때문이다. 내가 이 간격을 평균 아르구멘툼이라고 말하는 것은 두 간격이 동일한 것이기 때문이 아니다. 저 간격은 황도대에 있고 이 아르구멘툼은 주전원에 있다. 이산적인 양이 같기 때문, 곧 도수와 분수의 수가 같기 때문이다.

세 운동과 회전 속도의 반비례에 관한 설명

또한 둘째로 도출하는 것은, 행성 주전원의 중심이 운반원의 운동에 따라 더 느리게 돌아갈수록 주전원 자체는 고유운동으로 더 빠르게 회전한다는 점이다. 그러한 느림 때문에 태양 운동과 그 행성의 평균 합이 더 빨리 되돌아오기 때문이다.

태양과 어떤 행성의 평균 합이 일정한 시간과 배치에서 일어나려면 세 운동이 함께 작용함을 알아 두라. 하나는 자신의 운반원에서 이루어지는 태양의 운동이다. 다른 둘은 행성의 운동으로, 하나는 운반원에서 이루어져 주전원이 직접 우연적으로 움직이게 하는 운동이고, 하나는 주전원에서 이루어져 행성체가 직접 우연적으로 움직이게 하는 운동이다. 이 세 운동 가운데 어느 하나라도 제거하면 같은 시간과 배치에서 합이 일어나지 않는다. 어느 하나를 바꾸어도 마찬가지다. 이는 각자의 운동으로 서로 합쳐지는 모든 것에서 분명하다.

앞서 말한 세 행성과 태양의 평균 합은 행성이 주전원의 평균 원지점에 있을 때 일어난다. 따라서 그중 어느 행성이 운반원에서 한 바퀴 도는 운동이 더 느리다면 주전원에서의 운동은 더 빨라야 한다. 그 느림이 더 빠르게 움직이는 태양과 행성의 합을 앞당기기 때문이다. 그러므로 행성이 그 시간 안에 주전원을 한 바퀴 돌고 그러한 배치에서 태양과 합해야 한다면, 운반원의 운동이 느린 만큼 주전원 위 운동은 빨라야 한다. 태양이 다시 합하는 시간이 짧아지는 만큼 주전원이 한 번 회전하는 시간도 짧아야 한다. 두 일이 같은 시간에 이루어지기 때문이다. 따라서 더 짧은 시간에 완성되는 주전원의 회전은 그만큼 빨라야 한다.

그리하여 토성의 주전원은 목성의 주전원보다 더 빠르게 회전한다. 곧 고유운동으로 자신의 중심 둘레를 더 빠르게 돈다. 목성의 주전원도 화성의 주전원보다 더 빠르다. 그러나 주전원이 세계 중심 둘레를 도는 운동에서는 그 반대다. 주전원에서 평균 원지점으로부터 헤아린 토성의 하루 운동은 57분 7초 44삼분 20사분이다. 목성은 54분 9초 4삼분 10사분이다. 화성은 27분 41초 40삼분 57사분이다.

세 번째 결론 — 부분에 부족분을 더하기

셋째로 그는, 앞서 말한 세 행성 가운데 어느 것의 평균운동이든, 곧 황도대에서의 평균운동을 그 행성의 주전원 위 운동에 합하면 태양의 평균운동과 같다고 도출한다. 앞의 말로부터 분명하듯 이들의 평균운동은 태양의 평균운동에 대하여 부분과 전체의 관계에 있기 때문이다. 태양 쪽이 행성의 평균운동을 넘어서는 만큼이 평균 아르구멘툼이며, 그 아르구멘툼은 주전원에서의 운동이다.[압축된 비교 구문] 부분에 전체보다 부족한 만큼을 더하면 그 부분은 전체와 같아진다.

평균 원지점과 참된 원지점 사이의 간격

넷째 사항에 관하여 저자는 먼저 주전원의 평균 원지점을 설명하며, 원문은 분명하다. 둘째로 참된 원지점을 설명하는데, 이것도 마찬가지로 분명하다. 저자는 주전원의 중심이 운반원의 원지점이나 그 맞은편에 있을 때 이 두 원지점 사이에 주전원의 경도 방향으로 아무 간격도 없다고 말한다. 이 경도는 주전원 원둘레의 도수로 이해하라. 그때 두 원지점 사이에는 그 도수가 전혀 없는데, 하나의 선 끝에 놓인 하나의 점이 되기 때문이다. 그때 평균 원지점선이 나오는 이퀀트 중심은, 참된 원지점선이 나오는 세계 중심과 두 선이 함께 지나는 주전원 중심 사이에 지름 방향으로 놓인다.

주전원의 중심이 운반원의 중간거리들 가까이에 있을 때 두 원지점의 차이가 가장 크다. 곧 주전원 경도, 즉 원둘레에서 가장 큰 간격을 끼고 있다. 중간거리들은 운반하는 이심원의 중심에서 원지점선에 수직으로 나오는 선들로 정한다. “운반하는 이심원”이라고 말한 것은 이퀀트 이심원과 구별하기 위해서다. 그 이유는, 주전원의 중심이 운반원의 원지점이나 그 맞은편에 있지 않은 한 두 선이 언제나 주전원 중심에서 서로 교차하기 때문이다. 서로 교차하는 두 선은 출발하는 밑변이 클수록 교차점 뒤에서 그 사이에 더 큰 간격을 끼게 된다. 이는 감각적으로 명백하며 이 그림에서도 분명하다.

중간거리에서 두 원지점선이 벌어지는 이유

도형의 두 BASIS 표지는 밑변이다.

그런데 주전원의 중심이 운반원의 중간거리들에 있을 때 이 선들의 밑변은 가장 크다. 두 선이 원지점이나 그 맞은편에 있어 밑변이 전혀 없었던 점으로부터 이 밑변은 계속 커져 왔으며, 주전원 중심이 앞서 말한 중간거리들에 놓일 때 비로소 줄어들기 시작하기 때문이다. 이는 선과 운동의 이론에서 분명하다. 따라서 그때 밑변이 최대이고, 주전원 원둘레에서 두 선의 간격도 최대이며, 그 선들이 나타내는 원지점들의 간격도 최대다.

셋째로 다른 의미의 행성 아우게를 말하자면, 이는 양 사인에서 원지점선, 곧 주전원의 원지점이 아니라 이심원의 원지점선까지의 황도대 호이다.

행성의 중간거리는 태양의 중간거리와 다르게 정한다

알아 둘 것은 상위 세 행성과 금성에서 중간거리의 점들은 태양의 경우와 다른 방식으로, 이심원의 다른 점들에 놓인다는 사실이다. 중간거리들은 균차가 최대가 되는 점들이며, 고대인들은 그 이유로 그것들을 상정했다. 이는 태양 이론에서 알려진 바와 같다. 태양의 아르구멘툼 균차는 세계 중심에서 원지점선에 수직으로 그은 선이 끝나는 이심원의 점에 태양이 있을 때 최대가 됨을 그 이론에서 증명했다. 따라서 그 점은 태양의 중간거리이고, 세계 중심에서 나오는 그 선은 중간거리선이다. 이는 그곳에서 분명해졌다.

그러나 상위 세 행성과 금성에서는 그 점에 행성이 있어도, 뒤에서 설명하겠지만 중심차도 아르구멘툼의 균차도 최대가 되지 않는다. 오히려 이심원의 중심에서 원지점선에 수직으로 그은 선의 끝점에서 중심차가 최대가 된다. 따라서 앞의 점이 아니라 이 점이 중간거리의 점이다. 세계 중심에서 이 점까지 그은 선을 중간거리선이라 부른다. 이 선은 원지점과 그 맞은편의 점들 사이에서 양적으로도 비례적으로도 중간이 아니다.

양적으로 중간이 아니라는 것은 다음과 같이 입증한다. 중심이 A이고 지름이 BADF인 이심원 BEF를 그리며, 그 지름 위에 세계 중심 D가 놓이게 하라. BF에 수직인 선을 그으면 AE가 되고, 점 E가 중간거리가 된다.[선·점 명칭의 압축 보존] 세계 중심에서 DE선을 그으면, 이것이 중간거리선이라고 불림은 알려져 있다. 이 선은 AE보다 길다. EAD각은 직각이므로 유클리드 제1권32의 따름정리에 따라 삼각형 AED의 E각과 D각보다 크다. 따라서 같은 권의 제18명제에 따라 DE선은 AE보다 길다.

그런데 원지점선과 그 맞은편 선 사이에서 양적으로 중간인 선은 AE와 같다. 이는 태양 이론의 중간거리 부분에서 레기오몬타누스의 논증이 입증했다. 그 선은 원지점선보다 작은 만큼 원지점 맞은편의 선보다 크며, 그 동일한 차이는 이심량이다. 이는 같은 곳에서 논증으로 분명해졌다. 따라서 DE선은 이심원의 원지점선 DB와 그 맞은편 선 사이에서 중간이 아니다.[원문의 연결 일부 불확실] 오히려 DE가 DF를 넘어서는 양은 DB가 DE를 넘어서는 양보다 더 크다.

그러므로 비례적으로도 중간이 아니다. 두 극단 사이의 비례중항은 큰 것에 대한 비례상의 부족과 작은 것에 대한 비례상의 초과가 같더라도, 양적인 차이는 같지 않다. 오히려 큰 것으로부터 부족한 차이가 작은 것을 넘어서는 차이보다 더 크다. 이는 『원론』 제5권에서 제시된다. 그런데 증명했듯 DE선은 작은 선 DF를 넘어서는 양이 큰 선 DB로부터 부족한 양보다 크다. 따라서 원지점선과 그 맞은편 선 사이의 비례중항이 아니다.

이 선을 중간거리선이라고 부르는 것은 이 두 이유 어느 쪽 때문도 아니다. 오직 주전원이 이 선의 끝점에 있을 때 주전원 자체에서도 황도대에서도 중심차가 최대가 되기 때문이다. 이는 뒤에서 분명해질 것이다.

표에서 구하는 상상의 양과 다음 설명 순서

이어서 “평균운동선은…”이라고 말할 때, 저자는 상상의 속성들, 곧 표에서 주로 구하는 것들을 다룬다. 이에 관하여 세 가지를 설명한다. 첫째는 평균운동선과 실제운동선이다. 둘째는 “평균운동은…”이라는 곳에서 운동 자체들이다. 셋째는 “평균 센트룸은…”이라는 곳에서, 실재하는 것이기는 하지만 상상의 경계들을 가지는 다른 몇 가지를 설명하거나 밝힌다. 첫째 사항에 관하여 그는 다음과 같이 말한다.

평균운동선·실제운동선의 정의

행성 또는 주전원의 평균운동선은 세계 중심에서 황도대까지 그은 선으로서, 이퀀트 중심에서 주전원 중심으로 나오는 선과 평행하다.

주전원의 실제운동선은 세계 중심에서 주전원 중심을 지나 황도대까지 나오는 선이다.

행성의 실제 위치 또는 실제운동의 선은 세계 중심에서 행성체 중심을 지나 황도대까지 그은 선이다.

행성과 주전원의 평균운동선은 하나이다

여기서 알아 둘 것은 주전원과 그 안에 있는 행성의 평균운동선은 반드시 하나뿐이라는 사실이다. 하나의 중심, 곧 세계 중심에서 나오며 이퀀트 중심에서 나오는 선과 평행하기 때문이다. 태양의 경우에는 운반원 중심에서 나오는 선과 평행했던 것과 같다. 하나의 중심에 바탕을 둔 서로 다른 두 선이 같은 하나의 선과 평행하기는 불가능하다.

또한 이 선이 때로는 주전원과 행성의 중심을 지나지만 때로는 그렇지 않음을 알아 두라. 따라서 그 정의에 두 중심을 지난다고 넣을 수 없었다. 정의는 언제나 정의되는 것과 일치해야 하기 때문이다. 그러나 양자의 실제운동선은 서로 다르다. 같은 중심에 바탕을 두기는 하지만, 어떤 제3의 선과 평행한 것이 아니라 서로 다른 중심, 곧 행성체 중심과 주전원 중심을 지나기 때문이다. 둘째 사항에 관하여 저자는 다음과 같이 말한다.

평균운동·실제운동의 정의

행성 또는 주전원의 평균운동은 양 사인의 시작에서 사인의 순서를 따라 행성의 평균운동선까지 헤아린 황도대 호이다.

한편 주전원의 실제운동은 주전원의 실제운동선까지 헤아린다. 행성의 실제운동은 행성의 실제운동선까지 계산한다.

센트룸·균차·아르구멘툼의 네 가지 설명

이 모든 것은 본문에 분명히 드러난다. 셋째 사항에 관하여 저자는 두 가지를 한다. 먼저 앞서 말한 것들, 곧 상상의 것들을 경계로 삼는 실재하는 것들을 설명한다. 다음으로 “그런데 균차는…”이라는 곳에서 그중 일부를 비교한다. 첫 부분은 크게 네 가지를 설명하므로 네 부분으로 나뉜다. 첫째는 센트룸들, 둘째는 중심차들, 셋째는 아르구멘툼들, 넷째는 아르구멘툼의 균차들이다. 그러므로 첫째에 관하여 그는 다음과 같이 말한다.

평균 센트룸·참된 센트룸과 황도대에서의 균차

행성의 평균 센트룸은 원지점선에서 주전원의 평균운동선까지의 황도대 호이다.

참된 센트룸 또는 보정된 센트룸은 원지점선에서 주전원의 실제운동선까지 헤아린다.

황도대에서 중심차는 주전원의 평균운동선과 그 실제운동선 사이의 황도대 호이다. 주전원의 중심이 운반원의 원지점이나 그 맞은편에 있을 때에는 이 균차가 없고, 중간거리들에 있을 때에는 최대다. 평균 센트룸이 여섯 사인보다 작으면 그것은 참된 센트룸보다 크다. 마찬가지로 행성의 평균운동은 주전원의 실제운동보다 크다. 따라서 그때에는 평균 센트룸과 주전원의 평균운동에서 황도대상의 중심차를 빼서, 참된 센트룸과 주전원의 실제운동이 남게 한다. 평균 센트룸이 여섯 사인보다 클 때에는 그 반대가 일어난다.

호로서의 센트룸과 보정이라는 명칭

그러므로 그는 센트룸, 곧 중심이 상상 속에서 통과한 간격을 말한다. 이것을 평균이라고 부르는 것은 해당 행성의 평균운동선에서 끝나기 때문이다. 이 간격을 황도대 호라고 부르며, 주전원의 원지점선이 아니라 운반원의 원지점선에서 주전원의 평균운동선까지 헤아린다고 보충하여 이해하라. 앞서 말했듯 이 선은 행성의 평균운동선과 같다.

참된 센트룸은 실제운동선에서 끝나기 때문에 그렇게 불린다. 또한 보정된 센트룸이라고도 부른다. 뒤에서 설명하겠지만 이를 알아내기 위해 균차를 더하거나 빼기 때문이다. 이 센트룸은 원지점선, 곧 “태양 이심원의” 원지점선에서 주전원의 실제운동선까지 헤아린다.[원판의 Solis 보존] 즉 이 두 선 사이에 끼인 황도대 호이다.

중심차의 감산·가산 조건에 대한 주석

이어서 둘째 사항에 관하여 “중심차는…”이라고 말한다. 먼저 황도대에서의 중심차를 설명하고, 다음으로 “한편 주전원에서 중심차는…”이라는 곳에서 주전원 안의 균차를 설명한다. 황도대에서 중심차, 곧 보정된 또는 참된 아르구멘툼을 얻기 위해 더하거나 빼는 호란 주전원의 평균운동선과 실제운동선 사이에 있는, 또는 끼인 황도대 호이다.[용어 argumentum 보존] “이 균차가 없다”는 것은 그때 균차를 끼고 있는 두 선이 하나가 되어 아무 간격도 끼지 않기 때문이다. “최대”라는 것은 그때 균차를 끼고 있는 선들이 가장 멀리 떨어져 있기 때문이다. 두 선은 평행하며, 그때 두 선이 만나는 선, 곧 원지점선과 직각을 이룬다. 이는 앞에서 말한 것으로부터 분명하다.

또한 평균 센트룸이 여섯 사인보다 작을 때라고 말한다. 이는 주전원 평균운동선이 원지점에서 떠나 그 맞은편으로 다가가고 있을 때를 뜻한다. 이 아르구멘툼은 원지점에서 시작하며, 원지점에서 그 맞은편까지는 정확히 여섯 사인이기 때문이다. 이렇게 놓이면 평균값은 참된 아르구멘툼보다 크다. 평균값이 끝나는 평균운동선이 참값이 끝나는 실제운동선보다 앞서 있기 때문이다. 따라서 본문에서 분명하듯 그때는 균차, 곧 평균 아르구멘툼이 참값을 넘어서는 초과분을 뺀다.

평균 센트룸이 여섯 사인보다 클 때에는 반대가 일어난다. 곧 평균운동선이 원지점의 맞은편에서 떠나 원지점으로 다가갈 때다. 이때는 실제운동이 더 크다. 원지점의 맞은편에서, 이전에는 뒤따르던 실제운동선이 앞서기 시작하기 때문이다. 이어서 그는 주전원 안의 중심차를 다음과 같이 설명한다.

주전원 안의 중심차와 반대 부호의 보정

주전원 안의 중심차는 그 주전원의 평균 원지점과 참된 원지점 사이에 놓인 주전원의 호이다. 이 역시 주전원 중심이 운반원의 원지점이나 그 맞은편에 있을 때에는 없고, 운반원의 중간거리에 있을 때에는 최대다. 황도대에서의 중심차가 황도대 전체에 대하여 가지는 비율은, 주전원에서의 중심차가 주전원 전체에 대하여 가지는 비율과 같다. 평행한 선들 때문에 한쪽 각이 다른 쪽 각과 같아지기 때문이다. 그러므로 표에서 동일한 한 값을 취하면 다른 쪽 값도 얻는다.

참된 센트룸을 얻기 위해 평균 센트룸에서 황도대상의 중심차를 뺄 때에는, 참된 아르구멘툼을 얻기 위해 평균 아르구멘툼에 주전원 안의 중심차를 더한다. 반대로 이쪽을 더할 때에는 다른 쪽을 뺀다. 양쪽은 번갈아 같은 만큼 서로를 넘어서거나 그보다 작아지기 때문이다.

황도대와 주전원에서 같은 균차를 쓰는 이유

그러나 앞서 말했듯 센트룸은 황도대에 있는데, 어떻게 주전원 안에서 그것을 보정할 수 있는가? 센트룸은 황도대에 있으므로 주전원 안에 있지 않으며, 주전원 안에서 보정되는 것도 아니라고 답하겠다. 그곳에는 센트룸 자체가 없기 때문이다. 그렇지만 그곳, 곧 주전원 안에도 중심차가 있다. “동일성에 따른 방식으로, 그것이 황도대에 있기 때문에”라고 인쇄되어 있으나,[연결 불확실] 이어서 설명하듯 이는 절대적인 크기의 같음이 아니라 비례의 같음이다. 주전원은 황도대보다 작기 때문이다. 곧 주전원 안에 어떤 부분이 있어서, 그 부분이 주전원 전체에 대하여 가지는 관계는 언제나 중심차가 황도대 전체에 대하여 가지는 관계와 같다. 균차가 없거나 1도·2도 등인 것과 마찬가지로, 주전원의 이 부분도 없거나 1도·2도 등이다. 이것은 주전원의 참된 원지점과 평균 원지점 사이의 호이다.

원문은 이를 다음과 같이 입증한다. A, 곧 황도대상의 중심차는 주전원의 실제운동선에 놓인 한 점에서 시작하고, B는 그 주전원의 참된 원지점선에서 시작한다. 두 선은 하나의 선이다. 둘 다 세계 중심에서 주전원 중심을 지나 황도대까지 나오는 선이기 때문이다. 그러나 끝나는 경계는 하나가 아니다. A는 C, 곧 주전원의 평균운동선에서 끝나고, B는 D, 곧 그 주전원의 평균 원지점선에서 끝난다. 그렇더라도 이 두 선 가운데 하나가 황도대에서 앞서 말한 시작 경계로부터 몇 도 물러나거나 멀어지든, 다른 선도 주전원에서 같은 도수만큼 멀어진다. 두 선이 평행하므로 C가 황도대 중심, 곧 세계 중심에서 이루는 각과 A가 주전원 중심에서 이루는 각이 같기 때문이다.[문자 지시 보존] 따라서 한쪽이 자신의 원둘레에서 잘라 내는 도수만큼 다른 쪽도 자신의 원둘레에서 같은 도수를 잘라 낸다.

저자는 이미 말한 내용을 덧붙인다. 참된 센트룸을 얻기 위해 평균 센트룸에서 황도대의 중심차를 뺄 때에는, 참된 아르구멘툼을 얻기 위해 주전원 안의 중심차를 평균 아르구멘툼에 더한다. 반대로 저쪽을 더할 때에는 이쪽을 뺀다. 이는 셋째 소부분의 끝에서 더 분명해질 것이다. 이어서 셋째 사항에 관하여 말한다.

평균 아르구멘툼과 참된 아르구멘툼의 정의

행성의 평균 아르구멘툼은 평균 원지점에서 그 운동 방향을 따라 행성체 중심까지 헤아린 주전원의 호이다.

참된 아르구멘툼은 참된 원지점으로부터 계산한다.

한쪽 균차를 뺄 때 다른 쪽에 더하는 까닭

이 소부분 전체는 분명하다. 이로부터 앞서 한 말의 이유도 분명해진다. 원지점에서 그 맞은편까지는 참된 센트룸을 얻기 위해 평균 센트룸에서 황도대상의 중심차를 뺀다. 평균값이 참값보다 크기 때문이다. 이는 시작 경계 때문이 아니다. 둘 다 같은 점, 곧 원지점에서 시작한다. 끝나는 경계 때문이다. 참값은 실제운동선에서 끝나지만 평균값은 그 시간 내내 앞서 있는 평균운동선에서 끝난다.

반대로 그 시간 내내, 참된 아르구멘툼을 얻기 위해 주전원 안의 중심차를 평균 아르구멘툼에 더한다. 평균값이 참값보다 작기 때문이다. 이는 끝나는 경계 때문이 아니다. 둘 다 같은 점, 곧 행성체의 중심에서 끝난다. 시작 경계 때문이다. 평균값은 평균 원지점에서 시작하지만 참값은 참된 원지점에서 시작한다. 참된 원지점은 그 시간 내내 평균 원지점의 뒤를 따르며, 앞서 말한 것으로부터 분명하듯 두 원지점 사이의 호인 주전원상의 중심차만큼 뒤에 있다.

원지점의 맞은편에서 원지점까지는 그 반대다. 저자는 “번갈아 서로를 넘어서거나 그보다 작아진다”는 본문에서 이 이유를 제시한다. 이는 참된 센트룸과 참된 아르구멘툼을 가리킨다. 한쪽이 더 크면 다른 쪽은 더 작으며, 그 반대도 마찬가지다. 따라서 어떤 초과분을 한쪽에 더할 때에는 다른 쪽에서 빼며, 그 반대도 마찬가지다. 이어서 넷째 사항에 관하여 말한다.

아르구멘툼 균차의 정의와 최대값의 배치

아르구멘툼의 균차는 행성의 실제 위치선과 주전원의 실제 위치선 사이에 놓인 황도대 호이다. 달에서와 마찬가지로 행성체 중심이 주전원의 참된 원지점이나 그 맞은편에 있으면 이 균차는 없다. 주전원 중심이 운반원 원지점의 맞은편에 놓여 있고, 행성체가 세계 중심에서 주전원 원둘레에 접하도록 그은 선 위에 있을 때에는 최대다.

보정된 아르구멘툼이 여섯 사인보다 작으면 행성의 실제운동선이 주전원의 실제운동선보다 앞선다. 그러므로 그때에는 주전원의 실제운동에 아르구멘툼 균차를 더하여 “주전원의 실제운동”을 얻는다.[원판의 반복된 epicycli 보존] 여섯 사인보다 크면 그 반대가 일어난다.

여섯 사인은 어느 원의 절반인가

이 부분 전체는 앞서 선과 운동에 관하여 도해 설명에서 말한 것으로부터 분명하다. “아르구멘툼의 균차는…” 이하가 그러하다. 그러나 여기서 “보정된 아르구멘툼이 여섯 사인보다 작을 때”라고 말한 것을 황도대의 여섯 사인으로 이해하지 말고 주전원의 여섯 사인으로 이해하라. 주전원 역시 황도대와 같은 수의 도로 나뉘므로 여섯 사인은 그 절반이다.

이어서 “그런데 균차들은…”이라고 말할 때, 저자는 앞서 말한 것 가운데 일부, 곧 몇몇 아르구멘툼 균차들을 비교한다. 두 가지를 한다. 먼저 그 균차들을 비교하고, 다음으로 “그러므로 초과분은…”이라는 곳에서 하나가 다른 것을 넘어서는 양을 취하는 법을 가르친다. 첫째에 관하여 말한다.

지름 차·비례분과 아르구멘툼 균차의 보정

달에서와 마찬가지로, 이 행성들에서도 주전원 중심이 세계 중심에 가까워짐에 따라 아르구멘툼의 균차들이 달라진다. 따라서 같은 아르구멘툼에 해당하는 값끼리 언제나 비교하면, 주전원 중심이 운반원 원지점의 맞은편에 있을 때의 균차는 운반원의 중간거리들에 있을 때보다 크고, 중간거리에 있을 때의 균차는 운반원의 원지점에 있을 때보다 크다. 그러므로 주전원 중심이 운반원의 중간거리에 있을 때의 아르구멘툼 균차가 원지점에 있을 때의 균차를 넘어서는 양을 먼 쪽 지름 차, 또는 더 먼 거리에 대한 지름 차라고 부른다. 원지점 맞은편에 있을 때의 균차가 중간거리에 있을 때의 균차를 넘어서는 양은 가까운 쪽 지름 차, 또는 더 가까운 거리에 대한 지름 차라고 부른다.

세계 중심에서 운반원의 원지점까지 뻗은 선은 같은 중심에서 운반원의 중간거리까지 그은 선보다 길다. 이 초과분을60개의 같은 작은 부분으로 나눈 것을 먼 쪽 비례분, 또는 더 먼 거리에 대한 비례분이라 부른다. 그러므로 주전원이 운반원의 원지점에 있을 때 실제운동선은 이 비례분들을 모두 운반원 원둘레 안에 가진다. 중간거리에 있을 때에는 안에 하나도 없고 모두 밖에 있다. 그 사이의 위치에서는 일부가 안에, 일부가 밖에 있으며, 주전원 중심이 운반원의 원지점에 가까울수록 안에 있는 것이 더 많다.

마찬가지로 세계 중심에서 운반원의 중간거리까지 뻗은 선은 같은 중심에서 운반원 원지점의 맞은편까지 그은 선보다 길다. 이 초과분을60부분으로 나눈 것을 더 가까운 거리에 대한 비례분, 또는 가까운 쪽 비례분이라 부른다. 따라서 주전원이 중간거리에 있을 때 실제운동선은 이 비례분들을 운반원 원둘레 밖에 하나도 가지지 않지만, 원지점의 맞은편에 있을 때에는 모두 밖에 가진다. 그 사이의 위치에서는 주전원 중심이 원지점의 맞은편에 가까울수록 밖에 있는 것이 더 많다.

표에 적힌 아르구멘툼 균차는 주전원 중심이 운반원의 중간거리에 놓였을 때의 값이다. 앞서 말했듯 이 값들은 원지점에 있을 때의 값보다 크고, 원지점 맞은편에 있을 때의 값보다 작다.

그러므로 주전원 중심이 운반원의 중간거리가 아닌 곳에 있으면 참된 센트룸으로 비례분을 알아내고, 참된 아르구멘툼으로 지름 차를 취한다. 비례분이 먼 쪽이면 먼 쪽 지름 차를, 가까운 쪽이면 가까운 쪽 지름 차를 취한다. 이 지름 차에 비례분 대60의 비율을 적용하여 얻은 비례부분을, 표에서 찾은 아르구멘툼 균차에 더하거나 그 값에서 뺀다. 가까운 쪽 지름 차이면 더하고, 먼 쪽이면 뺀다. 그러면 주전원 중심의 해당 배치에 맞는 참되고 보정된 아르구멘툼 균차가 나온다.

달 이론과의 관계에 관한 여백 설명

이 부분은 달에 관하여 말한 것으로부터 분명하다. 그러므로 다른 사항의 소부분에 관하여 “초과분은…”이라고 말한다.[압축된 접속 구문 불확실]

상위 세 행성과 금성의 비례분·지름 차 도해

상위 세 행성과 금성의 비례분 및 지름 차 도해. 설명.

DB선은 DL선보다 LR의 길이만큼 길다. LR선을60개의 같은 부분으로 나눈 분할들은 먼 쪽 비례분60개를 이룬다.

마찬가지로 DL선은 DG선보다 LR선만큼 길다.[반복된LR 표지 보존] 그60분의1부분들은 가까운 쪽 비례분을 이룬다.

알폰소의 표에서 찾는 아르구멘툼 균차들은 주전원 중심이L에 놓였을 때의 값이다. 그 값들은 이심원 원지점 맞은편에서 생기는 최대값과 주전원이 원지점에 있을 때의 최소값 사이에서 중간이다. 여기서 먼 쪽과 가까운 쪽 비례분들을 얻듯, 먼 쪽과 가까운 쪽 지름 차들도 찾게 된다.

따라서 주전원 중심이 운반원의 위쪽 부분, 곧 호LBEK에 있으면 지름 차와 비례분은 먼 쪽 값이다. 이에 따라 비례분의 몫에 해당하는 지름 차의 일정 부분을 아르구멘툼 균차에서 빼서 주전원의 배치에 맞는 참된 균차가 되게 한다. 그러나 주전원 중심이 호KIGL을 따라 움직일 때에는 비례분과 지름 차가 가까운 쪽 값이다. 그러므로 비례분 대60의 비율에 해당하는 지름 차의 일정 부분을, 또는 비례분이60이면 지름 차 전체를 표에서 찾은 균차에 더한다. 이로부터 보정된 균차가 생긴다.

달과 상위 행성의 비례분 체계가 다른 이유

이 부분은 본문과 선에 관하여 적은 내용, 그리고 곧 말할 내용을 보면 모두 분명하다. 그러므로 비례분의 도형에 관하여 알아 둘 것은 다음과 같다. 아르구멘툼 균차가 원지점에서 그 맞은편까지 비례적으로 증가한다면, 비례분을 표시할 때 중간거리에서 서로 반대인 두 점, 곧 원지점과 그 맞은편을 향해 출발할 필요는 없을 것이다. 달에서 했듯이 언제나 원지점 또는 그 맞은편에서 시작하면 될 것이다. 그러나 실제로는 중간거리에서 원지점 맞은편으로 갈 때 비례적으로 증가하고, 같은 중간거리에서 원지점으로 갈 때 비례적으로 감소한다. 또한 원지점 맞은편을 향해 증가하는 양이 원지점을 향해 감소하는 양보다 더 크다. 그러므로 우리는 중간거리들에서부터 비례분을 따져 계산한다.

둘째로 알아 둘 것은 달과 상위 세 행성 사이의 이러한 차이가 주전원의 서로 다른 운동에서 나온다는 사실이다. 앞서 말했듯 균차가 커지는 원인은 두 가지다. 하나는 주전원이 세계 중심에 가까워지는 것이고, 다른 하나는 세계 중심에서 각각 주전원 중심과 행성체 중심을 지나 황도대까지 나오는 선들 사이의 간격이다. 주전원이 지구에 더 가까울 때 이 간격이 더 클 수도 있다. 주전원이나 주전원 위 행성이 어떻게 다르게 움직이느냐에 따라, 간격이 더 작거나 같거나 비례할 수도 있다. 달에서는 적어도 우리가 파악하는 한, 원지점에서 그 맞은편까지 균차가 비례적으로 증가하는 식으로 이루어진다. 그러나 앞서 말한 행성들에서는 그렇지 않다.

먼 쪽·가까운 쪽이라는 이름의 비교 기준

중간거리에서의 균차가 원지점에서의 균차를 넘어서는 양을 먼 쪽 지름 차, 또는 더 먼 거리에 대한 지름 차라고 부름을 알아 두라. 마찬가지로 원지점선이 중간거리선을 넘어서는 양을 먼 쪽 비례분이라고 부른다. 이 초과분들은 원지점을 기준으로 비교하기 때문이다. 원지점은 더 먼 거리이며 균차와 선 모두의 비교 경계이므로, 그 이름을 따라 이들을 부른다.

그러나 원지점 맞은편의 균차가 중간거리의 균차를 넘어서는 양은 가까운 쪽 지름 차, 또는 더 가까운 거리에 대한 지름 차라고 부른다. 중간거리선이 원지점 맞은편의 선을 넘어서는 양은 가까운 쪽 비례분이다. 이 비교의 경계는 원지점의 맞은편, 곧 더 가까운 거리이기 때문이다. 중간거리에서 생기는 균차들을 원지점 맞은편의 균차들과 비교하고, 중간거리선들을 원지점 맞은편의 선과 비교한다. 따라서 두 경우 모두 원지점 맞은편을 따라 이름 붙여, 균차들의 초과분을 가까운 쪽 지름 차라 하고 선들의 초과분을 가까운 쪽 비례분이라 한다.

두 종류의 비례분은 불필요하게 복잡한가

의문이 제기된다. 저자는 긴 선, 곧 원지점선이 짧은 선, 곧 원지점 맞은편의 선을 넘어서는 하나의 초과분만을 고려하여 단일한 비례분을 설정할 수 있었다. 그런데 왜 두 종류를 설정했는가? 그렇다면 저자는 불필요한 것을 넣어 비례분을 쓸데없이 늘린 것처럼 보인다. 달에서 했듯 더 적은 것으로도 똑같이 잘 처리할 수 있었을 것이다.

답하자면, 초과분과 선들의 비교가 두 종류이므로 비례분도 두 종류여야 한다. 같은 이심원 안에 가까움과 멂이 서로 다른 세 점이 있기 때문이다. 하나를 두 극단과 비교할 수 있으므로 그 사이에는 두 비교가 가능하다. 첫째는 가장 먼 원지점이고, 지구 중심에서 그 점까지 그은 선은 모든 선 가운데 가장 길다.

둘째는 가장 가까운 원지점 맞은편의 점이다. 지구 중심에서 그 점까지 그은 선은 모든 선 가운데 가장 짧다.

셋째는 중간에 있는 점, 곧 가장 멀지도 가장 가깝지도 않은 중간거리다. 세계 중심에서 그 점까지 뻗은 선은 가장 길지도 가장 가깝지도 않고 중간 방식으로 놓인다. 따라서 가장 긴 선이 중간 선을 넘어서는 초과분은 먼 쪽 비례분60개로 나뉜다. 중간 선이 가장 짧은 선을 넘어서는 초과분은 가까운 쪽 비례분60개로 나뉜다. 그러므로 세 선 사이에서 두 비교가 이루어지고 초과분도 두 종류가 된다. 따라서 비례분도 두 종류가 된다. 두 종류의 지름 차 역시 각자의 방식으로 이렇게 이해하라.

달에도 이 두 초과분이 있지만 고대인들은 하나, 곧 가장 긴 선이 가장 짧은 선을 넘어서는 양만을 고려했다. 따라서 비례분도 단일하게 두었다. 그 이유는 달 주전원의 운동이 빠르기 때문이다. 먼 쪽 비례분에서 가까운 쪽 비례분으로, 또 그 반대로 매우 빨리 짧은 시간에 바뀔 것이기 때문이다.[원판의 “Adde propiora” 연결 불확실] 운동이 더 느리고 그처럼 빨리 변하지 않는 상위 세 행성 및 금성과 수성에서는 그런 일이 일어나지 않는다.

모든 선과 호를 함께 보이는 예제 도해

이제 예시로 앞서 말한 용어들을 설명하는 일이 남았다. 양 사인의 시작이A, 원지점이N, 중심이D인 황도대를 그리라. 이심원을 그리고 그 점E에 주전원을 놓으라. 이퀀트 중심에서 주전원 중심을 지나 원둘레까지HEP를 그으면P가 주전원의 평균 원지점이다. 세계 중심에서DER을 그으면R이 그 주전원의 참된 원지점이다. HE선과 평행한DL선은 행성 및 주전원의 평균운동선이고, 호ANL은 그 평균운동이다.

DER선을 황도대까지 연장하면R 방향의 선은 주전원의 실제운동선이고, 호ANR은 그 실제운동이다. 주전원 위 한 점에 놓인 행성의 실제운동선은DFM이고, 황도대 호ANM은 그 실제운동이다. AN은 두 번째 의미의 아우게, NRL은 평균 센트룸, NR은 참된 센트룸, RL은 황도대에서의 중심차, OP는 주전원 안의 균차이다. 주전원의 호OPF는 평균 아르구멘툼이고POF는 참된 아르구멘툼이다.[뒤의 라벨과의 차이 보존] 그 균차는 황도대 호MR이다. 이로써 모든 용어의 예시가 드러난다.

지금까지 설명한 모든 선과 호를 보이는 도해.

종합 도해의 선·호와 보정 단계 라벨

도해 설명.

주전원의 참된 원지점: O. 평균 원지점: P. 행성 및 주전원의 평균운동선: DL. 주전원의 실제운동선: DER. 행성의 실제운동선: DFM. 두 번째 의미의 아우게: AN. 행성 및 주전원의 평균운동: AL. 행성의 평균 센트룸: NL. 황도대상의 중심차: RL. 이 균차를 평균 센트룸에서 빼면 참된 센트룸인 호NR이 남는다. 평균 아르구멘툼: PIF. 아르구멘툼의 균차: OP.[원판 명칭 보존] 이것을 평균 아르구멘툼에 더하면 참된 아르구멘툼OPLF가 나오고, 여기서 아르구멘툼 균차RM을 알아낸다. 이것을 중심차RL과 합하면 세 번째로 검토된 균차인 호ML이 된다. 이를 평균운동AL에서 빼면 끝으로 황도 호AM이 남는다. 이것은 제1가동천의 양 사인으로부터 계산한 행성의 실제운동이다.

종합 도해로 실제 행성 위치를 구하는 법

앞서 말한 용어들을 사용한 연산으로 행성의 실제 위치를 어떻게 찾아내는지 이제 설명하겠다. 황도대에서 행성의 실제 위치는M점이다. 그러나 별의 두 가지 불균등성 때문에 시간만으로 이 점을 찾을 수 없다. 따라서 먼저 규칙적으로 운동하는DL선을 상정하고, 시간의 양으로 그 운동ANL을 구한다.

이것을 구한 뒤, 행성은 주전원에서 움직이므로 먼저 평균운동에 차이RL을 더하거나 빼서 주전원의 위치를 찾아야 한다. 이 차이는 규칙운동선이 원지점으로부터 떨어진 거리로 구한다. 그러므로 평균운동ANL에서 두 번째 의미의 아우게AN을 빼면 평균 센트룸NL이 남는다. 이 값으로 균차RL을 찾는다. 규칙에 따라 그것을 평균운동ARL에서 빼면 주전원의 실제운동AR을 얻는다.[원판의 문자 변경 보존] 같은 방식으로 평균 센트룸 호NRL에서도 참된 센트룸NR이 나머지로 남는다.

이 작업을 마친 뒤, 태양의 규칙적 운동에서 행성의 평균운동을 빼서 평균 아르구멘툼을 구한다. 규칙에 따라 이 아르구멘툼에 중심차OP를 더하면 참된 아르구멘툼POF를 얻는다. 도형이 보여 주듯 이 아르구멘툼은 행성 위치M을 주전원의 실제 위치R과 다르게 만든다. 따라서 그것으로 균차MR을 찾는다. 규칙에 따라 이 균차를 주전원의 “평균운동 … MR에서” 빼면,[반복된 전치사·문자 연결 불확실] 행성의 실제운동AM과 실제 위치M이 남는다. 이것은 어떤 사인의 어떤 도수라고 말하는 것이다.

표로 다섯 행성의 실제 위치를 구하는 여덟 단계

표로 금성·수성·화성·목성·토성의 실제 위치를 계산하는 법.

첫째, 실제운동을 알고자 하는 행성의 평균운동을 구하라. 앞에서 보인 것처럼 평균 아르구멘툼과 평균 센트룸도 구하라.

둘째, 평균 센트룸으로 중심차와 그 차분을 취하되 각각의A 또는M 표지도 함께 취하라. 비례부분을 만들고, 차분 표제가 지시하는 대로 아직 보정되지 않은 중심차에 더하거나 그 값에서 빼라.[원판의 “in æquata” 어구 연결 불확실] 그러면 보정된, 곧 참된 중심차가 나온다.

셋째, 중심차 옆에A가 쓰여 있으면 그 값을 평균 센트룸에 더하고 평균 아르구멘툼에서 빼라. M이면 평균 센트룸에서 빼고 평균 아르구멘툼에 더하라. 그러면 센트룸과 아르구멘툼 둘 다 보정된 값을 얻는다. 이 중심차는A 또는M 표지와 함께 보관하라. 아래에서 필요할 것이다.

넷째, 보정된 센트룸으로 표가 지시하는 대로 먼 쪽 또는 가까운 쪽 비례분을 취하라. 그 차분으로 보정하고 따로 보관하라.

다섯째, 보정된 아르구멘툼으로 작은 원의 지름 차를 취하라. 비례분이 먼 쪽이면 더 먼 거리 아래에서, 가까운 쪽이면 더 가까운 거리 아래에서 취한다. 그 차분과 아르구멘툼의 나머지로 이 지름 차를 보정하라. 이 값과 앞에서 따로 보관한 비례분으로 비례부분을 만들어 별도로 보관하라. 지름 차를 더 먼 거리 아래에서 취했다면 그 곁에M을, 앞서 말한 가까운 쪽 아래에서 취했다면A를 적어라.[priore의 지시를 문맥에 따라 옮김]

여섯째, 보정된 아르구멘툼으로 아르구멘툼 균차와 그 차분 및A 또는M 표지를 취하라. 필요하면 아르구멘툼 균차를 보정하고, 이를 첫 번째로 검토된 균차라고 부른다.

일곱째, 앞에서 보관한 지름 차의 비례부분 곁에A가 있으면 이를 첫 번째로 검토된 균차에 더하라. M이면 빼라. 그러면 두 번째로 검토된 아르구멘툼 균차가 나온다. 해당 균차의 표제가 지시하는 대로 그 곁에A 또는M을 적어라.

여덟째, 두 번째로 검토된 이 아르구멘툼 균차와 앞에서 보관한 중심차 곁에 모두A가 있으면 두 값을 합하여 평균운동에 더하라. 그러면 행성의 실제 위치가 나온다. 양쪽에 모두M이 있으면 두 값을 합하여 평균운동에서 빼라. 한쪽에M, 다른 쪽에A가 있으면 큰 값에서 작은 값을 뺀 뒤, 더 큰 균차의 표지에 따라 평균운동에 더하거나 그 값에서 빼라. 그러면 제1가동천 황도대 아래에서의 행성 실제 위치가 나온다.

앞에서 달에 관하여 가르친 것을 제대로 익혔다면 여기서는 별도의 예시가 필요하지 않다.

큰 값을 빼야 할 때에는 열두 사인을 더한다

이 표들에서 한 수를 다른 수에서 빼라고 지시할 때에는 언제나 실제로 그 수를 빼야 함을 주의하라. 빼야 할 수가 그 수를 빼는 대상보다 크더라도 마찬가지다. 다만 더 작은 수에 통상의 열두 사인, 곧 원의 한 바퀴를 더한 뒤에 그 뺄셈을 하라.

토성·목성·화성의 평균운동표

표의 읽는 법

• Motus medij / Tabula medij motus: 평균운동 / 평균운동표.
• Motus … in annis, Anni: 연수에 따른 운동, 연수. S., gra./gr., min./mi., se./sec.: 사인·도·각분·각초.
• Motus in mensibus / mensium anni communis: 평년의 월별 운동. Anni Bisextilis: 윤년의 월별 운동. Menses: 월.
• 월명은 순서대로 Ianuarius 1월, Februarius 2월, Martius 3월, Aprilis 4월, Maius 5월, Iunius 6월, Iulius 7월, Augustus 8월, September 9월, October 10월, November 11월, December 12월이다.
• Radices Saturni / Iouis / Martis: 토성 / 목성 / 화성의 기준값. 기준연도와 사인·도·각분·각초의 열이다.
• Motus in diebus, di.: 일수에 따른 운동, 일수. 이어지는 **gr., mi., se.**는 도·각분·각초이다.
• Motus in hor. & fra., ho.: 시간 및 그 소분에 따른 운동, 시간. 위쪽 출력 **min., sec.**는 각분·각초이다. 하단의 **m., se., ter., qu.**는 시간 입력의 분·초와 각도 출력의 초·60진 제3위·제4위로 단위를 바꾸어 읽는 보조 표지다. 시간의 분과 각분을 혼동하지 않는다. 토성 표 하단은 첫 입력 표지가 흐리고 둘째 입력 표지가 m.으로 보인다. 이를 다른 표의 se.로 몰래 고치지 않으며, 위의 단위 대응 설명과 원판의 실제 인쇄를 구분한다.
• 연수 열 왼쪽 B는 윤년 표시이며, 그 옆의 작은 원표 표지도 삭제하지 않았다.

토성의 평균운동표 — 인쇄 90쪽

연수 33행, 평년·윤년 각12개월, 기준값6행, 일수31행, 시간 및 소분30행이다. 기준값 마지막1610년 행과 시간표 아래 소분 단위까지 모두 포함한다.

목성의 평균운동표 — 인쇄 91쪽

연수 33행, 평년·윤년 각12개월, 기준값6행, 일수31행, 시간 및 소분30행이다. 표 오른쪽 하단의 소분 단위와 맨 아래1610년 기준값을 포함한다.

화성의 평균운동표 — 인쇄 92쪽

연수 33행, 평년·윤년 각12개월, 기준값6행, 일수31행이다. 시간 및 소분 표는 31행이다. 마지막31행 및 그 아래 소분 단위,1610년 기준값을 함께 보존한다.

월명은 1월부터 12월이며 앞 표의 월명 번역과 동일하다. B는 윤년 표지이다.

금성 아르구멘툼의 운동표

연수에 따른 금성 아르구멘툼의 운동

원표제: Motus argumenti Veneris in annis. Anni. S. gra. min. se.

열 구성은 연수·사인·도·분·초이다.

이 표는 33개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

평년의 월별 운동값 — 이어지는 항목 4

원표제: Motus mensium anni communis. Menses. S. gr. mi. se.

열 구성은 월·사인·도·분·초이다.

이 표는 12개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

윤년의 월별 운동값 — 이어지는 항목 4

원표제: Motus mensium Anni Bisextilis. S. gr. mi. se.

열 구성은 월·사인·도·분·초이다.

이 표는 12개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

금성 아르구멘툼의 기준값

원표제: Radices argumenti ♀.

열 구성은 기준연도·사인·도·분·초이다.

이 표는 6개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

일수에 따른 아르구멘툼의 운동

원표제: Motus ♀ in diebus. di. S. gr. mi. se.

열 구성은 일수·사인·도·분·초이다.

이 표는 31개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

시간과 그 소분에 따른 아르구멘툼의 운동

원표제: Motus in hor. & fra. ho. min. sec.

열 구성은 시간·각분·각초이다.

이 표는 31개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

수성 아르구멘툼의 운동표

전체 표제는 Tabula motus Argumenti Mercurij, 곧 수성 아르구멘툼의 운동표다. 아래 연수 소표제는 실제 인쇄가 용의 머리로 되어 있어 전체 표제와 불일치함을 명시한다.

연수에 따른 용의 머리 평균운동〔원판의 소표제〕

원표제: Motus medij Capitis dra. in annis. Anni. S. gra. min. se.

열 구성은 연수·사인·도·분·초이다.

이 표는 33개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

평년의 월별 운동값 — 이어지는 항목 5

원표제: Motus in mensibus anni communis. Menses. S. gr. mi. se.

열 구성은 월·사인·도·분·초이다.

이 표는 12개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

윤년의 월별 운동값 — 이어지는 항목 5

원표제: Motus mensium Anni Bisextilis. S. gr. mi. se.

열 구성은 월·사인·도·분·초이다.

이 표는 12개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

수성 아르구멘툼의 기준값

원표제: Radices argumenti ☿.

열 구성은 기준연도·사인·도·분·초이다.

이 표는 6개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

일수에 따른 운동 — 이어지는 항목 4

원표제: Motus in diebus. di. S. gr. mi. se.

열 구성은 일수·사인·도·분·초이다.

이 표는 31개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

시간과 그 소분에 따른 운동 — 이어지는 항목 4

원표제: Motus in hor. & fra. ho. g. m. sec.

열 구성은 시간·도·각분·각초이다.

이 표는 31개의 원전 행을 가진다. 모든 수치 행은 아래 원표 이미지로 보존한다.

시간 소분을 위한 하단 단위

금성 표 하단의 세 행은 원판대로 m. / se. / te., se. / te. / qu., te. / qu. / 공란이다. 앞 열은 시간의 분·초·60진 제3위이고 뒤쪽은 각도의 초·제3위·제4위 등으로 단위를 낮추어 읽는다. 마지막 공란을 임의 수치나 글자로 채우지 않는다.

수성 표 하단은 m. / m. / se. / te., se. / se. / te. / 공란, te. / te. / qu. / 공란이다. 첫 열은 시간 입력, 그 뒤는 차례로 해당 단위의 각도 출력이다. m.은 분, se.는 초, te.는60진 제3위, qu.는 제4위다. 앞의 일반 시간 열 ho./g./m./sec.(시간/도/각분/각초)와 구분한다.

Tabula aequationum Saturni: 토성의 균차표.

각 판은 0–30의 31행이며, 왼쪽 도수는 내려가고 오른쪽 도수는 30–0으로 올라간다.

표제·단위와 읽는 법

• Signum: 사인. 위쪽 사인 번호는 왼쪽 도수, 아래쪽 사인은 오른쪽 역순 도수를 따른다.
• Aequa-/tio centri: 중심차. Proportionalia longiora: 먼 쪽 비례분. Longitudo longior: 더 먼 거리. Aequatio argumenti: 아르구멘툼 균차. Longitudo propior: 더 가까운 거리.
• **G.**는 도, **M.**은 수치 열 단위에서는 분이다. 두 균차 열은 도·분, 비례분은60분율, 거리 열은 분으로 읽는다.
• 연산 표지 **Minue / Min. / M.**는 뺌, **Adde / A.**는 더함이다. 수치 단위 M.(분)과 혼동하지 않는다.
• 하단 Minuta proportionalia longiora는 먼 쪽 비례분, Minuta proportionalia propiora는 가까운 쪽 비례분이다. Longiora / Propiora는 각각 먼 쪽 / 가까운 쪽이다. 원판에 양 명칭이 중첩되거나 불일치하면 아래에 그대로 명시한다.

사인0·1 / 역순11·10

열 순서 중심차 / 비례분 / 먼 쪽 / 아르구멘툼 균차 / 가까운 쪽으로 읽으면:

• 사인0 위쪽: 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순11 아래쪽: 더함 / 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 사인1 위쪽: 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순10 아래쪽: 더함 / 더함 / 뺌 / 뺌 / 더함. 원표의 비례분 표지는 A.(더함)이다.

두 하단 비례분 표제는 모두 먼 쪽이다.

사인2·3 / 역순9·8

• 사인2 위쪽: 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순9 아래쪽: 더함 / 공란 / 뺌 / 뺌 / 더함. 공란에 연산 문자를 임의 보간하지 않는다.
• 사인3 위쪽: 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순8 아래쪽: 더함 / 더함 / 뺌 / 뺌 / 더함.

왼쪽 하단 비례분은 ‘비례분’만 표기되고, 다음 열 아래에 Propiora / Longiora, 즉 가까운 쪽 / 먼 쪽이 함께 인쇄된다. 오른쪽 하단 비례분은 가까운 쪽이다. 상단의 먼 쪽 명칭과 차이를 정상화하지 않는다.

사인4·5 / 역순7·6

• 사인4·5 위쪽: 각각 뺌 / 더함 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순7·6 아래쪽: 각각 더함 / 더함 / 뺌 / 뺌 / 더함.

상단 비례분 표제는 여전히 먼 쪽이라고 인쇄되지만, 하단 두 판은 모두 가까운 쪽 비례분이라고 인쇄된다. 이 판본상의 명칭 차이와 수치·영값을 그대로 보존한다.

Tabula aequationum Iouis: 목성의 균차표.

표제와 단위

Signum은 사인, Aequatio centri는 중심차, Proportionalia longiora는 먼 쪽 비례분, Longitudo longior는 더 먼 거리, Aequatio argumenti는 아르구멘툼 균차, Longitudo propior는 더 가까운 거리다. 하단 Minuta proportionalia longiora / propiora는 먼 쪽 / 가까운 쪽 비례분이다.

각 판은0–30의31행이다. 위쪽 사인은 왼쪽 도수를 따라 아래로, 아래쪽 사인은 오른쪽30–0 역순 도수를 따라 위로 읽는다. **G.**는 도, **M.**은 수치 단위에서 분이다. 두 균차는 도·분, 비례분은60분율, 두 거리 열은 분이다. **Minue/M.**라는 연산 표지는 빼라는 뜻이며, **Adde/A.**는 더하라는 뜻이다. 수치 단위 M.과 구분한다.

아래 연산 목록은 중심차 / 비례분 / 먼 쪽 / 아르구멘툼 균차 / 가까운 쪽 순서다.

사인0·1 / 역순11·10

• 사인0·1 위쪽: 각각 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순11·10 아래쪽: 각각 더함 / 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 하단 두 비례분 명칭은 모두 먼 쪽이다.

사인2·3 / 역순9·8

• 사인2 위쪽: 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 사인3 위쪽: 뺌 / 더함 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순9·8 아래쪽: 각각 더함 / 더함 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 상단 명칭은 먼 쪽 비례분, 하단은 가까운 쪽 비례분으로 인쇄되어 있다. 오른쪽 사인3의 단위행 비례분 칸에는 **A.**가 인쇄되어 있으므로 이를 다른 표의 M.으로 임의 교체하지 않는다.

사인4·5 / 역순7·6

• 사인4·5 위쪽: 각각 뺌 / 더함 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순7·6 아래쪽: 각각 더함 / 더함 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 상단의 먼 쪽 명칭과 하단의 가까운 쪽 명칭을 실제 인쇄대로 구분하여 보존한다.

Tabula aequationum Martis: 화성의 균차표.

표제와 단위

Signum은 사인, Aequatio centri는 중심차, Proportionalia longiora는 먼 쪽 비례분, Longitudo longior는 더 먼 거리, Aequatio argumenti는 아르구멘툼 균차, Longitudo propior는 더 가까운 거리다. 하단 Minuta proportionalia longiora는 먼 쪽 비례분이고, Minuta propiora는 가까운 쪽 비례분이다.

각 판은0–30의31행이다. 위쪽 사인은 왼쪽 도수를 따라 아래로, 아래쪽 사인은 오른쪽30–0 역순 도수를 따라 위로 읽는다. **G.**는 도, **M.**은 수치 단위에서 분이다. 두 균차뿐 아니라 두 거리 열도 각각 도·분의 두 칸이다. 비례분은60분율이다. 앞의 토성·목성 표와 거리 열의 단위가 같다고 간주하면 안 된다. **Minue/M.**라는 연산 표지는 빼라는 뜻이며, **Adde/A.**는 더하라는 뜻이다. 수치 단위 M.과 구분한다.

아래 연산 목록은 중심차 / 비례분 / 먼 쪽 / 아르구멘툼 균차 / 가까운 쪽 순서다.

사인0·1 / 역순11·10

• 사인0·1 위쪽: 각각 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순11·10 아래쪽: 각각 더함 / 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 하단 두 비례분 명칭은 모두 먼 쪽이다.

사인2·3 / 역순9·8

• 사인2 위쪽: 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 사인3 위쪽: 뺌 / 더함 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순9·8 아래쪽: 각각 더함 / 더함 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 상단 명칭은 먼 쪽 비례분, 하단은 가까운 쪽 비례분으로 인쇄되어 있다.

사인4·5 / 역순7·6

• 사인4·5 위쪽: 각각 뺌 / 더함 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순7·6 아래쪽: 각각 더함 / 더함 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 상단의 먼 쪽 명칭과 하단의 가까운 쪽 명칭을 실제 인쇄대로 구분하여 보존한다.

Tabula aequationum Veneris: 금성의 균차표.

표제·단위

Signum은 사인, Aequatio centri는 중심차, Proportionalia longiora / propiora는 먼 쪽 / 가까운 쪽 비례분, Longitudo longior / propior는 더 먼 / 더 가까운 거리, Aequatio argumenti는 아르구멘툼 균차다. 하단 Proportionalia longiora / propiora도 같은 뜻이다.

여섯 판은 각각0–30의31행이며, 위 사인은 왼쪽 도수를 따라 아래로, 아래 사인은 오른쪽30–0 역순 도수를 따라 위로 읽는다. 두 균차와 두 거리 값은 각각 도·분(G./M.)이고 비례분은60분율이다. 연산줄 **Minue/M.**는 뺌, **Adde/A.**는 더함이다. 단위 M.(분)과 연산 M.(뺌)을 구분한다.

아래 목록은 중심차 / 비례분 / 먼 쪽 / 아르구멘툼 균차 / 가까운 쪽 순서로 실제 인쇄 표지를 옮긴다. 공란은 주변 표에서 유추하여 채우지 않으며 연산 생략이 타당하다고 보증하는 것도 아니다.

사인0·1 / 역순11·10

• 사인0 위쪽: 뺌 / 공란 / 뺌 / 더함 / 공란.
• 사인1 위쪽: 뺌 / 공란 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순11 아래쪽: 더함 / 공란 / 뺌 / 공란 / 더함.
• 역순10 아래쪽: 더함 / 공란 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 하단 두 비례분 명칭은 먼 쪽이다.

사인2·3 / 역순9·8

• 사인2 위쪽의 다섯 연산 칸은 모두 공란이다.
• 사인3 위쪽: 뺌 / 공란 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순9·8 아래쪽: 각각 더함 / 공란 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 상단 먼 쪽 비례분과 하단 가까운 쪽 비례분이라는 명칭 차이를 원판대로 유지한다.

사인4·5 / 역순7·6

• 사인4 위쪽: 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함. 비례분 표지는 실제 **M.**이다.
• 사인5 위쪽: 뺌 / 공란 / 뺌 / 더함 / 더함.
• 역순7·6 아래쪽: 각각 더함 / 공란 / 뺌 / 뺌 / 더함.
• 상·하단 비례분 명칭은 이 면에서 모두 가까운 쪽이다. 마지막 영값 행까지 보존한다.

Tabula aequationum Mercurij: 수성의 균차표.

모든 판은 0–30의 31행이다.

표제·단위·연산

Signum은 사인, Aequatio centri는 중심차, Proportionalia longiora / propiora는 먼 쪽 / 가까운 쪽 비례분, Longitudo longior / propior는 더 먼 / 더 가까운 거리, Aequatio argumenti는 아르구멘툼 균차다. 하단 비례분 표제도 같은 뜻이다.

위쪽 사인은 왼쪽 도수를 따라 아래로, 아래쪽 사인은 오른쪽30–0 역순 도수를 따라 위로 읽는다. 두 균차와 두 거리 값은 각각 도·분(G./M.)이고 비례분은60분율이다. 연산 **Minue/M.**는 뺌, **Adde/Ad./A.**는 더함이다. 수치 단위 M.(분)과 구분한다.

연산 목록은 중심차 / 비례분 / 먼 쪽 / 아르구멘툼 균차 / 가까운 쪽 순서다. 판의 연산 칸 합침·비어 있음·글자 위치 흔들림은 원표를 함께 보아야 한다. 보이지 않는 표지를 다른 사인의 규칙으로 채우지 않았다.

사인0·1 / 역순11·10

위쪽 두 사인의 연산은 각각 뺌 / 뺌 / 뺌 / 더함 / 더함이다. 아래쪽에는 각각 Adde, M., M., A., 즉 더함, 뺌, 뺌, 더함 네 표지가 있고 한 연산 칸은 비어 있다. 왼쪽 역순11의 비례분 칸은 공란이다. 오른쪽 역순10은 비례분과 먼 쪽 칸 경계 부근의 M. 배치가 모호하므로 공란을 추정 이동시키지 않는다. 하단 두 비례분 명칭은 먼 쪽이다.

사인2·3 / 역순9·8

위쪽 두 사인: 각각 뺌 / 공란 / 뺌 / 더함 / 더함. 아래쪽에는 각각 더함, 뺌, 뺌, 더함 네 표지가 있고 한 칸이 비어 있다. 왼쪽 역순9의 비례분 칸은 공란이다. 오른쪽 역순8은 경계 부근의 M. 배치를 원판 이미지로 보존하며 임의 정렬하지 않는다.

왼쪽 상단은 먼 쪽 비례분, 오른쪽 상단 및 양쪽 하단은 가까운 쪽 비례분이라고 인쇄되어 있다.

사인4·5 / 역순7·6

위쪽 두 사인: 각각 뺌 / 공란 / 뺌 / 더함 / 더함. 역순7 아래쪽은 더함 / 공란 / 뺌 / 뺌 / 더함이다. 역순6 아래쪽은 더함 / 뺌 / 공란 / 뺌 / 더함으로 인쇄되어 있다. 두 판의 공란 위치를 같게 고치지 않는다.

상·하단 비례분 명칭은 가까운 쪽이다. 마지막 행의 비례분40 및 나머지 영값도 인쇄대로 남긴다.

금성의 천구층과 원지점

금성에 관하여. 금성에는 세 천구층과 하나의 주전원이 있으며, 그 배치와 경도운동은 상위 행성들 가운데 어느 하나의 경우와 같은 방식으로 이루어진다. 곧 원지점을 운반하는 천구층들은 황도대의 축을 중심으로 제8천구의 운동에 따라 움직인다. 다만 금성 이심원의 원지점은 언제나 태양 이심원의 원지점이 놓인 곳과 같은 황도대 위치 아래에 있다. 그러므로 두 번째 의미에서의 태양 아우게를 알면, 그와 같은 금성의 아우게도 알게 된다.

금성 이론의 구성

저자는 금성의 이론을 다룬다. 이 이론은 앞에서 말한 것들과 매우 가깝고 수성의 이론보다 쉽다. 여기서는 두 가지를 한다. 먼저 금성을 구성하는 부분들과 그 운동을 간략히 다룬다. 다음으로 여기서 말하지 않은 나머지 사항에 관해서는, “용어들의 해설은…”이라는 곳에서 앞서 설명한 상위 세 행성의 이론을 참조하게 한다. 첫째 항목에서는 다시 두 가지를 한다. 먼저 구성 부분을 설명하고, 다음으로 “천구층들은…”이라는 곳에서 그 운동을 설명한다. 따라서 첫째에 관하여 “금성에는 천구층들이 있다…”라고 말한다.

네 부분과 경도운동

여기서는 먼저 모든 부분을 함께 설명하면서 네 부분이라고 말한다. 곧 중심을 둘러싸는 세 천구층과, 중심을 둘러싸지 않는 주전원이다. 또한 이 천구층들은 상위 세 행성의 경우와 같은 방식으로 배치되어 있으며, 경도운동에 관해서도 같은 방식으로 움직인다고 한다. 경도운동이란 서쪽에서 동쪽으로 향하는 운동이다. 위도운동과 구별하기 위해 그렇게 부르는데, 위도운동은 기울어짐을 다루는 장에서 더 자세히 설명할 것이다. 이어 “곧 천구층들은…”이라고 할 때 그 운동을 다룬다. 본문에서 볼 수 있듯이 세 가지를 한다. 원지점을 운반하는 것들의 운동, 주전원을 운반하는 것의 운동, 주전원 자체의 운동을 차례로 다루기 때문이다. 첫째에 관하여 “곧 천구층들은…”이라고 말한다.

태양 원지점과의 관계

이 천구층들이 상위 세 행성의 원지점 운반구들과 일치하는 점에 유의해야 한다. 저것들이나 이것들이나 모두 제8천구의 운동에 따라, 즉 사인들의 순서에 따라 황도대, 곧 황도의 축과 극을 중심으로 움직인다는 점이다. 그러나 다른 점도 있다. 위쪽 천구층의 오목면에 놓여 이심원에서 원지점을 가리키는 점은, 앞서 말한 이심원들의 경우와 같은 방식으로 금성 이심원에서 원지점을 가리키지 않는다. 금성에서는 언제나 태양 이심원에서 가리키는 것과 같은 방식으로 가리키지만, 앞의 행성들에서는 그렇지 않기 때문이다.

원지점과 황도면의 관계

이를 위해 다음을 살펴보라. 이심원의 원지점은 그 원에서 세계 중심으로부터 가장 멀리 떨어진 점에 있으며, 세계 중심과 이심원의 중심을 지나는 선 위에서 이심원의 중심으로부터도 가장 멀리 떨어져 있다. 따라서 언제나 그 두 극으로부터 같은 거리에 있다. 그러므로 운반원의 극들이 황도의 극들과 떨어져 있다면, 원지점 역시 황도 및 황도면의 일부인 모든 면으로부터 벗어나야 한다. 지금 다루는 경우가 그렇다. 금성 운반원의 축은 금성 원지점을 운반하는 것들의 축, 곧 황도의 축과 교차하기 때문이다.

같은 황도대 위치라는 말에 대한 반론과 응답

〔측주: 의문(Dubium) / 응답(Responsio)〕

따라서 저자가 태양 이심원의 원지점과 금성 이심원의 원지점이 언제나 황도대의 같은 위치 아래에 있다고 말하면, 이는 불가능해 보인다. 한쪽의 축이 다른 쪽의 축과 교차하므로 극들은 서로 떨어져 있고, 따라서 원지점들도 서로 떨어져 있기 때문이다. 이에 대해서는 다음과 같이 답해야 한다. 어떤 것들이 황도대의 같은 위치 또는 점 아래에 있다는 말에는 두 방식이 있다. 하나는 위도상으로 같은 경우, 이를테면 황도의 같은 점에 있는 경우이며, 다른 하나는 경도상으로 같은 경우, 이를테면 황도를 직각으로 가로지르는 같은 선 위에 있는 경우다. 저자는 금성의 운동을 말하는 이곳의 표현에서 볼 수 있듯이 첫 번째 방식으로 말한다.〔원문은 In primo modo라고 인쇄되어 있다. 이어지는 경도 설명과 긴장이 있으나 “둘째 방식”으로 고쳐 쓰지 않는다.〕

그런데 금성에서는 이와 같은 일이 일어나지만 앞의 행성들에서는 그렇지 않다. 금성의 이심원은 같은 속도 또는 거의 같은 속도로 움직인다는 점에서 앞의 행성들의 이심원보다 태양 이심원과 운동상의 친연성이 더 크기 때문이다. 이로부터 저자는 다음 귀결을 끌어낸다. 두 번째 의미에서의 태양 아우게를 알면 금성의 아우게도 알게 된다는 것이다. 양쪽 모두 양자리의 시작점에서 출발하여 원지점선에서 끝나는데, 두 원지점선은 위도상으로 같지 않더라도 황도대의 경도상으로는 하나이기 때문이다. 다음으로 저자는 운반원의 운동을 다루면서 다음과 같이 말한다.

태양과 금성 운동의 조화

태양과 금성 운동의 조화. 주전원을 운반하는 천구층에는 두 운동이 있다. 그 하나는 상위 행성들에서처럼 이퀀트의 중심을 기준으로 일정하게 경도상 동쪽으로 나아가는 운동이다. 다만 주전원의 중심은 태양을 운반하는 천구층이 정확히 한 바퀴 도는 바로 그 시간에 한 바퀴 돈다. 이 점에서 금성과 태양의 관계는, 금성의 평균운동선이 태양의 평균운동선이 끝나는 곳과 경도상 같은 황도대 위치에서 끝난다는 데 있다. 그러므로 태양의 평균운동을 알면 금성의 평균운동도 안다. 따라서 둘은 언제나 평균상으로 합을 이룬다.

이 운반원의 경도운동은 그 가상 축을 중심으로 이루어진다. 이심원의 또 다른 운동인 위도운동 때문에 그 극들은 황도대의 극들에 양쪽으로 가까워졌다가 멀어진다. 이에 대해서는 뒤에서 설명할 것이다. 따라서 상위 행성들과 달리, 이심원의 원지점이 황도를 건너지 않는 것은 아니다. 오히려 뒤에서 밝혀지듯 때로는 남쪽으로, 때로는 북쪽으로 벗어난다.

평균운동선의 일치와 가상 중심

여기서는 본문에 나타나 있듯이 먼저 두 종류의 운동을 구별한다. 둘째로 태양과 금성의 평균운동선은 언제나 경도상으로 같은 황도대 위치에 있다고 말한다. 즉 황도 또는 황도대를 직각으로, 곧 구면의 직각으로 가로지르는 하나의 선에서 끝난다는 뜻이다. 그러나 위도상으로도 언제나 같은 곳에 있는 것은 아니다. 셋째로 두 귀결을 이끌어 낸다. 하나의 평균운동을 알면 다른 하나의 평균운동도 안다는 것, 그리고 양자의 평균상 합이 언제나 성립한다는 것이다. 첫째는 앞의 설명으로 분명하고, 둘째는 행성의 평균상 합이 평균운동선들에 따른 합이기 때문이다. 넷째로 경도에 따른 운동이 어떻게 이루어지는지 설명한다.

이를 위해 알아 둘 것은, 자기 중심을 기준으로 불규칙하게 움직이는 이심원에는 또 하나의 중심, 곧 우리가 그 주위에서는 이심원이 일정하게 움직인다고 상정하는 이퀀트의 중심이 있다는 점이다. 그러므로 실제 중심과 상정된 중심이 있다. 축과 극도 마찬가지다. 다만 실제 중심 자체나 축 또는 극도 자연 안에서 현실적으로 존재하는 사물은 아니므로, 모두 가상적인 것이라고 부른다. 물론 어느 것이 다른 것보다 더 가상적일 수는 있다.

운반원의 축이 기울어지는 운동

따라서 저자가 이 운반원의 가상 축의 극들이 황도대의 극들에 가까워졌다가 멀어진다고 말할 때, 이를 이퀀트의 축에 관해서만 이해해서는 안 된다. 운반원의 축에 관한 말이며, 오히려 운반원의 축에만 관한 말로 이해해야 한다. 뒤에서 볼 수 있듯이 움직이지 않고 서 있는 이퀀트의 면을 운반원의 면이 때로 가로지르기 때문이다. 이는 운반원이 경도에 따라서, 즉 서쪽에서 동쪽으로만 움직이는 것이 아니라 위도에 따라서도, 즉 북쪽에서 남쪽으로 움직이기 때문이다. 다만 이 경우 완전한 한 바퀴를 도는 것은 아니다. 그러므로 금성의 운반원은 축이 기울어진 채 북극이 더 높고 다른 극이 더 낮아지도록 움직이며, 때로는 반대가 된다. 첫째 경우는 이 도형에, 둘째 경우는 저 도형에 나타나 있다.

〔두 원도에는 문자 라벨이 없으며, 축 끝점과 교차하는 원판을 모두 보존했다.〕

이에 대해서는 기울어짐과 위도를 다루는 장에서 더 자세히 논할 것이므로, 저자와 함께 독자를 그곳으로 돌린다. 이어서 주전원의 운동을 다음과 같이 다룬다.

주전원의 운동과 주기

주전원의 운동과 주기에 관하여. 금성의 주전원도 두 운동, 곧 경도방향과 위도방향의 운동을 한다. 경도방향의 운동은 상위 행성들의 주전원과 같다. 그러나 언제나 약 열아홉 태양월에 한 바퀴 돈다. 그러므로 이 점에서는 상위 행성들이 하는 방식으로 태양을 기준으로 삼지 않는다.

호와 선의 명칭에 관하여. 용어들의 해설은 여기서도 모든 점에서 상위 세 행성의 경우와 같다.

주전원 중심의 운동과 주전원 자체의 운동

여기서 유의할 것은 주전원의 중심이 움직이는 일과 주전원 자체가 움직이는 일이 서로 다르다는 점이다. 첫째는 운반원의 운동으로 일어나며, 그 운동에 따라 주전원이 부수적으로 움직이고 따라서 그 중심도 움직인다. 앞에서 주전원의 중심이 태양과 같은 시간에 한 바퀴 돈다고 말한 것은 이 때문이다. 태양을 운반하는 이심원과 금성 주전원을 운반하는 원이 같은 속도 또는 거의 같은 속도로 움직이기 때문이다. 둘째는 고유운동으로 일어난다. 주전원 위에 표시한 점, 이를테면 행성의 중심이 한 바퀴를 완성할 때 주전원이 한 번 회전했다고 말한다. 금성에서는 약 열아홉 태양월에 이것이 이루어진다. 따라서 이 점에서는 금성이 앞의 행성들과 같지 않다.

이어 저자는 금성에 관하여 더 말해야 할 나머지 사항을 상위 세 행성의 이론에서 한 설명에 맡기며 “용어들의…”라고 한다. 가상적인 속성과 그와 같은 것들에 의해 한정되는 것들을 다루는 부분에 관해서는 여기서나 거기서나 같은 방식으로 정의가 주어지기 때문이다.

또한 금성 주전원의 경도운동은 상위 행성들과 같은 방식임을 알아 두어야 한다. 곧 위쪽 절반에서는 사인의 순서대로, 아래쪽 절반에서는 그 반대 순서로 움직인다. 앞의 달 이론에서 주전원 운동을 어떻게 상정하는지 설명한 것을 올바르게 이해했다면, 이 운동은 쉽게 이해할 수 있다.

금성 주전원의 회귀 시간

그러나 금성 주전원의 주기는 상위 세 행성의 주기와 전혀 다르며, 그 행성들이 하는 방식으로 태양을 기준으로 삼지 않는다는 점을 간과해서는 안 된다. 앞서 말했듯이 그 행성들의 주전원은 해마다 한 번 돌아 완전한 한 회전을 끝내지만, 금성의 주전원에서는 전혀 그렇지 않다. 금성의 주전원은 583일 22시간 15분에 그 주기를 끝낸다. 주전원 위 금성의 일운동인 0도 36분 59초 27삼분으로 한 원 전체, 곧 360도를 나누면 그만큼의 날과 날의 부분들을 얻는다. 이때 관례대로 먼저 모두를 삼분, 곧 가장 작은 단위로 바꾸어야 한다. 그러나 열아홉 태양월은 약 578일 7시간 13분을 포함하며〔판독주: 원문의 마지막 숫자에는 아래의 7과 위의 8이 중첩·교정된 듯한 흔적이 보인다. 여기서는 위의 8을 따라 578로 읽었다.〕, 각 태양월은 약 30일 10시간 18분으로 평가된다.

일운동을 구하는 수치 예

운반원의 운동과 주기에 관해서는 이제 더 말할 것이 없다. 그것은 태양 운반원과 같은 속도로 움직이기 때문이다. 그러나 다음 사항으로 넘어가기 전에, 주전원 위 행성 자체의 평균운동을 어떻게 찾아야 하는지 먼저 보여 주어야 한다. 비길 데 없는 대가 프톨레마이오스는 태양년 여덟 해에서 2일과 ‘60분할분 18’을 뺀 기간에 금성의 불균등운동 다섯 회가 이루어짐을 알아냈다. 또한 행성의 회전은 태양의 여덟 회전에 해당하는 수에서 2도 15분이 부족하였다.

따라서 회귀의 기간을 프톨레마이오스가 입증한 한 해의 기간, 곧 여기서 365일 14분 48초로 전제하는 기간에 따라 풀어 계산하면, 2,919일 40분이 나온다. 이 날수로 불균등운동의 1,800도를 나누어야 하며, 그러면 주전원 위 금성의 일운동으로 0도 36분 59초 57삼분이 나온다. 〔앞 문단과 뒤 표 작성 문단은 27삼분, 이 계산 결과 문장은 원문대로 57삼분이다. 수치 불일치를 임의로 통일하지 않았다.〕 그러나 금성의 하루 평균운동은 태양의 평균운동과 전혀 다르지 않다. 태양의 평균운동을 구하는 법은 앞에서 충분하고도 남을 만큼 설명하였으므로, 여기서 이 문제를 더 말할 필요는 없다. 평균 센트룸에 관해서는 더욱 그렇다. 그것은 태양의 아르구멘툼과 같은 것이기 때문이다. 따라서 두 값은 이름만 다를 뿐 다른 점이 없다. 양쪽 모두 첫 번째 의미에서의 태양 원지점에서 주전원, 곧 태양의 평균운동선까지의 호이기 때문이다.

시간·일·월·연의 표를 만드는 방법

금성 이론을 이해하는 데 필요한 모든 것을 이미 설명했으므로, 이제 평균운동표, 곧 아르구멘툼과 센트룸의 표를 만드는 방법을 보이는 것이 순서다. 그러나 태양·달·상위 세 행성의 경우에 이러한 표의 작성 규칙을 아주 자세히 설명하였으므로, 앞에서 충분하고도 남게 밝혀 둔 문제를 여기서 다시 길게 말하는 것은 불필요해 보인다.

그러므로 조금 전에 얻은 주전원 위 금성의 일운동, 즉 0도 36분 59초 27삼분이 있으면 시간당 운동도 쉽게 구할 수 있다. 그 하루 운동을 24시간으로 나누면 시간당 운동을 얻는다. 자연일은 그만큼의 시간으로 이루어져 있기 때문이다. 얻은 값을 두 배 하면 두 시간의 운동이 나오며, 여기에 다시 한 시간의 운동을 더하면 세 시간의 운동이 나온다. 같은 방식으로 일수표, 월표, 그리고 모인 해 또는 펼친 해라고 부르는 연수표도 작성한다. 날들을 더하여 한 달에 이르고, 달들을 더하여 한 해에 이르는 증가량을 고려하면 된다. 이는 평균 아르구멘툼표를 구성하고 만드는 경우나, 행성 또는 주전원 중심 자체의 평균운동표를 만드는 경우에 모두 적용된다. 다만 센트룸의 평균운동은 두 번째 의미에서의 아우게를 매개로 구한다. 앞의 표들과 그에 딸린 규칙들은 바로 이런 방법과 방식으로 작성된 것이다.

수성 이론 — 천구층들과 이퀀트의 원지점 운반구

수성 이론. 제1·2부: 천구층들과 그 주기운동에 관하여. 먼저 이퀀트의 원지점을 운반하는 것들에 관하여. I.

수성에는 다섯 천구층과 하나의 주전원이 있다. 그 가운데 양끝의 두 천구층은 어떤 측면에서 이심이다. 곧 맨 위 천구층의 볼록면과 맨 아래 천구층의 오목면은 세계와 동심이다. 반면 맨 위 천구층의 오목면과 맨 아래 천구층의 볼록면은 세계에 대해서는 이심이지만 서로에 대해서는 동심이다. 이 면들의 중심은 이퀀트의 중심으로부터, 이퀀트의 중심이 세계 중심으로부터 떨어져 있는 만큼 떨어져 있다. 그 중심은 또한 뒤에서 볼 수 있듯이 운반원의 중심이 그리는 작은 원의 중심이다. 이 천구층들은 이퀀트의 원지점 운반구들이라고 부르며, 황도대의 축을 중심으로 제8천구의 운동에 따라 움직인다.

다섯 천구층 도해의 문자

도해 주해. A는 세계 중심, B는 이퀀트의 중심, C는 작은 원의 중심, D는 이심원의 중심이다. E는 이심원 원지점의 맞은편이며, F는 이심원의 아포게온이다.

수성 이론을 다루는 순서

저자는 앞의 여섯 행성을 다룬 다음 수성, 곧 수성의 이론을 다룬다. 이 이론은 다른 것들보다 더 어려워 보인다. 여기서는 세 가지를 한다. 먼저 그것을 구성하는 부분들을 전반적으로 다룬다. 둘째로 “그런데 …라고 부른다”라는 곳에서 그 운동을 다룬다. 셋째로 “표의 용어들은…”이라는 곳에서 표를 통하여 주로 찾는 것들, 즉 가상적인 속성들과 실재적 속성에 의해 한정되는 참된 것들을 다룬다. 첫째 부분에 관하여 “수성에는 다섯 천구층이 있다…”라고 말한다.

다섯 천구층의 두께와 배치

이 부분 전체는 앞의 설명과 수성 천구층 이론의 도형으로 분명하다. 그러나 더 넓게 이해하기 위해 네 가지를 알아 두어야 한다. 첫째, 이 천구에는 다섯 천구층과 또 하나의 주전원이 있다. 이 부분에서는 천구층들을 각각 따로 설명하지 않고 뒤의 부분들에서 설명한다. 뒤의 설명에서 볼 수 있듯이 다섯 천구층은 다음과 같다. 모든 것의 가운데 있으며 어느 부분에서나 두께가 같은 운반구, 그 위에 있는 두 천구층, 그 아래에 있는 두 천구층이다. 위쪽의 둘은 모든 부분에서 두께가 같지는 않다. 그러나 한쪽의 두꺼운 부분이 다른 쪽의 두꺼운 부분 위에, 얇은 부분이 얇은 부분 위에 놓이도록 배치되어 있다. 아래쪽의 둘도 위쪽의 둘과 같은 상호 배치를 가진다. 간결함과 이해의 편의를 위해 위쪽 천구층을 A라고 부르고, 나머지는 도해 주해에 나타난 대로 부르자. 운반원은 S.O.K., 다른 하나는 K, 마지막 것은 G이다.〔이 문장 자체의 문자열을 보존했다. 뒤 도해와의 문자 불일치를 자동으로 정정하지 않았다.〕

수성의 천구층 중심과 축 도해

수성 천구층들의 중심과 축에 관한 이론. 곁에 놓인 도형의 주해. 세계 중심은 C, 이퀀트의 중심은 D, 작은 원의 중심은 E, 운반원의 중심은 F이다. 여기에 두께가 일정하지 않은 네 천구층이 있다. 그 양끝의 것, 곧 가장 작은 것과 가장 큰 것은 이퀀트의 아우게 운반구들이라고 부른다. 가운데의 두 비균일 천구층은 이심원의 아우게를 운반한다. 이심 운반원의 원둘레는 S.O.K., 이퀀트의 원둘레는 N.O.R.이다. 작은 원 T는 주전원이다. 이퀀트의 아우게 운반구들의 축 L.C.M.은 제8천구 황도 축의 일부다. 이심원 아우게 운반구들의 축은 Q.E.P., 주전원 운반구의 축은 O.F.R.이다.

중심들의 거리와 네 중심

둘째, A의 오목면과 H의 볼록면은 세계에 대해서는 이심이며 서로에 대해서는 동심이다. 셋째, 그 면들의 중심은 이퀀트의 중심으로부터, 이퀀트의 중심이 세계 중심으로부터 떨어져 있는 만큼 떨어져 있다. 따라서 이퀀트의 중심은 그 면들의 중심과 세계 중심 사이의 가운데에 있다. 넷째, 그 면들의 중심은 운반원의 중심이 그리는 작은 원의 중심과 같다.

이로부터 이 천구에 때로 같은 간격으로 놓이는 네 중심이 있다는 것이 따라 나온다. 첫째는 세계 중심, 둘째는 이퀀트의 중심, 셋째는 작은 원의 중심이다. 본문에서 말하듯이 작은 원의 중심은 이퀀트 중심으로부터, 이퀀트 중심이 세계 중심으로부터 떨어져 있는 만큼 떨어져 있다. 넷째인 운반원의 중심은 아래 본문에서 말하듯 그 작은 원을 그린다. 그 작은 원의 반지름은 이퀀트 중심과 세계 중심 사이의 거리와 같다.

운동의 네 구분

이어 “그런데 …라고 부른다”라고 할 때 수성의 부분들, 곧 천구층들의 운동을 다룬다. 여기서는 두 가지를 한다. 먼저 방금 말한 운동을 다루고, 다음으로 “이로부터 첫째로 …임이 보인다”라는 곳에서 여섯 귀결을 이끌어 낸다. 첫째 사항에서는 네 가지를 한다. 먼저 양끝의 두 천구층의 운동을 다룬다. 둘째로 “이 양끝의 것들 사이에는…”이라는 곳에서 운반원에 인접한 두 천구층의 운동을 다룬다. 셋째로 “그러나 다섯째 천구층은…”이라는 곳에서 운반원의 운동을 다룬다. 넷째로 “그런데 주전원의…”라는 곳에서 주전원의 운동을 다룬다. 첫째에 대해서는 “그런데 …라고 부른다”라고 말한다.

이퀀트의 아우게 운반구들이라고 부르는 이 두 천구층은 황도대의 축을 중심으로 제8천구의 운동에 따라, 따라서 사인들의 순서대로 움직인다는 것을 알아 두라. 다만 다음과 같은 방식으로 움직인다고 이해하라. 위에서 다른 아우게 운반구들에 관해 말했듯이, 한쪽의 좁은 부분은 언제나 다른 쪽의 넓은 부분과 이어지고 그 반대도 마찬가지다. 이들의 운동은 세계 중심을 기준으로 한다. 양끝의 두 면, 곧 A의 볼록면과 K의 오목면에 관해서는 세계와 동심이기 때문이다. 둘째에 관해서는 다음과 같이 말한다.

이심원 아우게 운반구와 작은 원

이심원의 아우게를 운반하는 것들에 관하여. II. 이 양끝의 천구층들 사이에는 마찬가지로 두께가 일정하지 않은 다른 두 천구층이 있다. 이들은 그 안에 다섯째 천구층, 곧 주전원을 운반하는 것을 둔다. 위쪽 천구층의 볼록면과 아래쪽 천구층의 오목면은 작은 원과 같은 중심을 가진다. 그러나 위쪽 천구층의 오목면과 아래쪽 천구층의 볼록면은 다섯째 천구층의 두 면과 함께, 운반원의 중심이라고 부르는 또 하나의 움직이는 중심을 가진다.

이 두 천구층은 이심원의 아우게 운반구들이라고 부른다. 작은 원의 중심을 기준으로 사인들의 순서에 반대하여 일정하게 움직이며, 그 속도는 태양 평균운동선이 한 바퀴 도는 바로 그 시간에 이 천구층들도 반대 방향으로 한 바퀴를 완성할 정도다. 이 운동은 때로 황도대의 축과 평행하고 작은 원의 중심을 지나는 축을 기준으로 이루어진다.

이 천구층들의 운동으로부터, 주전원 운반구의 중심이 작은 원의 어떤 원둘레를 같은 시간에 일정하게 그린다는 결과가 따라 나온다. 그 원의 반지름은 이퀀트 중심이 세계 중심으로부터 떨어진 거리와 같다. 그러므로 그 원둘레는 이퀀트의 중심을 지나게 된다.

이심원 아우게 운반구의 배치와 중심

여기서는 먼저 이들의 배치를 설명한다. 이들이 운반원을 사방에서 바로 둘러싸고 있기 때문이다. 둘째로 중심을 설명하면서, itaque 대신 namque라고 말한다. 이 말은 여기서 증명하는 접속사가 아니라 이어 주는 접속사로 쓰였다. 곧 볼록면과 오목면이 작은 원과 같은 중심을 가진다고 말한다. 작은 원의 중심은 운반원이나 이퀀트의 중심이 아니라 이 천구층들의 중심이다. 그러나 [안쪽의] 오목면과 볼록면, 그리고 운반원의 두 면은 움직이는 하나의 중심, 곧 운반원의 중심을 함께 가진다. 셋째로 이들의 이름을 말한다. 이심원의 아우게 운반구들이라고 부르기 때문이다.

두 천구층의 운동에 관한 일곱 항목

넷째로 이들의 운동을 설명하는데, 이에 관하여 여러 가지를 말한다. 첫째, 그 중심, 곧 작은 원의 중심을 둘러 움직인다는 것이다. 앞에서 말했듯이 위쪽 천구층의 볼록면과 아래쪽 천구층의 오목면이 이 중심을 가지기 때문이다. 둘째, 그 중심을 기준으로는 일정하게 움직이며, 따라서 다른 모든 중심을 기준으로는 불규칙하게 움직인다는 것이다. 셋째, 사인들의 순서에 반대하여, 곧 서쪽으로 움직인다는 것이다. 태양의 운반원은 동쪽으로 움직인다. 넷째, 태양의 운반원과 같은 속도로 움직인다는 것이다. 따라서 같은 시간에 태양의 운반원은 동쪽으로, 이 천구층들은 서쪽으로 한 바퀴를 완성한다.

다섯째, 이 운동의 축은 때로 황도대의 축과 평행하다는 것이다. 다만 “언제나는 아니다”라는 말을 보충하여 이해하라. 금성 운반원에 관해 말했듯이 위도운동 때문에 때로 낮아지고 때로 높아지기 때문이다. 여섯째, 그 축은 작은 원의 중심을 지난다는 것이다. 이를 잘못 이해한 본문이 얼핏 뜻하는 것처럼 때로만 그렇다는 말로 읽지 말고, 언제나 그렇다고 이해하라. 축은 언제나 운동이 일어나는 중심을 지나기 때문이다.

일곱째, 앞의 설명으로부터 이 천구층들의 운동이 운반원 중심으로 하여금 작은 원의 중심을 둘러 움직여 그 원둘레를 그리게 하는 원인이라는 점이 따라 나온다. 운반원의 중심은 이 천구층들이 도는 것과 같은 시간에 돈다. 그 이유는 이 천구층들이 작은 원의 중심을 둘러 움직일 때 그 중심 바깥에 있으면서 그 천구층들 아래에 있는 모든 것, 이를테면 운반원의 중심을 그 운동으로 함께 끌고 돌기 때문이다.

작은 원의 반지름과 중심의 일치

마지막으로 이 작은 원의 반지름, 곧 그 중심에서 원둘레까지의 거리는 세계 중심에서 이퀀트 중심까지의 거리와 같다. 이퀀트 중심이 세계 중심에서 떨어져 있는 만큼, 그 원둘레를 그리는 이심원의 중심도 작은 원의 중심에서 떨어져 있기 때문이다. 이로부터 그 원둘레가 이퀀트의 중심을 지나리라는 점도 도출된다. 따라서 이심원의 중심이 그 원둘레를 따라 회전할 때에는, 때로 이심원 중심과 이퀀트 중심이 같아지게 된다. 이 모든 것은 이 도형에 나타나 있다.

셋째 항목에 관해서는 여러 가지를 한다. 먼저 이 천구층의 운동을 설명하고 그 설명에서 하나의 귀결을 이끌어 낸다. 둘째로 “그런데 이 천구층의…”라는 곳에서 같은 운동의 축을 설명한다. 셋째로 “그러므로 …임이 분명하다”라는 곳에서 지금까지 말한 모든 것으로부터 하나의 귀결을 이끌어 낸다. 첫째에 관하여 다음과 같이 말한다.

작은 원 위의 중심들

도형에는 위에서부터 운반원 중심(CEN. DEF.), 작은 원의 중심(CEN. CIR.), 이퀀트 중심(CEN. ÆQVA.), 세계 중심(CEN. MVN.)이라는 표지가 붙어 있다. 세로선과 원둘레의 관계를 앞의 반지름 설명과 함께 읽는다.

주전원을 운반하는 다섯째 천구층

주전원 운반구에 관하여. III. 주전원을 운반하는 다섯째 천구층은 두 번째 쌍의 천구층들 안에 놓여 있으며, 경도상으로 사인들의 순서에 따라 움직인다. 세계 중심과 작은 원의 중심 사이의 가운데에 있는 이퀀트의 중심을 기준으로 주전원의 중심을 일정하게 운반하면서 움직이는 것이다.

그 속도는 태양 평균운동선이 한 바퀴를 완성하는 시간에 주전원 중심도 한 바퀴를 돌 정도다. 이 점에서 수성과 태양의 관계는 금성과 태양의 관계와 같다. 태양의 평균운동은 언제나 이 두 행성의 평균운동이기도 하다.

그러므로 이 설명과 앞서 말한 것들로부터, 여섯 행성은 각각 그 운동에서 태양과 무언가를 공유하며, 태양의 운동은 그 행성들의 운동에 일종의 공통된 거울이자 자연의 규범이라는 것이 분명하다.

태양과 다른 행성들을 비교하는 기준

이 부분의 귀결을 이해하기 위해 유의할 점이 있다. 나머지는 모두 분명하므로, 두 행성이 태양과 다른 점과 같은 점은 천구 자체에 관해서도, 그 운동에 관해서도 살펴볼 수 있음을 알아 두라. 다만 스승은 둘째만 다룬다. 첫째에 관해서는 모든 행성이 두 천구층 사이에 운반구를 가진다는 점에서 태양과 같다. 그 밖에도 수성을 제외한 모든 행성은 어떤 측면에서 이심인 세 천구층을 가진다는 점에서 태양과 같다. 그러나 모두 주전원을 가진다는 점에서는 태양과 다르며, 이에 더해 수성은 다른 모든 것들과 달리 다섯 천구층을 가진다. 또한 모두 하나의 가상 원, 곧 운반원을 가진다는 점에서는 같다. 그러나 달을 제외한 모든 행성은 이퀀트를 가진다는 점에서 태양과 다르다.

운동에 관해 비교한다면 다섯 가지를 고려할 수 있다. 첫째는 중심, 둘째는 그 사이에 축이 놓이는 극들이다. 셋째는 출발과 도착의 경계, 이를테면 동쪽에서 서쪽으로인지 그 반대인지다. 넷째는 규칙성과 불규칙성, 다섯째는 빠름과 느림이다. 이 다섯 기준에 따라 본문을 읽으면, 다른 행성들의 이심원들이 이 가운데 어떤 점에서 태양 이심원과 일치하는지 누구나 쉽게 알 수 있다. 이심원의 아우게 운반구들이 다른 운반구들과 어떻게 일치하며 어떻게 다른지도 마찬가지다. 둘째에 대해서는 다음과 같이 말한다.

운반원 축 전체의 이동

주전원을 운반하는 이 천구층의 운동은 가상 축을 중심으로 이루어진다. 금성에서 보았듯이 그 축의 양끝은 또 다른 위도운동 때문에 마찬가지로 황도대의 극들에 가까워졌다가 멀어진다. 그런데 이 축은 작은 원 안에서 이루어지는 운반원 중심의 운동에 따라 그 전체가 움직인다.

비교와 반론의 순서

이 부분 전체는 앞의 설명으로 분명하다. 그러나 셋째 항목에 관해서는 여러 가지를 한다. 먼저 하나의 귀결을 이끌어 내고, 다음으로 “그러나 …인 것은 아니다”라는 곳에서 어떤 반론을 제거한다. 첫째에 관해서는 다음과 같이 말한다.

수성과 달의 비교

수성과 달의 비교. 따라서 달에서 주전원 중심이 한 달의 달 주기 동안 이심원의 아우게 운반구들을 두 번 지나가듯이, 수성에서도 주전원 중심이 한 해 동안 주전원을 운반하는 원의 아우게 운반구들을 두 번 지나간다는 것이 분명하다.

서로 반대 방향으로 움직일 때

이를 위해, 서로 반대 방향으로 움직이는 두 물체가 서로를 지나갈 때 한쪽의 운동은 다른 쪽이 지나가는 속도를 더해 준다는 점에 유의하라. 크기 A가 정지한 크기 B를 한 시간에 지나간다고 하자. 그 B가 A와 같은 속도로 반대 방향으로 움직일 경우에도, A는 그것을 한 시간에 지나갈 것이다. 이는 『자연학』 제6권에서 도출되며 어느 정도 경험으로도 확인한다.

따라서 귀결은 수성 주전원의 중심이 한 해에 두 번 이심원 아우게의 운반구들을 지나간다는 것이다. 이것은 앞의 설명으로부터 다음과 같이 따라 나온다. 그 운반구들이 정지해 있다면 그 중심은 한 해에 한 번 그것들을 지나갈 것이다. 수성의 이심원과 따라서 그 안의 주전원, 곧 주전원의 중심은 태양의 운반원과 같은 빠르기로, 즉 한 해에 한 번 돈다고 말했기 때문이다. 그런데 그 운반구들도 말한 바와 같이 같은 빠르기로 반대 방향으로 돈다면, 주전원의 중심이 여섯 달에 한 번 그것들을 지나가고 따라서 한 해에 두 번 지나간다는 결과가 나온다.

이어 “그러나 …인 것은 아니다”라고 한다. 앞의 설명으로부터 그 중심이 달의 경우에 말한 것처럼 한 해의 시작·가운데·끝에서, 곧 한 해에 세 번 운반원의 아우게에 놓이는 듯 보이기 때문이다. 저자는 이 생각을 제거하고 그 말의 이유를 다음과 같이 제시한다.

이심원 아우게의 왕복운동과 한계

그러나 운반원의 아우게에 놓이는 것은 단 한 번뿐이다. 수성 운반원의 아우게는 달의 경우처럼 완전한 원운동을 끝내며 돌지 않는다. 오히려 운반원의 중심이 작은 원에서 움직이기 때문에 때로는 사인들의 순서대로, 때로는 그 반대로 나아간다. 그것은 이퀀트의 아우게에서 멀어질 때 넘어설 수 없는 일정한 한계들을 가진다. 세계 중심에서 작은 원에 접하도록 황도대까지 그은 두 직선이 둘러싸는 황도대의 호 아래에서, 계속 오르내리며 이쪽으로 돌았다가 저쪽으로 돌아간다.

첫 번째 점: 운반원 아우게의 일치

첫 번째 점에 관하여. 주전원 중심이 운반원의 아우게에 있을 때마다, 운동들의 유사성 때문에 그것은 이퀀트의 아우게에도 있을 것이며 운반원의 중심은 자기 작은 원의 아우게에 있을 것이다. 그때 주전원 중심은 세계 중심으로부터 가장 멀리 떨어진 곳에 놓이며, 운반원의 중심은 이퀀트 중심으로부터, 이퀀트 중심이 세계 중심에서 떨어진 거리의 두 배만큼 떨어져 있기 때문이다. 편집주 2

수성의 주전원 중심과 이심원 아우게 운동 도해

수성의 주전원 중심과 이심원 아우게의 운동에 나타나는 거의 모든 변화를 보여 주는 이론도. 곁에 놓인 도형의 주해.

도형 안 ORIENS는 동쪽, OCCIDENS는 서쪽이다. 기하점의 문자와 사인 기호는 원상대로 보존한다.

세계 중심은 C, 이퀀트 중심은 D, 작은 원의 중심은 E이다. 운반원 중심이 세계 중심으로부터 가장 멀리 떨어졌을 때의 점은 F다. 운반원 중심은 이심 운반원의 아우게 운반구들에 끌려 해마다 사인 순서의 반대 방향으로 작은 원을 그린다. 그 원은 열두 사인으로 구분되고 F.R.P.V.D.A.O.E.라는 문자로 표시되어 있다. 이퀀트의 아우게선은 C.D.A.이다. 주전원이 아우게에 있을 때 운반원의 아우게선은 D.N.이다.

네 회전의 일치와 열두 달의 순환

더 나아가 수성의 천구층들에는 서로 같은, 곧 같은 시간에 이루어지는 네 회전이 있다. 주전원 운반원의 아우게 운반구들이 도는 회전, 운반원의 운동에 따라 주전원 중심이 타원형 원둘레를 따라 도는 회전, 운반원 중심이 작은 원 F.R.P.에서 도는 회전, 그리고 운반원의 아우게가 가까워졌다가 멀어지는 회전이다.

주전원 중심이 아우게를 지날 때마다 양쪽 아우게는 같은 점 아래에 있고, 운반원의 중심은 자기 작은 원의 아우게 F에 있다. 이윽고 주전원이 아우게를 떠나 약 넉 달 동안 k로 서서히 접근하면, 이심 운반원의 아우게 운반구들은 사인들의 순서와 반대로 같은 속도로 움직여 이퀀트의 아우게에서 네 사인만큼 멀어지고, 운반원의 중심을 P점으로 끌어간다. 운반원의 아우게선은 어떤 의미에서 그 운동을 따라 N에서 물러나 G까지 이르며, 맞은편도 Q에서 L로 옮겨간다.

그다음 두 달에 주전원은 H에서 B에 이른다. 운반원의 중심도 P점에서 두 사인만큼 나아가 이퀀트의 중심에 이르고, 양쪽 아우게는 하나로 합쳐진다. 이어 주전원이 B에서 k로 옮겨가고 H에 있었을 때처럼 땅에 가장 가까워지면, 운반원의 중심은 이제 O점에 놓인다. 아우게는 이퀀트의 아우게에서 동쪽으로 처음 최대한 멀어진 위치에 이른다. 여기서 넉 달이 지나면 각 회전이 완성된다. 주전원은 양쪽 아우게로 돌아가고, 운반원의 중심은 표시 F로 복귀하며, 아우게들과 그 맞은편들은 각각 같은 직선 위에 놓인다. 해가 다시 돌아올 때마다 비슷한 회전이 되풀이된다.

호 F–P와 서쪽 접점 P

호 F–P와 서쪽 접점 P에 관하여. 이어 두 번째 쌍의 천구층들의 운동으로 운반원 중심이 자기 원의 아우게에서 서쪽으로 움직이면, 운반원의 운동으로 주전원 중심은 이퀀트의 아우게에서 같은 만큼 동쪽으로 움직인다. 이에 따라 운반원 중심은 세계 중심에 가까워지기 시작하고, 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게에서 서쪽으로 계속 멀어진다. 운반원 중심이 그 원에 서쪽으로 접하는 선 위에 놓일 때까지 그러하다. 이는 작은 원의 아우게에서 네 사인만큼 떨어졌을 때 일어나며, 그때 주전원 중심도 마찬가지로 이퀀트의 아우게에서 동쪽으로 네 사인만큼 떨어진다.

운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게에서 서쪽으로 가장 멀리 떨어진 위치에 놓인다. 이 배치에서 주전원 중심은 세계 중심에 통상 접근할 수 있는 가장 가까운 위치에 이른다. 그러나 그때 그것은 운반원 아우게의 맞은편에 있지도 않고, 세계 중심을 지나 작은 원에 접하도록 연장한 선 위에 있지도 않다.

두 번째 호 P–D와 세 번째 점 D

두 번째 호 P–D와 세 번째 점 D에 관하여. 그다음 운반원 중심이 이퀀트 중심을 향해 내려가면, 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게 쪽으로 다시 가까워지기 시작한다. 주전원 중심은 이에 비례하여 다른 절반에서 이퀀트 아우게의 맞은편을 향해 내려간다. 따라서 세계 중심에서 더 멀어지고, 자신이 이퀀트 아우게의 맞은편에 놓이기 전까지는 운반원 아우게의 맞은편에 이르지 않는다. 이는 운반원 중심이 이퀀트 중심에 이르렀을 때 일어난다. 그때 운반원의 아우게 역시 이퀀트의 아우게와 함께 놓이며, 크기가 같도록 설정된 운반원과 이퀀트는 하나의 원이 된다. 그때 주전원 중심은 이퀀트의 아우게에서 네 사인 떨어진 위치에 있었을 때보다 세계 중심에서 더 멀리 떨어져 있다.

세 번째 호 D–O와 동쪽 접점 O

세 번째 호 D–O와 동쪽 접점 O에 관하여. 이어 운반원 중심이 자기 원에서 올라가면서 이퀀트 중심에서 멀어지면, 주전원 중심은 이퀀트와 운반원의 아우게 맞은편에서 떠나 세계 중심에 계속 더 가까워진다. 그러나 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게에서 동쪽으로 계속 멀어진다. 운반원 중심이 동쪽에서 작은 원에 접하는 선 위에 이를 때까지 그러하다. 그 접점도 작은 원의 아우게에서 동쪽으로 네 사인만큼 떨어져 있다. 그때 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게에서 동쪽으로 가장 멀리 떨어지고, 주전원 중심은 다시 통상적으로 땅에 접근하는 가장 가까운 위치에 이른다. 그러나 운반원 아우게의 맞은편에 있지는 않다.

마지막 호 O–F와 F로의 복귀

마지막 호 O–F와 다시 점 F에 관하여. 이 위치에서 운반원 중심이 작은 원의 아우게를 향해 올라가면, 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게로 계속 돌아간다. 주전원 중심은 이퀀트의 아우게를 향해 올라가면서 세계 중심에서 더욱 멀어진다. 운반원의 중심이 작은 원의 아우게에 이를 때까지 그러하다. 그때 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게와 함께 놓이며, 주전원 중심도 운반원과 이퀀트 양쪽의 아우게에 놓인다. 그러므로 처음과 마찬가지로 다시 세계 중심으로부터 최대의 거리 관계에 있게 된다. 그 뒤에는 방금 설명한 것과 같은 변화가 다시 되돌아온다. 편집주 3

수성의 네 중심을 표시하는 보조 도형

그러나 이 부분은 매우 난해하므로, 여기에서 더 오래 머물며 많은 사항을 먼저 살펴보아야 한다. 그러므로 무엇보다 먼저, 통상 그리는 것 외에 수성의 운동을 나타내는 이론도, 곧 하나의 도형을 그려 설명해야 한다. 이미 말했듯이 이 이론에는 서로 같은 간격으로 떨어져 있는 네 중심이 있다. 따라서 한 직선 위에 네 점, 곧 지구의 중심·이퀀트의 중심·작은 원의 중심·운반원의 중심을 두되, 서로 같은 거리에 놓이게 하라. 그다음 가장 위의 중심, 곧 운반원 중심을 회전시켜, 바로 이웃한 작은 원의 중심 둘레에 원둘레를 그리게 하라. 이 원둘레는 이퀀트 중심을 지나야 한다. 그다음 이퀀트 중심을 중심으로 이퀀트 원을 그려라. 이 원은 제8천구의 운동에 따르는 경우를 제외하면 움직이지 않는다. 마찬가지로 운반원 중심을 중심으로 이퀀트와 같은 크기의 다른 원을 그려라. 두 원이 서로 교차하여, 곧 같은 부분들에서 서로 만나게 하라. 엄밀히 말하면 서로를 절단하는 것은 아니다. 같은 면 안에 있는 것으로 이해되기 때문이다.

작은 원의 접점과 가장 가까운 주전원 위치

그다음 필요하다면 세계 중심을 중심으로 앞서 말한 모든 원을 둘러싸는 황도를 그려라. 네 중심이 놓여 있는 앞의 직선은 작은 원을 두 반원으로 나눈다. 그 각각을 다시 점 A와 B에서 서로 같지 않은 두 부분으로 나누되, A와 B 사이에서 지구 중심을 향하는 쪽에는 원의 3분의 1, 곧 네 사인만 있게 하고, 그 반대쪽에는 여덟 사인만 있게 하라. 그다음 지구 중심에서 나와 A와 B를 지나는 두 직선을 그어라. 필요하다면 양쪽 모두 황도에 이를 때까지 연장해도 되고, 한쪽에서는 운반원, 다른 쪽에서는 이퀀트에 이르게 해도 된다. 지구 중심 쪽에서는 C와 D에서 끝나게 하고, 반대쪽에서는 E와 F에서 끝나게 하라. 그다음 점 B에서 이퀀트 중심을 통과하는 직선을 그으며, 점 A에서도 마찬가지로 그어라. 운반원 중심이 이 직선들 위에 있을 때 주전원 중심은 세계 중심에 가장 가까워진다. 이 모든 것은 이 도형에서 드러난다. 또 이 도형에서는 접선 사이에, 운반원과 이퀀트의 원둘레 사이 양쪽으로 현을 갖춘 호를 그려라.

앞 도형의 중심 표지와 판각 오류 주의문

A. 세계 중심. B. 이심원과 이퀀트의 중심. C. 작은 원의 중심. D. 주전원이 이퀀트의 아우게에 있었을 때의 이심원 중심. 이 도형의 중심들이 모두 제자리에 놓인 것은 아님을 유의하라. 이는 판각자의 부주의 때문이다.

서로 반대 방향인 두 등속운동

둘째로 알아 두고 주의 깊게 기록할 점은 다음과 같다. 운반 이심원의 아우게를 운반하는 구들이 작은 원의 중심을 중심으로 서쪽으로 움직이는 것과 마찬가지로, 운반원은 이퀀트 중심을 기준으로 동쪽으로 똑같이 움직인다. 곧 같은 시간 동안 이쪽에서 동쪽으로 움직이는 양은 저쪽에서 서쪽으로 움직이는 양과 같다.

아우게라는 말의 두 가지 뜻

셋째로, 운반원의 아우게라는 말은 두 가지 뜻으로 쓰인다. 하나는 운반원 위에 표시된, 세계 중심에서 가장 먼 점이다. 다른 하나는 그 바로 바깥의 물체에 있는 점으로서, 운반원 위의 그 점을 가리키는 점이다. 다른 행성들에서는 첫 번째 뜻의 아우게가 계속 바뀌어, 그 바탕이 되는 물체의 매번 다른 부분에 놓인다. 이심성 때문에 운반원의 매번 다른 부분이 세계 중심에서 가장 멀어지기 때문이다. 그러나 두 번째 뜻의 아우게는 그렇지 않다. 아우게를 운반하는 구들은 양끝 면에서 세계 중심과 동심이므로 그 중심 둘레에서 움직인다. 따라서 아우게는 언제나 그들 중 바깥 구의 더 얇은 부분, 곧 오목한 면에서 세계 중심과 더 먼 부분에 있게 된다. 그러나 수성에서는 아우게가 두 가지 뜻 모두에서 바뀐다. 운반원 위에서는 앞서 말한 이유로 바뀌며, 운반원을 바로 둘러싸는 천구층 위에서도 바뀐다. 이 천구층 자체와 이에 대응하는 다른 천구층은 모든 면에서 이심적이어서 세계 중심을 중심으로 회전하지 않기 때문이다. 그러므로 이들은 작은 원의 중심을 중심으로 회전한다.

아우게 운반구가 돌아도 아우게 자체는 왕복한다

넷째로, 이심원의 아우게를 운반하는 구들은 그 전체가 세계에 대해 이심적이다. 다시 말해 어느 면도 세계와 동심이 아니다. 이 때문에 한때 이심원의 아우게가 있던 부분이 세계 중심에 가까워지는 일이 생긴다. 그러면 그 선은 더 이상 아우게가 아니게 된다. 아우게는 앞서 말한 중심에서 가장 먼 점이기 때문이다. 따라서 같은 오목한 면에서 더 먼 점을 찾아야 한다. 이것이 아우게 운반구들은 원을 그리며 움직이지만 아우게 자체는 그렇지 않은 이유이다. 본문이 말하듯 아우게는 어떤 점까지 다가갔다가 다시 되돌아간다. 같은 이유로 운반원과 그 위에 움직이지 않도록 고정하여 표시한 모든 점은 원을 그리며 회전하지만, 바깥 물체의 아우게 바로 아래에 대응하는 점은 그렇지 않다. 그 점은 앞서 말한 아우게와 언제나 떨어질 수 없이 결부되어 있으므로, 그 아우게처럼 접근하고 물러난다. 따라서 이 두 점은 각각의 바탕이 되는 물체에서 매번 다른 부분에 있게 된다.

한 해에 한 번이라는 진술과 시작·끝의 중복

다섯째로, 이해력이 뛰어난 사람에게는 이 설명으로 본문이 명백해진다. 그러나 이해가 더딘 사람들을 위해 본문 전체를 더 평이한 뜻으로 풀어서 되풀이해 보자. 따름명제에서 말했듯이 주전원 중심은 한 해에 두 번, 이심원의 아우게를 운반하는 구들 아래의 공간 전체를 지나간다. 그렇지만 한 해 동안 운반원의 아우게에 놓이는 것은 단 한 번뿐이다. 이는 그 해의 내부를 말한 것이다. 해의 끝과 시작까지 말한다면, 언제나 한 해의 시작에 아우게에 있고 따라서 앞선 해의 끝에도 아우게에 있기 때문에, 각 해에서 두 번, 곧 처음과 끝에 아우게에 있게 된다. 그 이유는 수성의 아우게가 달에서와 같이 원을 그리며 움직이지 않기 때문이다. 만약 그렇게 움직인다면 주전원 중심은 한 해에 세 번, 곧 처음·중간·끝에 아우게에 있게 될 것이다. 아우게가 원을 그리며 움직이지 않는 원인은 뒤에서 드러나듯 두 가지이다. 첫째는 작은 원의 둘레 위에서 움직이는 운반원 중심의 운동이다. 그 결과 운반원 자체도 세계 중심에 때로는 더 가까이, 때로는 덜 가까이 다가간다. 둘째는 운반원에 바로 이웃한 구들의 지속적인 운동이다. 그 구들이 작은 원의 중심을 중심으로 움직이기 때문에 운반원 중심을 이처럼 움직이게 한다. 그 결과 그 구들의 어느 부분은 세계 중심에 더 가까워지거나 덜 가까워진다. 이 때문에 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게로부터 동쪽이나 서쪽으로 물러날 때에도 일정한 한계 밖으로는 결코 나가지 않는다. 그 한계란 A와 B를 지나가는 선들이 끝나는 점 E와 F이다.

이퀀트의 고정 아우게와 네 중심의 거리비

이와 관련하여, 이퀀트의 아우게는 이퀀트 자체와 마찬가지로 결코 움직이지 않는다는 점을 유의하라. 그것은 네 중심을 지나는 직선이 이퀀트·운반원·작은 원의 중심 쪽으로 나아가 이퀀트와 만나는 점에 언제나 놓인다. 주전원 중심이 그 주전원을 운반하는 운반원의 아우게에 있을 때마다, 같은 주전원 중심은 이퀀트의 아우게에도 놓인다. 곧 그 아우게를 지나는 직선 위에 있다. 그때 운반원 중심은 자신의 중심이 그리는 작은 원의 아우게에 있으며, 이 아우게 역시 이퀀트의 아우게선 위에 있다. 이들이 동시에 놓이는 원인은 운동들의 유사성, 곧 같음과 비례이다. 주전원을 싣고 가는 운반원은 이퀀트의 아우게선에서 동쪽으로 물러나고, 운반원 중심은 이심원의 아우게를 운반하는 구들의 운동에 실려 작은 원둘레 위에서 서쪽으로 물러난다. 이 두 운동의 양이 같다. 그러므로 주전원 중심이 아우게에, 곧 이퀀트 아우게의 바로 위에 놓일 때, 운반원 중심도 같은 직선 위에서 이퀀트 중심의 위쪽에 놓인다. 따라서 운반원의 아우게 역시 그때 같은 아우게에, 곧 그 바로 위에 있게 된다. 그러므로 그때 주전원 중심은 세계 중심에서 가장 멀리 떨어진다. 운반원 위에 표시된 어떤 점도 아우게선 위에 있을 때보다 세계 중심에서 더 멀 수 없기 때문이다. 그 위치가 최대의 거리, 곧 가장 멀리 떨어진 곳이다. 또 운반원 중심에서 이퀀트 중심까지의 거리는 이퀀트 중심에서 세계 중심까지의 거리의 두 배가 된다. 그때 앞의 직선에 네 중심이 서로 같은 간격으로 놓이며, 이심원 중심과 이퀀트 중심 사이에는 하나의 중심, 곧 작은 원의 중심이 있지만, 이퀀트 중심과 세계 중심 사이에는 아무 중심도 없기 때문이다.

운반원 중심이 내려갈 때의 거리 변화

그다음 운반원 중심이 둘째 쌍의 두 천구층의 운동에 의해 자신의 원의 아우게에서 서쪽으로 움직이면, 주전원 중심은 운반원의 운동에 의해 같은 양만큼 동쪽으로 움직인다. 이 때문에 운반원 중심은 세계 중심에 다가가기 시작한다. 운반원 중심은 작은 원의 둘레에서 결코 벗어나지 않으며, 그 원둘레에서 세계 중심과 가장 먼 점은 그 작은 원의 아우게이다. 운반원 중심은 바로 그 아우게에서 물러나므로 세계 중심에 가까워진다. 어떤 이심원이든 아우게와 아우게의 맞은편은 언제나 지구 중심과 이심원 중심을 지나며 이심원을 같은 두 부분으로 나누는 직선으로 정한다는 점도 알아 두어야 한다. 따라서 수성에서처럼 이심원 중심이 움직이면, 그 중심을 언제나 통과하는 아우게, 곧 아우게선도 움직여야 한다. 아우게의 맞은편 역시 마찬가지이다. 그러나 아우게가 서쪽으로 움직이면 맞은편은 동쪽으로 움직이고, 반대의 경우도 그러하다.

작은 원에서 서로 길이가 다른 위쪽·아래쪽 구간

작은 원의 중심, 또는 작은 원 자체가 일종의 주전원과 같다는 점도 알아 두어야 한다. 그 전체가 세계 중심의 바깥에 있기 때문이다. 따라서 이퀀트의 아우게선이 가운데를 가르는 그 원의 위쪽 부분에서는 운반원 중심이, 운반하는 두 둘레 물체의 운동에 실려 서쪽으로 움직인다. 같은 선이 마찬가지로 반으로 가르는 아래쪽 부분에서는 동쪽으로 움직인다. 다만 이 위쪽 부분과 아래쪽 부분의 크기는 서로 같지 않다. 그러므로 운반원 중심이 자신의 아우게, 곧 이퀀트의 아우게선 위에 있으면, 앞서 말한 대로 주전원 중심도 같은 선 위에 있다. 이퀀트의 선과 운반원의 선은 같은 선이다. 따라서 이심원 중심이 서쪽으로 움직이기 시작하면 이심원의 아우게선은 아우게 쪽에서는 서쪽으로, 아우게 맞은편 쪽에서는 동쪽으로 그에 맞추어 움직인다. 언제나 그 중심을 지나야 하기 때문이다. 그러나 그 중심이 직선 C–F에 이르면, 이심원의 아우게선은 바로 그 직선과 같아진다. C–F는 지구 중심에서 나와 작은 원에 접하는 직선, 곧 서쪽의 점 B에서 작은 원에 닿되 그 안을 관통하지 않는 직선이다. 그전에 아우게선은 이심원 중심이 이퀀트의 아우게와 앞의 접점에서 얼마나 떨어져 있는가에 따라 그 접선과 더 멀거나 덜 멀리 떨어져 있었다.

접선에서 아우게선의 운동 방향이 뒤집히는 이유

이 두 직선이 하나가 되면, 이심원의 아우게, 또는 아우게선은 더 이상 이전과 같은 방식으로 나아가지 않고 되돌아가기 시작한다. 아우게 쪽에서는 이퀀트의 아우게에 가까워지며 동쪽으로 움직이고, 아우게 맞은편 쪽에서는 그 맞은편에 가까워지며 서쪽으로 움직인다. 따라서 운반원 중심이 이퀀트 아우게선의 반대편 쪽에 놓이면, 이심원의 아우게선은 다시 이퀀트의 아우게선과 하나가 된다. 이심원 중심이 그 직선을 넘어 동쪽으로 가면 아우게선 역시 아우게 쪽에서 그 선을 넘어간다. 이심원 중심이 작은 원의 동쪽에 접하는 직선 D–E의 접점에 이를 때까지 그러하다. 그때 다시 반대편 접선까지 되돌아가기 시작하며, 이런 일이 끝없이 반복된다. 이 모든 것의 이유는 이심원의 아우게선이 언제나 그 중심을 지나기 때문이다. 작은 원의 위쪽에서 두 접점 사이를 움직일 때처럼 중심이 동쪽에서 서쪽으로 움직인다면, 아우게선도 같은 쪽으로 그에 맞는 운동을 해야 한다. 마찬가지로 작은 원의 나머지 부분, 곧 아래쪽에서처럼 중심이 동쪽으로 움직이면, 그 직선도 같은 쪽에서 동쪽으로 움직여야 한다.

네 사인의 한계와 최접근점의 구별

따라서 본문에서는 운반원 중심이 자신의 원의 아우게에서 서쪽으로 움직일 때, 주전원 중심은 이퀀트의 아우게에서 같은 운동으로 동쪽으로 움직인다고 말한다. 여기서 ‘자신의 원’은 운반원을 뜻하지 않는다. 운반원 중심과 그 아우게는 같은 직선 위에 있으므로 중심이 그 아우게로부터 떨어지는 일은 없기 때문이다. 이 말은 작은 원을 뜻한다. 그 결과 운반원 중심은 세계 중심에 다가가기 시작한다. 앞서 말했듯이 그것은 작은 원의 원둘레에서 벗어나지 않는다. 이 둘레에서 세계 중심과 가장 먼 점이 작은 원의 아우게이며, 중심은 그곳에서 물러난다. 같은 원둘레의 다른 모든 점은 그 아우게보다 세계 중심에 더 가깝다. 또 그때 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게에서 서쪽으로 계속 물러난다. 이것은 주전원 중심과 이심원 중심이 도는 속도로 이해하라. 서쪽으로 물러나되 한 바퀴의 회전을 완성하지는 않는다. 운반원 중심이 작은 원의 서쪽에 접하는 직선에 이를 때까지 물러난다. 원에 접하는 직선이란 원둘레와 단 한 점에서만 만나고 원의 내부로 들어가지 않는 직선이다. 이 접점은 작은 원의 아우게에서 네 사인만큼 떨어져 있다. 여기서 말하는 것은 통상의 사인이지 물리적 사인이 아니다. 아우게선이 접점에 이르면 주전원 중심은 이퀀트의 아우게에서 동쪽으로 통상의 네 사인만큼 떨어진다. 여러 차례 말했듯이 두 운동의 양이 같기 때문이다. 또 그때 운반원의 아우게는 이퀀트의 아우게에서 서쪽으로 가장 크게 벗어나 있다. 그 지점부터 이심원 중심이 작은 원의 아래쪽 부분에서 동쪽으로 움직이기 시작하고, 아우게선도 마찬가지로 움직이기 때문이다. 또 바로 그때, 곧 그러한 배치에서 주전원 중심은 세계 중심에 가장 가까워진다. 그런데도 그때 그것은 이심원의 아우게 맞은편에 있지 않으며, C–F선, 곧 이심원의 아우게와 그 맞은편을 잇는 선 위에도 있지 않다.

게라르두스와 사크로보스코의 주장에 대한 반론

이에 관하여, 게라르두스와 요하네스 데 사크로보스코는 이와 반대로 말한다는 점을 유의해야 한다. 곧 그때 주전원 중심은 아우게의 맞은편에 있으며, 세계 중심에서 나오는 두 접선 사이의 공간 전체에서 언제나 아우게 맞은편에 있다는 것이다. 뒤에서 조금 다시 설명할 것처럼, 또 요하네스가 이해하는 듯한 방식으로 이해한다면 이 말은 참이다. 그는 주전원 중심이 운반원의 아우게 맞은편에 있을 때 이퀀트의 아우게 맞은편에도 있다고 말한다. 그러나 그 밖의 의미로는 요하네스 데 몬테레지오가 말하듯 거짓이다. 만일 그때 주전원 중심이 접선 위에 있다고 한다면 다음과 같이 하라. A–C선을 이퀀트의 아우게선으로 삼고, A는 이퀀트의 아우게, C는 그 맞은편으로 하라. 점 F는 작은 원의 중심, 점 E는 이퀀트 중심, 점 N은 세계 중심으로 하라. K–H선을 세계 중심을 지나도록 긋고, 점 H에서 작은 원과 접하게 하라. H에는 운반원 중심이 있으며, 주전원 중심은 점 K에 있다고 가정된다. 그다음 이퀀트 중심에서 주전원 중심으로 g–K선을, 작은 원 중심에서 운반원 중심으로 F–H선을 그어라. 그러면 각 A–g–K와 A–F–H는 같다. 주전원과 이심원의 두 중심은 같은 이퀀트의 아우게에서 움직이기 시작했고, 두 운동의 양은 같기 때문이다. 전자는 이퀀트 중심을 기준으로, 후자는 작은 원 중심을 기준으로 움직인다. 따라서 각 K–g–N과 g–F–H도 같다. 각각 두 직각에서 남는 각이기 때문이다. 그런데 『원론』 제3권 제8명제에 따르면 N–H선은 N–g선보다 길다. 따라서 F–H선보다도 길다. 프톨레마이오스가 『알마게스트』 제9권 제9장에서 보였듯이 g–N과 F–H는 같기 때문이다. 따라서 유클리드 제1권 제19명제에 따라 각 N–F–H는 각 F–N–H보다 크다. 또 같은 권 제15명제와 공통 개념을 적용하면 각 K–N–C보다 크다. 이 각은 삼각형 K–g–N의 외각이므로, 유클리드 제1권 제16명제에 따라 각 K–g–N보다 크다. 그러므로 공통 개념에 의해 각 g–F–H는 각 K–g–N보다 크다. 그러나 우리는 앞서 두 각이 같다고 결론지었다. 따라서 앞에서 말한 뜻으로 이해하지 않는 한, 그들의 주장은 모순이다.

판각에서 빠진 g–K선

여기에는 판각자의 부주의로 g–K선이 빠져 있다.

주전원이 접선 위에 있을 때 운반원 중심의 위치

K가 주전원 중심일 때 운반원 중심은 어디에 있는지 묻는다면, 같은 요하네스 데 몬테레지오는 다음과 같이 답한다. 앞서 증명했듯 각 g–F–H는 각 K–g–N보다 크므로, 그 각에서 K–g–N과 같은 각 g–F–L을 취하고 작은 원의 반지름 F–L을 그어라. 그 끝점 L에 운반원 중심이 있어야 한다. 그러면 각각 두 직각에서 남는 각 A–g–K와 A–F–L은 두 운동의 같음이 요구하는 대로 같아지기 때문이다. 그러므로 세계 중심 N과 점 L을 지나 위쪽으로 O–P선을 연장하면, 이심원의 아우게는 반드시 그 선 위에 있다. 따라서 주전원 중심이 접선 위의 점 K에 있을 때, 앞서 말한 아우게는 이퀀트의 아우게에서 가장 멀리 벗어난 위치에 있지 않다. 최대 이격의 경계는 앞의 접선 위에 있기 때문이다. 또 주전원이 점 K에 있을 때 그것은 운반원의 아우게 맞은편에도 있지 않다. O–P선 위에 있지 않기 때문이다.

운반원 중심이 접점에 있을 때 주전원 중심의 위치

반대로 이심원 중심이 접점에 있을 때 주전원 중심은 어디에 있는지 묻는다면, 그는 이심원 중심에서 이퀀트 중심을 지나도록 그은 직선 위에 있다고 답한다. 앞에서처럼 A–C선, 작은 원, 점 H에서의 접선을 배치하라. 작은 원의 반지름 F–H와 현 g–H를 긋고, g–K선을 무한히 연장하여 각 A–g–H를 각 A–F–H와 같게 두어라. 그러면 이심원 중심이 점 H에 있을 때 주전원 중심은 K–N선 위에 있어야 한다.〔주저본 이 문장은 K N으로 인쇄한다. 앞의 g K와 임의로 통일하지 않았다.〕 N–H선은 작은 원에 접하므로 『원론』 제3권 제17명제에 따라 각 F–H–N은 직각이다. 이제 이퀀트 중심을 중심으로 G–N선의 길이를 반지름으로 하는 원을 상상하여 그리면, G–N과 G–F가 같으므로 그 원둘레는 점 F를 지난다. 또 각 H가 직각이므로 제3권 제30명제의 역에 따라 점 H도 지난다. 따라서 G–H선은 같은 원의 반지름으로서 반지름 G–N과 같고, G–N은 F–H와도 같다. 그러므로 삼각형 F–G–H는 정삼각형이다. 그런데 『원론』 제1권 제13명제에 따르면 각 G–F–H와 각 A–F–H의 합은 두 직각과 같다. 따라서 공통 개념에 의해 각 F–G–H와 각 A–G–K의 합도 두 직각이다. 그러므로 제1권 제14명제에 따라 H–G와 G–K의 두 직선은 서로 곧바로 이어져 하나의 직선이 된다.

접선 사이의 호 전체에 대한 더 넓은 주장도 성립하지 않는다

요하네스 데 몬테레지오는 그것을 다음과 같이 논박한다. 다시 A–C선과 작은 원, 그에 접하는 두 직선, 이퀀트 중심을 중심으로 한 원을 취하라. 주전원 중심은 두 직선 사이에 두되, 예를 들어 이퀀트의 아우게 맞은편에 가까운 점 K에 있게 하라. 점 K에서 세계 중심 N을 지나 작은 원과 점 L에서 만나는 직선을 그어라. 만일 점 k에 있는 주전원 중심이 이심원의 아우게 맞은편에 있다면, 운반 이심원의 중심은 반드시 k–L선 위에 있어야 한다. 이심원의 아우게·이심원 중심·세계 중심·아우게 맞은편이라는 네 가지는 언제나 같은 직선 위에 있어야 하기 때문이다. 이심원 중심은 작은 원의 둘레에서 결코 벗어나지 않으므로 점 L에 있을 것이다. 그다음 이퀀트 중심과 주전원 중심을 잇는 k–G선을 그어라. 앞서 말한 대로 N–L선은 작은 원의 반지름 L–F보다 길다. 따라서 각 L–F–N은 각 F–N–L보다 크며, 후자는 맞꼭지각인 k–N–C와 같다. 그런데 그 각은 삼각형 G–k–H의 외각이면서 내각 K–G–N보다 작다고 되어 있다. 따라서 공통 개념을 적용하면 각 L–F–N은 각 K–G–N보다 크고, 그 결과 K–G–N의 짝각인 A–G–H는 각 A–F–L보다 크다. 같은 양들에서 서로 다른 양들을 빼면, 더 큰 양을 뺀 나머지는 더 작은 양을 뺀 나머지보다 작기 때문이다. 따라서 이퀀트 중심에 대한 주전원 중심의 운동과 작은 원에 대한 운반원 중심의 운동은 같은 속도가 아니게 된다. 그러나 이는 거짓이며 천문학자들의 일치된 견해에 반한다. 그러므로 논박하려고 가정한 주장이 거짓이었다. 이 모든 것은 여기에서 함축되어 있다.

최접근 뒤 주전원 중심이 다시 멀어지는 까닭

이로써 뒤의 본문이 명백해진다. 본문은 이심원의 아우게가 이퀀트의 아우게에서 가장 멀리 벗어나 있을 때 주전원 중심은 세계 중심에 가장 가까이 있지만, 접선 위에 있지도 않고 아우게의 맞은편에 있지도 않다고 말한다. 그 증명은 다음과 같다. 주전원 중심이 앞의 배치에 이른 뒤에는 운반원 중심이 이퀀트 중심을 향하여 내려간다. 곧 이미 동쪽으로 되돌아 움직이기 시작하기 때문이다. 따라서 이심원의 아우게는 물러나 왔던 이퀀트의 아우게 쪽으로 올라가며, 주전원 중심은 그에 비례하여 다른 절반에서 이퀀트 아우게의 맞은편을 향해 내려간다. 그 이유는 주전원 중심이 자신의 운반원 중심에서 언제나 같은 거리를 유지하기 때문이다. 둘은 같은 물체, 또는 적어도 같은 운반원에 표시된 두 점이다. 이렇게 말하는 까닭은 주전원이 운반원과 연속된 하나의 물체가 아니기 때문이다. 따라서 이퀀트 중심이 그 두 중심 사이에 있지 않을 때에는 이심원 중심이 이퀀트 중심에 가까워지거나 멀어지는 만큼 주전원 중심도 가까워지거나 멀어져야 한다. 그러나 지금의 경우처럼 이퀀트 중심이 두 중심 사이에 일직선상으로, 또는 거의 그러하게 끼어 있다면 사정이 다르다. 이심원 중심이 서쪽 접점에서 움직이기 시작할 때처럼 이퀀트 중심을 향해 물러나면, 주전원 중심은 이퀀트 중심으로부터 멀어지기 시작해야 한다. 이에 따라 본문은 ‘그러므로 세계 중심에서 더 멀어지며, 이퀀트의 아우게 맞은편에 있을 때가 아니면 운반원의 아우게 맞은편에 이르지 않는다’고 결론짓는다. 두 번째 부분, 곧 이퀀트의 아우게 맞은편에 있지 않으면 운반원의 아우게 맞은편에도 있지 않는다는 것은 앞선 설명에서 명백하다. 그때 세계 중심에서 멀어진다는 점은 다음과 같이 드러난다. 앞서 보였듯 그때 세계 중심에 가장 가까이 있으므로, 바로 그때 멀어지기 시작해야 한다. 똑같이 가까운 상태로 머무는 어떤 시간 구간도 줄 수 없기 때문이다. 운반원 중심은 언제나 원을 그리며 움직이므로, 어떤 시간 구간 전체에 걸쳐 같은 가까움을 유지하는 일이 없기 때문이다. 그때 멀어지기 시작한다면 이퀀트의 아우게 맞은편에 이를 때까지 계속 멀어진다. 멀어지는 원인은 운반원 중심이 이퀀트 중심에 가까워지는 데 있다. 이 접근은 운반원 중심과 이퀀트 중심이 같아질 때까지 지속되며, 그 결과 양자의 아우게 맞은편을 잇는 선도 같아진다. 이 부분에서 본문이 말하는 나머지 사항은 앞선 설명으로 명백하다. 이어서 저자가 ‘이로부터 첫째로 드러나는 것은’이라고 말할 때, 앞의 설명으로부터 몇 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 이 부분은 도출하는 여섯 따름명제에 따라 여섯 부분으로 나뉜다. 첫째에 관하여 다음과 같이 말한다. 편집주 4

여섯 따름명제에 관한 인쇄 안내

이제 결어처럼 여섯 따름명제를 덧붙여, 앞의 명제를, 나아가 수성과 달의 비교, 더 나아가 다른 행성들과의 비교까지도 더욱 분명히 설명한다.

첫째 따름명제 — 중심의 일치와 속도의 역전

첫째. 이로부터 먼저, 한 해에 단 한 번만 운반원 중심이 이퀀트 중심과 같아지며, 그 밖의 때에는 언제나 운반원 중심이 이퀀트 중심보다 세계 중심에서 더 멀리 떨어져 있다는 것이 드러난다. 따라서 상위 행성들과 금성에서 일어나는 것과 반대의 일이 따른다. 곧 주전원 중심이 이퀀트의 아우게에 가까울수록 더 빨리 움직이고, 그 맞은편에 가까울수록 더 느리게 움직인다.

첫째 따름명제의 설명 — 같은 시간에 같은 각을 지나는 기준

이 두 중심이 한 해에 한 번 일치하는 이유를 유의하라. 이퀀트 중심은 움직이지 않지만, 나머지는 이심 천구층을 운반하는 구들의 운동에 따라 서쪽으로 움직인다. 태양의 이심원이 동쪽으로 움직이는 것과 같은 방식으로, 곧 한 해에 한 번 움직인다. 그러나 그 밖의 모든 때에는 운반원 중심이 이퀀트 중심보다 세계 중심에서 더 멀다. 따라서 다시 금성과 상위 세 행성에서 일어나던 것과 반대의 일이 따른다. 그 행성들에서는 이퀀트 중심이 운반원 중심보다 위에 있지만, 여기서는 아래에 있다. 또 그 행성들에서 주전원 중심은 이퀀트 아우게에 가까울수록 느리게 움직였다. 같은 시간에 운반원의 더 작은 호를 지났기 때문이다. 이에 관하여, 고르게 움직이는 것은 같은 시간에 자신의 중심을 기준으로 같은 각을 그리고 같은 호를 지나간다는 것을 알아 두어야 한다. 더 느리게 움직이는 것은 더 작은 각을 그리고 더 작은 호를 지나며, 더 빠르게 움직이는 것은 더 큰 각과 호를 지난다. 상위 세 행성과 금성은 이퀀트를 기준으로 고르게, 곧 규칙적으로 움직이고, 그 이퀀트 중심은 자신의 이심원 중심보다 위에 있다. 그러므로 이퀀트 아우게에 가까운 곳에서는 운반원 중심을 기준으로 더 작은 각을 그려야 한다. 크기가 같은 호라도 중심에서 멀리 있을수록 그것을 포함하는 각은 더 작기 때문이다. 도형에서처럼 운반원 중심 B를 아래에, 이퀀트 중심 E를 위에 두고, 두 중심에서 이퀀트 중심 위의 같은 호를 둘러싸는 선들을 그으면 명백하다.

여기서는 반대이다. 이퀀트 중심이 아래에 있고, 주전원 중심은 이퀀트 아우게에 가까울수록 더 빠르게 움직인다. 같은 시간에 자신의 중심을 기준으로 더 큰 각을 그리기 때문이다. 다른 조건이 같다면 호가 중심에 가까울수록 그것을 포함하는 각은 더 크다. 같은 도형에서 문자를 바꾸어 운반원 중심 B를 위에, 이퀀트 중심 E를 아래에 놓으면 명백하다. 둘째에 관해서는 다음과 같이 말한다.

둘째 따름명제 — 가장 멀 때 한 번, 가장 가까울 때 두 번

둘째. 주전원 중심이 세계 중심에서 가장 멀리 떨어지는 것은 한 해에 단 한 번이지만, 통상 도달하는 가장 가까운 거리에는 두 번 놓인다. 마찬가지로 한 해에 두 번 최대로 가까워지지만, 운반원의 아우게 맞은편에서 발견되는 것은 한 해에 단 한 번뿐이다.

둘째 따름명제의 설명 — 동쪽과 서쪽의 두 접점

이 따름명제의 근거를 유의하라. 주전원 중심은 자신의 운반원 또는 이퀀트의 아우게에 있을 때 중심에서 가장 멀리 떨어진다. 그러나 앞서 말했듯 이는 한 해에 한 번뿐이다. 마찬가지로 이퀀트의 아우게 맞은편에 있지 않으면 운반원의 아우게 맞은편에도 있지 않으며, 그곳에는 한 해에 한 번만 있다. 그러나 가장 가까운 거리에는 두 번 놓인다. 이심원 중심이 서쪽 접점에 있을 때 그 가장 가까운 거리에 놓이는 것처럼, 같은 이유로 동쪽 접점에 있을 때도 그러하기 때문이다. 셋째에 관해서는 다음과 같이 말한다.

셋째 따름명제 — 아우게 맞은편의 왕복 범위

셋째. 주전원 중심이 이퀀트의 아우게나 그 맞은편 이외의 곳에 있을 때, 운반원의 아우게 맞은편은 언제나 주전원 중심과 이퀀트의 아우게 맞은편 사이에서 움직여야 한다. 때로는 주전원 중심 쪽으로, 때로는 거기서 멀어지는 쪽으로, 앞서기도 하고 뒤따르기도 하며 회전한다.

셋째 따름명제의 설명 — 짧아지거나 길어지는 아우게선

셋째 내용 전체는 앞의 설명에서 명백하지만, 이해가 더딘 사람들을 위해 다음을 알아 둘 필요가 있다. 주전원이 이퀀트의 아우게에서 동쪽으로 내려가면, 이심원의 아우게도 작은 원의 접선에 이를 때까지 서쪽으로 내려간다. 이심원의 아우게와 그 중심이 같은 직선 위에 있기 때문이다. 따라서 그 중심이 이퀀트의 아우게에서 서쪽으로 물러나 어떤 정해진 점 쪽으로 내려가며 세계 중심에 다가가는 것처럼, 아우게점도 같은 일을 한다. 그 결과 아우게 맞은편은 동쪽에서, 내려가는 주전원과 마주하는 쪽으로, 앞의 직선에 이를 때까지 올라간다. 아우게가 그 직선에서 이퀀트의 아우게 쪽으로 되돌아가면, 맞은편도 주전원을 피하듯 이퀀트의 아우게 맞은편에 다가간다. 운반원 중심이 작은 원의 아래쪽에 있으면 아우게선은 더 짧으며, 따라서 아우게는 더 낮고 세계 중심에 더 가까워진다. 이 아우게는 호의 현과 같은 직선에서 발견된다. 중심이 같은 작은 원의 위쪽에 있으면 아우게선은 더 길고, 아우게는 더 높으며 원의 선 위에서 발견된다. 아우게 맞은편에서는 그 반대가 일어난다. 넷째에 관하여 다음과 같이 말한다.

넷째 따름명제 — 아우게와 그 맞은편이 지나는 호의 차이

넷째. 운반원의 아우게가 이퀀트의 아우게로부터 양쪽의 일정한 한계까지 물러나듯이, 운반원의 아우게 맞은편도 이퀀트의 아우게 맞은편에 대하여 같은 관계를 갖는다. 그러나 운반원의 아우게가 이 운동에서 지나는 호는 그 맞은편이 지나는 호보다 크다. 따라서 한쪽의 운동은 다른 쪽보다 빠를 것이다.

넷째 따름명제의 설명 — 교점과 호의 거리

아우게가 지나는 호는 아우게 맞은편이 지나는 호보다 크다는 점을 유의하라. 아우게선이 자기 운동의 두 극한에서 일치하는 작은 원의 두 접선은 한 중심에서 서로 교차하는데, 그 중심은 아우게 맞은편의 운동 호보다 아우게의 운동 호에서 더 멀리 떨어져 있기 때문이다. 한 점에서 교차하는 직선들이 길수록 더 큰 호를 가로막는다. 그러므로 아우게는 맞은편보다 빠르게 움직인다. 같은 시간에 더 큰 호를 지나기 때문이다. 다섯째에 관하여 다음과 같이 말한다.

다섯째 따름명제 — 가능한 최최근점과 실제 주전원 위치

다섯째. 주전원 중심이 세계 중심에서 가장 먼 운반원 점에 놓이는 경우는 있지만, 세계 중심에 가장 가까워질 수 있는 운반원 점에는 결코 놓이지 않는다. 주전원 중심이 운반원의 아우게에 있을 때에는 운반원의 배치상 그 아우게 맞은편이 세계 중심에 매우 가까워서, 운반원이 취하는 어떤 다른 배치에서도 그보다 가깝거나 그만큼 가까운 점을 찾을 수 없기 때문이다. 그러나 가장 가까워질 수 있는 그 점이 실제로 가장 가까운 때에 주전원 중심은 그 점에 있지 않고, 그 맞은편에 있다.

다섯째 따름명제의 설명

운반원의 아우게 맞은편은 때로 세계 중심에 매우 가까워져, 운반원 둘레 위에 표시된 어떤 점도 그보다 가깝거나 그만큼 가까울 수 없다는 점을 유의하라. 주전원 중심이 운반원의 아우게에, 따라서 이퀀트의 아우게 또는 그 아우게선 위에 있을 때가 그러하다. 그러나 그 맞은편이 언제나 그렇게 가까이 있는 것은 아니다. 아우게선이 통과하는 이심원 중심이 세계 중심에 가까워지면 아우게도 세계 중심에 가까워져야 하고, 그 결과 아우게의 맞은편은 세계 중심에서 멀어지기 때문이다. 앞선 설명에서 명백하듯이, 그 맞은편이 그처럼 가까울 때 주전원 중심은 그곳에 있을 수 없다. 따라서 주전원 중심은 한때 세계 중심에 가장 가까워지는 점에 있을 수는 있어도, 바로 그 점이 가장 가까운 상태인 한에서는 그곳에 있지 못한다. 여섯째에 관하여 다음과 같이 말한다.

여섯째 따름명제 — 달걀꼴의 자취

여섯째. 앞서 말한 운동들 때문에 수성의 주전원 중심은 다른 행성들에서처럼 운반원의 원형 둘레를 그리는 것이 아니라, 오히려 평면의 달걀꼴과 닮은 도형의 둘레를 그린다는 것이 앞의 설명에서 명백히 드러난다.

여섯째 따름명제의 설명 — 원형 자취에서 벗어나는 두 운동

이와 관련하여, 이심원 중심이 이퀀트의 아우게에 정지해 있다면 주전원 중심은 이퀀트 중심에 대해 이심적인 원둘레를 그릴 것이라는 점을 유의하라. 주전원 중심과 이심원 중심은 언제나 같은 거리를 유지하므로, 지금 주전원 중심이 그리는 둘레는 이심원 중심이 이퀀트의 아우게에서 물러나는 방식에 따라 앞의 원둘레보다 안쪽으로 들어와야 한다. 이심원 중심은 이퀀트의 아우게에서 서쪽 접점까지 두 방식으로 물러난다. 곧 서쪽으로 움직이고, 세계 중심 쪽으로 움직인다. 그러나 그 접점에서 이퀀트 중심까지는 두 번째 방식으로만 물러나고, 첫 번째 방식에서는 되돌아 가까워진다. 반대편 부분에서는 반대의 방식으로 관계한다. 그러므로 주전원 중심이 동쪽 부분에서 이퀀트의 아우게로부터 물러나기 시작할 때 그리는 선은 앞의 원둘레에서 두 방식으로 벗어나야 한다. 서쪽으로는 작은 원의 아우게와 서쪽 접점 사이만큼, 세계 중심 쪽으로는 앞의 아우게와 이퀀트 중심 사이만큼, 곧 두 배 또는 그쯤 되는 양만큼 벗어난다. 서쪽으로 그리는 선도 그 방식에 맞추어 같은 설명을 해야 한다. 그 결과 두 선에서 평면의 달걀꼴 도형이 생긴다. 이 도형은 이퀀트의 아우게와 그 맞은편 쪽에서는 원형 도형 밖으로 나가고, 옆면의 중간쯤에서는 그 안으로 들어온다. 이 결론은 눈으로도 보여 줄 수 있다. 앞서 말했듯 이심원 중심과 수성의 주전원 중심은 같은 빠르기로 회전한다. 이퀀트의 아우게선에서 물러난 뒤에는 서로 다른 길을 거쳐 똑같이 빠르게 같은 선으로 돌아온다. 그러므로 작은 원둘레의 세 점에 이심원 중심을 두어라. 그중 두 점은 이퀀트 아우게선과 만나는 곳이며, 나머지 한 점은 그 사이에서 작은 원에 서쪽으로 접하는 직선의 접점 가까이에 있다. 그 점들에 컴퍼스 한 발을 놓고, 이심원 중심과 그 주전원 중심 사이의 거리만큼 벌려라. 그다음 세 점을 찍어라. 두 점은 앞의 이퀀트 아우게선 양쪽에 있고, 하나는 그 사이의 동쪽에 있다. 주전원 중심은 운동 전체에서 자신의 이심원 중심과 같은 거리를 유지하므로, 움직이면서 반드시 이 세 점을 지나야 한다. 그러나 이 점들 사이에는 직선도 원형 선도 놓일 수 없고, 활 모양의 선이 놓여야 한다. 도형에서 드러나듯 반대쪽에서도 같은 방식으로 생각해야 한다. 그다음 저자는 주전원의 운동을 다루며 다음과 같이 말한다.

주전원의 운동과 주기

주전원의 운동과 주기에 관하여. IIII. 수성의 주전원은 경도 방향에서는 금성의 주전원과 같이 움직이지만, 자신의 중심을 중심으로 한 바퀴 도는 데에는 거의 네 태양월이 걸린다.

세 운동선은 정말 평행한가

금성의 주전원은 앞서 보았듯 사인들의 순서를 따라 움직이며 수성의 주전원도 그렇게 움직인다는 점을 유의하라. 그러나 앞의 설명에서 드러나듯 같은 시간에 도는 것은 아니다. 둘째로, 이 주전원도 다른 주전원들과 마찬가지로 두 운동을 갖는다는 것을 알아 두어야 한다. 하나는 평균운동으로, 지구 중심에서 나와 이퀀트 중심에서 주전원 중심을 지나는 선과 평행한 선으로 정한다. 다른 하나는 원문에서 ‘실제 센트룸’이라 부르는 것으로, 지구 중심에서 주전원 중심을 지나 나가는 선으로 정한다. 요하네스 데 사크로보스코와 게라르두스는 여기서 세 직선이 있다고 말한다. 하나는 태양의 중심에서 태양의 중심을 지나 나오는 선이고, 하나는 수성의 이퀀트 중심에서 수성의 주전원 중심을 지나는 선이며, 하나는 세계 중심에서 나와 그 둘과 평행한 선이다. 세 선이 같은 운동을 하므로 언제나 평행하거나, 모두 하나의 직선이 되거나, 둘이 같은 직선이 된다는 것이다. 그러나 요하네스 데 몬테레지오는 이를 논박하여, 수성의 주전원 중심이 두 교점 중 하나에 놓인 경우가 아니면 그 선들은 결코 평행하지 않다고 말한다. 그때에만 태양과 수성의 두 이심원, 따라서 앞의 직선들도 하나의 평면에 놓이며, 이것이 직선들이 평행하기 위해 필요한 조건이기 때문이다. 주전원 중심이 다른 곳에 있으면 그 직선들은 같은 평면에 있지 않으므로 평행할 수 없다. 태양의 평균운동선과 수성의 평균운동선도 언제나 서로 다르다. 예외는 태양의 평균운동선이 황도면과 수성 이심원면의 공통 교선이거나 수성 이심원의 면 자체에 놓일 때뿐이다. 이상이 그의 말이다. 그러나 앞의 저자들이 뜻한 것은 단순히 하나의 둘레를 따라서 같은 경도에 놓인다는 의미의 평행이 아니다. 오히려 같은 경도에 있을 때마다 한 직선이 되는 것은, 교점들, 곧 원들이 교차하는 곳에 있어서 황도의 같은 점에서 끝나기 때문이다. 그들이 때로 뜻하는 것은, 같은 면에 있다고 한다면 언제나 같은 직선이거나 평행하리라는 것이다. 그 선들은 앞의 세 중심을 기준으로 규칙적이고 같은 빠르기로 움직이며 회전한다. 마치 모두 황도의 중심과 축을 기준으로 움직인다고 상상하는 경우와 같다. 지금 그 선들은, 예를 들어 수성 쪽의 선과 지구 중심에서 나오는 선이라는 두 선처럼, 경도에 따라 평행하다. 또는 경도에 따른 것과 같은 대응 관계에서 평행하다고 해야 한다. 곧 그중 한 선이 놓인 면에서 다른 선들에 대응하는 한 선 또는 두 선을 생각하면 평행할 것이라는 뜻이다. 이 점들은 아래 도형에서 어느 정도 드러난다. 그다음 저자가 ‘표에서 구하는 항목들은’이라고 말할 때 표에서 찾는 항목들을 다룬다. 두 가지를 하는데, 먼저 일반 규칙을 다음과 같이 제시한다.

편집주 5

제3부 — 선과 호의 명칭

제3부. 선과 호의 명칭에 관하여. 여기서 표에 쓰이는 항목들은 앞의 행성들에서와 같이 설명된다. 다만 비례분에는 얼마간의 차이가 있다.

평균·실제 운동과 균차의 항목

이 말은 평균운동과 실제운동, 평균 센트룸과 실제 센트룸, 평균 아르구멘툼과 실제 아르구멘툼, 황도에서의 중심차와 주전원에서의 중심차, 평균 아우게와 실제 아우게, 아르구멘툼 균차가 수성에서도 상위 세 행성에서와 같이 설명된다는 뜻이다. 앞서 말했듯 금성에서도 마찬가지로 이해하라. 둘째로 예외를 다음과 같이 제시한다.

표에 실린 아르구멘툼 균차의 기준 거리

표에 쓰인 수성의 아르구멘툼 균차는 주전원 중심이 지구에서 중간 정도로 떨어져 있을 때 생기는 균차이다. 이것은 주전원 중심이 이퀀트의 아우게에서 두 사인 4도 30분 떨어져 있을 때 일어난다. 그러나 다른 행성들에서는 주전원 중심이 운반원의 중간거리에 놓였을 때 일어났다. 또 수성의 주전원 중심이 세계 중심에서 가장 가까워지는 것은 주전원 중심이 자신의 이퀀트 아우게에서 네 사인만큼 떨어질 때이다. 그러나 다른 행성들에서는 주전원 중심이 이퀀트의 아우게 맞은편에 있을 때 이 일이 일어났다.

비례분과 지름 차의 두 종류, 세 가지 변화

비례분과 지름 차에 관하여. 그러므로 먼 쪽 비례분은 주전원 중심의 최대 거리가 중간 정도의 거리를 넘어서는 양을 60개의 같은 부분으로 나눈 것이다. 가까운 쪽 비례분은 주전원 중심의 중간 정도의 거리가 최소 거리를 넘어서는 양을 마찬가지로 60개의 같은 작은 부분으로 나눈 것이라 한다. 이에 따라 두 종류의 지름 차를 정의한다. 그러나 주전원 중심이 가장 가까워지는 위치에서 이퀀트 아우게의 맞은편을 향해 가면 가까운 쪽 비례분은 줄어든다. 앞서 중간 정도로 떨어진 위치에서 가장 가까운 위치까지는 이 비례분이 계속 늘어났었다. 따라서 수성에서는 비례분이 세 가지 방식으로 관계한다고 말한다. 반면 금성과 상위 세 행성에서는 두 가지 방식으로, 달에서는 이미 명백히 드러났듯 한 가지 방식으로 관계하는 것이 통상이다. 편집주 6

수성 비례분 도형의 주해

수성의 비례분 도형.

주해. 비례분은 여기서 세 가지라고 하지만, 결국 먼 쪽과 가까운 쪽으로 나뉜다. 그 비례분과 지름 차의 사용법은 상위 세 행성에 관해 설명한 것과 마찬가지이다.

수성에서는 최저 거리가 아우게 맞은편에 있지 않다

이 부분의 본문을 읽고, 달과 상위 세 행성의 같은 주제에 관해 앞서 말한 것을 되짚은 뒤, 먼저 다음을 유의하라. 수성의 주전원 중심은 달걀꼴 둘레를 따라 움직이므로 아우게의 맞은편에서 최대 균차가 생기는 것은 아니다. 그때에는 지구에 가장 가까운 것이 아니기 때문이다. 오히려 이퀀트의 아우게에서 네 사인 떨어진 위치에서 지구에 가장 가까워진다. 그 중심이 이 위치에 가까워질 때에는 비례하여 내려가며 중간 정도의 거리에 가까워진다. 같은 위치의 반대편에서는 중간 정도로 멀어지며, 비례하여 서쪽의 최대 거리까지 올라간다.

표의 기준 위치를 두 원의 교차점으로 보는 견해

둘째로, 게라르두스와 요하네스 데 사크로보스코는 이 저자와 다르게 말한다는 점을 유의하라. 그들은 다음과 같이 말한다. 표에 기록된 아르구멘툼 균차는 주전원 중심이 이퀀트 원과 운반원의 교차점에 있다고 할 때의 균차이다. 주전원 중심이 이퀀트의 아우게에서 곧바로 동쪽으로 움직이면, 앞에 있는 이퀀트와 운반원의 교차 지점도 그 중심 쪽으로 움직여 결국 서로 만난다. 그곳에서 생기는 아르구멘툼 균차가 표에 일관되게 기록되어 있다는 것이다. 다른 교차점에서도 마찬가지이다. 주전원 중심이 다른 곳에 있을 때에는 비례분을 통해 아르구멘툼 균차를 구한다. 그러므로 비례분에는 세 쌍이 있어야 한다. 먼 거리에 대한 비례분은 주전원 중심이 운반원 또는 이퀀트의 아우게에 있을 때 지구 중심에서 주전원 중심으로 나오는 선이, 같은 지구 중심에서 두 원의 교차점으로 나오는 선보다 긴 양이다. 이 초과량을 60부분으로 나눈다는 뜻이다. 가까운 거리에 대한 비례분은 지구 중심에서 두 원의 교차점으로 나오는 선이 접선들까지의 선을 넘어서는 양이다. 그 접선의 위치에서 주전원은 지구 중심에 가장 가까워진다. 같은 위치에서 이퀀트의 아우게 맞은편까지는 선이 밖으로 나가며, 곧 초과하는 양이 생기므로 비례분도 달라진다. 요하네스 데 몬테레지오는 이에 반론을 제기한다. 먼저 균차에 관해서는 다음과 같이 말한다.

21도 25분과 22도 2분의 차이를 근거로 한 반론

표에 기록된 아르구멘툼 균차는 그 두 원의 교차점에 맞춘 것이 아니다. 프톨레마이오스의 뜻에 따르면, 주전원 중심에서 세계 중심까지의 거리가 운반원의 반지름과 같아지는 배치에 맞춘 것이다. 그는 늘 하듯 그 반지름을 60개의 같은 부분으로 나눈다. 정확히 계산하면, 주전원 중심이 앞의 교차점에 있을 때 생기는 최대 아르구멘툼 균차는 21도 25분을 넘지 않는다. 그러나 표에 있는 균차는 22도 2분이다. 주전원 중심이 자신의 평균 진행에서 이퀀트 아우게로부터 약 58도 20분 떨어져 있을 때에는 앞의 교차점에 놓인다. 그때 세계 중심까지의 거리는 같은 단위로 61부분이며, 운반원의 반지름에는 여섯 부분이 있다고 인쇄되어 있다. 여기에 한 부분의 37분이 더해진다. 이상이 그의 말이다. 내 생각에도 그는 잘 말한 듯하다. 그러나 앞의 저자들도 그와 다르게 생각하는 것은 아니다. 아리스토텔레스의 『자연학』 제2권과 더불어 작은 차이는 없는 것으로 보고, 운반원 둘레에서 생기는 어떤 현상, 곧 바로 그 교차점으로 앞의 위치를 지시하려 했기 때문이다.

길이보다 균차를 기준으로 보아야 한다는 비판

비례분에 관해서는 게라르두스가 말한 방식에 두 가지 잘못이 있다고 한다. 한 가지는 비례분을 다른 행성들에서처럼 선들의 초과량을 통해 고찰하고, 최대 또는 대응하는 아르구멘툼 균차들의 초과량으로 고찰하지 않는다는 것이다. 다른 하나는 비례분을 구할 때 주전원이 앞의 교차점에 있는 배치를 기준으로 삼는다는 것이다. 오히려 앞서 말한 단위로 세계 중심에서 60부분 떨어진 배치에 두어야 한다. 그리고 주전원이 세계 중심에서 최대·최소 거리쯤에 있을 때 통상 생기는 두 균차를, 그 배치에서 생기는 아르구멘툼 균차에 견주어야 한다. 이상이 그의 말이다. 그와 다른 모든 반론자에 대한 답은 앞의 설명에서 아주 쉽게 드러난다.

세 종류가 아니라 두 종류의 값이 세 방식으로 변한다

이 부분에서 알아 둘 것은 다음과 같다. 저자가 수성에는 세 종류의 비례분이 있다고 말하더라도, 그것은 사실이 아니며 그렇게 이해해서는 안 된다. 표에서 보이듯 먼 쪽과 가까운 쪽의 비례분만 있기 때문이다. 초과량도 두 종류뿐이다. 하나는 가장 긴 선이 중간 길이의 선을 넘어서는 양이며, 앞의 설명에서 명백하듯 이를 먼 쪽 비례분 60개로 나눈다. 둘째는 중간 길이의 선이 가장 짧은 선을 넘어서는 양을 가까운 쪽 비례분으로 나눈 것이다. 같은 가장 짧은 선보다 아우게 맞은편의 선도 길지만, 그 최단선보다 긴 양은 가까운 쪽 비례분 20개로 나뉜다. 표에서 명백하듯 중간 길이의 선과 아우게 맞은편의 선이 최단선을 넘어서는 양은 둘 다 가까운 쪽 비례분을 만든다. 따라서 수성의 비례분은 세 종류가 아니라 다른 네 행성처럼 두 종류뿐이다. 저자가 세 종류라고 말한 뜻은 세 가지 방식으로 변한다는 것이다. 먼저 먼 쪽 비례분은 아우게선이 중간 길이의 선을 넘어서는 양에서 생긴다. 또 중간 길이의 선은 가장 짧은 선보다 길므로, 그 초과량을 가까운 쪽 비례분 60개로 나눈다. 그러므로 아우게에서 가장 가까운 이 위치까지 비례분은 두 가지 방식으로 변한다. 이 위치에서 아우게 맞은편까지도 같은 가까운 쪽 비례분이 발견되지만, 앞에서는 60까지 늘어났던 값이 이제 줄어든다. 본문은 이를 다시 ‘두 번째 방식으로 변한다’고 부른다. 수성 균차표가 이를 명백히 보여 준다. 표의 처음에서 먼 쪽 비례분은 60이며, 중간 정도로 가까워진 위치까지 계속 줄어든다. 그곳에서 앞의 비례분은 0이 되고 가까운 쪽 비례분이 시작된다. 주전원이 마지막 최접근 위치에 이를 때까지 60으로 증가하며, 거기서 아우게 맞은편까지는 40으로 줄어든다.

수성이 다른 행성들과 다른 두 성질

앞서 말한 내용을 충분히 설명하기 위해 먼저 두 가지 성질에 유의해야 한다. 이 성질들에서 수성은 상위 세 행성과 다르다. 첫째, 수성은 규칙적 운동의 기준인 이퀀트 중심을 갖지만, 이 중심의 세계 중심으로부터의 거리가 이심원 중심의 거리의 두 배인 것은 아니다. 상위 세 행성과 금성에서는 그런 관계가 드러났었다. 오히려 수성의 이심원 중심은 거의 언제나 더 멀리 있거나 같은 거리에 있다. 같은 거리에 있는 일은 한 해에 한 번, 한순간에 일어난다. 이심원 중심이 작은 원의 맨 위에 있을 때—이 위치가 아우게임을 뒤에서 증명하겠다—세계 중심까지의 거리는 세 배이며, 앞서 보았듯 이퀀트 중심의 세계 중심까지의 거리는 한 단위뿐이다. 그러나 작은 원의 맨 아래, 지구 중심에 가장 가까운 점에 있을 때—이것이 아우게의 맞은편임을 보이겠다—이심원 중심은 이퀀트 중심과 같아진다. 그때가 가장 가까운 배치이므로 이심원 중심은 이퀀트 중심보다 지구에 더 가까워지는 일이 결코 없다. 수성의 둘째 성질은 그 이심원이 태양의 평균운동선과 같은 빠르기로 움직인다는 것이다. 따라서 둘은 언제나 평균상 합에 있다. 이것은 상위 세 행성에는 전혀 해당하지 않으며, 그들의 이론에서 명백하다.

왜 아우게 운반구의 운동을 가정하는가

둘째로, 천문학자들이 알아낸 다음의 사실에 유의해야 한다. 프톨레마이오스가 『알마게스트』에서 설명하듯, 수성의 주전원 중심이 이퀀트의 아우게에 있을 때 그것은 운반원의 아우게에도 있으며 지구에서 가장 멀리 있다. 그러나 이퀀트의 아우게 맞은편에서는 앞서 말했듯 지구에 가장 가까워지는 것이 아니다. 그래서 천문학자들은 이심원의 아우게를 운반하는 천구층들이 주전원 중심과 같은 빠르기로 움직인다고 가정했다. 주전원이 앞의 아우게 맞은편에 도달하는 동안 그 천구층들의 두꺼운 부분도 같은 곳에 이르러 주전원 중심을 더 멀리 떨어지게 한다. 그 결과 주전원이 두 아우게 모두의 맞은편에 있을 때도, 이미 보였듯 세계 중심에서 오히려 더 멀리 있다. 그러나 그 두꺼운 부분이 사인들의 순서대로 움직여 아우게 맞은편의 점에 이른다고 하지는 않았다. 그러면 주전원과 함께 움직여 주전원이 언제나 그 부분 안에 있어야 하는데, 그들이 알아낸 것은 전혀 그렇지 않았기 때문이다. 아우게와 그 맞은편 이외의 곳에서 주전원이 앞의 두꺼운 부분과 떨어져 있음을 발견했다. 셋째로, 주전원을 운반하는 이심원이 이퀀트 중심을 기준으로 규칙적으로 움직인다고 말했더라도, 이것을 그 이심원의 아무 점에나 적용해서는 안 된다. 오직 한 점, 곧 주전원 중심에만 적용해야 한다. 이미 보였듯 이심원의 모든 점 가운데 주전원 중심만이 이퀀트 중심을 기준으로 같은 시간에 같은 각을 채우기 때문이다.

145회의 부등운동으로부터 일운동과 주기를 구하는 계산

이제 수성 주전원에서의 평균 일운동을 어떻게 구해야 하는지 말할 필요가 있다. 프톨레마이오스는 거듭된 관측으로 수성이 46년과 하루 및 대략 60분의 2일 동안 부등운동 145회를 마쳤음을 알아냈다. 따라서 복귀 주기를 일수로 환산하되 한 해의 복귀를 365일 14분 48초로 잡으면 16,802일 24분이 나온다. 부등운동의 회전 수에 360을 곱하여 도수로 바꾸면 52,200도가 된다. 이를 일수로 나누면 부등운동, 곧 수성 아르구멘툼의 일운동은 3도 6분 24초 7삼분이 된다. 이처럼 주전원에서의 행성 일운동을 얻으면 주전원 회전 주기도 쉽게 구할 수 있다. 구한 부등운동의 일운동으로 360을 나누면 약 115일 21시간 5분이다. 그러나 네 태양월은 121일 17시간 56분이며, 네 회합월은 이 주전원 주기보다 조금 더 많은 날수, 곧 118일 2시간 56분을 포함한다. 이 일수 차이에서 본문에 ‘거의’라는 말을 덧붙인 까닭을 알 수 있다.

모든 행성에 공통된 상태로 넘어가는 안내

이어서 모든 행성에 공통된 상태들을 다룬다.

개별 행성의 이론 다음에 공통 상태를 다루는 이유

저자는 행성들의 이론과 그 고유한 상태들을 다룬 뒤, 이 소저의 둘째 부분에서 모든 행성 또는 여러 행성에 공통된 상태들을 다루려 한다. 다른 조건이 같다면 더 공통된 속성들은 우리의 인식에서 앞서지만, 그 속성이 대상 자체에 절대적으로 속하는 것이 아니라 다른 것에 대한 관계에서 속한다면 사정이 달라진다. 행성들의 기울어짐·위도·순행·역행과 같은 것들이 그러하다. 이에 관하여 저자는 여러 가지를 한다. 먼저 황도의 경도 운동에 따라 행성들에 속하는 상태를 다루고, 둘째로 ‘별의 기울어짐은’이라는 곳에서 위도 운동에 따라 속하는 상태를 다룬다. 첫 번째 범위에서는 먼저 주전원의 운동에서만 생기는 상태들을 다루고, 그다음 ‘느리다고 불리는 것은’이라는 곳에서 주전원 운동이 없더라도 생기는 상태들을 다룬다. 첫 범위의 상태는 네 가지, 곧 순행·역행·제1정류·제2정류임을 알아 두어야 한다. 이 네 가지는 선택적인 구별의 방식으로 몇몇 행성에 꼭 맞는 하나의 상태 구분을 이룬다. 마치 수에는 짝수 또는 홀수라는 속성이 붙는 것과 같다. 뒤에서 드러나듯 어떤 행성들은 언제나 순행하거나, 역행하거나, 정류하기 때문이다. 그러므로 이 부분에서 저자는 여러 가지를 하는데, 먼저 앞의 상태들이 언제 어떤 행성에 해당하는지를 다음과 같이 설명한다.

순행·역행·정류와 첫 번째 정류의 정의

행성의 실제운동선이 사인들의 순서를 따라 나아갈 때 그 행성을 순행한다고 부르며, 반대쪽으로 나아갈 때는 역행한다고 부른다. 이 선이 멈춘 듯 보일 때는 정류한다고 한다. 첫 번째 의미에서 제1정류는, 행성이 그곳에 있을 때 역행하기 시작하는 주전원 위의 점이다.

정류·역행 도형의 중심 표지

정류와 역행의 이론도. B는 이심원의 중심, A는 세계 중심이다.

도형의 Centrum ecc. B는 이심원 중심 B, Centrum mundi A는 세계 중심 A이다. 주전원 양쪽의 1. sta.와 2. sta.는 제1정류와 제2정류이다.

움직이는 선이 멈춘 듯 보인다는 말의 뜻

움직이는 선이 어느 점에 있거나 그 가까이에 이르러 그곳으로 다가갔다가 다시 멀어질 때 멈춘 듯 보인다는 점을 유의하라. 일정 시간 그 점 가까이에 있기 때문에 거기서 쉬는 듯 보이는 것이다. 지금의 경우도 그러하다. 행성 자체는 주전원에서 방향을 뒤집지 않고 계속 원을 그리며 움직이지만, 그 실제운동선은 그렇지 않다. 행성이 주전원의 한 부분에서 서쪽에서 동쪽으로, 또는 그 반대로 움직이면 그 선은 앞의 쪽과 반대쪽을 따라 움직이며, 양쪽 부분의 호에 닿는다. 주전원이 반대쪽 부분을 따라 움직이기 시작하면, 앞의 선은 이전과 반대쪽으로 움직여야 한다. 앞서 양쪽을 따라 움직이던 것과 다른 길로 갈 수 없으므로 같은 길로 움직여야 하며, 따라서 되돌아선다. 그래서 멈춘 듯 보인다. 그러나 그 선이 실제로 쉬는가 묻는다면 나는 그렇지 않다고 답한다. 그것은 언제나 행성의 중심을 지나며, 그 중심은 어느 한 점에도 순간 동안만 있을 뿐이다. 따라서 그 선도 어느 한 점에 순간 동안만 있을 뿐이다. 그러나 쉼이란 무엇인가가 같은 장소 또는 점에 일정 시간 있는 것을 요구한다. 쉰다는 것은 지금과 이전에 같은 방식으로 놓여 있는 것이기 때문이다. 이에 대한 반론은 『자연학』 제8권에서 증명하듯 방향을 되돌리는 모든 운동에는 반드시 쉼이 생기는데 그 선은 방향을 되돌린다는 것이다. 이에 나는 움직이는 것이 수적으로 하나인 경우에는 직선 운동이든 원운동이든 그 자연학적 명제가 참이라고 답한다. 그러나 여기서는 상상 속에서조차 그런 경우가 아니다. 주전원 중심이 되돌아가기 시작하는 바로 그 점에서부터 이미 수적으로 다른 하나의 선이 생긴다. 오히려 앞의 호들에서 상정하는 매 점마다 상상 속에서 수적으로 다른 선이 생긴다. 모든 선이 세계 중심과 행성 중심이라는 같은 끝점들에 이르기는 하지만, 그 끝점들이 놓이는 배치가 서로 다르기 때문이다. 상정된 선이 움직인다는 말은 이런 방식으로 이해해야 한다. 그다음 저자는 이 상태들이 어디에서 행성에 속하는지를 몇 가지 정의로 설명한다.

두 정류점과 순행·역행의 호

첫 번째 의미에서 제2정류는 행성이 그곳에 있을 때 순행하기 시작하는 주전원 위의 점이다. 주전원 중심이 운반원의 같은 배치에 있을 때 이 두 정류점은 주전원의 실제 아우게 맞은편에서 양쪽으로 같은 거리에 있다. 두 번째 의미에서 제1정류는 주전원의 실제 아우게와 첫 정류점 사이의 주전원 호이다. 두 번째 의미에서 제2정류는 실제 아우게에서 그 맞은편을 지나 둘째 정류점까지의 주전원 호이다. 순행 호는 둘째 정류점에서 아우게를 지나 첫 번째 의미의 첫 정류점까지의 주전원 호이다. 역행 호는 첫 정류점에서 아우게의 맞은편을 지나 둘째 정류점까지의 주전원 호이다. 이 호들은 앞의 점들이 변함에 따라 커지거나 작아진다. 주전원 중심이 이퀀트의 아우게 맞은편에 가까울수록 두 정류점은 주전원의 실제 아우게 맞은편에 더 가까워진다. 행성이 더 큰 주전원과 더 느린 아르구멘툼 운동을 가질수록 같은 일이 더 크게 일어난다. 따라서 순행 또는 역행의 지속 시간도 그 양이 달라진다. 해당 호를 행성의 하루 아르구멘툼 운동으로 나누면 그 시간이 나오기 때문이다.

같은 배치와 같은 정류점이라는 조건

‘같은 배치에’라는 표현을 유의하라. 두 정류점은 언제나 주전원의 실제 아우게 맞은편에서 양쪽으로 같은 거리에 있지만, 주전원 중심이 운반원의 다른 배치에 놓이면 두 점은 같은 양만큼 그 맞은편에서 더 멀어지거나 더 가까워진다. 그 이유는 뒤에서 드러난다. 그러나 주전원 중심이 같은 배치에 있으면 두 점의 거리는 앞서 그 배치에 있을 때와 같이 같다. ‘맞은편을 지나’라는 표현도 유의하라. 두 번째 의미의 제2정류는 제1정류를 포함하며, 아우게 맞은편을 지나 둘째 정류점에 이르기 때문이다.

역행 호의 크기와 통과 시간을 구별하는 비판

‘이퀀트의 아우게 맞은편에’라는 말도 유의하라. 이것은 지구 중심에 더 가까워진다고 말하는 것과 같다. 그 이유는 두 정류점과 그 사이에 포함된 역행 호가 세계 중심에서 각을 이루는 두 직선으로 정해지기 때문이다. 따라서 그 두 선이 포함하는 호가 두 선이 모이는 세계 중심에 가까울수록 호는 더 작아지고, 두 정류점은 주전원의 아우게 맞은편에 더 가까워진다. 그 호가 세계 중심에 가까워지는 원인은 주전원 자체가 세계 중심에 다가가는 것과 주전원의 크기이다. 그러므로 주전원이 클수록 그 전체 둘레에 비한 역행 호는 더 작다. 세 번째 원인으로 더 느린 아르구멘툼 운동도 제시된다. 그러나 이 느림이 아마 어떤 작용을 한다고 하더라도, 나는 그것이 어떻게 작용하는지 알지 못한다. 다만 스승이 그렇게 말한 것은, 다른 조건이 같을 때 주전원의 크기와 그 안의 느린 회전이 서로 따르므로 세 번째 원인을 둘째와 별도로 세지 않은 것일 수 있다. 또는 빠름과 느림이 호의 크고 작음에는 아무 기여도 하지 않지만, 크기에 비례하는 시간에는 기여하므로 그렇게 말한 것일 수 있다. 다른 조건이 같으면 큰 호에 드는 시간이 더 길어지기 때문이다. 아르구멘툼 운동은 아르구멘툼 안에서의 행성 운동이다. 여기서 아르구멘툼은 주전원 둘레의 한 부분을 뜻하므로, 이는 반대쪽에서의 주전원 운동과 같은 것이다. 앞서 말했듯 주전원 운동의 빠름이나 느림은 두 직선 사이에 더 큰 호가 놓이는 데에는 아무 작용도 하지 않는다. 그러나 행성이 그 호를 통과하는 운동을 재는 시간을 더 길거나 짧게 만드는 데에는 작용한다. 다른 조건이 같으면 호가 클수록 시간도 길고, 그 반대도 그러하다. 그래서 스승은 시간을 길게 하는 것, 곧 운동의 느림이 호를 더 크게 하는 데에도 작용한다고 말한다. 이어서 바로 그러한 호를 지나는 운동을 재는 시간들이 달라진다고 덧붙인다. 그러나 첫 번째 설명이 더 낫다. 누군가 그러한 시간들이 달라진다는 것을 어떻게 아는지 묻는다면, 저자는 ‘그 시간은 …에서 나온다’고 답한다. 이는 표에서 행성 아르구멘툼, 곧 아르구멘툼 안의 행성이 하루에 얼마나 움직이는지 보라는 뜻이다. 그 운동, 곧 하루 동안 지나는 아르구멘툼의 호로 구하려는 호를 나누면 그 운동이 며칠 지속되는지 알 수 있다. 그러므로 시간이 ‘나온다’는 것은 결과로 얻어진다는 뜻이다. 마치 2와 3과 4를 합산하면 9라는 수가 된다고 말하는 것과 같다. 이 정류와 역행에 관해서는 『천구론』 주석에서도 많은 것을 썼다. 셋째로 몇 가지 따름명제를 다음과 같이 이끌어 낸다.

정류·역행·순행 호를 구하는 감산 규칙

앞의 설명에서 다음이 따른다. 전체 원에서 제1정류의 호를 빼면 제2정류의 호가 남는다. 제2정류의 호에서 제1정류의 호를 빼면 역행 호를 얻는다. 전체 원에서 이 역행 호를 빼면 순행 호가 남는다.

왜 전체 원에서 첫 호를 빼면 둘째 호가 남는가

‘제2정류가 남는다’는 표현은 그것과 같은 크기의 호가 남는다는 뜻임을 유의하라. 제2정류의 호란 주전원의 아우게에서 그 맞은편을 지나 둘째 정류점까지의 호이다. 두 정류점은 아우게선에서 양쪽으로 같은 거리에 있으므로, 같은 아우게에서 둘째 정류점을 지나 첫째 정류점까지의 호도 같은 크기라고 설명한다. 이것이 제1정류의 호를 빼고 남는 것이다. 넷째로 달에 관한 예외를 다음과 같이 제시한다.

달에는 왜 정류와 역행이 없는가

그러나 달은 주전원을 갖고 있더라도 다른 다섯 행성에서처럼 정류하거나 역행하지 않는다. 그 주전원 중심의 운동이 빠르기 때문이다. 주전원 중심이 날마다 사인들의 순서를 따라 그리는 황도 호는, 달의 몸체 중심이 주전원 위쪽에서 사인들의 순서와 반대로 하루 동안 지나는 주전원 호에 대응하는 황도 호보다 언제나 더 크다. 그러나 달이 주전원의 위쪽 절반에 있을 때에는 느리게, 아래쪽 절반에 있을 때에는 빠르게 운행해야 한다.

주전원 운동이 없어도 성립하는 상태로의 전환

본문은 여기와 앞의 주석에서 한 설명으로 명백하다. 다만 주전원 중심의 운동은 주전원을 운반하는 운반원의 운동이며, 달 중심의 운동은 달을 운반하는 주전원의 운동이라는 점을 유의하라. 그러므로 앞의 정류·역행은 달에 해당하지 않는다. 달의 운반원이 주전원보다 더 빠르게 회전하기 때문이다. 이어서 ‘행성들이 느리다고 불리는 것은’이라고 말할 때에는 주전원의 운동 없이도 행성들에 속할 수 있는 상태를 다룬다. 이 부분은 둘로 나뉜다. 먼저 행성들이 움직이는 공간과의 비교에서 갖는 상태를 다루며, 다음으로 ‘상호 각은’이라는 곳에서 행성들 사이의 비교와 우리의 눈에 대한 비교에서 갖는 상태를 다룬다. 첫 번째 부분은 다시 둘로 나뉜다. 먼저 앞서 말한 것을 설명하고, 다음에는 ‘증가한 것은’이라는 곳에서 운동 때문에 생기는 상태를 다룬다. 그러므로 다음과 같이 말한다.

느린 운행·빠른 운행과 수치의 증가·감소

행성의 실제운동선이 평균운동선보다 느리게 움직이거나 사인들의 순서와 반대로 나아갈 때, 그 행성을 느리거나 운행이 감소했다고 부른다. 사인들의 순서를 따라 더 빠르게 움직일 때는 빠르거나 운행이 증가했다고 부른다. 평균운동에 균차를 더할 때는 수치가 증가했다고 하고, 균차를 뺄 때는 감소했다고 한다.

빠름·느림의 비교 기준과 균차의 덧셈

먼저 느림과 빠름은 두 극을 뜻하며, 그 사이에는 이를 알아보는 기준인 고르고 규칙적인 운동이 있다는 점을 유의하라. 이는 『자연학』 제6권과 제8권에서 명백하다. 앞선 설명에서 드러나듯 모든 행성의 평균운동선은 규칙적으로 움직인다. 그래서 행성의 빠름과 느림은 이 선을 기준으로 정의한다. 실제운동선이 평균운동선보다 느리게 움직이면 행성은 느리거나 운행이 감소했다고 불린다. 이 정도면 설명에 충분하지만, 이 느림의 원인이 어떤 중심을 기준으로 한 운반원 운동의 불규칙성뿐 아니라 역행이기도 하므로, 더 충분히 가르치기 위해 ‘또는 사인들의 순서와 반대로 나아갈 때’라고 덧붙인다. 이는 서쪽으로, 곧 운반원 운동과 반대로 간다는 뜻이며 역행할 때 일어난다. 둘째로, 행성의 수치가 증가한다는 것은 같은 원둘레에서 차지하는 부분의 수가 더 많다는 뜻임을 유의하라. 평균운동만 있을 때보다 평균운동과 균차를 함께 가질 때 그 수가 더 많은 것과 같다. 그다음 저자는 공간 안에서의 운동에 뒤따르는 상태들을 다룬다. 여러 가지를 하는데, 먼저 일반적으로 다음과 같이 설명한다.

빛의 증감과 아침·저녁의 출현·소멸

천체들이 태양에서 멀어지거나 태양이 그 천체들에서 멀어질 때에는 빛이 증가했다고 하고, 태양에 가까워지거나 태양이 그 천체들에 가까워질 때에는 빛이 감소했다고 한다. 태양보다 먼저 떠오를 때에는 동방성·아침성이라 하며, 태양보다 뒤에 질 때에는 서방성·저녁성이라 한다. 아침 출현을 하는 천체는 자신이 태양에서 멀어지거나 태양이 자신에게서 멀어짐에 따라 태양 광선 아래에서 벗어나, 아침의 일출 전에 보이기 시작하는 천체다. 저녁 출현을 하는 천체는 태양에서 멀어져 그 광선 아래에서 벗어나, 저녁의 일몰 뒤에 보이기 시작하는 천체다. 아침 소멸을 하는 천체는 태양에 가까워짐에 따라 태양의 광선 안으로 들어가, 아침에 가려지기 시작하는 천체다. 저녁 소멸을 하는 천체는 태양의 광선 안으로 들어가, 자신이 태양에 가까워지거나 태양이 자신에게 가까워짐에 따라 저녁의 일몰 뒤에 가려지기 시작하는 천체다. 용어: 빛의 증가와 감소 용어: 오리엔탈과 옥시덴탈

빛을 잃는다는 말은 누구에게 보이는가에 관한 말이다

먼저 유의할 것은, 행성들이 태양에 가까워졌기 때문에 자기 빛을 실제로 잃는 것은 아니라는 점이다. 오히려 그 빛은 증가한다. 닮은 것은 닮은 것에 의해 강화되기 때문이다. 다만 우리에게 보이는 한에서 빛을 잃는 것이다. 더 큰 빛이 더 작은 빛을 어둡게 하거나 가린다는 통설은 이 뜻에서 참이다. 둘째로, 이 부분에 포함된 나머지 사항들은 사인의 출몰에 관하여 『천구론』에서 설명한 것으로 분명해진다.

태양의 고유한 빛과 다른 천체의 빛에 관한 두 견해

첫 부분을 분명히 하기 위해 알아 둘 것은, 철학자들과 점성가들의 공통된 견해에 따르면 태양은 자기 본질에 의해 빛난다는 점이다. 곧 빛은 태양의 내재적 형상이며, 다른 어떤 물체도 태양 안에 그 빛을 만들어 내지 않는다는 뜻이다. 태양을 비출 수 있을 만큼 태양보다 밝은 자연적 물체는 지금까지 관찰된 적이 없기 때문이다. 그런 물체가 있다면 태양이 없을 때 어둡게 남는 것들도 비출 것이다. 따라서 태양의 빛은 외부에서 받아들이는 것이 아니라 그 원리와 실체적 형상에서 흘러나오는 형상이므로, 태양은 본질에 의해 빛난다고 한다. 알베르투스의 『영혼에 관하여』 제2권의 견해에 따르면, 이 형상은 엄밀히 룩스(lux)라 불러야지 루멘(lumen)이라 불러서는 안 된다. 루멘은 룩스의 지향적 상이기 때문이다. 그러나 다른 천체들도 스스로 빛을 지니며 다른 무엇에게서도 받지 않아 본질에 의해 빛나는지는 앞서 말한 전문가들 사이에서 논란이 된다. 점성가들은 어떤 천체도 스스로 빛을 갖지 않고 태양에서 흘러들어오는 빛만을 받으며, 태양이 없다면 아무 빛도 드러내지 않을 것이라고 주장한다. 그들은 월식을 근거로 이를 보인다. 달은 태양에서 빛을 받지 못할 때 어두워지고 빛나지 않기 때문이다. 만일 달이 빛을 자기 고유의 내재적 형상으로 지녔다면, 식이 일어날 때 외부의 어떤 장애물도 그 빛을 빼앗을 수 없을 것이다. 모든 천체가 같은 종에 속하므로, 선〔원문 linea〕이 태양에서 비추어진다면 나머지도 그러하다. 『하늘과 세계에 관하여』 제2권. 그러나 일부 철학자는 반대 입장, 곧 태양 이외의 천체들도 본질에 의해 빛을 지니며, 특히 상위 천체들이 그렇다는 입장을 취한다. 그 근거는, 그들 스스로도 인정하고 주장하듯 상위 천체들이 최하위 천체들보다 더 고귀하다면, 태양은 본질에 의해 빛을 지니는데 더 고귀한 천체들은 그렇지 않다고 하는 것이 적절해 보이지 않는다는 것이다. 오히려 상위 천체들은 태양보다 더 고귀한 방식으로 빛을 지닌다고 한다. 그들은 또한 월식 때 보이는 모습으로 이를 입증한다. 그때 달은 태양에서 빛을 받지 않는데도, 우리가 분명히 보듯 자기 빛으로 빛난다는 것이다. 태양이 더 강하게 빛나는 듯 보이는 것은 그 크기와 가까움 때문이며, 다른 천체들은 태양에서 빛을 받더라도 희미하게 빛난다고 한다.

두 견해에서 공통으로 이끌어 내는 결론

어느 쪽이든, 지금은 이 견해들 가운데 어느 것이 더 참인지를 탐구할 자리가 아니다. 그것은 이 논의의 목적 밖에 있으므로, 두 견해에서 공통으로 두 가지를 결론으로 이끌어 낸다. 첫째는 태양의 루멘, 더 정확히는 그 룩스가 다른 모든 천체의 빛보다 더 강하고 크다는 것이다. 태양은 자기 존재와 밝기로 낮을 만들어 내지만 다른 천체들은 밤에 그렇게 할 수 없다는 사실도 이를 드러낸다. 둘째는 다른 천체들이 온전히 태양의 빛을 받거나, 적어도 그들의 빛이 태양의 빛에 의해 강해진다는 것이다. 식을 당한 달이 이를 드러낸다. 첫 결론에 따르면 태양의 빛은 다른 천체의 빛보다 더 크고 강하다. 그런데 『광학』 제1부 제8명제에서 설명하듯 더 큰 빛은 작은 빛을 가려 보이지 않게 한다. 경험도 이를 드러낸다. 별들은 낮에는 태양빛에 가려 보이지 않지만, 태양이 없는 밤이나 우물 깊은 곳에 있는 사람에게는 보일 것이라고 한다. 같은 이유로 촛불과 다른 광원도 낮에는 빛나지 않는다. 따라서 태양 가까이에 있어 태양이 뜰 때 함께 뜨고 태양이 질 때 함께 숨는 천체들은 태양빛에 가려 보이지 않으므로, 그때에는 빛이 감소한 것이라고 불린다. 그러나 태양과 떨어져 멀어지면 태양보다 먼저 뜨거나 뒤에 질 수 있고, 태양이 없을 때 보이며 빛날 수 있다. 태양이 지평선 아래로 내려가 있는 동안 그 태양에서 더 멀리 떨어질수록 천체들은 땅 위로 더 높이 올라와 있으므로, 빛이 증가한 것이라고 불렸다.

태양과 천체가 멀어지거나 가까워지는 두 경우

그러나 천체들이 태양과 결합해 있다가 분리되는 일은 두 가지 방식으로 일어날 수 있음을 유의하라. 금성·수성·달처럼 태양보다 운동이 빨라서 태양에서 멀어지는 경우가 있고, 화성·목성·토성·고정별처럼 태양보다 느려서 태양이 그 천체들에서 멀어지는 경우가 있다. 그래서 저자는 이 두 종류의 멀어짐을 가리켜 “빛이 증가한다”고 말했다. 곧 달·수성·금성과 같이 태양보다 빠른 행성들이 태양에서 멀어질 때, 또는 태양보다 느리게 움직이는 화성·목성·토성·고정별에서 태양이 멀어질 때에는 행성과 그 밖의 별들의 빛이 증가한다고 한다. 마찬가지로 앞서 떨어져 있던 천체들이 태양과 결합할 때도 두 경우가 있다. 달·수성·금성처럼 더 빠른 천체들이 태양에 가까워지는 경우와, 그 천체들이 더 느려서 태양이 그들에게 가까워지는 경우다. 그래서 “태양에 가까워지는 천체들, 곧 더 빠른 천체들, 또는 태양이 가까워지는 더 느린 천체들은 빛이 감소한다”고 말했다.

달의 밝은 면과 지구를 향한 면

달에는 앞서 말한 것 외에도, 두 번째 가정에서 따라 나오는 다른 원인이 있을 수 있다. 달은 태양에서 빛을 온전히 받거나 그 빛에 의해 밝기가 강해지며, 태양과 다른 천체들을 가리는 것이 관찰된 점에서 드러나듯 불투명하다. 그러므로 태양은 달 전체가 아니라, 『광학』 제1부 제22명제에 따라 태양을 향하고 태양을 바라보는 절반만 비춘다. 달이 태양과 결합하면 태양을 향한 위쪽 부분이 비추어진다. 그러나 달이 우리와 태양 사이에 있으므로, 달은 비추어지지 않은 다른 쪽 면을 우리에게 보여 준다. 그래서 그때는 전혀 보이지 않는다. 도형이 이를 보여 준다. 달이 태양에서 멀어지기 시작하면 우리를 향한 아래쪽 면이 더 많이 비추어져, 뿔 모양으로 나타나 빛나기 시작한다. 이 또한 도형에서 드러난다. 달이 태양과 대립할 때에는 지구가 태양과 달 사이에 있고, 태양에 비추어진 달의 면이 우리를 향한다. 그래서 도형에 나타난 것처럼 밝은 면 전체를 우리에게 보여 준다. 알파그라누스는 자기 저작의 제15절에서 이를 매우 잘 설명한다. 따라서 달이 태양에서 더 멀어질수록 더 많이 비추어져 빛이 더 충만하다고 하며, 더 가까워질수록 빛이 더 줄어든다고 한다. 용어: 달의 위상

도형 안 “ARVAN”으로 보이는 문자 표기는 기능과 정확한 원형이 확정되지 않아 그대로 보존한다.

태양에 대한 관계에서 지평선에 대한 관계로

“동방성이며 아침성이다” 등의 말에 관하여. 이 부분은 행성들이 태양과 맺는 관계를 다룬다. 그러나 여기서 말하는 출몰은 지평선에 대한 관계이기도 하므로, 천체가 지평선에 대해 어떻게 출몰하는지, 곧 직립 지평선과 기울어진 지평선에서 각각 어떻게 떠오르는지도 여기서 설명하게 된다. 먼저 직립천구를 보자. 그 지평선은 세계의 두 극에서 자오선과 만나고, 둘 다 적도와 만나 직각을 이룬다. 따라서 직립 지평선에서 천체가 떠오르는 것에 관한 설명과 정중에 관한 설명, 곧 천체가 하늘 한가운데와 자오선으로 움직이는 것에 관한 설명은 같을 것이다. 그러므로 천체의 정중에 대해 설명하는 모든 것은 직립천구에서의 출몰에도 해당하는 것으로 이해하라.

황도 위 천체의 정중과 황경점

따라서 알파그라니우스의 제25절과 함께, 천체들의 정중을 네 가지 규칙으로 설명한다. 첫째는 행성이나 별이 황도 위에 있으면 자신이 있는 황경의 도수점과 동시에 정중한다는 것이다. 여기서 황경의 도수점이라 부르는 것은, 황도의 두 극에서 행성의 위치를 지나가는 원이 통과하는 황도상의 점이다. 그 점은 행성의 실제 위치와 양자리 시작점에서 떨어진 거리를 보여 준다. 이는 분명하다. 행성과 그 황경점이 한 선 위에 있고 하나의 점이므로, 행성이 자오선이나 직립 지평선에 놓일 때 그 황경점도 그곳에 있기 때문이다.

황위가 있는 천체의 정중 — 두 번째와 세 번째 규칙

둘째 규칙. 천체가 게자리나 염소자리의 시작에 있으면, 황위가 있더라도 자신의 황경점과 동시에 정중한다. 이 경우 황경의 위치와 도수점을 보여 주는 원은 세계의 두 극을 지난다. 자오선도 같은 두 극을 지나므로 그 원은 자오선과 겹쳐 보이며, 정오의 원은 행성과 그 황경점을 동시에 통과할 것이다. 셋째 규칙. 행성이 이 두 위치 밖, 곧 염소자리 시작부터 쌍둥이자리 끝까지의 절반에 있고 북쪽 황위를 지니면, 자신의 황경점보다 먼저 정중한다. 더 북쪽인 쪽이 서쪽에 있기 때문이다. 따라서 황도에서 북쪽으로 벗어나는 것은 모두 더 서쪽에 있어 자오선에 먼저 도달한다. 그러나 같은 절반에서 남쪽으로 기울어져 있으면 자신의 황경점보다 늦게 정중한다. 더 남쪽인 쪽이 동쪽에 있기 때문이다. 따라서 남쪽에 있고 동쪽에 더 가까운 것은 모두 더 늦게 정중한다.

정중의 네 번째 규칙 — 반대쪽 반원

넷째 규칙. 행성이 게자리 시작부터 사수자리 끝까지에 놓여 북쪽 황위를 지니면, 자신의 황경점이 행성보다 먼저 정중할 것이다. 북극이 동쪽을 차지하므로 북쪽에 있는 것은 모두 동쪽에 있고, 자오선에 더 늦게 이르기 때문이다. 그러나 남쪽 황위를 지니면 행성이 자신의 황경점보다 먼저 정중한다. 남극이 서쪽에 있으므로 남쪽에 있는 것은 모두 서쪽에 있고, 하늘 한가운데에 더 먼저 이르기 때문이다.

사경천구에서의 출몰 — 황위가 없는 경우와 낮은 지리위도

사경천구에서 행성의 출몰이 맺는 비례 관계는 네 가지 규칙으로 설명한다. 첫째는 모든 사경천구에서 행성이 황위를 지니지 않으면 자신의 황경점과 동시에 뜨고 동시에 진다는 것이다. 이는 정중에 관한 첫째 규칙에서 분명하다. 둘째 규칙. 어느 지역의 지리위도, 곧 극의 고도가 24도보다 작다고 하자. 24도는 황도대의 극이 세계의 극에서 떨어진 만큼이다. 이곳에서는 황도대의 북극이 뜨고 지므로, 행성이 그 극과 함께 뜨면 자신의 황경점과 동시에 뜬다. 이는 행성이 천칭자리 시작부터 사수자리 끝까지의 사분원에 있을 때만 가능하다. 그때 행성은 앞의 극과 함께 지평선 위에 있고, 그 극과 천체를 지나는 지평선이 천체의 위치도 지나기 때문이다. 마찬가지로 극과 함께 지는 행성은 염소자리 시작부터 물고기자리 끝까지의 사분원에 있을 때만 그러할 수 있으며, 경도와 떠오름의 도수점이 같다고 한다.

황도대 북극이 지평선 아래 또는 위에 있을 때

셋째 규칙. 같은 천구의 배치에서 황도대의 북극이 지평선 아래에 있으면, 북쪽 황위를 지닌 행성은 자신의 황경점보다 뒤에 뜨고 먼저 진다. 북극이 땅 아래에 있으므로, 어떤 것이 그 극에 더 가까워져 더 북쪽으로 갈수록 지평선 아래에 더 놓이기 때문이다. 따라서 더 늦게 뜨고 더 일찍 진다. 반대로 그 경우 남쪽 황위를 지닌 행성은 먼저 뜨고 뒤에 진다. 맞은편 남극이 지평선 위에 있기 때문이다. 행성이 남극에 더 가까워질수록 땅 위로 더 높이 올라가 있어, 더 일찍 뜨고 더 늦게 진다. 넷째 규칙. 같은 천구에서 앞서 말한 극이 지평선 위에 있으면 북쪽 황위를 지닌 행성은 자신의 황경점보다 먼저 뜨고 뒤에 진다. 극이 땅 위에 있으므로 행성이 그 극에 가까워질수록 지평선 위로 더 높이 올라가 있어, 더 일찍 떠오르고 더 늦게 지기 때문이다. 남쪽 황위를 지닌 행성은 그 반대다. 그때 남극은 땅 아래에 있으므로 행성도 더 아래로 내려가 있어, 더 늦게 뜨고 더 일찍 진다.

지리위도가 24도보다 큰 곳의 첫 두 규칙

그러나 지리위도가 24도보다 큰 사경천구에서는 북쪽의 별들이 모두 자신의 황경점보다 먼저 뜨고 뒤에 진다. 북극이 언제나 땅 위에 높이 있기 때문이다. 별들이 그 극에 더 가까워질수록 더 높이, 더 일찍 올라가며 더 늦게 내려간다. 반대로 남쪽의 별들은 자신의 황경점보다 늦게 뜨고 먼저 진다. 남극은 결코 떠오르지 않기 때문이다. 그 극 가까이에 있는 천체들은 더 아래에 놓여 있어, 더 늦게 올라오고 더 빨리 지평선 아래로 내려간다. 둘째 규칙. 게자리나 염소자리 시작점에 있는 행성이 북쪽으로 기울어져 있다면, 자기 황경점보다 먼저 뜨는 시간만큼 그 황경점보다 뒤에 진다. 그런 별은 직립천구에서 자기 황경점과 동시에 뜨고 지며, 기울어진 지평선은 동쪽과 서쪽 양쪽에서 직립 지평선보다 같은 만큼 내려가기 때문이다. 따라서 떠오름에서 앞서는 시간과 지는 데서 뒤따르는 시간이 같다. 같은 이유로, 반대쪽인 남쪽의 별이 같은 위치들에 있으면 자신의 황경점보다 늦게 뜨는 시간만큼 그보다 먼저 진다. 사경 지평선은 직립천구로부터 남쪽을 향해 동쪽과 서쪽 양쪽에서 같은 만큼 높아지기 때문이다.

출몰 시간차를 비교하는 셋째·넷째 규칙

셋째 규칙. 행성이 염소자리 시작부터 쌍둥이자리 끝까지의 황도대 절반에 있으면, 북쪽과 남쪽 어느 황위에서든 행성과 그 황경점 사이의 시간차는 질 때보다 뜰 때 더 크다. 곧 북쪽 행성이 자신의 황경점보다 먼저 뜨는 시간이 그보다 뒤에 지는 시간보다 길다. 남쪽 행성도 자신의 황경점보다 늦게 뜨는 시간이 그보다 먼저 지는 시간보다 길다. 이는 정중에 관해 설명한 것에서도 드러난다. 이런 차이는 행성이 물고기자리 끝과 양자리 시작에 있을 때 가장 커진다. 넷째 규칙. 게자리 시작부터 사수자리 끝까지의 황도대 절반에 있는 행성은 어떤 황위를 지니든, 행성과 황경점이 지는 때의 차이가 둘이 뜨는 때의 차이보다 크다. 곧 북쪽 행성이 황경점보다 뒤에 지는 시간이 그보다 먼저 뜨는 시간보다 길다. 남쪽 행성도 먼저 지는 시간이 뒤에 뜨는 시간보다 길다. 둘이 지는 때 사이에 끼어 있는 시간이 둘이 뜨는 때 사이의 시간보다 더 크기 때문이다. 이 모든 것을 더 긴 말로 설명하지는 않는다. 조금만 배운 사람에게도 실물 천구 모형이 모두 분명히 보여 주기 때문이다. 또한 행성에 관해 말한 모든 것은 고정별에 대해서도 참이며, 두 종류의 천구에서 그 천체들이 어느 황위를 지니든 적용됨을 유의하라. 황위가 없다면 어느 천체나 자신의 황경점과 동시에 뜨고 지며 정중한다. 간단하지만 복잡하게 설명된 이 알파그라니우스의 규칙들을 잘 유념하라. 보편적인 규칙이며, 황위를 지닌 천체의 출몰을 아는 데 특히 도움이 되기 때문이다.

상위 세 행성도 역행으로 태양에서 멀어질 수 있는가

도형의 A·B·O·I 표지는 원상대로 보존한다. A와 B는 본문에서 운동과 결합을 설명하는 위치이며, 나머지 문자에 본문에 없는 뜻을 부여하지 않는다.

그러나 누군가는 물을 것이다. “상위 세 행성도 역행하여 태양에서 멀어질 수 있지 않은가? 이를테면 A에서 태양과 결합한다면 B로 역행할 수 있다. 그러면 태양이 그 행성들에서 멀어지는 것만이 아니라, 금성과 수성처럼 그 행성들 자신이 태양에서 멀어짐으로써도 아침 출현을 하게 될 것이다.” 이에 대한 답은 이렇다. 상위 세 행성은 그 이론에서 분명히 드러나듯 태양과 결합할 때 언제나 자기 주전원의 위쪽 부분에 있다. 그러므로 그때에는 결코 역행할 수 없으며, 오히려 사인 순서에 따라 가장 빠르게 움직인다. 따라서 그 경우 역행하여 태양에서 멀어질 수 없다. 그러나 금성과 수성은 순행하면서도 역행하면서도 태양과 결합할 수 있고, 알파그라누스가 잘 말했듯 그 운동에서 태양보다 빠르므로, 태양에서 서쪽으로 멀어지고 앞서 설명한 방식으로 출현할 수 있다.

저녁 출현과 아침 소멸의 설명

태양과 결합한 행성이 태양보다 빠르기 때문에 동쪽으로 태양에서 떨어져 나가, 태양이 진 뒤에도 지평선 위에 남아 저녁에 보이면, 저녁 출현이라는 방식으로 헬리아칼 출현을 한다고 말한다. 저녁에 나타나기 때문이다. 하위의 세 천체인 달과 순행하는 수성·금성이 이런 경우다. 이들은 태양보다 빨라 태양에서 멀어진다. 예를 들어 같은 도형에서 금성·수성·달이 서쪽에서 태양과 결합한 뒤 고유운동으로 B를 향해 움직인다고 하자. 더 빠르므로 저녁의 일몰 뒤에도 지평선 위에 남아 보일 것이다. 이때 “또는 태양이 그 천체들에서 멀어지기 때문에”라는 말은 덧붙이지 않았다. 태양은 결코 역행하지 않고 고유운동으로 서쪽으로 움직이지도 않기 때문이다. 반면 태양에서 떨어져 이미 출현한 행성이 태양보다 빠르기 때문에 태양과 결합하여 사라진다고 하자. 앞서는 아침에 보이다가 그때 보이기를 그치면, 아침 소멸이라는 방식으로 헬리아코스 소멸을 한다고 말한다. 달·수성·금성이 이에 해당한다. 이를테면 이 천체들이 B에 있고 태양이 A에 머무르면 아침에 보인다. 그러나 이들이 더 빠르므로 A로 옮겨가 태양과 결합하고 아침에 보이지 않게 된다. 곧 아침에 보이던 모습을 잃는 것이다. 결합 전의 달이 아침에 보인다는 것으로 분명히 알 수 있다. 용어: 헬리아칼 출현

저녁 소멸과 행성 종류별 출현·소멸

행성이 저녁에 보이다가 태양과 결합하여 저녁에 보이기를 그치면 저녁 소멸을 한다고 말한다. 곧 그때 저녁에 나타나던 모습을 잃기 때문이다. 태양에서 떨어진 행성이 태양과 결합하는 일은 두 방식으로 일어난다. 역행하는 금성과 수성처럼 더 빨라서 태양을 향해 움직이는 경우가 있다. 그래서 “그 천체들이 태양에 가까워짐에 따라”라고 말했다. 또는 상위 세 행성인 토성·목성·화성처럼 더 느리고, 원문에서 말하듯 태양이 그들에게서 “멀어지는” 경우가 있다. 그래서 이어 “또는 태양이 그 천체들에게”라고 덧붙인다. 예를 들어 태양이 서쪽에 있고 금성과 수성이 B선 뒤의 서쪽을 향한 곳에 있어 저녁 일몰 뒤에 보인다고 하자. 이들이 역행하여 서쪽 선으로 움직이면 보이기를 그치고 소멸한다. 마찬가지로 상위 세 행성도 그 선 뒤에서 저녁에 나타난다. 그러나 서쪽 선에 있는 태양이 그들에게 가까워져 그들을 가리면 헬리아코스 소멸을 한다. 따라서 상위 세 행성은 오직 아침 출현을 하고 오직 저녁 소멸을 함이 분명하다. 반대로 달은 결합 뒤 저녁에 나타나므로 오직 저녁 출현을 하며, 결합 전에 아침에 보이므로 오직 아침 소멸을 한다. 금성과 수성은 두 방식 모두로 출현하고 소멸한다는 것이 알려져 있다.

황도에서 멀리 떨어진 고정별의 가시성 — 첫째 규칙

행성들이 아침과 저녁에 헬리아칼 출현·소멸을 한다고 말했지만, 고정별들도 같은 방식으로 출현하고 소멸하는 것이 배제되지는 않음을 유의하라. 오히려 황도대 가까이에 있는 고정별은 태양보다 느리므로, 상위 세 행성처럼 아침 출현을 하고 저녁 소멸을 하며, 앞서 말한 모든 점에서 그들과 일치한다. 그러나 황도대에서 멀리 떨어진 고정별들의 출현과 소멸은 다양하며 상위 세 행성의 경우와 다르다. 따라서 알파그라니우스 제24절의 견해에 따라 이를 세 규칙으로 설명하겠다. 첫째 규칙. 어느 지역에서 세계 북극에 대한 거리가 그 북극의 고도보다 더 작을 만큼 북극 가까이에 있는 고정별은 결코 지평선 아래로 가라앉지 않는다. 일출 전에도 보이고 일몰 뒤에도 마찬가지로 보인다. 그러므로 아침에도 저녁에도 태양에 가려지지 않으며, 따라서 헬리아코스 소멸을 결코 하지 않는다. 반면 남극 가까이에 있어 그 극이 지평선 아래로 내려간 만큼 그 극에 가까운 별들은 결코 지평선 위로 올라오거나 땅 위에 나타나지 않는다. 그러므로 헬리아칼 출현을 할 수 없으며, 언제나 진 채로 남는다.

황위가 큰 고정별의 두 번째·세 번째 규칙

둘째 규칙. 앞서 말한 황도대에서 멀리 떨어진 별들이 황경상으로 태양과 결합했을 때, 북쪽 황위를 지니면 아침 소멸도 저녁 소멸도 하지 않는다. 오히려 두 방식의 출현을 모두 한다. 태양보다 먼저 떠오르므로 아침의 헬리아칼 출현을 하며, 태양보다 뒤에 지므로 저녁에도 보여 저녁 출현을 하기 때문이다. 남쪽 황위를 지닌 별들은 그 반대로 이해해야 한다. 두 방식 모두에서 소멸해 있다. 앞서 설명한 것처럼 태양보다 뒤에 떠오르므로 아침 소멸을 하고, 태양보다 먼저 지므로 저녁 소멸 상태를 유지하기 때문이다. 셋째 규칙. 태양이 각 별의 지는 도수점과 결합하면 그 별은 저녁 소멸을 한다. 태양이 그 별의 뜨는 도수점에서 분리되어 멀어지면 그 별은 아침 출현을 한다. 이는 상위 세 행성이 황경의 도수점에서 태양과 결합하거나 옮겨졌을 때와 같다. 어느 별의 뜨는 도수점이란 그 별과 함께 떠오르는 황도상의 점이며, 그 별의 지는 도수점이란 그 별이 질 때 함께 지는 황도상의 점을 말한다. 이는 분명하다. 태양이 지는 도수점과 같은 곳에 있으면 그 점과도, 별과도 함께 진다. 따라서 앞서 저녁에 보이던 별은 나타나기를 그치고 헬리아코스하게 저녁 소멸을 한다. 마찬가지로 태양이 뜨는 도수점에서 동쪽으로 떨어져 나가면 별이 더 먼저 떠오르고, 따라서 그 도수점도 그러하다. 그래서 별은 아침에 보이기 시작하며 아침 출현을 한다. 다음으로 저자는 앞서 말한 내용을 어떤 방식으로 상위 세 행성에 적용하여 말한다.

검사 주: 태양이 멀어진다는 elongatur는 실제 인쇄를 보존했다. 출현·소멸 방향, 세 고정별 규칙, 알파그라니우스 제24절을 원상 확대 대조했다.

상위 행성의 출몰에 관한 본문과 인쇄된 천체 열거

상위 세 행성은 아침 소멸을 하지 않으며 저녁 출현도 하지 않는다. 곧 금성과 수성, 그리고 달이다.

금성·수성의 평균운동과 순간 속도에 대한 반론

이를 이해하기 위해서는, 정의에서 분명하듯 아침 소멸과 저녁 출현을 하려면 행성이 태양보다 빠르게 움직여야 한다는 점에 유의하라. 그런데 상위 세 행성은 태양보다 빠르게 움직이지 않고 더 느리게 움직인다. 그러나 이에 대해 반론할 수 있다. 그렇다면 수성과 금성도 마찬가지여야 한다. 달은 태양보다 빠르게 움직이지만 이 두 행성은 그렇지 않기 때문이다. 나는 이렇게 답한다. 수성과 금성의 운반원 운동은 태양 운반원의 운동과 같지만, 두 행성은 주전원을 지니므로 때로는 태양에 대해 서쪽에 있으며, 순행할 때에는 더 빠르고 역행할 때에는 더 느리게 움직인다. 특히 금성이 그러하다. 금성의 주전원은 크며 위도 방향으로도 움직인다. 이 점에 따라 성 토마스가 『욥기』 제38장에 관하여 한 말을 이해하라. “태양보다 느린 행성, 곧 토성·목성·화성은 일출 전에 나타나기 시작한다. 그러나 달은 태양보다 빠르므로 오직 저녁에 나타난다. 금성과 수성은 때로 태양보다 빠르고 때로 느리게 움직이므로, 어떤 때에는 아침에, 어떤 때에는 저녁에 나타난다.” 여기까지가 그의 말이다. 달은 주전원에서 뒤로 움직일 때에도 운반원 운동이 빠르기 때문에 여전히 태양보다 빠르게 움직인다. 그래서 언제나 태양보다 빠르다. 셋째로 저자는 이를 달에 적용하여 다음과 같이 말한다.

결합 뒤 달이 보이는 시기를 정하는 세 원인

달이 태양과 결합한 뒤 어떤 때에는 더 일찍, 어떤 때에는 더 늦게 나타나는 데에는 세 가지 이유가 있다. 하나는 지평선에 대한 황도대의 기울기 또는 경사다. 결합이 황도상에서 일어나되 사수자리 끝부터 쌍둥이자리 끝까지의 절반에서 일어나면, 태양이 지면서 지평선에 있을 때 달에서 지평선까지의 달 회전원 호에 포함된 도수는 달에서 태양까지의 황도대 호에 포함된 도수보다 더 많다. 따라서 북쪽 위도대에서는 황도대의 다른 절반에 있었을 때보다 달을 더 일찍 볼 수 있다. 둘째는 달이 황도에서 벗어난 황위다. 결합 뒤 북쪽 황위로 움직이면 남쪽 황위로 움직였을 때보다 다시 더 일찍 볼 수 있다. 셋째는 달의 실제운동 속도다. 운동이 빠르면 느렸을 때보다 더 일찍 나타난다. 그러므로 세 원인이 모두 함께 작용하면 묵은 달과 새 달이 같은 날에 나타난다. 두 가지만 함께 작용하면 결합 뒤 둘째 날에, 한 가지만 작용하면 셋째 날에 보인다. 이 모두의 반대가 일어나면 넷째 날에 나타나는 일이 생긴다고 한다.

두 광체의 합과 충을 나타내는 도형

두 광체의 합과 충에 관한 이론도.

검사 주: 상위 세 행성을 금성·수성·달로 열거하는 본문은 실제 인쇄의 모순으로 보존했다. 다음 주해의 토성·목성·화성과 임의 통일하지 않았다.

첫 원인: 일주 회전원의 호와 황도 호

첫 번째 이유에 관하여 유의하라. 이 이유에서 가정하는 것처럼 달이 황도에서 벗어난 황위를 전혀 지니지 않는다고 하자. 결합 때 달이 곧게 지는 사인들, 곧 사수자리 끝과 게자리 시작 사이의 여섯 사인에 있으면 더 일찍 나타날 것이다. 게자리 시작은 쌍둥이자리 끝과 같은 경계다. 이는 적도 아래나 그 너머의 사람들에게 그러하다는 것이 아니라, 지평선이 콜루레와 북극에서 다른 반구 쪽으로 기울어진 북쪽 위도대의 사람들에게 그러하다는 뜻이다. 그때 달의 회전원, 곧 최초 운동천의 운동으로 달이 그리는 원의 도수는, 달이 태양을 떠나 고유운동으로 지나온 황도대의 도수보다 많을 것이다. 이 원은 달이 적도에서 회귀선 쪽으로 움직이면서 그리는 평행원들 가운데 하나다. 다시 말해 지평선 위에 있는 그 회전원의 도수는 지나온 황도대 호의 도수보다 더 많다. 지평선이 기울어져 있고 황도대가 그곳에서 곧게 지기 때문이다. 예를 들어 황도대의 호가 1도이고 그 회전원의 호가 2도라면, 태양이 지평선 아래 1도에 있을 때 달은 여전히 지평선 위 1도에 있을 것이다. 양쪽의 도수가 같다면 그렇게 되지 않을 것이다.

북쪽 황위와 반대 조건, 초승달 뿔의 방향

둘째 이유에 관하여 유의하라. 달이 결합 뒤 북쪽 황위로 움직일 때, 곧 자기 운반원에서 북쪽으로 기울어진 부분을 따라 움직일 때에는 더 일찍 보인다. 다른 조건이 같다면 지평선의 기울기 때문에, 태양이 지는 저녁에 달이 지평선 위에 더 일찍 남아 있기 때문이다. 세 원인 전체에 대해서는, 황도대의 다른 절반에서 결합이 일어나고 결합 직후 달이 남쪽 황위로 움직이며 운행도 느릴 때에 이 세 원인의 반대 조건들이 생긴다는 점을 유의하라. 그러나 알파그라누스는 제25절에서 달이 보이는 모습을 다른 이유로 설명한다. 우리는 결합 뒤의 초승달이 때로는 양쪽 뿔을 머리 위 천정 쪽으로 들어 올리고, 때로는 뿔들이 비스듬히 놓여 한쪽은 천정을, 다른 쪽은 지평선을 향하는 것을 본다. 첫 경우의 이유는 결합이 직상승 사인들에서 일어났기 때문이다. 그래서 그는 그곳에서 사인들의 원이 곧게, 곧 곧장 내려간다고 말한다. 따라서 달에서 더 두껍게 빛나는 부분은 지평선과 태양을 향하고, 뿔들은 천정을 향해 올라간다. 둘째 경우의 이유는 결합이 비스듬히 내려가는 사인들에서 일어났기 때문이다. 달의 두꺼운 쪽은 태양을 향해야 하므로, 비추어진 뿔 가운데 하나는 천정을, 다른 하나는 지평선을 향해 놓일 것이다. 지평선에서 황도대가 비스듬하고 꺾인 방향으로 놓이기 때문이다. 구면 모형은 여기서 말한 모든 것을 매우 분명히 보여 준다. 그러므로 이 설명은 이만하면 충분하다.

둘째·셋째 원인과 “같은 날”이라는 문구에 대한 주석자의 비판

둘째 원인은 달이 북쪽 황위에 있거나 그쪽으로 움직이면 남쪽 황위에 있을 때보다 헬리아칼 출현을 더 빨리 한다는 것이다. 사경 지평선은 북쪽으로 갈수록 직립 지평선보다 더 아래로 내려가고, 남쪽으로 갈수록 더 위로 올라가기 때문이다. 따라서 달이 더 북쪽에 있을수록 달에서 지평선까지의 일주 회전원 호가 더 크고, 더 남쪽에 있을수록 그 호는 더 작다. 천구 모형은 이를 잘 드러낸다. 그러므로 달이 북쪽 황위를 얻는 용의 머리에서 결합하면, 남쪽 황위를 얻기 시작하는 남쪽의 용의 꼬리에서 결합할 때보다 더 빨리 보인다. 셋째 원인은 달 실제운동의 빠름과 느림이다. 빠를 때에는 짧은 시간에 태양에서 관측에 충분할 만큼 멀어진다. 느릴 때에는 같은 만큼, 또는 그와 같은 크기의 거리를 얻는 데 긴 시간이 걸린다. 따라서 결합 뒤 빠르게 움직이면 헬리아칼 출현도 빠르고, 느리면 더 늦게 보인다. 앞의 원인들이 모두 함께 작용하는 때도 있다. 곧 첫째로 곧게 내려가는 사인, 이를테면 양자리 시작에서 결합이 일어난다. 둘째로 달이 황도에서 북쪽으로 가장 멀리 떨어져 있고, 셋째로 하루에 15도씩 빠르게 움직인다. 그러면 결합 뒤 같은 날, 곧 24시간 안에 나타날 것이다. 따라서 본문은 손상되어 있다. 본문이 “묵은 달과 새 달이 같은 날에 나타날 것이다”라고 말하지만, 이는 참이 아니기 때문이다. 묵은 달, 곧 결합 전의 달은 동쪽에서 보인다. 그런데 곧게 내려가는 사인들에 있다고 가정하면, 사인의 출몰에 관한 천문학의 기초에서 전제하듯 그것은 비스듬히 떠오르는 사인들에 있는 셈이다. 따라서 달에서 지평선까지의 일주 회전원 호는 달에서 태양까지의 황도 호보다 작을 것이다. 그러므로 같은 날 아침 동쪽에서 보이고 저녁 서쪽에서 보이지는 않을 것이다.

24시간이라는 해석과 알파그라니우스의 설명

설령 가능하다고 가정하여, 결합 전 아침에는 천칭자리와 같이 곧게 떠오르는 사인에 있고 결합 뒤 저녁에는 양자리와 같이 곧게 내려가는 사인에 있다 해도, 그처럼 짧은 시간 안에 결합 전과 뒤 모두에서 보일 수는 없다. 따라서 나는 문구를 그대로 성립시킬 수는 없다고 판단한다. 다만 “같은 날”을 24시간의 범위로 이해하여, 묵은 달로 있다가 새 달이 저녁에 나타난다는 뜻이라면 가능하다. 이 해석은 알파그라니우스 제25절의 말과도 일치한다. 거기서는 첫 원인을 제시한 뒤, 직립 원에서 상승 시간이 긴 사인들, 곧 쌍둥이자리·게자리·사수자리·염소자리에서 결합이 일어나고, 달의 운행이 빠르며 사인들의 원에서 북쪽 황위를 지니면, 한 달 곧 음력 달의 끝에 아침 동쪽에서 보이고 그다음 날 저녁에 두 뿔을 가진 모습으로 다시 보일 것이라고 말한다. 그러므로 새 달과 묵은 달은 같은 날에 나타나는 것이 아니다. 묵은 달이 아침에, 새 달이 다른 날 저녁에 나타난다. 그러나 이 원인들 중 어느 것이든 두 가지만 함께 작용하면 같은 날이 아니라 둘째 날에 출현한다. 한 가지만 있으면 셋째 날에, 모든 반대 조건이 있으면 넷째 날에 보일 것이다.

일몰 때 달의 고도 12도와 보이는 밝은 부분

그러나 인용한 곳에서 알파그라누스가 말하듯, 다른 조건이 같다면 결합 뒤 일몰 때 달이 보이려면 지평선에서 약 12도의 고도를 가져야 함을 유의해야 한다. 결합이 빨리 지는 사인들에서 일어나면 그보다 낮은 고도에서도 나타나며, 늦게 지는 사인들에서 일어나면 더 높은 고도를 필요로 한다. 그 이유는 이렇다. 달이 비스듬히 떠오르는 사인들에 있으면, 자신이 지는 위치로부터 앞서 말한 고도를 얻기 위해 태양에서 멀리 떨어져 있어야 한다. 따라서 앞서 설명했듯 더 많이, 더 큰 부분에 걸쳐 비추어져 있어야 한다. 그러므로 달의 밝은 부분이 커서 더 낮은 고도에서도 보이게 된다. 반면 곧게 지는 사인들에서는 12도의 고도를 얻는 데 태양으로부터 큰 거리가 필요하지 않고 작은 거리만으로 충분하다. 그래서 그때는 빛이 적고, 부족한 빛을 더 높은 고도로 보충하지 않는 한 보이지 않을 것이다. 이런 이유로 결합 뒤 어떤 때에는 낮게 떠 있으면서 빛이 많고, 어떤 때에는 높게 떠 있으면서 빛이 적게 보인다. 첫 경우는 달이 비스듬히 지는 사인들에 있기 때문이다. 그런 사인들에서는 지평선에서 조금 떨어져 있어도 태양에서는 멀리 떨어져 있으므로 밝게 보인다. 둘째 경우는 곧게 지는 사인들에 있기 때문이다. 그런 사인들에서는 달이 지평선 위로 높이 올라가 있어도 태양에서는 조금만 떨어져 있어 빛이 적다.

결합 전 아침 가시성이 사라지는 시기

또한 결합 뒤 달이 더 빨리 또는 더 늦게 나타난다고 한 설명은, 결합 전 동쪽에서 달이 보이기를 더 빨리 또는 더 늦게 그치는 것, 곧 아침 소멸에도 적용하여 이해해야 한다. 달은 결합 전에 동쪽에서 보인다. 이런 결합이 게자리 시작부터 사수자리 끝까지의 황도대 절반, 곧 곧게 떠오르는 사인들에서 일어난다면, 달에서 지평선까지의 일주 회전원 호가 달에서 태양까지의 황도 호보다 더 크다. 그래서 결합 전에 보이기를 그치는 때가 더 늦어지고, 다른 절반에서 결합할 때보다 결합 직전까지 보일 것이다. 나머지 절반의 사인들은 비스듬히 떠오르므로 이 원인이 반대로 작용한다. 둘째로 달이 북쪽 황위를 지니면, 대응되는 이유로 남쪽 황위를 지닐 때보다 더 늦게 보이기를 그친다. 셋째는 앞서 드러났듯 운동이 빠른 경우다. 그러므로 어떤 때에는 결합 하루 전에, 어떤 때에는 이틀 전에 보이기를 그치고, 어떤 때에는 사흘 또는 나흘 전에 헬리아코스 소멸을 한다. 이 원인들 가운데 더 많은 것이 또는 더 적은 것이 함께 작용하기 때문이다.

상위 세 행성에는 두 원인, 금성·수성에는 세 원인

그다음 알파그라누스 제26절에 따라 유의할 것은, 결합 뒤 어떤 때에는 더 늦게, 어떤 때에는 더 빨리 나타나고 결합 전에도 더 늦게 또는 더 빨리 보이기를 그치는 것은 달만이 아니라 다른 다섯 행성도 마찬가지라는 점이다. 상위 세 행성이 결합 뒤 동쪽에서 더 빨리 나타나는 데에는 두 가지 원인만 있다. 첫째는 결합이 곧게 떠오르는 사인들에서 일어났기 때문이다. 반대로 비스듬히 떠오르는 사인들에서 결합하면 더 늦게 보인다. 이와 대응하는 이유로 서쪽에서도 더 빨리 또는 더 늦게 가시성을 잃을 수 있다. 둘째는 북쪽 황위를 지니면 헬리아칼 출현이 더 빠르고, 남쪽 황위를 지니면 더 늦다는 것이다. 소멸도 그에 맞는 방식으로 이해하라. 그러나 셋째 원인인 운동의 빠름은 이들에게 적용되지 않는다. 결합 가까이에서는 언제나 자기 주전원의 가장 위쪽 부분에서 순행하기 때문이다. 그 경우 느리게 움직이는 일은 없으며, 다만 이심원 때문에 생기는 느림과 빠름이 있을 뿐이다. 그 차이는 감지되지 않을 만큼 작으므로 변화를 일으키지 않는다고 한다. 금성과 수성은 앞의 두 원인에 더해 셋째 원인 때문에도 헬리아칼 출현과 소멸이 더 늦거나 빨라질 수 있다. 두 행성은 순행하면서도 역행하면서도 태양과 결합할 수 있다. 순행하면 태양과 같은 방향으로 움직여 태양에서 조금씩만 멀어지므로 더 늦게 나타난다. 반면 역행하면 태양은 사인의 순서대로, 이들은 반대로 움직여 멀어짐이 두 배가 되므로 더 빨리 나타난다. 그러므로 다른 조건이 같다면, 역행 뒤에 일어나는 아침 출현은 순행을 뒤따르는 저녁 출현보다 더 빨리 일어난다. 같은 이유로 저녁 소멸은 아침 소멸보다 더 늦게 일어난다.

애스펙트와 두 광체의 합·충에 관한 다음 논의

이어서 스승은 “애스펙트” 등의 말로, 행성들이 서로 맺는 관계와 우리 눈에 대해 지니는 성질을 다룬다. 곧 행성들이 서로를 바라보는 관계, 그리고 우리가 행성들을 바라보는 관계를 다룬다. 그 애스펙트들은 실제 위치와 겉보기 위치에 관한 트라인·스퀘어·섹스타일·합·충이다. 이 부분은 셋으로 나뉜다. 첫째로 행성들을 애스펙트에 따라 비교한다. 둘째로 “애스펙트의 차이”라는 곳에서 몇몇 애스펙트의 비교 또는 차이를 다룬다. 셋째로 “식분”이라는 곳에서 태양과 달의 합과 충에 관련된 몇 가지 사항을 설명한다. 첫째에 관해서는 다음과 같이 말한다.

애스펙트와 광선의 도해

애스펙트와 광선의 이론.

원주의 열두 황도대 기호와 내부 합·충·트라인·스퀘어·섹스타일 기호를 원상대로 보존한다.

트라인·스퀘어·섹스타일, 세 종류의 합과 두 종류의 위치

행성들의 실제 위치가 황도의 3분의 1만큼 떨어져 있으면 트라인 애스펙트이고, 4분의 1이면 스퀘어, 6분의 1이면 섹스타일이다. 행성들의 평균상 합은 각각의 평균운동선이 황도의 경도에 따라 한데 모일 때 생긴다. 실제상 합은 실제운동선들이 그렇게 한데 모일 때 생긴다. 그러나 보이는 합은 우리 눈에서 각 천체의 몸체 중심을 지나 그은 선들이 하나로 합쳐질 때 생긴다. 평균상 충과 실제상 충에 대해서도 마찬가지로 말해야 하며, 이 관계들은 같은 사인·도·분을 기준으로 살핀다.

이로써 실제상 합이 일어났을 때 평균상 합은 이미 지나갔거나 아직 앞으로 일어날 경우가 흔함을 알 수 있다. 실제상 합은 일어났어도 보이는 합은 일어나지 않는 경우도 흔하다. 또한 보이는 합이 실제상 합에 앞서기도 하고 뒤따르기도 한다.

별의 실제 위치는 세계 중심에서 별의 중심을 지나 뻗은 선이 끝나는 별하늘의 점이다. 한편 보이는 위치, 곧 겉보기 위치는 눈에서 별의 중심을 지나 그은 선에 의해 정해진다.

황도 경도상의 합과 황위까지 같은 합의 차이

이를 이해하려면 황도축을 중심으로 한 황도를 생각하고, 이어 황도의 양극을 지나면서 황도와 구면상의 각을 이루어, 곧 직각으로 만나는 다른 원형의 선을 이 그림처럼 생각하라.

도형의 A·B·C·D 문자와 직교하는 원호를 보존한다.

이 선들이 황도를 직각으로 가르는 같은 선 위에 있을 때 황도 경도에 따른 합이라고 한다. 황위에 따른 합은 황도의 같은 점에 있을 때이다. 모든 행성의 평균운동선은 생각 속에서 황도면 위를 움직여, 모두 황도에서 끝난다는 것을 알아 두라. 이퀀트의 중심에서 나오는 경우에도 그러하다. 이퀀트가 황도면에 있기 때문이다. 그러므로 행성의 평균상 합, 곧 평균운동선에 따른 합은 그 선들이 황도 경도상으로 한데 모일 때, 다시 말해 황도상의 같은 점에서 끝날 때 생긴다. 따라서 이 합은 경도와 황위에서 동시에 일어난다.

그러나 실제운동선은 언제나 같은 황도면 위에서 움직이는 것은 아니다. 때로는 그 면에 있기도 하지만, 그 선들은 황도면과 교차하는 운반원들의 면 위에서 움직이기 때문이다. 운반원들이 황도의 극을 중심으로, 또는 황도 아래에서 움직이는 것은 아니기 때문이다. 따라서 이 선들에 따른 합이 언제나 황도에서, 그에 따라 황위에서도 일어나는 것은 아니다. 용의 머리나 꼬리에 있을 때만 그러하다. 그렇지만 황도와 직각으로 만나는 선 위에는 있으므로, 경도에 따른 합은 성립한다. 이 부분에서 말한 나머지는 분명하다.

애스펙트의 첫째 근거—충의 간격을 나누기

그러나 이 애스펙트들의 개연적인 근거를 묻는다면, 프톨레마이오스는 『네 권의 책』 제1권 제14장에서 두 가지 근거를 들어 답한다. 첫째는 부분과 전체의 조응에서 취했다고 말한다. 마주 보는 두 위치는 지름의 양 끝을 이루므로 서로 바라보며, 그 위치에 놓인 행성들은 서로 충을 이룬다는 것은 그 자체로 분명하다. 그 간격은 여섯 사인이다.

이 간격의 부분들을 취하면 나머지 애스펙트들이 생긴다. 절반, 곧 세 사인을 취하면 원의 4분의 1이므로 스퀘어이다. 그리고 같은 절반의 3분의 1, 곧 두 사인을 취하면 원의 6분의 1에서 섹스타일 애스펙트가 생긴다. 이를 두 배로 하면 네 사인, 곧 원의 3분의 1이 되어 트라인 애스펙트가 생긴다는 데 의심의 여지가 없다. 따라서 충 애스펙트의 부분들에서 나머지 세 애스펙트가 생겨난다. 이 때문에 이 근거를 부분과 전체의 조응에서 취했다고 말한다.

애스펙트의 둘째 근거—3 대 2, 4 대 3, 2 대 1

같은 저자가 전체와 부분의 조응에서 취한 둘째 근거는 이러하다. 세 사인을 포함하는 스퀘어 애스펙트를 취하고, 이에 대해 3 대 2의 비율을 이루는 그 부분과 비교하면 섹스타일 애스펙트가 생긴다. 세 사인이 3 대 2의 비율을 이루는 상대 부분은 두 사인이다. 이 둘은〔이어진 인쇄구절 sed extra circuli는 문맥상 난해하여 구문 판독 유보〕섹스타일 애스펙트를 이룬다. 이것은 부분을 전체와 비교하는 것이다. 그것과 4 대 3의 비율을 이루는 전체와 비교하면 트라인 애스펙트가 생긴다.

세 사인에 대해 4 대 3의 비율을 이루는 전체는 네 사인이기 때문이다. 이는 원의 3분의 1로서 트라인 애스펙트를 이룬다. 이것은 전체를 부분과 비교하는 것이다. 마찬가지로 그것을 두 배의 비율로 넘어서는 전체와 비교하고자 하면 충이 생긴다. 충은 여섯 사인의 간격을 가지며, 스퀘어 애스펙트를 이루는 세 사인에 대해 두 배의 비율이기 때문이다. 이것도 전체를 부분과 비교하는 것이다. 그래서 이 근거를 전체와 부분의 조응에서 취했다고 말하였다.

주석자가 덧붙이는 셋째 근거—열두 사인의 약수

나는 프톨레마이오스의 근거들에 아무 반론도 제기하지 않는다. 그처럼 위대한 사람의 명성에 맞서기를 감히 하지 못하며, 더욱이 그가 이를 증명적인 근거가 아니라 개연적인 근거로 제시하기 때문이다. 다만 애스펙트가 네 가지뿐이라는 데 더 알맞은 셋째 근거를 제시하겠다. 애스펙트는 그 이름이 보여 주듯 황도를 나누어떨어지게 하는 부분들에 따른 간격이므로, 같은 원을 반복하여 잴 수 있는 그러한 부분의 수만큼 애스펙트가 있다고 말하는 것이 합당하다.

그런데 열두 사인에는 여러 번 되풀이하여 전체를 이루는 그러한 부분의 수가 네 가지뿐이다. 6분의 1은 두 사인으로, 섹스타일 애스펙트를 이룬다. 이것이 섹스타일이라 불리는 까닭은 원의 6분의 1을 차지하기 때문이다. 4분의 1은 세 사인으로, 스퀘어 애스펙트를 이룬다. 이를 넷째라고도 부르는 것은 황도의 4분의 1을 포함하기 때문이다. 3분의 1, 곧 네 사인은 트라인 애스펙트를 이룬다. 이 이름은 3분의 1을 포함한다는 데서 왔다. 마지막으로 절반인 여섯 사인은 양 끝이 지름을 사이에 두고 마주 보므로 충, 곧 대향 애스펙트라 불린다. 그러므로 열둘에 앞에서 말한 것 이외의 그러한 부분이 없다면, 앞에서 말한 것보다 더 많은 애스펙트가 있지는 않을 것이다.

다섯 사인의 간격은 애스펙트가 아니다. 다섯은 열둘을 나누어떨어지게 하는 부분이 아니기 때문이다. 한 사인의 간격도 그러하다. 하나는 수가 아니라 수의 시작이므로, 엄밀히 말하면 열둘의 부분이라기보다 부분의 시작이라 해야 하기 때문이다. 더욱이 하나는 모든 수를 재므로, 그 측정으로 한 수와 다른 수를 구별하지 못한다.

세 가지 애스펙트 측정—황도와 적도

둘째로, 애스펙트는 세 장소에서, 또는 세 가지 방식으로 취할 수 있음을 알아 두라. 첫째는 황도에서이다. 앞서 말한 간격을 황도에서 취하여 두 사인을 섹스타일, 세 사인을 스퀘어, 네 사인을 트라인, 여섯 사인을 충으로 삼으면 첫째 방식의 애스펙트이다.

둘째 방식은 적도에서 취한다. 행성들이나 서로 바라보는 다른 것들이 황도의 어떤 위치에 있어 앞에서 말한 간격을 적도에서 취할 수 있으면 둘째 방식의 애스펙트가 된다. 두 행성이 황도상의 어떤 위치에 있고, 세계의 양극과 각각의 실제 위치를 지나 그은 두 대원이 적도에서 두 사인, 곧 60도를 사이에 두면 섹스타일이다. 90도인 경우와 120도인 경우에는〔이 짧은 열거는 인쇄상 불완전하다〕트라인 애스펙트가 된다고 하였다. 이를 다른 방식으로 말해도 뜻은 같다. 두 행성이 황도의 어떤 위치에 있어 그 사이 황도호와 함께 직립천구에서 적도의 60도가 떠오르면 섹스타일, 90도이면 스퀘어, 120도이면 트라인 애스펙트가 생긴다.

충을 구할 때에는 황도에서와 다른 방식으로 계산하지 않는다. 황도에서 마주 보는 것은 일주 적도에서도 마주 보기 때문이다. 황도를 같은 두 부분으로 나누는 모든 대원은 적도도 같은 두 부분으로 나눈다. 천문학의 기초에서 보듯 둘 다 천구상의 대원이기 때문이다. 적도상의 애스펙트를 구할 때에는 이렇게 서로 바라보는 첫째와 둘째 것의 직승을 취한다. 두 직승의 차가 60도이면 섹스타일, 90도이면 스퀘어, 120도이면 트라인을 얻는다. 어떤 이들은 애스펙트를 이 방식으로 사용해야 한다고 말하지만, 황도에서 취하는 이들도 있다. 어느 견해가 더 안전한지는 지금의 고찰에 속하지 않으며, 판단을 다루는 이들이 검토하는 편이 더 알맞다.

위치와 지역을 고려하는 광선 투사

셋째 방식에서 애스펙트는 행성의 광선 투사로 취한다. 이때 그 행성이 놓인 위치원과, 그 투사를 구하는 사람이 머무르는 기후대 또는 거주지에서 떠오르는 간격만큼을 취한다. 예를 들어 행성이 자오선 위에 있다면 직승과 정중이 같으므로—이는 『알마게스트』 제2권에서 증명된다—애스펙트는 직승에 따라 취한다. 따라서 두 행성이 황도에서 떨어진 간격이 직립천구에서 떠오르거나 정중할 때 적도 60도에 해당하면 섹스타일이 된다. 나머지도 앞에서 말했듯 각 방식에 따른다. 용어: 적경

행성이 사경천구의 동쪽 지평선에 있다면, 그 사람이 있는 천구에서 적도의 60도 간격을 두고 먼저 또는 나중에 떠오르는 다른 것과 같은 애스펙트를 이룬다. 마찬가지로 서쪽에 있다면 그 기후대의 사강에 따라 광선 투사를 취한다. 상승점과 자오선 사이, 또는 자오선과 서쪽 사이의 다른 위치에 있다면, 그 두 위치 중 어느 쪽에 더 가깝거나 먼가에 비례하여 직승·사승 또는 직강·사강을 섞어 취한다. 따라서 자오선에 더 가까우면 광선 투사는 직승을 더 많이 따르고, 동쪽이나 서쪽에 더 가까우면 사승 또는 사강을 더 많이 따르되 비례에 맞게 한다. 용어: 사경

이것을 어떻게 하는지 설명하는 것은 지금 이 저작의 몫이 아니다. 직립천구와 여러 기후대에서 사인의 떠오름·짐을 다루는 수표의 사용법, 특히 디렉션을 위해 만든 수표들에서 설명하기 때문이다.

평균·실제·보이는 합의 재정의와 보이는 애스펙트

셋째로, 합에는 실제상·평균상·보이는 합의 세 가지가 있음을 알아 두라. 실제상 합은 합을 이루는 것들의 실제운동선이 한데 모여 같은 선이 양쪽의 중심을 지나거나, 그 선들이 양자리의 시작점에서 같은 거리에 있을 때 생긴다. 평균상 합은 평균운동선들이 같은 방식으로 합쳐지거나 하나가 될 때이다. 보이는 합은 관측자의 눈에서 나온 선들이 황도의 경도상 한 점에서 합쳐질 때이다. 그러므로 이렇게 합을 이루는 두 천체는 경도상 황도의 한 점에 있다고 판단된다.

다른 애스펙트들도 실제상과 평균상으로 나뉜다. 실제상 섹스타일은 실제운동선들이 60도 떨어질 때, 평균상 섹스타일은 평균운동선들이 같은 간격을 가질 때이다. 실제상 스퀘어는 실제운동선들이 90도 떨어질 때, 평균상 스퀘어는 평균운동선들이 그 간격을 가질 때이다. 실제상 트라인과 충은 실제운동선들이 120도 떨어지거나 지름을 사이에 둔 반대 위치에 있을 때이다. 평균상인 경우에는 규칙적인 운동의 선들이 이 관계를 가진다.

그러나 보이는 애스펙트는 합 이외에는 고찰하지 않는다. 지금의 목적에 속하지 않기 때문이다. 관측자의 눈에서 나온 선들이 앞서 말한 간격을 이루면 보이는 섹스타일·스퀘어·트라인이 생길 수는 있다.

이어서 저자는 ‘별의 시차는…’이라고 할 때 행성의 실제 위치와 겉보기 위치의 차이를 다루며 네 가지를 설명한다. 먼저 이 차이를 일반적으로 설명하고 몇 가지 따름명제를 끌어내며 다음과 같이 말한다.

시차의 정의—천정·세계 중심·관측자의 눈

별의 시차는 천정과 별의 실제 위치를 지나는 원 위에서, 그 별의 실제 위치와 겉보기 위치 사이에 끼인 호이다. 이로부터 별이 세계 중심과 지평선에 가까울수록 시차가 커진다는 것은 분명하다. 또 이 차이는 달에서 가장 크게 나타나며, 화성에서는 뚜렷이 지각되지 않는다. 지구의 반지름은 달 천구층의 반지름에 비하면 감지할 만한 크기이지만, 화성 천구층의 반지름에 비하면 그 크기가 그다지 지각되지 않기 때문이다.

시차 도형에서 지구 중심과 표면을 구별하는 법

이를 이해하려면 여기와 뒤에 제시된 시차 및 보이는 합의 이론, 곧 도형을 살펴야 한다. 이 그림 속 작은 반원이 흙 원소로 된 지구의 절반을 표시한다는 것을 알면 그림 전체도 분명해진다. 따라서 그 반원의 중심에서 나오는 선들은 지구 중심에서 나오는 선들이다. 반원의 둘레에서 나오는 선들은 우리의 눈에서 나오는 것으로 이해한다. 우리는 지표면에 살기 때문이다. 이 도형에서 이를 볼 수 있다.

VERTEX는 천정이다. 각 반원과 광선의 문자 표지는 원상대로 보존한다.

둘째로 그는 같은 차이를 경도에 따라 설명하며 말한다.

경도 시차와 황위 시차

별의 경도 시차는 두 대원 사이에 끼인 황도의 호이다. 두 대원 가운데 하나는 황도의 양극과 별의 실제 위치를 지나고, 다른 하나는 같은 양극과 별의 보이는 위치를 지난다.

이 부분은 이 그림에서 분명하다.

ECLIPTICA는 황도, POLVS ECLIP.는 황도의 극이다. 셋째로 그는 같은 차이를 황위에 따라 설명하며 말한다.

별의 황위 시차는 황도의 양극과 별의 실제 위치를 지나는 대원 위에서, 황도와 평행한 두 원 사이에 끼인 호이다. 두 평행원 가운데 하나는 별의 실제 위치를 지나고 다른 하나는 별의 보이는 위치를 지난다. 한편 황도와 평행한 이 원들에서, 황도의 양극을 지나는 두 대원 사이에 끼인 부분은 경도 시차와 닮아 있다. 그러므로 시차는 그 두 변이 경도 시차와 황위 시차인 사각형의 대각선과 같은 것이다.

평행원의 닮음과 불완전한 대각선 구절

ECLIP.는 황도, 양쪽 POL. ECLIP.는 황도의 양극이다.

이 부분 전체는 아래 도형과, 별의 황위가 황도에서 벗어난 정도라는 사실에서 분명하다. 그러나 더 잘 알기 위해서는 첫째로 ‘닮아 있다’라는 말을 살펴야 한다. 원의 부분들이 서로 비례하면, 서로 같지 않더라도 닮았다고 한다. 따라서 크고 작은 원의 부분들이 같은 선들 사이에 끼여 있을 때, 그 원들이 서로를 둘러싸거나 서로 평행하다면 그 부분들은 닮았다고 말한다. 다만 비례적으로 같은 것이지 크기가 같은 것은 아니다. 황도와, 황도보다 작고 그와 평행한 두 원은 모두 평행하다. 그러므로 황도의 양극을 지나는 두 원이 가두는 황도 부분, 곧 경도 시차는 같은 두 원이 잘라 낸 두 평행원의 부분들과 닮아 있다. 따라서 그 부분들도 앞서 말한 경도 시차와 닮아 있다.

둘째로 ‘대각선’이라는 말을 살펴야 한다. 여기서는 본문이 불완전해 보이며, 나는 다른 사본을 찾을 수 없었다. 그러나 실상은 이러하다. 경도 시차는 황도선 위에서 취하고, 황위 시차는 황도를 직각으로 가르는 선, 곧 황도의 양극을 지나는 원 위에서 취한다. 그런데 한 대원과 한 평행원이 만나는 점에서, 다른 대원과 다른 평행원이 만나는 점으로 선을 그으면 그 선은 앞서 말한 사각형의 두 꼭짓점을 지난다.

넷째로 그는 태양과 달에 적용하여 다음과 같이 말한다.

태양에 대한 달의 시차와 황도 90도점

태양에 대한 달의 시차는 달의 시차가 태양의 시차를 넘어서는 양이다. 두 광체의 실제상 합이 황도의 상승 도수와 그 상승점에서부터 아흔 번째 도수 사이에서 일어나면, 보이는 합은 실제상 합에 앞설 것이다. 같은 90도점과 지는 도수 사이에서 일어나면 보이는 합이 실제상 합을 뒤따를 것이다. 바로 그 90도점에서 일어나면 보이는 합과 실제상 합은 동시에 일어나며 경도 시차는 생기지 않을 것이다. 황도의 상승점에서부터 아흔 번째 도수는 언제나 천정과 황도의 양극을 지나는 원 위에 있기 때문이다.

달의 보이는 황위는 황도의 양극과 달의 실제 위치 또는 보이는 위치를 지나는 대원 위에서, 황도와 달의 보이는 위치를 지나는 황도 평행원 사이에 끼인 호이다.

시차에서 식 용어로 넘어감

90도가 황도 둘레와 360도로 나눈 모든 원의 4분의 1이라는 점을 알면 이 부분과 앞의 설명은 모두 분명하다. 이어서 ‘식분은…’이라고 할 때에는 두 주요 광체의 모습과 관련된 몇 가지 명칭을 설명한다. 이 부분에서는 여러 사항을 다루며, 먼저 식분을 설명하여 다음과 같이 말한다.

식분, 진입 각분과 개기 반지속 각분

식분이라 부르는 것은 가려지는 태양 또는 달 몸체의 지름을 열둘로 나눈 부분이다. 월식의 진입 각분은 달이 태양을 앞지르며 황도에서 나아가는 각분이다. 부분식 또는 지속 없이 순간적으로 완전해지는 개기식이라면 식이 시작할 때부터 그 중간까지이고, 완전히 가려진 상태가 지속되는 개기식이라면 식의 시작부터 완전한 가림이 시작할 때까지이다.

개기 반지속 각분은 달이 태양을 앞지르며 완전한 가림의 시작부터 그 중간까지 나아가는 황도의 30각분이다. 일식의 진입 각분은 달이 태양을 넘어서는 운동으로 식의 시작부터 그 중간까지 나아가는 각분이다. 그러므로 이 각분을 달이 한 시간에 태양을 앞지르는 양으로 나누면, 그 각분을 통과하는 시간이 얻어진다.

광체의 시직경과 개기일식의 지역 차이

태양의 시직경은 이심원의 아우게에서 현의 각분으로 31분이고, 아우게 맞은편에서는 33분이다. 그러나 태양의 한 시간 운동과 그 시직경의 비는 언제나 5 대 66이다. 달의 시직경은 이심원과 주전원 모두의 아우게에서 29분이며, 이심원의 아우게이면서 주전원의 아우게 맞은편에서는 36분이다. 그러나 달의 한 시간 운동과 그 시직경의 비는 언제나 48 대 47이다.

그러므로 때로 개기일식이 생길 수는 있어도, 시차 때문에 태양 전체가 지구 전체에 대해 완전히 가려지는 모습이 자연적으로 나타날 수는 없다는 결론이 따른다. 태양이 이심원의 아우게에 있을 때, 달이 통과하는 자리에서 지구 그림자의 지름과 달의 시직경의 비는 12 대 5이다. 태양이 아우게에 있을 때의 그 그림자 지름이, 태양이 이심원의 다른 자리에 있을 때의 지름을 넘어서는 양은, 태양이 아우게와 그 다른 자리에서 한 시간에 움직이는 운동량 차의 열 배이다.

월식과 일식의 도해 표제

월식의 이론.

일식의 이론.

검사 주: 개기 반지속의 “황도의 30각분”은 원문 minuta 30. Zodiaci를 보존한다. 31·33/29·36분,5:66/48:47/12:5 및 열 배도 원문 수치 그대로이다.

지름 전체와 식으로 가려진 부분을 구별함

여기서 알아 두라. 태양이나 달의 지름은 두 점 사이의 하나뿐인 선이지만 여러 방식으로 취할 수 있다. 첫째는 그 자체의 지름이며, 이때에는 태양 몸체의 크기에 따라 매우 크다. 둘째는 보이는 지름, 곧 우리 눈과의 관계에서 취한 지름이다. 이는 거리가 우리의 시야에 미치는 관계 때문에 그 자체의 지름보다 훨씬 작다. 특히 아우게에서는 거리가 가장 멀어 가장 작게 보이며, 거기서부터 차츰 크게 보이다가 아우게 맞은편에서 가장 크게 보인다.

셋째는 식으로 가려진 지름이다. 태양 전체가 가려지는 것이 아니면 이것은 더욱 작다. 다만 이때 가려지는 것은 지름 전체가 아니라 지름의 일부이다. 그러므로 점성가들이 식분이라고 부르는 것은 가려지는 태양 또는 달 몸체의 지름을 열둘로 나눈 부분이라고 말한다. 손 및 손가락과의 유사성 때문에 이러한 명칭을 쓴다. 즉 그 지름을 열둘로 나눈 뒤 그 가운데 가려진 부분을 말한다. 그 부분들은 언제나 분할 단위, 곧 부분이지만, 가려지지 않으면 식분은 아니다.

둘째로 그는 ‘진입 각분은…’이라고 하여 월식과 일식의 진입 각분 및 개기 반지속 각분을 설명한다.

부분월식·개기월식과 개기 상태의 지속

먼저 알아 둘 것은, 월식에는 부분식도 있고 개기식도 있다는 점이다. 개기식에는 완전히 가려진 상태가 지속되는 경우와 지속되지 않는 경우가 있다. 부분식 역시 짧게 지속되기도 하고 길게 지속되기도 한다. 이 모든 것의 근거와 원인은 알파그라누스의 구분 제28장에서 분명해진다. 가정하는 바에 따르면 지구 그림자는 달보다 두 배에 5분의 3을 더한 비율로 크다. 따라서 충일 때 달의 중심이 황도에 놓이고, 같은 선이 태양·달·지구의 중심 및 피라미드 모양인 지구 그림자의 축을 지나면 이 도형과 같은 배치가 된다.

Terra는 지구이다.

이때 달 전체가 가려지고, 얼마 동안 그 가림이 계속되므로 개기 상태가 지속되는 월식이 된다. 달 전체가 가려지기는 하지만 그 상태가 계속되지 않으면 지속 없는 개기식이다. 예를 들어 충일 때 달이 황도에서 황위상으로 벗어난 양이, 지구 그림자의 반지름에서 달의 반지름을 뺀 만큼일 때가 이 도형과 같다.

즉 태양과 지구의 중심을 지나는 선은 언제나 그렇듯 황도에서 끝나며, 달의 중심은 그 선과 지구 그림자의 시선 사이의 중간에 놓인다. 달의 황위가 그림자의 반지름과 같아 그 중심이 그림자의 시선 위에 있으면 달의 절반이 가려진다. 이것도 위 도형에서 분명하다. 달의 황위가 그림자 반지름과 달 반지름을 합친 크기라면, 그림자는 달에 한 점에서 접하고 식은 생기지 않는다. 같은 도형에서 이를 볼 수 있다.

왼쪽 광선 안의 작은 두 줄 글귀는 선명하게 확정하지 못하여 판독 유보한다. Cono…로 시작하는 위쪽 광선 라벨도 판독 유보하며, Luna는 달이다. 문자 A–L은 원상대로 보존한다.

게라르두스와 사크로보스코가 정의하는 진입·반지속 각분

둘째로, 게라르두스와 요하네스 데 사크로보스코가 다음과 같이 정의한다는 것도 알아 두라. “월식의 진입 각분은 달이 식의 시작부터 그 중간까지 지나가는 하늘의 각분이라고 한다. 이는 달 전체가 어두워지지 않는 경우이며, 달 전체가 어두워지는 경우에는 완전한 가림의 시작까지이다. 반지속 각분은 달이 완전한 가림의 시작부터 그 중간까지 지나가는 각분이다. 그러므로 이 각분을 달의 한 시간 균등운동으로 나누면, 달이 그 각분을 통과하는 시간이 나온다.” 여기까지가 그의 말이다.

몬테레지오의 비판—달의 운동인가 태양을 앞지르는 운동인가

그러나 요하네스 데 몬테레지오는 이에 맞서 다음과 같이 말한다. “누구도 제 뜻대로… 정의할 수는 없다. 학문의 첫 전승자들에게는 그것이 허용되더라도, 주석자와 후속 저자에게는 허용되지 않기 때문이다. 게라르두스도 프톨레마이오스와 다른 이들을 따라야 했다. 그들은 부분식에서는 달이 식의 시작부터 그 중간까지 태양을 앞지르며 지나가는 각분을 진입 각분으로 정의한다. 개기식에서는 식의 시작부터 전체가 가려지기 시작할 때까지이다. 그러므로 진입 각분은 같은 시간 동안 달의 실제운동이 태양의 실제운동을 넘어서는 양으로 이해해야 하며, 달의 운동 그 자체로 이해해서는 안 된다.

이 정의는 프톨레마이오스의 『대편찬』 제6권 제6장의 뜻에 부합한다. 모든 수표에서도 진입 각분은 그렇게 기록된다. 따라서 시간을 얻기 위해 수표 해설자들은 이 진입 각분을 달이 한 시간에 실제로 태양을 앞지르는 양으로 나누라고 가르쳤다. 또는 같은 각분에 그 12분의 1을 더한 뒤, 그 합계를 달의 한 시간 실제운동으로 나누라고 했다. 진입 각분을 이 사람의 견해대로 정의한다면 어느 방법도 제대로 이해할 수 없을 것이다.

그러므로 나는 ‘그리고 이 때문에 이 각분을 나누면…’이라고 이어지는 문구는 버려야 한다고 생각한다. 그러한 나눗셈으로 달이 그 각분을 통과하는 시간이 나오더라도, 그것은 진입이나 개기 반지속의 시간이 아니기 때문이다.”

상대운동을 다시 확인하고 시직경 측정을 설명함

그러나 앞에서 가르쳤듯 이런 각분은 달이 한 시간에 태양을 앞지르는 양으로 나누어야 한다. 그 사람은 이 점을 아주 잘 말했다. 이를 위해 태양과 달 모두 자기 운반원에서 동쪽으로 움직이지만, 달이 태양보다 훨씬 빠르다는 것을 기억해야 한다.

천문학자들이 기구, 특히 아스트롤라베로 두 광체의 시직경을 다음처럼 구했다는 것을 알아 두라. 아스트롤라베를 축으로 잡아 자연스럽게 늘어뜨리고, 두 구멍을 통해 태양 또는 달의 지름 맨 윗부분이 보일 만큼 회전판을 올렸다. 그 회전판이 놓인 곳의 도·분을 아스트롤라베 뒷면에서 적었다. 다음에는 광체 맨 아랫부분의 고도를 시선으로 기록하고, 두 기록 사이에서 광체 지름의 길이와 크기를 얻었다. 서로 다른 시기에 아우게와 그 맞은편에서 다른 값이 나왔으므로, 지름이 눈에 언제나 같게 남아 있지는 않는다고 결론지었다.

그런데 아스트롤라베의 뒷면은 적도와 황도처럼 대원의 360도로 나뉘므로, 태양 지름의 크기는 아우게에서 황도 29분, 맞은편에서 34분이라는 결론이 따른다. 다만 이 지름의 크기를 취할 때에는 태양의 일주운동 때문에 오차가 생길 수 있으므로, 같은 시각에 두 사람이 해야 했을 것이다.

식 논의의 마무리와 적위·황위로의 전환

식에 관한 이 문제를 더 완전하게 알려면, 이를 충분히 논한 프톨레마이오스 『알마게스트』 제7권에서 찾아보라. 다만 본문의 저자는 두 광체의 식이 어떤 때에는 개기이고 어떤 때에는 부분식인 까닭을 밝히지 않는다. 부분식도 어떤 때에는 더 크고 오래 지속되며, 어떤 때에는 더 작고 짧게 지속되는 이유를 밝히지 않는다. 알파그라누스가 구분 제28·29장에서 이 현상들의 원인을 설명하므로, 독자에게 그의 저술을 읽도록 권한다.

이제 선생은 황도의 경도 운동에 따라 행성들에 생기는 현상들을 다루었으므로, 황위 운동을 통해 그것들에 생기는 현상, 곧 황위와 적위를 다룬다. 여기서는 두 가지를 행한다. 먼저 적위와 황위를 정의하며 다음과 같이 말한다.

검사 주: 대편찬 제6권 제6장, 알마게스트 제7권 및29/34분은 원문에 인쇄된 서로 다른 인용·수치 그대로 보존했다.

별의 적위와 황위의 정의

별의 적위는 그 별이 적도에서 떨어진 거리이며, 세계의 두 극과 별의 실제 위치를 지나는 원에서 헤아린다. 그 실제 위치는 세계 중심에서 별 몸체의 중심을 지나 그은 선이 가리킨다.

한편 별의 황위는 그 별이 황도에서 떨어진 거리이다. 황도의 두 극과 방금 말한 방식으로 정해진 별의 실제 위치를 지나는 원에서 헤아린다.

정의를 행성에 적용함

둘째로, 주어진 정의들을 행성들에 적용하여 어떤 행성들에 적위와 황위가 있으며, 어떤 방식으로 있는지를 보인다. 먼저 태양에 적용하여 다음과 같이 말한다.

태양에는 황위가 없음

이 사실들과 앞서 태양에 관해 말한 사실들에서, 태양에는 적위가 있더라도 황위는 전혀 없다는 것이 분명하다. 태양의 운반원 면이 언제나 황도면 안에 머물기 때문이다.

달에 대한 적용

둘째로 달에 적용하여 다음과 같이 말한다.

달의 한 가지 황위와 황위 아르구멘툼

달과 나머지 다섯 행성에는 황위가 있다. 달에서는 아우게를 움직이는 것들의 축이 황도대의 축에 대해 기울어져 있기 때문에, 운반원의 평면이 세계의 한 지름을 따라 황도의 평면과 교차한다. 그 면은 황도면의 서로 반대되는 쪽으로 기울어지지만, 최대 기울기의 양은 언제나 똑같이 변하지 않고 유지된다. 달 주전원의 평면은 운반원의 면을 결코 벗어나지 않기 때문이다. 따라서 달에는 한 가지 황위만 있다. 곧 운반원이 황도에 대해 기울어져 생기는 황위이다.

이 황위는 달의 실제 황위 아르구멘툼으로 알 수 있다. 그러므로 달의 평균 황위 아르구멘툼은 용의 머리의 실제운동선과 달의 평균운동선 사이에서, 사인들의 차례를 따르는 방향으로 취한 황도대의 호이다. 달의 실제 황위 아르구멘툼은 머리의 실제운동선에서 달의 실제운동선까지 사인들의 차례를 따라 헤아린 황도대의 호이다.

따라서 달의 실제 위치에서 머리의 실제운동을 빼거나, 달의 실제운동에 머리의 평균운동을 더하면, 달의 실제 황위 아르구멘툼이 나온다.

상위 세 행성의 황위에 대한 도입

셋째로 태양보다 위에 있는 세 행성에 적용한다. 이 적용에서는 여러 사항을 다룬다. 무엇보다 먼저, 운반원이 황도에서 기울어져 있기 때문에 이들에게 한 가지 황위가 있음을 가르치며 다음과 같이 말한다.

상위 세 행성의 운반원 황위와 최대 황위의 위치

상위 세 행성에는 두 가지 황위가 있다. 그중 하나는 달에서와 같이 운반원 면이 황도면의 서로 반대되는 쪽으로 기울어져 생기는 황위이며, 그 최대량은 언제나 변함없이 유지된다. 그러나 세계의 지름을 따라 운반원들이 황도와 만나는 교차점들, 곧 머리와 꼬리라고도 부르는 점들은 달에서처럼 사인들의 차례를 거슬러 움직이지 않는다. 앞서 말했듯 제8천구의 운동에 따라 움직여, 이 행성들의 운반원 아우게들이 언제나 북쪽에서 황도와 나란한 원둘레들을 그리도록 한다.

이 아우게들은 언제나 북쪽에 있지만, 세 행성 모두에서 운반원이 황도로부터 최대 황위에 이르는 점인 것은 아니다. 오직 화성에서만 운반원의 아우게가 황도로부터 북쪽으로 가장 크게 기울어진다.

토성에서는 그러한 점이 자기 운반원의 아우게보다 앞에, 곧 사인들의 차례를 거스르는 방향으로 50도 떨어져 있다. 목성에서는 아우게보다 뒤에, 곧 사인들의 차례를 따르는 방향으로 20도 떨어져 있다.

최대 황위의 위치가 다른 이유와 중심에 관한 반론

이 부분 전체는 앞서 말한 것들과 다음의 몇 가지 사항에서 드러난다.

화성의 운반원에서 황도로부터 가장 크게 기울어진 점은, 용의 머리와 꼬리의 중간에 있어 양쪽으로 같은 거리에 떨어져 있는 바로 그 점이다. 이 점은 지구 중심에서 가장 높이 떨어진 곳이기도 하므로 아우게이다. 그러나 다른 두 행성에서는 아우게가 각각의 용, 곧 이심원과 황도의 교차 위치들에서 같은 거리에 있지 않음을 알아 두라.

이 차이의 이유는 중심들의 배치가 다르기 때문이다. 아우게와 그 맞은편, 세계 중심과 이심원 중심이라는 네 점은 언제나 하나의 선 위에 놓인다.

이에 반론이 있다. 이 세 행성과 세계는 중심이 같아 보인다. 이들은 가장 바깥쪽의 면들에 관해서는 세계와 동심이기 때문이다.

답하자면, 전체 천구들의 중심에 관해 말할 때에는 그것이 참이다. 그러나 운반원들의 중심은 세계 중심과 다르고 서로도 다르다. 적어도 화성에 관해서는 그렇다.

이어서 저자는 주전원의 원이 황도와 운반원에 대해 기울어져 생기는 다른 황위가 있음을 가르치며 다음과 같이 말한다.

주전원 면의 기울어짐에서 생기는 다른 황위

다른 황위는 주전원의 평면이 때때로 운반원의 평면에 대해 기울어지는 데서 생긴다. 주전원은 자신의 중심과 중간거리점들을 지나는 축을 중심으로, 실제 아우게에 관하여 황위 방향으로 움직인다. 다만 주전원 중심이 머리나 꼬리의 교점에 있을 때에는, 주전원의 실제 아우게와 그 맞은편이 바로 운반원 면 안에 있고 주전원의 면은 황도면 안에 있도록 움직인다.

주전원 중심이 교점을 벗어나면 주전원 아우게들의 지름이 운반원 면에 대해 기울어지기 시작한다. 그리하여 주전원의 실제 아우게 맞은편은, 주전원 중심이 이제 지나가기 시작하는 운반원 반쪽이 황도로부터 놓여 있는 쪽을 향하여 운반원 면에서 멀어진다. 주전원의 실제 아우게는 그만큼 반대쪽으로 멀어진다. 아우게와 그 맞은편은 주전원 중심이 황도로부터 가장 크게 기울어진 운반원의 점, 곧 두 교점의 중간점에 도달할 때까지 계속해서 운반원 면에서 멀어진다. 그곳에서는 주전원 면이 앞서 말한 지름과 함께 운반원에 대해 가장 크게 기울어진다.

그곳을 지나면 운반원에 대한 주전원의 기울기는 차례로 작아져, 주전원 중심이 다른 교점에 이를 때까지 감소한다. 그 교점에서는 다시 주전원 면 전체가 황도면 안에 있고, 실제 아우게들의 지름은 운반원 면 안에 있다. 그러므로 이 황위 운동이 이루어지는 축은, 주전원 중심이 교점들 밖에 있는 동안 언제나 황도면과 평행하다.

평면·황위 운동·중간거리점·교점의 뜻

이 부분은 어렵고 뒤의 여러 논의에 관계되므로, 그 뜻을 머릿속에 그려 보려면 먼저 용어들을 설명해야 한다. 주전원의 평면이란 하나의 원주선으로 둘러싸인 원형 면이다. 볼록한 면과 구별하고, 주전원에 오목한 면이 있다면 그것과도 구별하기 위해 평면이라 한다. 한 평면이 다른 평면에 대해 기울어진다는 것은, 이 그림에서와 같이 다른 평면과 교차한다는 뜻이다.

주전원이 실제 아우게에 관하여 황위 방향, 곧 황도대의 황위 방향으로 움직인다는 것은 실제 아우게가 북쪽에서 남쪽으로 또는 그 반대로 움직인다는 뜻이다. 동쪽에서 서쪽으로 또는 그 반대로 움직이는 것이 같은 황도대의 경도 방향 운동인 것과 같다. 주전원의 중간거리들은 그 중심에서 아우게와 그 맞은편의 선과 직각을 이루는 두 선이거나, 그림에 보인 그 선들의 끝점들이다.

용의 머리나 꼬리의 교점이란 두 평면이 서로 교차하는 바로 그 선이거나, 두 원둘레가 서로 만나는 점이다. 주전원 아우게들의 지름은 주전원 중심을 지나며 아우게와 그 맞은편을 양 끝으로 하는 선이다.

주전원의 세 운동과 서로 다른 축

이 점들을 전제로, 지금 논하는 주전원에는 세 운동이 있음을 알아 두라. 하나는 운반원의 운동에 딸린 부수적인 운동이며, 여기서는 그것을 말하지 않는다. 나머지 두 운동은 자체 운동이다. 하나는 경도 방향으로 이루어지는 완전한 원운동이고, 다른 하나는 황위 방향 운동이다. 후자는 완전한 원운동이 아니라 일종의 다가감과 물러남이다. 종이 축받침 위에서 흔들릴 때 아래쪽 종 몸체와 위쪽의 축 부분이 움직이는 것과 같은 방식이다.

이 마지막 운동은 주전원 중심과 중간거리점들을 지나며, 중간거리점들을 양 끝으로 하는 선을 축으로 이루어진다.

경도 방향의 자체 운동은 이심원의 원둘레 위에 놓인 축을 중심으로 이루어진다. 그러나 달의 주전원에 관해 말했듯 직각으로 놓인 것이 아니라, 비스듬히 가로놓여 있다. 따라서 주전원 중심이 황도면 안, 곧 교점에 있을 때 이 축은 황도면에는 수직이고, 운반원 면에는 그림과 같이 비스듬히 놓인다.

주전원 아우게와 중간거리선의 도해 표지

주해. B: 아우게. D: 아우게의 맞은편. C–A: 경도선(Linea longitudinis).

교점을 떠날 때 축의 방향이 달라짐

Polus는 극, Axis Zodiaci는 황도대의 축, Zodiacus는 황도대, Aequinoctialis는 적도이다. A–F 문자는 원상대로 보존한다.

그때에는 그 축이 황도의 축과 평행하지만, 교점을 벗어난 뒤에는 그렇지 않다. 주전원의 평면이 운반원의 평면과 황도면에 다가갔다 물러나는 데 따라, 그 극들이 번갈아 높아지고 낮아지기 때문이다.

그러나 이 다가감과 물러남의 축, 곧 어느 쪽이든 아래와 위쪽에 늘 놓이는 축은 변하지 않는다. 교점에서 황도축에 대해 직각으로 놓이듯, 운동 전체에 걸쳐 언제나 그 축과 같은 관계를 유지한다. 그래서 황도면과 평행하다고 하는 것이다. 이는 운동의 어느 부분에서도 그 축의 어떤 부분만 황도면에 닿거나, 한 부분이 다른 부분보다 황도면에 더 가까워지지 않는다는 뜻이다. 이로부터 본문의 문구와 선생이 제시한 구도를 이해할 수 있다.

이어서 네 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 첫째 명제는 다음과 같다.

쪽수 주: 인쇄145쪽 다음 면의 쪽머리는162로 인쇄되어 있으나 본문은 “Sed axis huius accessus…”로 앞의 축 논의를 이어간다. 이 숫자 변화만으로 낙장이라고 단정하지 않는다.

첫째 따름명제: 경도 회전축의 평행 관계

첫째로 이 사실들에서, 앞서 말한 것처럼 주전원의 경도 방향 회전이 이루어지는 축은 황도축과 때로 평행하고 때로 평행하지 않지만, 이심원의 축과는 결코 평행하지 않는다는 것이 드러난다.

둘째 따름명제로의 전환

이것은 앞에서 말한 바에서 분명하다. 둘째 따름명제는 다음과 같이 이끌어 낸다.

둘째 따름명제: 두 면 사이와 그 바깥의 행성

둘째로, 주전원 중심이 교점들 밖에 있을 때 행성의 몸체가 주전원의 위쪽 절반에 있으면 언제나 두 면, 곧 황도면과 자기 운반원 면 사이에 놓인다. 그러나 주전원의 아래쪽 절반에 있으면, 운반원보다 황도에서 더 멀리 떨어져 있다. 따라서 천체가 언제나 운반원과 황도 사이에 있는 것은 아니다.

둘째 명제의 남북 방향 설명

이 따름명제는 앞서 말한 다음 사실에서 나온다. 주전원 중심이 교점들 밖에 있으면, 아우게의 맞은편은 이심원이 황도로부터 기울어진 쪽으로 이심원의 평면에서 벗어난다. 따라서 아우게 자체는 이심원에서 황도 쪽으로 기울어진다. 이는 주전원 중심이 남쪽 황위에 있을 때 그 아우게가 북쪽, 곧 황도 쪽으로 기울고, 중심이 북쪽 황위에 있을 때에는 아우게가 남쪽, 곧 황도 쪽으로 기운다는 말이다.

따라서 주전원의 아우게는 언제나 운반원과 황도면 사이에 있다. 그러므로 아우게가 놓인 주전원 면의 절반 전체도 그 사이에 있고, 행성이 그 위쪽 부분에 있는 동안에는 이심원 면과 황도면 사이에 놓인다. 같은 방식으로 셋째 따름명제를 이끌어 내며 말한다.

셋째 따름명제: 아우게를 정하는 선과 수직면

셋째로, 주전원들의 실제 아우게와 평균 아우게는 주전원 중심으로 그은 선들의 끝점과 언제나 일치하는 것은 아니다. 그렇더라도 그러한 선들을 통해 아우게들을 정할 수 있다. 따라서 주전원의 평균 아우게는 평균 아우게선을 따라 운반원의 면을 직각으로 자르는 평면 안에 언제나 놓이며, 실제 아우게도 실제 아우게선을 따라 운반원을 자르는 같은 종류의 평면 안에 놓인다.

셋째 명제의 뜻과 넷째로의 전환

저자의 뜻은 다음과 같음을 알아 두라. 주전원 중심을 지나 그은 선들이 언제나 실제 아우게와 평균 아우게에서 끝나지는 않는다. 그 선들은 운반원의 평면에서 끝나는데, 주전원의 아우게는 때로 그 면 바깥에 있기 때문이다. 그래도 이 선들로 두 아우게를 정할 수 있다. 곧 보여 주고 표시하며 찾아낼 수 있다. 아우게가 그러한 선과 같은 방향에 있기 때문이다. 따라서 그 선과 두 점을 포함하는 주전원의 한 평면을 통해 아우게를 찾을 수 있으며, 그 평면은 이심원의 면 아래에 놓인 주전원의 다른 면을 직각으로 자르게 된다. 넷째 따름명제는 다음과 같이 이끌어 낸다.

넷째 따름명제: 황도면 밖의 중심들과 표의 황위

넷째로, 운반원들과 이퀀트들의 중심이 황도의 평면에서 벗어나 있음을 분명히 알 수 있다. 표에 적힌 이들의 황위는 주전원 중심이 운반원에서 가장 크게 기울어진 점에 있을 때의 값이다.

금성과 수성에 대한 적용

이는 앞서 말한 사실들에서 분명하다. 마지막으로 황위와 적위에 대해 제시한 정의들을 금성과 수성에 적용한다. 이 적용에서도 여러 사항을 다루는데, 먼저 두 행성의 세 가지 황위를 설명하여 다음과 같이 말한다.

금성과 수성의 세 가지 황위

그런데 금성과 수성에는 보통 세 가지 황위가 있다. 하나는 운반원 쪽에서 생기며 편위(deviatio)라고 부른다. 다른 하나는 주전원의 실제 아우게와 그 맞은편을 잇는 지름의 경사에서 생기며, 경사(inclinatio)라고 부른다.

셋째는 실제 아우게에 관하여 중간거리점들을 잇는 지름이 꺾이는 데서 생기며, 꺾임(reflexio)이라고 부른다.

기울어지는 지름과 기울기의 축을 구별함

그러나 기울어지는 지름과 그 기울어짐이 이루어지는 축이 되는 지름은 서로 다르다는 점에 유의하라. 하나가 다른 하나를 직각으로 가로지르기 때문이다. 마찬가지로 꺾이는 지름과 그 꺾임의 축이 되는 지름도 다르다.

둘째로 저자는 이 황위들을 설명한다. 여기서는 뒤에서 드러나듯 세 황위를 설명하므로 세 가지를 다룬다. 그 첫째에 관해서는 ‘둘째로 행한다’고 되어 있다. 먼저 첫 번째 황위를 설명하면서 ‘운반원의 면은…’이라고 말한다.

금성과 수성의 운반원 편위

운반원의 면은 세계의 한 지름을 축으로 삼아 황위 방향으로, 때로는 북쪽을 향하고 때로는 남쪽을 향해 움직인다. 이 운동의 두 극은 이퀀트의 아우게에서 황도를 따라 양쪽으로 각각 90도 떨어져 있다. 그곳에 머리와 꼬리가 있기 때문이다.

그러나 이 황위 운동은 주전원 중심의 운동과 다음과 같은 비례 관계를 갖는다. 주전원 중심이 교점들 가운데 어느 한 곳, 곧 이퀀트의 아우게에서 90도 떨어진 곳에 있으면 운반원의 기울기는 전혀 없고, 그 면 전체가 황도면 안에 놓인다. 이후 주전원 중심이 교점을 벗어나면 운반원이 편위하기 시작한다. 주전원 중심이 들어가는 운반원의 반쪽은 금성에서는 언제나 북쪽으로, 수성에서는 언제나 남쪽으로 기울어진다.

주전원 중심이 운반원의 아우게나 그 맞은편에 도달할 때까지 편위는 차례로 커진다. 그때 편위는 최대이며, 금성에서는 17분, 수성에서는 16분이다. 이후 이 값은 계속해서 작아져 주전원 중심이 다른 교점에 이르면 다시 편위가 없어진다. 그다음에는 앞서와 같은 일이 다시 일어난다.

세계의 지름·흔들리는 면·교점의 위치

이를 이해하려면 먼저 용어들을 설명하자. 여기서 중간거리점들의 지름이란 세계 중심을 지나 금성이나 수성 운반원의 중간거리점들을 양 끝으로 하는 선, 또는 그 점들을 지나 가장 바깥 하늘까지 뻗은 선이다. 실제 아우게에 관하여 황위가 있다는 것은 그 아우게가 북쪽에서 남쪽으로 또는 그 반대로 움직인다는 뜻이다.

여기서 세계의 지름이라 하는 것은 세계 중심을 지나는 황도의 지름이지 세계축 자체가 아니다. 세계축도 분지경계선·직립 지평선·자오선에 대해서는 지름이지만, 여기서는 그것을 말하지 않는다. 운반원 면이 때로 북쪽으로, 때로 남쪽으로 움직인다는 것은 원운동을 한다는 뜻이 아니라, 앞에서 종에 관해 말한 방식으로 다가갔다 물러나는 운동을 한다는 뜻이다.

이 점들을 살펴본 뒤 다음을 알아 두라. 운반원은 이퀀트에서 기울어질 때 중간거리 위치에서 이퀀트와 교차한다. 곧 세계 중심을 지나 양쪽에서 황도에 이르는 선 위에서 교차한다. 그 선의 양 끝점은 이퀀트의 아우게, 다시 말해 이퀀트의 아우게를 지나는 선이 황도에 닿는 점에서 양쪽으로 각각 90도 떨어져 있다. 그림에 나타낸 것과 같다.

ECLIPTICA는 황도, AXIS MVN.은 세계축이다. 본문이 여기서 세계의 지름과 세계축을 구별하더라도 도형 표지는 임의 수정하지 않는다. 다만 그 교차를 평면상에 충분히 나타내기는 어렵다. 이심원의 면은 이 선을 축으로 다가갔다 물러나며, 본문에 언급한 주전원 운동과의 비례 관계에 따라 움직인다.

또 주전원이 앞서 말한 선 위의 두 교점 가운데 하나에서 벗어날 때에는, 자신이 놓인 운반원 부분이 위쪽이든 아래쪽이든 간에 금성의 주전원이라면 그 부분을 북쪽으로 끌고 가고, 수성의 주전원이라면 남쪽으로 끌고 간다는 점을 알아 두라.

주전원 중심이 운반원의 아우게나 그 맞은편에 있을 때 편위가 최대이다. 이로부터 본문의 문구와 그 구도가 분명해진다. 이어서 네 가지 따름명제를 이끌어 내며 말한다.

금성의 북쪽 편위·수성의 남쪽 편위와 주기

따라서 금성 주전원의 중심이 황도에서 남쪽으로 편위하는 일이 결코 없듯이, 수성 주전원의 중심이 북쪽으로 편위하는 일도 결코 없다는 것이 드러난다.

또 주전원 중심이 운반원을 한 바퀴 도는 운동은 운반원이 황위 방향으로 되돌아오는 운동과 같다는 것도 분명하다.

운반원 극들의 왕복과 추가 동심 천구층

이로부터 마찬가지로, 앞에서 말한 것처럼 운반원의 경도 운동이 이루어지는 두 극이 황도대의 극들에 때로 가까워지고 때로 멀어진다는 것이 드러난다. 앞서 말한 편위들 때문에, 이미 열거한 천구층들에 세계와 동심이며 그 모두를 둘러싸는 다른 천구층 하나를 더해야 할 것으로 보인다. 그 천구층의 진동 운동에 앞서 말한 편위들이 따르도록 하기 위해서이다.

하나의 움직이는 원인과 하나의 자체 운동이라는 가정

앞서 말한 것으로 모든 것이 드러나지만, 마지막 ‘앞서 말한 편위들 때문에’라는 구절은 따로 살펴야 한다. 이 따름명제에서 선생은 두 가지를 가정한다. 하나의 움직이는 원인에서는 하나의 운동만 생기며, 하나의 천체에는 하나의 움직이는 원인만 있다는 것이다.

이 가정들이 반드시 필연적인 것은 아닐 수도 있다. 하나의 천사가 하나로 묶인 것을 여러 방식으로 움직일 수도 있고, 두 천사가 다른 물체를 매개로 같은 물체를 서로 다른 방식으로 움직일 수 있음은 분명하기 때문이다. 제8천구가 셋으로부터 세 운동을 얻는 데서도 드러난다. 그래도 그러하다는 것은 그럴듯하며 철학자들이 인정한 바이다.

이 가정들을 유지하면, 운반원에 경도 운동과 황위 운동이라는 두 운동이 있고 첫째가 그 고유한 자체 운동으로 보이며 따라서 고유한 움직이는 원인을 요구하므로, 나머지 운동은 부수적인 것으로서 어떤 다른 물체에서 비롯되어야 한다.

이제 저자는 편위를 설명한 뒤 경사를 설명하려 한다. 경사는 운반원의 평면에 대한 주전원 아우게의 운동이며, 편위가 황도의 평면에 대한 이심원 또는 운반원 아우게의 운동인 것과 같다. 그러나 편위와 경사의 극단 위치들은 다르다. 편위의 경계는 주전원이 그곳에 놓일 때의 아우게와 그 맞은편이며, 경사의 경계는 아우게에서 ‘원의 네 겹 부분’을 통해 떨어져 있는 용의 교점들이다.

주전원 중심을 본 옛 관측자들의 추론

이 부분을 더 잘 이해하려면 다음을 알아 두라. 옛날에 별들을 관찰하던 이들은 북쪽 황위를 가진 금성 주전원이 황도에 다가가는 것을 알아차렸다. 황도에 도달하여 황위가 없어진 뒤에는 남쪽 황위를 얻으리라 기대했으나, 다시 북쪽으로 되돌아가는 것을 보고 놀랐다. 이전에 남쪽이었던 반쪽으로 들어갔는데도 남쪽이 되지 않고 다시 북쪽이 되었으므로, 그 반쪽이 이전에 가졌던 남쪽 황위 대신 북쪽 황위를 얻고, 북쪽이었던 나머지 반쪽은 남쪽으로 돌아섰다고 인정할 수밖에 없었다. 그 운동을 편위라 불렀으며, 방금 설명한 운동이 그것이다.

반대로 수성의 주전원은 남쪽에 있다가 황도를 향해 움직여 황위를 잃은 뒤 다시 남쪽으로 움직이는 것을 알아차렸다. 이전에 북쪽이었던 부분에 도달했는데도 북쪽이 되지 않았으므로, 그 부분은 주전원과 함께 남쪽으로 움직이고 그 맞은편은 남쪽에서 북쪽으로 움직였다고 결론 내렸다.

첫째 따름명제에서 금성 주전원의 중심이 황도에서 남쪽으로 편위하지 않듯 수성 주전원의 중심도 북쪽으로 편위하지 않는다고 말한 것은 바로 이것이다.

순환 주기·극의 접근·추가 천구층에 관한 나머지 설명

둘째로, 같은 시간, 곧 한 해 동안 주전원 중심이 순환하여 경도 운동을 마치고, 이심원도 편위 운동을 마친다고 이끌어 낸다. 금성 주전원이 이심원의 한쪽 반을 지나가는 동안에는 그 반이 북쪽으로 편위하지만, 다른 반에 있을 때에는 앞의 반이 남쪽으로 기울어진다. 편위 운동 전체는 북쪽으로 향하는 부분 운동과 남쪽으로 향하는 부분 운동으로 이루어지므로, 주전원이 양쪽 반을 모두 지나가기 전에는 그 운동이 완결되지 않는다.

셋째로, 이 운동 때문에 이심원 면이 황도에서 서로 다른 쪽으로 멀어졌다 가까워지듯, 이심원의 극들도 황도의 극들에서 멀어졌다 가까워진다고 이끌어 낸다. 극들은 그 면에서 원의 사분의 일만큼 떨어져 있기 때문이다. 여러 번 말한 내용에서 이것은 분명하다. 금성과 수성의 이론에서 이미 말했던 것, 여기서 약속한 것도 이것이다.

넷째로, 주전원을 운반하는 천구층에는 황도대 경도 방향의 고유 운동이 있으므로, 이 황위 운동은 그 고유 운동일 수 없다고 이끌어 낸다. 각각의 물체는 각각 하나의 운동으로 움직이기 때문이다. 따라서 세계와 동심이며 금성과 수성 각각의 전체 천구를 둘러싸는 다른 물체가 있어서, 이 편위 운동을 자체 운동으로 행하며 그들의 천구층들을 함께 끌고 가야 한다. 이에 관해 다음과 같이 말한다.

검사 주: “원의 네 겹 부분”은 인쇄된 quadruplicem circuli partem을 보존하며, 사분의 일로 임의 정규화하지 않는다.

실제 아우게 지름의 경사 운동

주전원의 평면은 운반원 면에서 이쪽저쪽으로 기울어지며 움직인다. 첫째로, 실제 아우게에서 같은 거리에 있는 중간거리점들을 지나는 주전원 지름을 축으로 움직인다. 이 운동으로 실제 아우게와 그 맞은편을 잇는 지름이 운반원 면을 가로지르고, 실제 아우게는 한쪽으로, 그 맞은편은 다른 쪽으로 운반원에서 기울어진다.

그러나 이 경사 운동은 주전원 중심의 운동과 다음과 같이 비례한다. 주전원 중심이 이퀀트의 아우게에 있을 때에는 그 지름이 운반원에서 전혀 기울어지지 않고 그 면 안에 놓인다. 중심이 그곳을 벗어나면 주전원의 실제 아우게는 운반원 면에서 기울어지기 시작하는데, 금성에서는 북쪽으로, 수성에서는 남쪽으로 움직이며, 실제 아우게의 맞은편은 반대쪽으로 움직인다.

이 경사는 주전원 중심이 꼬리의 교점에 이를 때까지 계속 커진다. 곧 이퀀트의 아우게에서 사인들의 차례를 따르는 방향으로 90도 떨어졌을 때이다. 그때 그 지름의 경사는 최대이다. 이후에는 계속 작아져 주전원 중심이 이퀀트 아우게의 맞은편에 이르면, 그 지름은 다시 전혀 기울어지지 않고 운반원 면에 놓인다.

그곳에서 주전원 중심이 다른 교점을 향해 떠나면 실제 아우게는 운반원 면에서 다시 기울어지기 시작한다. 이번에는 금성에서는 남쪽으로, 수성에서는 북쪽으로 움직이며, 아우게 맞은편은 반대쪽으로 움직인다. 경사는 중심이 다른 교점에 도달할 때까지 차례로 커져 다시 최대가 된다. 그 뒤에는 이퀀트의 아우게에 도달할 때까지 작아지고, 그곳에서 앞서처럼 그 지름이 운반원 면에 놓인다. 이로써 이전의 배치로 돌아온다.

그러므로 운반원의 편위가 최대일 때 주전원의 경사는 없고, 이 경사가 없을 때 그 편위가 최대이다.

경사 운동의 축과 다음 꺾임 운동

여기서 이 운동이 주전원의 실제 아우게에서 같은 거리에 있는 중간거리점들을 지나는 지름을 축으로 이루어진다고 했음을 알아 두라. 따라서 그 축은 주전원 중심에서 실제 아우게선과 양쪽으로 직각을 이룬다. 이 부분의 끝에는 하나의 따름명제가 나오는데, 그 이유는 바로 앞에서 말했듯 극단 위치들 사이의 최대 거리가 나뉘어 있다는 데 있다.

다음으로 꺾임을 설명하며 두 가지를 다룬다. 먼저 앞서 말한 그것 자체를 설명하고, 둘째로 ‘그러므로 분명하다’라는 곳에서 일정한 순서로 세 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 첫째 사항에 대해 다음과 같이 말한다.

중간거리 지름의 꺾임 운동

둘째로 주전원의 평면은 실제 아우게와 그 맞은편을 지나는 주전원의 지름을 축으로 삼아 운반원 면에서 기울어지며 움직인다. 이 운동에 의해 실제 아우게에서 같은 거리에 있는 중간거리점들을 지나는 지름이 때때로 운반원 면을 자른다. 그리하여 주전원의 왼쪽 반이 한쪽으로—운반원 면을 때때로 자르고, 그리하여 주전원의 왼쪽 반이 한쪽으로, 오른쪽 반이 다른 쪽으로 운반원에서 꺾이게 된다. 여기서 왼쪽이라고 부르는 것은 주전원의 아우게를 지나 사인들의 차례를 따라 나가는 쪽이다.

이 지름의 꺾임도 주전원 중심의 운동과 다음과 같이 비례한다. 주전원 중심이 머리의 교점, 곧 운반원의 아우게보다 앞에 사인들의 차례를 거슬러 90도 떨어진 교차점에 있을 때에는 그 지름의 꺾임이 없고 운반원과 같은 면 안에 놓인다. 중심이 그곳에서 아우게를 향해 떠나면, 그 지름의 왼쪽 또는 동쪽 절반은 운반원 면에서 금성의 경우 북쪽으로, 수성의 경우 남쪽으로 꺾이기 시작하고, 다른 반쪽은 반대 방향으로 꺾인다. 이 꺾임은 주전원 중심이 이퀀트의 아우게에 이를 때까지 계속 커져, 그곳에서 최대가 된다. 이후 다른 교점을 향해 움직일 때에는 작아져, 중심이 그 교점에 도달하면 다시 꺾임이 없어진다.

그곳에서 주전원 중심이 이퀀트 아우게의 맞은편을 향해 지나가면, 중간거리점들을 지나는 지름의 왼쪽 반은 다시 꺾이기 시작한다. 금성에서는 남쪽으로, 수성에서는 북쪽으로 꺾이며, 이퀀트 아우게의 맞은편에 도달할 때까지 커져 그곳에서 다시 최대가 된다.

그 뒤에는 주전원 중심이 머리의 교점으로 돌아올 때까지 차례로 작아진다. 그곳에서는 꺾임이 없고, 다시 이전의 배치로 돌아간다.

두 진동의 축과 contra의 두 가지 구문 해석

먼저 다음을 알아 두라. 앞서 말한 경사의 극들이 주전원의 중간거리점들이고 그 원둘레가 아우게와 그 맞은편을 지났듯이, 이에 대응하는 꺾임 운동의 극들은 아우게와 그 맞은편이며 그 평면은 중간거리점들을 지난다. 따라서 주전원에는 세 운동, 곧 하나의 원운동과 두 진동 운동이 있다.

둘째로 주전원 면과 운반원 면이 하나일 때에는, 중간거리점들을 지나는 주전원의 지름이 운반원 면에서 기울어지지 않는다. 그 지름이 주전원의 평면 안에 있기 때문이다. 그러나 꺾임 운동으로 주전원이 꺾이면 주전원 평면이 운반원의 평면을 자르듯, 그 지름도 그 면을 자르며 자기 아래에 놓인 운반원의 중간거리선을 가로지른다.

셋째로, 사인들의 차례에 따라 아우게 뒤에 있다고 하는 주전원 면의 부분은 서쪽에서부터 수를 헤아릴 때 아우게 뒤에 오는 부분, 곧 아우게 동쪽에 있는 부분이다.

넷째로, 선생이 ‘운반원의 아우게 앞, 사인들의 차례를 거슬러 90도인 교차점’이라고 할 때 ‘거슬러’는 두 표현 가운데 하나에 연결될 수 있다. 곧 ‘아우게 앞’에 연결되거나 ‘도수’에 연결될 수 있다. 첫 해석은 틀리다. 그렇게 해석하면 그 교차점이 동쪽이 되고, 본문에서 그곳에서 이퀀트의 아우게를 향해 주전원이 움직인다고 했으므로 운반원의 운동을 통해 서쪽으로 움직여야 하기 때문이다.

따라서 ‘거슬러’는 ‘도수’에 연결한다. 뜻은 이렇다. 주전원 중심이 운반원이 이퀀트와 만나는 서쪽 교차점에 있을 때, 그 교차점은 이퀀트의 아우게에서 사인들의 차례를 거슬러, 곧 동쪽에서 서쪽으로 헤아려 90도 앞선다. 아우게에서 교차점까지가 90도이며, 그때 꺾임은 없다.

마지막으로, 주전원이 그곳에 있을 때 편위의 극단 또는 경계가 이심원의 아우게와 그 맞은편이었듯, 꺾임의 극단은 이퀀트의 아우게와 그 맞은편이다. 이 두 점은 이퀀트가 움직이지 않듯 움직이지 않는 점들이다. 이어 저자는 세 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 첫째는 다음과 같다.

원문 주: 본문의 “운반원 면을 … 왼쪽 반이 한쪽으로” 반복은 실제 중복 인쇄를 보존했다.

경사가 없을 때 꺾임이 최대임

그러므로 주전원의 경사가 전혀 생기지 않는 운반원의 위치에서 그 꺾임은 최대가 됨이 분명하다.

첫째 명제의 아우게 위치

주전원이 이심원 또는 이퀀트의 아우게에 놓일 때에는 경사가 없지만, 바로 그 점에서 꺾임은 최대라는 점을 알아 두라. 이어 둘째 명제를 이끌어 내며 말한다.

각 황위의 기준면과 표에 기재되는 최대값

따라서 편위는 황도에서부터, 경사와 꺾임은 운반원에서부터 헤아린다. 표에 적힌 것은 이들이 최대가 될 때 생기는 값들이다.

헤아림의 출발점이라는 뜻

여기서 ‘어떤 것에서부터 헤아린다’는 말은 그 어떤 것이 계산을 시작하는 기준이라는 뜻임을 알아 두라. 편위에 대해서는 황도가 그 기준이다. 천체가 황도면에 있을 때에는 편위하지 않고, 그 면에서 멀어지면서 편위하기 시작하며, 다시 그 면에 가까워지면서 편위에서 돌아오기 시작하기 때문이다. 경사와 꺾임에 대해서는 운반원이 같은 방식으로 그 기준이 된다. 원문은 여기 ‘반대의 이유로’라고 덧붙인다. 셋째 따름명제를 이끌어 내기에 앞서 어떤 진술을 다시 취하여 말한다.

꺾인 지름의 끝점보다 더 큰 꺾임을 가지는 점

꺾임이 최대가 될 때, 곧 주전원 중심이 운반원의 아우게나 그 맞은편에 있을 때에는, 꺾이는 지름의 끝점보다 그 아래 아우게 맞은편을 향해 놓인 주전원 원둘레의 여러 부분들이 더 큰 꺾임을 가진다. 세계 중심에서 그은 접선이 주전원 원둘레에 닿는 점은 그때 다른 모든 점보다 가장 큰 꺾임을 가진다.

접점의 황위와 두 지름의 교대 역할

A–F 문자와 두 직교 지름을 원상대로 보존한다.

이를 위해 그림처럼 두 지름을 가진 주전원을 그려라. 하나는 아우게와 그 맞은편을 잇는 지름이고, 다른 하나는 중간거리점들을 잇는 지름이다. 꺾임에서는 한 지름이 그 길이를 따라 꺾이고, 다른 지름은 그 꺾임이 이루어지는 축이 된다. 그 운동이 그것을 중심으로 이루어지므로 축의 성격을 갖는 것이다.

경사에서는 그 반대이다. 기울어지는 지름은 아우게와 그 맞은편의 지름이고, 경사가 이루어지는 축은 중간거리점들의 지름이다. 따라서 한 지름이 다른 지름의 운동에서 축이 되며 그 반대도 성립한다.

선생은 꺾이는 지름의 끝점이 주전원 원둘레의 여러 부분보다 작은 꺾임, 곧 작은 황위를 갖는다고 말한다. 이는 앞서 말한 바에 따라 행성 황위의 대원에서 그 값을 헤아리는 것으로 이해해야 한다. 이어 그 따름명제 자체를 이끌어 내며 말한다.

금성·수성의 교대 축과 작은 천구층 가설

이와 같이 주전원의 경사는 꺾이는 지름을 축으로 이루어지고, 반대로 주전원의 꺾임 운동은 기울어지는 지름을 축으로 이루어진다. 따라서 서로 번갈아 하나가 다른 것의 운동축이 된다.

그러므로 이 두 행성에서는 상위 행성들에서와 달리, 주전원이 교점들 밖에 있을 때 경사 운동의 축이 황도면과 평행해야 할 필요가 없다. 앞서 말한 주전원들의 경사와 꺾임 때문에, 어떤 이들은 주전원들을 내부에 담는 작은 천구층들을 가정하고, 그 천구층들의 운동에 따라 이러한 현상들이 생긴다고 본다.

고정별의 황위로 논의를 넓힘

이 모든 것은 앞에서 말한 바에서 분명하다. 다만 이 부분 끝에 언급한 견해에 관해서는, 현재 강의의 중간쯤에서 같은 문제를 두고 말한 것을 보라. 주전원 자체가 세 운동을 하는 것이 합당하지 않기 때문에, 이 사람들은 주전원을 담는 작은 천구들을 가정하고, 여러 번 말한 주전원의 경사와 꺾임을 그 천구들의 운동에 귀속시킨다.

황위에 대한 가르침을 마치기 전에 두 가지가 남아 있다. 첫째로, 저자가 행성들의 성질만 다루어 고정별의 황위를 전혀 언급하지 않았으므로, 그에 대해 조금 말해야 한다. 둘째로, 이 황위 장의 처음에서 천체의 적위를 정의했으므로, 그 정의가 헛되이 제시된 것이 아니도록 천체의 적위에 관해서도 간략히 정해야 한다.

첫째 사항에 관해서는 알파그라누스 제18장의 뜻을 따라 이렇게 말한다. 그와 프톨레마이오스의 견해에 따르면 제8천구는 황도대의 두 극을 중심으로 사인들의 차례를 따라 회전한다. 이들은 더 후대의 학자들이 발견했으며 다음 장에서 설명할 진동 운동을 알아차리지 못했다. 그 천구 안에 있는 모든 고정별은 그 극들에서 같은 거리를 유지하는 원들을 그리며, 황도도 같은 극들에서 같은 거리를 유지한다. 따라서 황도 위에 있는 별은 황도를 그리면서 늘 그 위에 머무르고, 그런 별에는 황위가 생기지 않는다.

둘째 규칙은 이렇다. 황도 위에 있지 않은 별은 황도의 극들을 중심으로 황도와 나란한 원을 그린다. 따라서 언제나 변하지 않는 동일한 황위를 갖는다. 황도에서 북쪽으로 떨어져 있으면 언제나 북쪽 황위를 가지며, 남쪽으로 향해 있으면 그 황위는 남쪽이다. 용어: 황위

적위 규칙 첫째: 황도 위의 별

둘째 사항, 곧 적위에 관해서는 네 가지 규칙을 제시하겠다. 첫째 규칙은 앞에서 말한 이들의 견해대로 고정별과 떠도는 별 모두가 황도대의 극들을 중심으로 자체 운동을 한다는 데서 출발한다. 별이—태양과 황도 위의 별들처럼 결코 황위가 없는 별이—양 사인과 천칭 사인의 시작인 그 점들에 있을 때, 모든 별이—태양과 황도 위의 별들처럼 결코 황위가 없는 별이—양 사인과 천칭 사인의 시작인 그 점들에 있을 때에는 적위를 갖지 않는다. 오히려 적도 위에 있으면서 세계의 양 극에서 같은 거리에 떨어져 있다.

그 밖의 위치에서는, 양 사인의 시작부터 처녀 사인의 끝까지인 황도의 반쪽에 있으면 언제나 북쪽 적위를 갖는다. 천칭 사인의 시작부터 물고기 사인의 끝까지인 나머지 반쪽에서 움직이면 남쪽 적위를 갖는다.

적위 규칙 둘째: 최대 황도 기울기보다 큰 황위

둘째 규칙은 이렇다. 천체가 황도에서 23도 30분보다 큰 황위를 가진다면—황도의 최대 기울기가 그만큼이므로—운동하면서 황도와 나란한 원을 그리고, 그 원은 적도에 결코 닿지 않는다. 따라서 적위가 없어지는 일이 없다.

예를 들어 황도에서 북쪽으로 24도보다 더 떨어져 있다면, 염소 사인의 시작에 있을 때에도 염소 사인이 적도에서 떨어진 거리보다 더 멀리 황도에서 떨어져 있다. 그러므로 적도 위에 있지 않고 언제나 그 북쪽으로 기울어져 있다. 마찬가지로 황도에서 남쪽으로 24도보다 더 떨어져 있다면, 북쪽에 가장 가까워지는 게 사인의 시작에 있을 때에도 같은 이유로 적도에 닿지 않아 언제나 적도의 남쪽에 놓인다.

적위 규칙 셋째: 적도에 한 점에서 닿는 고정별

셋째 규칙은 이렇다. 천체가 황도에서 떨어진 거리가 황도의 적도로부터의 최대 거리와 같다면, 황도와 나란한 원을 그려 염소 사인 또는 게 사인의 시작에서 적도에 한 점으로 닿는다.

예를 들어 별이 북쪽을 향해 있고 그 황위가 황도대의 최대 기울기와 같다면, 염소 사인의 시작에 있을 때 황도에서 북쪽으로 떨어진 거리는 그 지점이 적도에서 남쪽으로 떨어진 거리와 같다. 그러므로 그때에는 적위가 없고, 다른 때에는 언제나 북쪽 적위를 갖는다. 같은 방식으로 별이 황도의 남쪽에 있고 그 황위가 앞서 말한 최대 기울기와 같다면, 같은 이유로 게 사인의 시작에 있을 때에만 적도 위에 있으며 다른 때에는 언제나 남쪽 적위를 갖는다.

바로 앞의 두 규칙은 고정별에 대해서만 참이다. 행성 가운데 어느 것도 황도의 최대 기울기와 같은 황위를 가질 수 없기 때문이다.

적위 규칙 넷째: 두 번의 적도 교차

넷째 규칙은 이렇다. 별이 첫째 규칙에서 말한 것처럼 황도 위에 있지는 않지만, 황도에서 떨어진 거리가 태양의 최대 적위보다 작다면, 한 번의 회전으로 그리는 원은 적도와 두 곳에서 교차한다. 이는 앞의 설명으로 충분히 분명하다. 별이 그 두 곳에 있을 때에는 적위가 없지만, 다른 위치에서는 서로 반대되는 쪽의 적위를 언제나 갖는다.

이것을 평면 그림으로 예시할 수도 있다. 그러나 구형 기구에서는 아주 분명하게 드러나므로 앞에서 말한 것과 다른 방식으로 설명할 필요는 없다.

검사 주: 첫째 적위 규칙의 문장 중복은 실제 인쇄를 보존했다. 23도30분은 주저본7배 확대 확인했으며 뒤24도 예와 임의 통일하지 않았다. 셋째 규칙 첫 문장에 원문에 없는 “남쪽으로”를 제거했다.

상위 세 행성의 황위표

원표제: Tabula latitudinis trium superiorum: Saturni, Iouis, & Martis.

토성·목성·화성, 상위 세 행성의 황위표.

열 표제: Argumentum은 아르구멘툼, ♄는 토성, ♃는 목성, ♂는 화성, Septentrio는 북쪽, Meridion.은 남쪽, G는 도, M은 분, 맨 오른쪽 Min. propo.는 비례분(minuta proportionalia)이다. 표 옆 위쪽 표지는 북쪽, 아래쪽은 남쪽이다. 별자리 기호와 모든 원표 수치를 이미지로 보존한다. 행의 첫 도수는 0·12·24·36·48·60·72·84·90·102·114·126·138·150·162·174·180이다.

원표17행과 단위·측면표지를 아래 이미지로 보존한다.

토성·목성·화성의 황위를 구하는 절차

토성·목성·화성의 황위를 구하기.

행성의 보정된 아르구멘툼을 도수로 풀어 그 행성에 해당하는 황위표에 넣어라. 그 도수에 맞서는 곳에서 북쪽과 남쪽이라는 두 황위를 찾을 것이다. 도수 외에 각분이 붙어 있으면 비례 부분을 반영하여, 두 값을 각각 적어 두라.

이어서 평균운동의 마지막 도수로, 오른쪽 끝 열에 적힌 황위의 비례분을 취하라. 이로부터 남쪽 황위에 비례하는 부분을 구하라. 그렇게 찾은 비례분이 표의 아래쪽 부분에 있으면 남쪽 값을, 위쪽 부분에 있으면 북쪽 값을 따른다. 그 비례 부분이 찾고자 한 행성의 황위가 된다.

달의 황위를 구하는 절차

달의 황위를 찾아내기.

달의 실제 위치에서 용의 머리의 실제 위치를 빼되, 필요하면 열두 사인을 더하여 계산하라. 그러면 달의 황위 아르구멘툼이 나오고, 표에서 그에 맞서는 곳에 찾고자 하는 달의 황위가 나타난다. 달의 황위 아르구멘툼이 통상적인 여섯 사인보다 작으면 북쪽이고, 더 크면 남쪽이다.

금성과 수성의 황위표

원표제: Tabula latitudinis Veneris & Mercurij.

12행의 모든 수치와 사인·도분·비례분 열을 원표 이미지로 보존한다. ♀는 금성, ☿는 수성, Declinatio는 경사, Reflexio는 꺾임, Min. proport.는 비례분이다. G.는 도, M.은 분, sec.는 초이다. 왼쪽 Superior/Inferior는 위쪽/아래쪽이다.

달의 황위표

원표제: Tabula latitudinis Lunæ.

15행 전부를 원표 이미지로 보존한다. Argu. latitudinis는 황위 아르구멘툼, Ascendens는 올라감, Descendens는 내려감이다. G./M./sec.는 도/분/초이다. 위쪽 사인 번호는 0·6, 1·7, 2·8이며 아래쪽은 5·11, 4·10, 3·9이다. 왼쪽 도수는 2부터 30까지 2씩 증가하고 오른쪽은 28부터 0까지 감소한다.

금성과 수성의 세 황위 성분을 구하고 결합함

금성과 수성의 황위를 찾기.

황위표에서 보정된 아르구멘툼에 맞서는 경사와 꺾임을 취하여 각각 적어 두라. 그런 다음 금성의 평균운동에서 30도를 빼고, 나머지로 비례분을 취하라. 그 비례분으로부터 앞서 보관한 경사와 60의 비례에 따른 부분을 구하라. 이것이 첫 번째로 보정한 금성의 황위이다. 보정된 아르구멘툼과 평균운동이 원의 같은 쪽 반에 있으면 남쪽, 서로 다른 반에 있으면 북쪽이다. 수성에서도 같은 방식으로 한다.

다음으로 금성의 평균운동에서 90도, 수성의 평균운동에서 30도를 빼라. 나머지로 비례분을 취하여 두 곳에 적어 두라. 그 비례분과 꺾임을 써서, 비례분 대60의 비율에 따른 부분을 구하라. 이것이 보정된 꺾임이다. 보정된 평균운동이 원 또는 표의 위쪽 부분에 있고, 이와 함께 보정된 아르구멘툼이180도보다 크면 북쪽이다. 평균운동이 아래쪽 부분에 있으면 남쪽이다. 이것이 두 번째 황위이다.

마지막으로 다른 곳에 적어 둔 비례분의6분의1을 취하라. 이것이 세 번째로 보정한 금성의 황위인데, 금성에서는 언제나 북쪽이고 수성에서는 남쪽이다.

끝으로 이 황위들을 합쳐라. 모두 북쪽이거나 모두 남쪽이어서 하늘의 같은 쪽에 있으면 더한다. 하나가 북쪽이고 다른 하나가 남쪽이면 큰 값에서 작은 값을 빼라. 나머지가 행성의 황위이며, 더 큰 황위의 표지에 따라 북쪽 또는 남쪽이 된다.

제8천구의 운동으로 넘어감

제8천구의 운동에 관하여.

선생은 행성들을 하나씩 따로 다루고, 또 모두 또는 여러 행성을 함께 다루었으므로, 이제 더 분명한 것들에서부터 차례로 나아가기 위해 제8천구를 자세히 다루기 시작한다.

이 부분은 둘로 나뉜다. 먼저 자신의 견해이자 천문학자들이 일반적으로 인정한 견해에 따라 제8천구를 다루고, 둘째로 ‘그런데 테비트는’이라는 곳에서 다른 사람, 곧 테비트의 견해에 따라 다룬다. 첫 부분에서는 먼저 그 운동들을 제시하고, 둘째로 ‘평균운동’이라는 곳에서 표의 용어들을 설명한다. 운동을 다루는 부분에서는 먼저 이 천구의 세 운동을 제시한 뒤, ‘그러므로 여기에서’라는 곳에서 앞의 진술들로부터 몇 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 우선 세 운동을 다음과 같이 제시한다.

제8천구의 세 운동

여러 번 말했듯 행성의 아우게들을 운반하는 천구층들이 그 운동에 따라 변하는 제8천구에는 세 가지 운동이 있다. 하나는 첫째 운동천에서 오는 일주운동으로, 자연일 하루에 세계의 극들을 중심으로 한 번 회전하는 운동이다.

다른 하나는 둘째 운동천이라 부르는 제9천구에서 오는 운동이다. 이것은 언제나 첫째 운동과 반대로 사인들의 차례를 따르며, 황도대의 극들을 중심으로 규칙적으로 이루어진다. 그리하여 매200년마다 대략1도28분을 나아간다. 표에서는 이를 아우게와 고정별의 운동이라고 부른다. 그것은 첫째 운동천의 양 사인 시작과 제9천구의 양 사인 시작 사이에 있는 첫째 운동천 황도대의 호이다. 제9천구의 황도면은 언제나 첫째 운동천의 황도면 안에 있기 때문이다.

셋째는 제8천구 자체의 고유 운동으로, 진동 운동 또는 제8천구의 다가감과 물러남이라고 부른다.

세 황도대와 진동 운동의 막대 모형

이 부분에 관해서는 먼저 다음을 알아 두라. 첫째 운동천과 제9천구와 제8천구에 각각 황도대가 있다고 상정한다. 그들이 창조된 최초 순간에는 사인 아래에 같은 사인이, 도수 아래에 같은 도수가 놓였다. 곧 제8천구의 첫 도수는 제9천구의 첫 도수 아래에, 그것은 제10천구 또는 첫째 운동천의 첫 도수 아래에 있었다.

첫째 운동천의 황도대를 움직이지 않는다고 하는 것은, 황도대의 극들을 중심으로 사인들의 차례를 따르는 경도 운동을 하지 않기 때문이다. 세계의 극들을 중심으로 일주운동을 하기는 한다. 반면 제9천구의 황도대는 움직인다고 한다. 그 고유 운동이 황도대의 경도 방향으로 사인들의 차례를 따르기 때문이다. 같은 방식으로 제8천구의 황도대도 제9천구 황도대의 운동을 따라 움직인다. 이 운동에서는 제8천구와 제9천구가 같은 빠르기로 회전하므로, 제8천구의 운동은 첫째 운동천 황도대의 호로 나타낸다. 제8천구의 황도대가 제9천구의 황도대 위를 상대적으로 지나가지는 않기 때문이다.

둘째로, 세 번째 운동을 진동 운동이라 하는 것은 몸을 떠는 것에 비유해서임을 알아 두라. 몸을 떠는 것은 한 방향으로 규칙적으로 움직이지 않고 이쪽저쪽으로 굽는다. 이 운동도 하나의 중심과 매우 빠르게 움직이는 하나의 원, 자체적으로 고정된 두 극만을 중심으로 하는 운동이 아니다. 다른 모든 물체의 운동을 멈추어 두더라도 계속 움직이는 두 극을 중심으로 하며, 천구의 한 부분은 계속 올라가고 다른 부분은 내려간다.

이 운동을 상상하기 어려운 초심자는 먼저 서로 반대되는 두 점으로 나뉜 두 원을 생각하라. 하나는 A와 B로, 다른 하나는 C와 D로 나뉜다고 하자. A와 C는 두 원의 한쪽에, B와 D는 다른 쪽에 놓인다. 그런 다음 그림처럼 A와 D에 막대 하나를 묶었다고 생각하라. 두 원을 같은 방향으로 규칙적으로, 같은 빠르기로 회전시켜라. 그러면 한 점은 어느 때에 B가 있던 자리에 오고 그 반대도 되며, 다른 점도 D가 있던 자리에 오고 그 반대도 된다. 따라서 전에 높았던 막대 부분은 내려가고 낮았던 부분은 그림처럼 올라간다.

그렇게 원들을 돌리면 막대의 두 끝은 두 원을 그린다. 이어 그 막대가 그림처럼 한 천구의 축이라고 생각하라. 그 천구는 이런 방식으로 자체 운동을 한다.

이제 앞의 세 운동을 제시했으므로, 저자는 그 천구의 고유 운동인 셋째 운동을 자세히 설명한다. 먼저 운동 자체를 설명하고, 그다음 ‘그런데 …하더라도’라는 곳에서 암묵적인 반론이나 의문에 답한다. 첫째 사항에 관해 다음과 같이 말한다.

제8천구의 양·천칭 시작점이 그리는 작은 원

이 운동은 제9천구의 오목한 안쪽에 그려진 같은 크기의 작은 원 두 개를 따라 이루어진다. 두 원은 제9천구의 양 사인과 천칭 사인 시작을 중심으로 그려진다. 그리하여 제8천구의 일정한 두 점, 곧 그 천구의 양 사인 시작과 천칭 사인 시작이라고 부르는 점들이 제9천구에 속한 그 두 작은 원의 지름상 반대되는 원둘레들을 규칙적으로 그린다.

이와 함께 제8천구의 황도는 제9천구의 황도와 교차할 때, 적어도 제9천구의 지름상 반대되는 게 사인과 염소 사인의 시작에서 언제나 교차한다. 따라서 제8천구의 두 점 가운데 하나가 자기 작은 원의 남쪽 반에 있으면, 다른 점은 자기 작은 원의 북쪽 반에 있다. 또 제8천구의 황도는 제9천구의 황도를 자를 때 언제나 같은 두 부분으로 자르며, 두 작은 원에서도 서로 번갈아 같은 부분들을 자른다.

이 운동의 빠르기에 관한 규칙은, 두 점 각각이 자신이 도는 작은 원의 원둘레를 정확히7,000년에 한 번 완주한다는 것이다.

제8천구 운동 도해와 9도 반지름·7,000년 순환

제8천구 운동의 도해.

그림의 OCTAVA는 제8천구, NONA는 제9천구, PRIMA는 첫째 [운동천]를 뜻한다. 문자와 별자리 기호는 원상대로 보존하며, 아래 주해가 대응점과 운동 방향을 설명한다.

주해. 황도 원은 A–B–C–D이다. A는 작은 원의 중심에 있는 양 사인의 시작이고, B는 게 사인, C는 천칭 사인, D는 염소 사인의 시작이다. 나머지 세 원은 제8천구 황도의 서로 다른 세 위치를 나타낸다. 제8천구의 양·천칭 시작점으로 정해진 점들은 제9천구의 양·천칭 시작 둘레에서 작은 원 두 개를 그리며, 그 반지름은9도에 이른다.

제8천구의 양 시작점이 자기 작은 원의 북쪽 점 F에 있을 때에는 V를 거쳐 G로, 이어 H로, 그다음 I로 움직이며, 7,000년이 지나면 F로 돌아온다. 같은 시간에 같은 순환으로 제8천구의 천칭 시작점도 제9천구의 천칭 시작점 둘레의 자기 원을 완주하며, 그 반대 부분들을 서로 대응하여 지나간다.

따라서 제8천구의 양 시작점이 북쪽 반 F–G를 지나면 천칭 시작점은 그에 맞서는 남쪽 반을 지나며, 운동은 사인들의 차례를 따라 이루어진다. 그러나 G–H–I의 반을 지날 때에는 사인들의 순서를 거슬러 되돌아간다. 이 두 운동에서 제8천구의 게·염소 시작점은 제9천구의 게·염소 시작점으로부터 멀어지거나 가까워지며, 때로 앞서고 때로 뒤따른다. 이 운동에 이끌린 제8천구의 극들도 S–E, E–T와 같은 원뿔 모양의 도형들을 그린다.

두 황도와 움직이는 축의 구성

스승의 뜻을 상상하려면, 앞에서 말했듯 제9천구와 제8천구의 황도대가 똑같이 움직인다는 점을 알아 두어야 한다. 그러므로 제9천구 황도의 양 시작에 놓인 제8천구의 한 점과, 천칭 시작에 놓인 다른 점 H를 취하고 그 사이에 직선을 그어라. 이 선은 제9천구의 지름 또는 축이 된다. 그 축이 움직이지 않고 서 있다고 생각하라.

첫 점을 지정하는 본문의 한 문자는 먹뭉침으로 판독이 어렵다. 뒤의 G/H/I/K 표기는 가시 원문대로 보존한다. 그런 다음 앞의 두 점 아래에서 제8천구 양·천칭 시작에 속하는 두 점을 더 취하라. 그림처럼 G 아래에서는 I를, H 아래에서는 K를 취한다.

이어서 I가 G 아래에서 원을 그리며, K도 H 위에서 같은 방식으로 원을 그린다고 생각하라. 이 두 원은 제9천구의 양·천칭 시작점들을 지난다. 여기에 K와 I 사이에 언제나 그 두 점을 양 끝으로 하는 선이 있다고 생각하면, 그 선은 H–G 둘레를 돌면서 때로 한쪽이 올라가고 다른 쪽이 내려가며, 때로 그 반대로 움직인다.

그러므로 이 축을 가진 제8천구는 그 두 원 위에서 진동하며 움직이고, 제9천구의 황도는 제9천구의 지름상 반대되는 게·염소 시작에서 제8천구의 황도와 언제나 교차한다. 이를 상상하려면 제9천구와 제8천구의 황도대가 처음 만들어진 배치로 서 있다고 생각하라. 그때 제9천구 황도를 경계로 하는 원형 면은 제8천구 황도의 면과 같으며, 그 면 안에서 제8천구의 황도선은 제9천구 황도 바로 아래에 놓인다.

따라서 제8천구 황도의 어떤 점이 제9천구의 황도면 또는 황도에서 벗어나면, 곧바로 한 면이 다른 면에 대해 기울어져야 한다. 원둘레들이 서로 교차하면 원의 면들도 서로 교차하지 않을 수 없기 때문이다. I가 G에서, 또는 K가 H에서 벗어나자마자 한 황도면이 다른 황도면을 자른다. 둘은 같은 중심을 가진 대원이므로 서로를 같은 부분으로 자른다. 그러므로 양·천칭에서 같은 거리에 떨어진 게·염소 시작점들에서 서로 교차한다. 그림과 같다.

ECLIPTICA는 황도, AXIS MVN.은 세계의 축, Cancer는 게자리, Capricornus는 염소자리, Libra는 천칭자리, Aries는 양자리이다.

이 부분에서 말한 나머지 사항들은 분명하다. 이어 선생은 한 의문을 없애며 두 가지를 한다. 먼저 의문에 답하고, 둘째로 ‘그러므로 …이 생긴다’라는 곳에서 한 따름명제를 이끌어 낸다. 의문은 제8천구 안에 표시한 모든 점이 앞의 두 점처럼 원운동을 하는가 하는 것이다. 다음과 같이 답한다.

완전한 원을 그리는 두 점과 원뿔형 자취

그런데 이 운동에서 앞서 말한 두 점, 곧 제8천구의 양·천칭 시작점들이 같은 크기의 원둘레 두 개를 그리더라도, 그 밖의 점들은 원둘레를 그리지 않는다. 제8천구의 게·염소 시작점들은 제9천구의 게·염소 시작점 양쪽에서 곡선을 밑변으로 하는 일종의 원뿔 모양 도형들을 그려야 한다. 따라서 때로 그 점들을 앞서고, 때로 뒤따르며, 때로 함께 만난다.

제8천구의 양 시작점이 제9천구 황도에서 최대 황위에 있을 때 제8천구의 게 시작점과 제9천구의 게 시작점은 만난다. 이것은 제9천구 황도대의 극들과 작은 원들의 중심을 지나는 대원에서 일어난다. 제8천구 황도의 극들—엄밀하지 않은 뜻에서 극이라 부르는 것들—은 때로 제9천구 황도의 극들에 가까워지고, 때로 그 아래에 놓이며, 때로 그 극들에서 멀어진다.

그러나 이러한 다가감과 물러남은 언제나 제9천구 황도대의 극들과 작은 원들의 중심을 지나는 대원 위에서 이루어진다.

표시할 수 있는 점과 실제로 정해 놓은 점

이에 관하여, 그러한 물체에 표시할 수 있는 점들을 말한다면 원을 그리는 점은 무한히 많다는 것을 알아 두라. 그 축의 양 끝이 원을 그리므로, 축에 어느 점을 표시하든 가운데 있는 한 점을 제외하면 원을 그리기 때문이다. 다만 양 끝에서 멀리 떨어질수록 그리는 원이 작아진다. 도형에 보인 바와 같다.

그러나 상상 속에서 실제로 정해 놓은 점들을 말한다면, 앞의 두 점 이외에는 그런 원을 그리는 점이 없다. 직선 위에는 그 두 점 외에, 가운데에서 축이 그 위로 움직이는 움직이지 않는 점과 뒤에서 말할 두 극만 있기 때문이다. 원둘레 위에는 원 또는 원둘레의 교차점 수만큼의 점들이 있다. 예컨대 황도나 적도 등의 교차점들이다.

이러한 점들은 대원들의 교차점에 관한 한 원을 그리지 않는다. 천구에서 대원들은 서로를 같은 두 부분으로 나누므로, 교차점들은 언제나 움직이지 않는 그 천구 중심과 같은 직선 위에 있기 때문이다.

따라서 이 진동 운동에서는 그 점들도 중심과 마찬가지로 원운동을 하지 않는다. 원운동을 한다면 때로 더 높아지고 때로 더 낮아져서, 그 결과 중심도 높아지고 낮아져야 할 것이기 때문이다. 다만 다른 종류의 진동 운동에 따라서는 원운동을 할 수 있다.

저자는 작은 원들의 교차점에 관해서는 말하지 않는다. 앞에서 그것들을 언급하지 않았기 때문이다. 그 점들이 어떻게 움직이는지는 앞의 설명으로 각자가 상상할 수 있을 것이다. 나는 다른 필요한 사항으로 서둘러 넘어가겠다.

원뿔 모양의 자취와 게 사인·염소 사인의 시작점

저자가 여기에서 게 사인과 염소 사인의 시작점에 관하여 말하는 내용은 다음처럼 상상할 수 있다.

코누스(conus)는 본래 볏이나 깃털을 꽂는 투구의 꼭대기 또는 뾰족한 부분이다. 이 말이 도형에 옮겨 쓰여 일반적으로는 삼각형의 모든 각을 가리키기도 하지만, 보통은 셋째 변보다 길고 서로 같은 삼각형의 두 변이 이루는 각, 또는 피라미드의 변들이 이루는 각을 가리킨다. 도형과 같다.

CONVS는 원뿔을 뜻한다.

그러므로 원뿔 모양의 도형은 앞서 말한 삼각형이다. 그러나 “원뿔과 비슷한” 도형은, 말하자면 각이 하나인 도형이다. 직선으로는 두 각만 가진 도형도 만들 수 없듯이 이런 도형도 만들 수 없지만, 곡선에서는 여기처럼 가능하다.

따라서 제8천구의 게 사인 시작점은 제9천구의 게 사인 시작점 둘레에서 양쪽으로 그러한 도형 두 개를 그린다. 제9천구의 게 사인 시작점이 두 도형의 공통 꼭짓점이 된다. 이 도형에서 보듯 명백하다.

염소 사인 시작점도 그 방식에 따라 마찬가지로 말해야 한다. 이런 자취가 생기는 원인은 제8천구의 양 사인 시작점이 제9천구의 양 사인 시작점 둘레를 원운동하기 때문이다.

천칭 사인 시작점의 운동도 그 나름의 방식으로 같다. 이를 설명하려면 상상하기가 어려우므로 많은 말을 해야 한다.

동심원에서 경도 방향 운동과 황위 방향 운동의 구별

제9천구와 제8천구의 두 황도처럼, 같은 중심을 가지며 같은 평면 위에 그린 두 원둘레를 두자. 중심에서 직각으로 교차하는 두 지름을 그어, 큰 원둘레와는 A·B·C·D 네 점에서 만나고 작은 원둘레와도 C·F·G·H 네 점에서 만나게 하라.

그러면 A와 C는 같은 직선 위에 있으며 E는 곧바로 그 아래에 놓인다. 도형에 보이는 바와 같다.

작은 원둘레는 두 방식으로 움직일 수 있다. 하나는 경도 방향이다. 즉 그 평면을 떠나거나 그 평면에서 기울어지지 않고, 그 위에서 동쪽이나 서쪽으로 나아가는 것이다. 다른 하나는 황위 방향이다. 즉 그 평면에서 기울어지는 것이다.

첫째 방식으로 움직이면 E는 반드시 A에서 물러나고 F도 B에서 물러나며, 다른 점들도 같다. 그러나 그 점들이나 그 점들이 놓인 직선은 앞의 평면에서 기울어지지 않는다.

둘째 방식으로만 움직여 지름 F·H가 나머지 I·G·E 위에서 벌어지는 것이라면, F는 B에서 물러나고 H는 D에서 물러난다. 그러나 E가 A에서 물러날 필요는 없다. 운동이 그 위에서 일어나는 지름 자체가 움직일 필요는 없기 때문이다. 실제 천구의에서도 지평환이 자오환 또는 분지경계선과 만나는 교차점을 바꾸지 않고 그들로부터 얼마든지 기울어질 수 있음을 본다.

두 방식으로 모두, 곧 황위와 경도가 혼합된 운동으로 움직인다면, 경도 운동 때문에 모든 점이 대응하는 점에서 물러나고 황위 운동 때문에 앞의 평면을 벗어나야 한다. 이때 중심은 동일하게 유지된다. 두 원둘레가 반드시 언제나 서로 같은 부분으로 나뉘므로, 경도 운동에 따라 F가 가까워지는 만큼 C는 A가 작은 원둘레와 만나는 점에서 물러나야 하기 때문이다.

원문 표기 주: 작은 원의 점 열거는 C·F·G·H로 인쇄되어 있으나 그림의 위쪽 점은 E이다. 아래 운동 설명의 C 등 문자도 인쇄대로 보존하며 기하적으로 임의 정상화하지 않는다.

양 사인 시작점이 작은 원을 도는 동안의 게 사인 위치

그러므로 F와 B를 제8천구와 제9천구의 양 사인 시작점으로 이해하라. D와 H는 천칭 사인 시작점, A와 C는 게 사인 시작점이며, C와 G는 염소 사인 시작점이다. 이를 전제하고, 제8천구의 양 사인 시작점이 제9천구의 양 사인 시작점 둘레에서 그리는 원을 다시 두 지름으로 나누어 중심에서 네 직각을 이루게 하라. 두 지름은 원둘레의 L·M·N·O 네 점에서 끝나며, 도형처럼 L이 제9천구의 양 사인 시작점이 되게 한다.

축 H·F의 점이 L에서 끝나면 E와 A는 함께 있게 된다. 두 황도가 모두 자연적인 자리, 곧 창조되었을 때의 자리에 있기 때문이다. 그 운동으로 N 또는 그 부근에 이르면 본문에 따라 다시 함께 있게 된다. 그때 F는 제9천구 황도에서 가장 큰 황위를 가지기 때문이다. F가 지름 N·L의 끝에 있으므로 그렇다. 원 안에서 어떤 한 점으로부터 지름의 맞은편 점보다 더 멀어질 수 있는 점은 없다.

그 까닭은 작은 원이 축 E·G 위에서 황위 방향으로 움직이는 것 때문에 A와 E가 서로 멀어지는 것은 아니기 때문이다. 따라서 그 축의 끝, 곧 F가 작은 원의 지름 L·N 위에 있을 때마다—F는 그 위에서 황위 방향으로 움직인다—E와 A는 언제나 같은 직선 위에 있어야 한다.

그러므로 F가 L에서 N으로 움직이는 동안 E는 때로 A에서 멀어졌다. 곧 F가 L에서 M으로 움직일 때였다. 때로는 A에 가까워졌으니, 곧 M에서 N으로 움직일 때였다. 작은 원의 반대쪽에서도 같은 방식으로 이해해야 한다. A와 E에 관한 앞의 설명은 C와 G에도 그 방식대로 적용된다. 이로써 전체 모양을 이해할 수 있다.

진동축과 황도의 두 극은 같은 것이 아니다

그러나 “제8천구 황도의 극들은 … 엄밀하게는 …”이라는 말에서 주의할 것은, 이 극들이 진동 운동의 축 끝이 아니라는 점이다. 그것들은 경도 방향의 운동을 한다면 그 운동이 그 위에서 일어날 축의 끝이다. 황도에서 사방으로 같은 거리에 있기 때문에 극이라 부른다. 다만 그 극 위에서 일어나는 운동은 없으므로 엄밀한 의미는 아니다. 극 자체는 진동 때문에 부수적으로 움직이기는 한다.

이를 이해하고 형상을 그리려면 제9천구 황도의 극, 양 사인과 천칭 사인의 시작점, 앞의 작은 원들의 중심을 지나는 선을 그어라. 제8천구 황도의 극들은 이 원형 선의 양쪽에서 지지되며, 아니 그 선 자체에 있게 된다. 진동 운동 때문에 언제나 그 선 위 또는 그 선 안에서 움직일 것이다. 결코 그 선 위로 올라가거나 아래로 내려가지 않는다. 이유는 곧 드러날 것이다.

원 A·B·C·D를 그려 A와 C는 제9천구 황도의 극, B와 D는 양 사인·천칭 사인 시작점이 되게 하라. 중심에서 직각으로 교차하여 네 점에서 끝나는 두 지름으로 나눈다. 도형처럼 B·D축은 진동축, 나머지 축은 제8천구 황도의 축이 되게 한다.

B·D축은 두 방식으로만 움직일 수 있음이 명백하다. 하나는 높아지고 낮아지면서 앞의 원을 함께 운반하는 것이고, 다른 하나는 그 원을 운반하지 않고 그 위에서 회전하는 것이다. 첫째 방식으로 움직여 한쪽이 높아진 만큼 다른 쪽이 낮아지면 A·C축은 전혀 움직이지 않음이 명백하다. B·D축이 한 바퀴 돌 정도로 높아지더라도 마찬가지일 것이다. 그러나 B·D의 한쪽이 높아져도 다른 쪽이 낮아지지 않는다면 다르다. 축 전체가 높아지기 때문이다. 『형이상학』 제5권에서 말하듯 연속체의 운동은 하나이므로 그렇다. 따라서 A·C축이 지나는 점도 높아지고, 그 결과 축과 그 극들도 높아진다.

둘째 방식으로 움직이면 축은 앞의 원을 따라 돌며 움직이지만, 결코 그 원에서 벗어나 기울어지지 않는다. 그러므로 진동 운동에서처럼 B·D축이 두 방식이 섞인 운동을 한다면 A·C축의 극들은 움직이고, 그 원 위를 일정한 거리까지 양쪽으로 오간다. 때로는 제9천구 황도의 극들과 일치한다. 곧 게 사인 시작점이 게 사인 시작점과, 염소 사인 시작점이 염소 사인 시작점과 만날 때이며, 진동축의 두 극이 양 사인·천칭 사인 시작점에 있거나 그들로부터 최대 황위에 있을 때이다. 앞 도형에서 이를 볼 수 있다.

그다음 저자는 몇 가지 따름명제를 이끌어 낸다. 두 일을 하는데, 먼저 몇 가지 따름명제를 도출하고, 다음에는 그 명제들과 다른 사항으로부터 “이것들에서 먼저 다음 결론을 얻는다”라는 곳에서 다른 명제들을 이끌어 낸다. 첫 부분에서는 세 따름명제를 이끌어 낸다. 첫째는 다음과 같다.

제8천구 황도와 첫째 운동천 적도의 교차점 이동

그러므로 제8천구 황도는 그 자세가 잇달아 달라짐에 따라 자신의 서로 다른 부분에서 첫째 운동천의 적도와 교차하게 된다. 그 교차는 때로 첫째 운동천의 바로 그 양 사인 시작점에서, 때로 그보다 앞에서, 때로 그보다 뒤에서 일어난다. 그리하여 작은 원의 중심이 한 차례 회전을 마치는 동안—자연적인 방식으로 말하면 이는 4만 9천 년에 일어난다—제8천구 황도의 모든 점은 첫째 운동천의 양 사인 시작점 부근, 또 천칭 사인 시작점 부근에서 적도와 교차했을 것이다.

적도 위의 이 교차점들은 때로 첫째 운동천의 양 사인·천칭 사인 시작점에 가까워지고, 때로 그 점들에서 멀어지는 것으로 보인다. 또한 때로는 사인의 차례를 따라, 때로는 그 차례를 거슬러 나아간다.

다른 이론도

다른 이론도.

AEQVATOR는 적도, DECL. MERI.는 남쪽 적위, SEPT.는 북쪽, MERI.는 남쪽 표지이다. 원둘레의 OCTAVA/NONA는 제8/제9천구이다. 문자·별자리 기호는 원상대로 보존한다.

세 주기와 “자연적인 방식으로 말한다”는 단서

이 설명을 이해하려면 앞서 말한 대로 제8천구에는 세 운동이 있음을 알아야 한다.

첫째, 첫째 운동천에 고유한 운동은 약 24시간에 완성된다. 셋째, 제8천구에 고유한 운동은 7천 년에 완성된다. 둘째, 제9천구에 고유한 운동은 4만 9천 년에 완성된다.

따라서 양 사인·천칭 사인의 두 시작점은 각각 자기 작은 원의 원둘레를 7천 년에 돈다. 같은 기간에 제8천구의 고유 운동, 곧 진동 운동이 완성되기 때문이다. 이와 마찬가지로 그 작은 원들의 중심은 황도극을 중심으로 서쪽에서 동쪽으로 4만 9천 년에 한 바퀴 돈다. 같은 기간에 제9천구의 고유 운동, 곧 그 극들을 중심으로 서쪽에서 동쪽으로 도는 운동이 완성되기 때문이다.

저자가 “자연적인 방식으로 말하면”을 덧붙인 것은 신의 의지에 따라 달라질 수 있음에 의심이 없기 때문이다. 또 아마 세계의 종말에는 미완성인 하늘의 회전이 하나도 남지 않을 것이라고 믿었기 때문일 것이다. 성 토마스가 제4권에서 태양과 달에 관해 주장한 바와 같다. 또한 이 세계가 4만 9천 년 동안 지속되지는 않을 것이라고 생각했을 수도 있다.

그렇기 때문에 아마도 이 회전들과 다른 천상 회전들은 신의 힘으로 일정한 비율에 따라 빨라져 모두 동시에 완성되고, 그 결과 모든 별이 창조되었을 때의 배치에 고정될 것이라고 믿었을 것이다. 위에 인용한 곳에서 성 토마스가 태양과 달에 관하여 말한 바와 같다. 그는 태양이 동쪽에, 따라서 양 사인 시작점에 고정되고 달은 서쪽에 고정될 것이라고 말한다. 그의 말로는 이 광체들이 그렇게 창조되었으므로 그 회전이 미완성인 채로 남아서는 안 되기 때문이다.

이 두 광체가 외양과 힘에서 주요 광체들이므로 그들에게는 더 큰 이유가 있을 수도 있다. 그렇더라도 다른 별들 역시 그렇게 될 것이라고 생각하는 것이 부적절하지는 않다.

제9천구의 양 사인 시작점이 그 작은 원과 함께 첫째 운동천의 황도 전체를 4만 9천 년에 도는 것처럼, 제8천구는 첫째 운동천의 황도 및 적도의 서로 다른 점들에서 다양한 황위와 교차를 갖는다.

그다음에는 둘째 따름명제를 다음과 같이 제시한다.

황도의 최대 기울기가 달라지는 이유

그 결과 황도의 최대 기울기는 변화하는 값이 된다.

따라서 서로 다른 천문학자들이 서로 다른 시대에 황도의 최대 기울기 크기를 같지 않게 알아낸 일은 여기에서 비롯되었다고 여겨진다. 프톨레마이오스가 알아낸 값들은 알메온이 알아낸 값들보다 컸다. 그들이 비슷한 방법과 절차로 진행했으므로, 앞에서 설명한 이러한 운동의 차이 또는 그와 비슷한 방식 외에는 그런 차이가 생기기 어려웠을 것이다.

셋째 따름명제로의 전환

전체 뜻은 명백하다. 그다음에는 셋째 따름명제를 다음과 같이 제시한다.

첫째 운동천의 양 사인 시작점과 실제 춘분의 차이

제8천구 황도와 적도의 교차점이 첫째 운동천의 양 사인 시작점에 대해 변한다면, 그 결과 분점과 지점도 계속 달라져야 한다. 따라서 태양이 첫째 운동천의 양 사인 시작점에 있을 때 언제나 반드시 춘분이 일어나는 것은 아니다. 춘분이 이미 일어났거나 뒤에 일어날 수도 있다. 곧 태양이 앞의 교차점에 있을 때 일어난다.

앞서 말했듯이 태양의 아우게를 운반하는 천구층들은 제8천구 황도의 축을 중심으로 움직이고, 태양을 운반하는 천구층은 앞의 축과 평행한 축을 중심으로 움직인다. 따라서 태양 몸체의 중심은 언제나 제8천구 황도의 평면에 있게 된다. 그런데 이 평면은 흔히, 아니 빈번하게 첫째 운동천의 양 사인 시작점을 지나지 않는다. 따라서 앞의 결론이 따른다. 지점의 변화에 대해서도 같은 이유를 들 수 있다.

태양이 놓인 평면과 추가 결론들

이 따름명제를 도출할 때 중간 근거가 놓인 지점에 주의하라. 그것은 태양이 언제나 제8천구의 황도 아래에서 움직이고 첫째 운동천의 황도 아래에서는 움직이지 않는다는 점이다. 그리고 따라서 제9천구의 황도 아래에서 움직인다. 제9천구의 황도는 언제나 저 황도와 같기 때문이다.

그다음에는 앞의 모든 설명으로부터 다시 두 따름명제를 명시적으로, 두 개를 함축적으로 이끌어 낸다. 첫째는 다음과 같다.

분점과 지점에서의 적위에 관한 두 결론

이것들로부터 먼저 다음 결론을 얻는다. 태양이 첫째 운동천의 양 사인 또는 천칭 사인 시작점에 있을 때 적도에서의 적위가 반드시 0이어야 하는 것은 아니다.

둘째 결론으로의 전환

전체 뜻은 명백하다. 그다음에는 둘째 결론을 다음과 같이 제시한다.

염소 사인 회귀선의 변화와 그 한계

둘째, 마찬가지로 태양이 첫째 운동천의 게 사인 또는 염소 사인 시작점에 있을 때 적도에서의 적위가 반드시 최대여야 하는 것은 아니다. 태양이 첫째 운동천 황도의 두 극과 그 양 사인 시작점을 지나는 원 위에 있으면서도 적도 평면 밖에 있을 수 있기 때문이다. 마찬가지로 첫째 운동천 황도의 두 극과 그 게 사인 시작점을 지나는 원 위에 있으면서도, 그때 적도에서의 적위가 최대가 아닐 수 있다. 최대 적위에 이미 도달했거나 뒤에 도달할 수도 있다.

이로부터 또한 염소 사인 회귀선들이 적도에 대해 계속 달라져, 때로는 적도에 가까워지고 때로는 멀어진다는 결론이 따른다. 다만 이 변화에는 넘을 수 없는 일정한 한계가 있다.

원문 관계 주: COMMENTARIUS는 태양이 제8천구 황도 아래에서 움직이고 첫째 운동천 황도 아래에서는 움직이지 않는다고 한 직후, “따라서 제9천구 황도 아래에서 움직인다”고 인쇄한다. 이 연결의 논리상 어색함을 이유로 부정을 추가하지 않고 보존하였다.

움직이는 황도의 교차와 기울기의 도해

움직이는 황도와 적도의 교차점 및 기울기 변화의 이론도.

도해의 AEQVINOCTIALIS는 적도, DECL.은 적위, TROPICVS는 회귀선이다. 작은 겹침 글귀의 나머지는 판독을 유보한다. 문자와 선은 원상대로 보존한다.

도해 주해: 이 그려진 예시는 입체 모형을 필요로 한다.

별이 어느 도수에 있다고 말하는 기준

이에 관하여, 별이 황도의 어느 도수와 사인에 있다고 말할 때에는 황도극들과 그 별의 몸체를 지나는 앞의 대원이 황도에서 만나는 도수와 사인을 뜻한다는 점에 주의하라. 앞서 천구론에서 황도원을 다룰 때 밝혔던 바와 같다. 그다음에는 셋째 결론을 다음과 같이 제시한다.

두 운동을 합했을 때의 순행·역행·정류

별들의 이러한 운동에서 충분히 드러나듯이, 제9천구 운동과 제8천구의 진동 운동을 합한 운동은 때로 사인의 차례를 따라 일어나되 때로는 빠르고 때로는 느리며, 때로는 정지하고 때로는 사인의 차례를 거슬러 일어난다. 이는 제8천구의 양 사인 시작점이 자기 작은 원의 원둘레에서 차지하는 위치가 달라지기 때문이다.

작은 원의 위·아래와 가운데에서의 이동

이에 관하여, 제8천구의 양 사인 시작점이 작은 원에서 내려갈 때에는 황도 사인의 차례를 따라 움직이고, 올라갈 때에는 그 차례를 거슬러 움직인다는 것을 알아 두라. 그 원운동의 맨 위와 맨 아래에서는 사인의 차례를 따르거나 거슬러 조금씩 움직여, 멈춰 있는 것처럼 보인다. 그러나 가운데 부분들에서는 더 빠르게 움직인다.

그 이유는 제8천구의 양 사인 시작점이 지나는 작은 원의 호에 대한 역정현(sinus versus)이 증가하거나 감소하는 데서 얻는다. 이 역정현은 황도 호의 정현(sinus rectus)이기 때문이다. 앞의 성질들은 그 황도를 기준으로 제8천구 운동에 부여된다.

그다음에는 넷째 결론을 다음과 같이 제시한다.

옛 천문학자들의 서로 다른 운동값

그러므로 옛사람들이 이 운동의 성질을 알아내는 것은 매우 어려웠다. 그래서 이에 관하여 서로 다른 모형을 생각하였다.

어떤 이들은 아우게들과 고정별들이 9백 년 동안 계속 동쪽으로 움직여 7도에 이른다고 말하였다. 그런 다음 또 다른 9백 년 동안 반대로 서쪽을 향해 같은 만큼 움직인다고 하였다.

그러나 알바테그니는 그것들이 언제나 동쪽을 향해 60년 4개월에 1도 움직인다고 말하였다.

알파그라누스는 1백 년에 1도를 언제나 동쪽을 향해 완성한다고 생각하였다.

표의 용어 설명으로의 전환

용어를 위한 이론도.

MERIDIES는 남쪽/정오, ORIENS는 동쪽, OCCIDENS는 서쪽이다. 문자와 호의 대응은 원상대로 보존한다.

주석: 전체 뜻은 앞의 설명에서 드러난다. 그다음에는 표의 용어를 다음과 같이 설명한다.

전진·후퇴의 평균운동과 제8천구의 균차

그러므로 제8천구의 전진·후퇴 평균운동은 작은 원의 호로서, 사분역의 맨 위 점에서 사인의 차례를 따라 제8천구의 양 사인 시작점까지 센 것이다. 제8천구의 균차는 제9천구 황도의 호이며, 작은 원의 중심과 제9천구 황도극들에서 제8천구의 양 사인 시작점을 지나도록 그은 대원 사이에 놓인다.

따라서 전진·후퇴 평균운동이 0이거나 반원이라면 앞의 균차는 0이다. 그러나 90도 또는 270도이면 그 균차는 최대가 된다. 이 전진·후퇴 운동이 반원보다 작으면 균차를 언제나 더해야 하고, 반원보다 크면 빼야 한다.

천구 수에 관한 의견과 프톨레마이오스의 모형

이 모든 것은 앞의 설명에서 드러난다.

그다음에는 테비트의 견해에 따른 제8천구 운동을 다룬다. 여기서 알아야 할 것은 하늘의 수에 관하여 천문학자들과 철학자들의 견해가 다양하다는 점이다. 모든 천문학자가 제8하늘 너머에 다른 천구가 있다고 인정하지만, 그 수에서는 서로 다르다. 어떤 이들은 제9천구 하나만 두고 그것을 첫째 운동천이라고 부른다. 다른 이들은 둘, 곧 제9천구와 물체들 가운데 첫째인 제10천구를 둔다.

제8천구에 둘째 운동이 있음을 인정했던 옛 점성가들은 이해한 내용이 달랐으므로 서로 다른 모형을 생각하였다. 먼저 프톨레마이오스는 자신의 『알마게스트』 제7권에 나타나듯 고정별의 운동을 관찰하였다. 그는 거의 모든 관측을 사자의 심장에 있는 1등성에 대해 수행했다. 그 별은 북쪽 황위 10분을 가지며, 우리 시대인 은총의 해 1581년에 북쪽 적위 23도 34분을 갖는다. 그는 별들이 자신보다 앞선 아브라토와 히파르코스가 알아낸 위치에서 1백 년마다 1도씩 움직였음을 알아냈다.

그래서 제8천구에는 일주운동 이외의 운동 하나를 부여하고, 그 위에는 제9천구 하나만 두어 그것을 첫째 운동천으로 삼았다. 알프라가누스는 제13구분의 시작 부근에서 이 모든 점에 관해 프톨레마이오스를 따른다.

알바테그니와 왕복 모형의 관측 해석

그 뒤의 알바테그니는 자신이 얻은 별의 위치를 선행자들이 얻은 위치와 비교하여, 본문이 제시하는 이유에 따라 별들이 매우 빠른 운동으로 움직였음을 알아냈다. 그는 운동의 성질을 검토하여 한 회전이 21,612년에 완성되고, 제8천구가 황도 경도를 따라 사인의 순서대로 60년 4개월에 1도 움직인다고 말했다. 이 천구에 첫째 운동 외에는 하나의 운동만 두었으므로, 제9천구가 첫째 운동천이라고 주장하였다.

그 뒤의 다른 이들은 앞선 사람들이 사인의 순서대로 나아간다고 보았던 고정별들이 자기 시대에는 거슬러 움직이는 것을 보았다. 운동과 시간을 비교하여 제8천구가 9백 년에 사인의 순서대로 동쪽을 향해 7도를 지나고, 또 다른 9백 년에는 사인의 순서를 거슬러, 곧 서쪽으로 같은 만큼 지난다는 결론을 내렸다. 이렇게 같은 시간에 같은 거리를 잇달아 서로 반대쪽으로 움직인다는 것이다. 이들도 같은 이유로 제8천구 위에 제9천구만 인정하고 제10천구는 고려하지 않는다.

테비트 및 후대의 두 고유 운동

테비트는 제8천구에 일주운동 이외의 운동이 있음을 마음으로 파악하고, 별들이 서로 다른 방향으로 움직이는 것—또는 바로 앞에서 소개한 견해—을 보았다. 그래서 고정별들과 제8천구가 일주운동 이외에는 하나의 운동으로만 움직이게 하였다. 뒤에서 보겠지만 양 사인과 천칭 사인 시작점에 그린 작은 원들에서의 운동이다. 그는 이를 전진·후퇴 운동이라 불렀다. 그러므로 테비트도 제9천구를 첫째 운동천이라고 하였다. 다만 그의 견해와 바로 앞의 견해에는 명백한 반례들이 있다. 따라서 이 모든 천문학의 현자들은 제8천구 너머에 다른 하늘을 인정할 뿐 아니라, 그 너머의 천구를 제9천구 하나로 한정하고 그것을 첫째 운동천이라 부른다.

그러나 뒤의 점성가들, 예컨대 에스파냐 왕 알폰소, 우리의 저자, 요하네스 데 몬테 레기오 등은 옛사람들의 모든 관측을 자신들의 관측과 비교하였다. 그 결과 고정별들이 때로 동쪽, 때로 서쪽, 북쪽, 남쪽으로 움직이되, 서쪽보다 동쪽으로 더 빠르게 움직이고, 때로 남쪽보다 북쪽으로 더 빠르게, 때로 북쪽보다 남쪽으로 더 빠르게 움직임을 알아냈다. 그들은 하나의 운동으로 이 겉모양을 설명할 수 있다고 확신하지 못하여 제8천구에 두 운동을 생각하였다. 첫째는 매우 느린 운동으로, 황도 경도를 따라 사인의 순서대로 2백 년마다 1도 28분 나아간다.

다른 운동은 양 사인·천칭 사인 시작점의 두 작은 원에서 일어난다. 이 운동으로 별들은 때로 동쪽, 때로 서쪽·북쪽·남쪽으로 나아간다. 뒤에서 드러나듯 이들의 결합으로 모든 겉모양의 원인을 설명한다. 작은 원들에서 제8천구가 사인의 순서대로 움직일 때에는 역시 그 순서대로 움직이는 앞의 운동과 합해져 동쪽을 향한 운동이 매우 빨라진다. 그러나 원들의 나머지 부분에서 사인의 순서를 거슬러 움직일 때에는 서쪽을 향한 운동이 더 느려진다. 첫째 경도 운동이 그 운동에서 얼마를 덜어 내기 때문이다.

뒤에서 설명하듯 같은 방식으로 고정별에 관하여 보이는 나머지 현상도 설명한다. 이 견해가 앞선 이들의 관찰로 더 잘 확인되었다고 여겨져 현재 모두가 이를 따른다. 이 견해는 제8천구가 일주운동 외에 두 운동으로 움직인다고 인정하므로, 제9천구뿐 아니라 제10천구까지 두어야 한다. 제10천구를 첫째 운동천이라 부르며, 제8천구는 그것에 의해 일주운동으로 움직인다. 제9천구는 뒤에서 말할 이유로 둘째 운동천이라 부른다. 제8천구는 그것에 의해 경도 운동을 받는다. 또 제8천구 자체를 두어 작은 원들에서 고유 운동을 하게 한다. 앞서 보인 대로 이 운동을 진동, 또는 전진·후퇴라고 불렀다.

따라서 어떤 이들의 견해에 따르면 제8천구 너머에는 제9천구만 두어야 하고, 다른 이들에 따르면 제9천구와 함께 제10천구도 두어야 함을 알았다. 그 이유도 이제 밝혀졌다.

두 학설의 차이와 계산의 어려움

여기서는 움직이는 양 사인 시작점을 작은 원에 놓는 방식과 그 운동의 균일성에 관하여, 테비트의 견해가 근래 사람들의 견해와 일치하지 않는다는 것도 알아 두라. 이것은 앞의 설명, 제8천구 운동에 관한 알폰소의 표, 전진·후퇴 운동에 관한 테비트 자신의 표에서 드러난다.

또 제8천구가 움직이는 그 하나 또는 여러 운동에 따라 행성들의 아우게를 운반하는 천구층들도 움직인다는 것을 알아야 한다. 이미 여러 번 말한 바와 같다. 따라서 표에서 아우게들의 위치를 얻고자 한다면 먼저 제8천구 운동을 계산해야 한다. 그것이 경도 운동 하나로 움직이든, 전진·후퇴 운동으로 움직이든, 둘 다로 움직이든 마찬가지다.

이를 살피고 아는 것은 매우 어렵다. 내가 생각하기로, 그것을 확실히 아는 분은 제8천구와 다른 천체들을 창조하고 자신의 뜻에 따라 그들에게 운동을 더욱 분명하게 부여한 분뿐이다. 그분은 영원히 영광스럽고 찬미받으신다. 이제 저자는 다음과 같이 말한다.

교정 주: 원문은 “non est hic concordans opinio Thebit cum opinione modernorum”으로 불일치를 명시한다. 이전 번역의 “일치하는지를 말해야 한다”를 바로잡았다.

테비트의 두 황도와 작은 원 운동

테비트는 제8천구에 두 운동만 있다고 말했다. 하나는 첫째 운동천, 곧 제9천구에서 받는 일주운동이고, 다른 하나는 작은 원들에서 일어나는 고유 진동 운동이다. 그는 두 황도를 주장했다. 고정된 황도는 제9천구에 있고 움직이는 황도는 제8천구에 있다. 움직이는 황도의 양 사인·천칭 사인 시작점들은 두 작은 원을 따라 돌며, 그 원들의 중심 또는 극은 고정된 황도의 양 사인·천칭 사인 시작점들이다. 작은 원의 극과 그 원둘레 사이에 있는 고정 황도의 호는 4도 18분 43초다.

그는 움직이는 양 사인·천칭 사인 시작점들이 다음과 같이 돈다고 말했다. 움직이는 양 사인 시작점이 작은 원과 적도의 서쪽 교차점에 있으면, 적도 북쪽에 있는 작은 원의 절반으로 움직인다. 그때 움직이는 천칭 사인 시작점은 적도 남쪽에 있는 자기 작은 원의 절반을 지난다. 움직이는 양 사인 시작점이 적도와 자기 작은 원의 동쪽 교차점에 있으면 적도 남쪽의 절반으로 움직이고, 움직이는 천칭 사인 시작점은 그때 적도 북쪽의 절반을 돈다.

움직이는 양 사인 시작점이 고정 황도와 작은 원이 만나는 두 교차점 중 어느 하나에 있으면, 움직이는 황도는 정확히 고정 황도의 평면에 놓인다. 양 사인 시작점이 자기 작은 원을 한 번 도는 동안 두 번 일어난다. 양 사인 시작점이 작은 원둘레의 다른 어느 위치에 있든, 움직이는 황도는 고정 황도와 교차하며 그 교차점들은 움직이는 게 사인·염소 사인 시작점들이다.

교차점의 왕복과 최대 기울기의 변화

움직이는 황도의 이 두 점은 이 운동 내내 고정 황도의 원둘레에 붙어 있어 결코 그것을 떠나지 않는다. 그러나 고정된 게 사인·염소 사인 시작점에서는 동쪽이나 서쪽으로 4도 18분 45초만큼 멀어질 수 있다. 두 황도의 교차가 어디서 일어나든, 그 교차점은 움직이는 양 사인·천칭 사인 시작점들에서 대원의 4분의 1만큼 떨어져 있어야 한다.

움직이는 양 사인 시작점이 작은 원을 한 번 도는 동안 움직이는 게 사인·염소 사인 시작점들이 고정된 시작점들 아래에 두 번 놓이기는 한다. 그러나 움직이는 양 사인·천칭 사인 시작점들은 결코 고정된 양 사인·천칭 사인 시작점들 아래에 오지 않는다. 움직이는 황도가 작은 원의 북쪽에서 움직이는 양 사인 시작점에 접하면, 움직이는 게 사인·염소 사인 시작점들이 고정된 시작점들과 만난다. 남쪽에서 접할 때도 같다. 그러나 양 사인·천칭 사인 시작점들은 언제나 고정된 시작점들에서 앞서 말한 만큼 떨어져 있다.

고정 황도는 언제나 고정된 양 사인·천칭 사인 시작점에서 적도와 교차하며, 언제나 같은 각, 곧 23도 33분 30초를 이룬다. 반면 움직이는 황도는 두 접촉 위치에서 자신이 적도와 갈라 놓는 두 호 안의 모든 점에서 차례로 적도와 교차한다. 각 호의 크기는 약 21도 80분이다. 움직이는 양 사인 시작점이 황도와 적도의 교차점에서 가장 멀리 떨어지는 거리는 10도 45분이다.

그러므로 움직이는 황도가 적도에서 갖는 최대 기울기는 달라져, 때로는 고정 황도의 기울기보다 크고 때로는 작고 때로는 같다. 움직이는 황도가 고정 황도의 평면에 놓일 때에는 같다. 접촉 위치에서는 더 크며, 여기에서 프톨레마이오스도 33도 51분 20초를 얻었다. 움직이는 양 사인 시작점이 적도와 작은 원의 교차점에 있을 때에는 더 작다.

그때 두 황도의 교차점은 움직이는 황도에서 가장 크게 기울어진 점에 있는데, 그 점의 기울기는 고정된 게 사인·염소 사인 시작점보다 작기 때문이다. 따라서 제8천구의 균차는 움직이는 황도에서 움직이는 양 사인 시작점과 같은 황도가 적도와 만나는 교차점 사이에 끼인 호다. 반면 전진·후퇴 운동은 작은 원에서 움직이는 양 사인 시작점과 적도·작은 원의 교차점 사이에 있는 호로서, 원의 북쪽 절반을 따라 나아가며 센 것이다.

수치 보존 주: 주저본은 21도 80분 및 프톨레마이오스의 값 33도 51분 20초로 인쇄한다. 전자는 분 단위의 통상 범위를 벗어나며 후자는 현대 값과 맞지 않더라도 임의로 계산·정규화하지 않았다. 51은 확대 원상에서 확인하여 이전 5분 오독을 고쳤다.

추가 수치 주: 첫 반지름 설명은 4도18분43초, 뒤의 동서 이격 설명은 4도18분45초로 서로 다르게 인쇄되어 있다. 둘을 임의 통일하지 않았다.

운동의 빠름·느림과 관측값의 차이

이 운동 때문에 고정별들은 때로 동쪽으로, 때로 서쪽으로, 때로 빠르게, 때로 느리게 움직이는 것으로 보인다.

움직이는 양 사인 시작점이 적도에서 작은 원의 4분의 1에 해당하는 위치, 곧 앞에서 말한 접촉 위치 부근에 있으면, 별들은 그 운동 방향을 향해 느리게 움직이는 것으로 보인다. 그때 제8천구의 균차는 조금씩만 증가하거나 감소하기 때문이다. 그러나 움직이는 양 사인 시작점이 적도와 작은 원의 두 교차점 중 하나 또는 그 부근에 있으면, 별들은 운동 방향을 향해 빠르게 움직이는 것으로 보인다. 같은 위치에서 천구의 균차가 가장 크게 증가하거나 감소하기 때문이다. 여기에서 별 운동의 뚜렷한 차이가 발견되었다. 프톨레마이오스는 자기 시대에 확인한 별 위치를 히파르코스 등이 얻은 위치와 비교하여, 1백 년에 1도라는 느린 운동으로 움직였음을 알아냈다.

그때 양 사인 시작점은 작은 원의 남쪽 사분점에서 떨어져 적도에 가까워지고 있었다. 뒤의 사람들은 그것이 더 가까이 갔을 때 66년에 1도 움직였음을 알아냈다. 지금 우리 시대, 곧 주의 해 1460년에는 양 사인 시작점이 북쪽에 있고 자기 작은 원과 적도의 교차점에서 약 66도 떨어져 있게 되었다. 따라서 움직이는 황도와 적도의 교차점에서도 약 90도 48분 떨어져 있다. 그러므로 그 교차점은 이제 움직이는 황도의 물고기 사인 20도 12분에 놓인다.

제8천구의 최대 균차는 움직이는 양 사인 시작점이 작은 원과 적도의 교차점에서 사분원만큼 떨어진 점들에 있을 때 생기며, 10도 45분이다. 따라서 움직이는 황도의 물고기 사인 19도 15분에서 양 사인 10도 45분까지 모든 점은 춘분점인 그 교차 위치에 놓일 수 있다. 반대쪽 호의 추분점도 같은 방식으로 이해해야 한다. 또한 회귀점들은 언제나 움직이는 게 사인·염소 사인 시작점에 있는 것이 아니라, 적도와 움직이는 황도의 교차점에서 사분원만큼 떨어진 점들에 있음을 알 수 있다.

프톨레마이오스의 관측 해석과 하위 천구들

그러므로 프톨레마이오스는 자기 시대에 별들이 서쪽에서 동쪽으로 움직인다고 판단하여, 적도에 대해 언제나 같은 기울기를 갖는 고정 황도 하나만 있다고 믿었다. 여기에서 그가 말한 내용이 따라 나온다.

남쪽의 별들이 동지 회귀선에서 떠나 춘분점으로 가까워지고, 그 점과 하지 회귀선 사이에서는 북쪽을 향해 적도에서 멀어졌으므로, 그는 별들이 사인의 차례를 따라 움직인다고 판단하였다.

그러나 이 운동을 전제하면 그의 시대에는 실제로 고정 황도 사인의 차례를 거슬러 움직이고 있었다. 다만 당시 감소하고 있던 제8천구의 균차 때문에 사인의 차례를 따라 움직이는 것으로 보였던 것은 사실이다. 그는 움직이는 황도와 적도의 교차점을 움직이지 않는 황도의 양 사인 시작점으로 여겼고, 그 교차점이 언제나 고정되어 있다고 생각했기 때문이다.

모든 하위 천구들은 자기 운동에서 이 운동을 따른다. 따라서 이 움직이는 황도를 기준으로 운반원들의 아우게와 그 기울기는 언제나 변한다.

원문 주: 마지막 구절은 “sint auges deferentium & declinationes eorum semper mutabiles”이다. 90도 48분 등 인쇄 수치는 산술적으로 정상화하지 않았다.

움직이는 황도와 적도 교차점의 이론도

움직이는 황도와 적도의 교차점 운동 도형.

AEQVATOR는 적도, DECL. MERI.는 남쪽 적위, SEPT./MERI.는 각각 북쪽/남쪽 표지, OCTAVA/NONA는 제8/제9천구이다. 문자와 기호는 원상대로 보존한다.

주해: 고정 황도는 A·I·K·D이며, A와 D 둘레에 그린 작은 원들을 갖는다. 더 굵은 원은 적도다. 작은 원들의 서로 맞은편 점들에 접하는 나머지 두 원은 움직이는 황도가 고정 황도에서 가장 멀리 물러나는 상태를 나타낸다.

제8황도가 가장 북쪽 점 N에 있을 때 분점은 E에, 추분점은 C에 놓인다. 그러나 제8천구의 양 사인 시작점이 작은 원의 가장 남쪽 점을 차지하면 춘분점은 B에, 추분점은 F에 놓인다.

알폰소와 테비트 모형의 여섯 가지 차이

저자는 자신과 천문학자들이 일반적으로 인정하는 견해에 따라 제8천구 운동을 결정한 뒤, 이제 테비트의 견해에 따른 제8천구를 다룬다. 이 견해는 다른 견해들(inter extraneas) 가운데 진리에 더 부합한다. 그러나 테비트의 견해는 앞의 설명으로 쉽게 상상할 수 있고 지금 점성학의 초심자들이 따라야 할 것도 아니므로, 이에 관해서는 더 길게 논하지 않겠다.

여기서는 제8천구 운동에 관하여 테비트가 저자와 모든 근래 천문학자들이 따르는 알폰소와 크게 여섯 가지 점에서 다르다는 것만 적어 두겠다.

첫째는 제8천구 위에 있는 천구들의 수다. 알폰소는 움직이는 천구 두 개를 두지만 테비트는 하나만 둔다.

둘째는 제8천구 운동이 일어나는 작은 원들의 위치다. 알폰소는 그들이 계속 한 자리에서 다른 자리로 움직인다고 하지만, 테비트는 언제나 같은 자리에 있다고 한다. 곧 한 원의 중심은 언제나 첫째 운동천의 양 사인 시작점에, 다른 원의 중심은 천칭 사인 시작점에 있다.

셋째는 그 원들의 크기다. 알폰소는 반지름을 9도로 두고 테비트는 4도 8분 43초로 둔다.

넷째는 작은 원에서 제8천구 운동을 세는 출발점이다. 알폰소는 작은 원의 가장 북쪽 점에서 세지만 테비트는 작은 원과 적도가 교차하는 점에서 자연적인 절반을 따라 나아가며 센다.

다섯째는 운동량이며 그들의 표에서 드러난다. 여섯째는 균차다. 알폰소는 제9천구 황도에서 균차를 세지만 테비트는 제8천구 황도에서, 그것이 첫째 운동천의 적도와 교차하는 점을 기준으로 센다. 그 밖에도 그러하다.

이상은 점성학 초심자들의 형상 이해를 돕기 위해 이 이론들에 관하여 적을 만하다고 생각한 내용이다. 그러나 본문에서 전하는 내용의 증명을 도출하거나 제시하지는 않았다. 그것은 『알마게스트』의 영역이기 때문이다. 이 이론들이 증명 없이 단순히 믿음을 바탕으로 전해졌듯이, 나 역시 단순한 믿음을 바탕으로 그 형상을 설명하였다.

도판의 황도대 사인 기호와 원환은 원상대로 보존하였다. 별도 산문 표제나 범례는 없다.

수치 주: 이 면의 반지름은 4도 8분 43초로 인쇄되어 앞의4도18분43초와 다르다. 이문을 산술적으로 합치지 않았다. “자연적인 절반(medietatem naturalem)” 역시 인쇄대로 보존한다.

니콜라우스 코페르니쿠스의 견해에 따른 제8천구 운동

천체 운동에 관한 이 논의의 마지막 부분이 남았다. 여기서는 특히 두 현상의 원인을 설명해야 한다. 하나는 분점의 불균일한 세차, 또는 제8천구의 별들이 분점들에서 사인의 차례를 따라 하는 불균일한 운동이고, 다른 하나는 달라진 태양의 기울기이다. 에라스무스 라인홀트와 포이커의 저술들에 있는 바에 따라 프톨레마이오스의 견해에서 시작하겠다.

고정별들이 유지하는 간격과 전체의 이동

[측주] 고정별들에 관하여(De stellis fixis).

프톨레마이오스는 먼저 모든 고정별이 하나의 천구에 담겨 있으며, 서로 같은 배치와 같은 간격을 영구히 유지한다고 보았다. 그는 눈에 띄는 여러 별의 사례로 이를 입증하였다. 사자의 목 한가운데 있는 밝은 별들에서 히드라의 밝은 별을 향해 조금 동쪽으로 곧게 그은 선은 사자의 심장에 있는 별을 지난다. 사자의 허리에 있는 밝은 별에서 남쪽 곰의 뒷다리에 박힌 밝은 별을 향해, 사각형의 둘째 변에서 조금 서쪽으로 그은 선은 곰의 뒤따르는 발 끝에 나란히 있는 두 별을 지난다. 처녀의 이삭에서 목동의 머리에 있는 별을 향해 조금 동쪽으로 뻗은 선은 아르크투루스를 지난다. 이삭과 까마귀의 날개에 붙은 두 밝은 별도 같은 직선 위에 있다.

고정별들은 매일 동쪽에서 서쪽으로 회전하면서도 자기 자리를 떠나지 않으며, 서로 더 멀어지거나 더 가까이 모여 결합하도록 간격을 바꾸지도 않는다. 이것은 모두가 한 천구에 붙어 있고 하나의 추진으로 회전한다는 근거다. 그러나 오랜 기간 일치한 관측과 기록에서는, 일주 회전 외에 다른 운동으로도 움직여 분점들에서 사인의 차례를 따라 조금씩 나아간다는 것이 확인된다.

이삭의 위치와 적위·황위의 구별

예를 들어 티모카리스는 아리스타, 곧 처녀의 이삭이 가을 사인보다 앞에서 8도 떨어져 있다고 보았다. 뒤에 히파르코스는 6도만 떨어져 있다고 보았고, 그보다 뒤의 프톨레마이오스는 더 가까워져 같은 사인에서 3과 3분의 1도 떨어져 있음을 알아냈다. 우리 시대에는 그 사인에서 거의 18도 물러났음이 확인된다.

그는 별들이 적도극이 아니라 황도극을 중심으로 사인의 차례를 따라 조금씩 나아간다는 것을 다음 근거로 파악했다. 그 진행에서 적위가 변하고, 황위 또는 황도에서의 거리는 변하지 않는다는 것이다. 제8천구에서 동지점으로부터 춘분점을 거쳐 하지점에 이르는 반구에 있는 별들은 북쪽 적위가 커지고 남쪽 적위가 작아진다. 반대 반구에서는 반대로 북쪽 적위가 작아지고 남쪽 적위가 커진다. 이는 회귀점 부근보다 분점 부근에서 더 뚜렷하게 관측된다.

예컨대 이삭은 태양의 길에서 2도 떨어진 거리를 결코 바꾸지 않는다. 티모카리스는 그 적위를 적도에서 북쪽으로 1과 5분의 2도라고 알아냈다. 프톨레마이오스는 같은 적도에서 남쪽으로 2분의 1도라고 알아냈다. 바실리스쿠스, 곧 사자의 심장은 태양의 길에서 북쪽으로 6분의 1도 떨어져 있으며, 그 위치를 수 세기 동안 바꾸지 않았다. 그러나 적위는 시대마다 달랐다고 기록되었다. 티모카리스 때에는 북쪽 21과 3분의 1도, 히파르코스 때에는 20과 3분의 2도, 프톨레마이오스 때에는 19도에 2분의 1도와 3분의 1도를 더한 값이었다.

관측 간격에서 도출한 백 년당 일 도와 두 천구

마침내 프톨레마이오스는 달라진 적위와 다른 관측에서 고정별들이 1백 년에 1도씩 균일하게 나아간다고 정했다. 예컨대 이삭의 적위는 히파르코스 시대에는 북쪽 36분, 프톨레마이오스 시대에는 남쪽 2분의 1도였다. 따라서 히파르코스에서 프톨레마이오스까지 이 별은 남쪽으로 1도 6분 나아갔다. 적위표에 따르면 분점 부근에서 이 정도의 적위 변화에는 2와 3분의 2도가 대응하며, 이것이 두 시대 사이에 나아간 양이다. 두 관측 사이의 기간은 265년이다. 이 기간에 2와 3분의 2도, 곧 46분을 배분하면 1도에 1백 년을 할당하게 된다.

프톨레마이오스는 다른 방법으로도 달의 위치를 이용하여 기기로 고정별과 분점 사이의 거리를 조사하였다. 그것이 앞의 결과와 일치함을 알아내고, 그 진행이 영구히 계속되리라 생각하였다.

그리하여 그는 제8천구가 두 운동, 곧 동쪽에서 서쪽으로 향하는 공통 운동과 서쪽에서 동쪽으로 향하는 고유 운동으로 움직임을 알아내고 제8천구 둘레에 제9천구를 두었다. 모든 단순한 물체는 하나의 단순한 운동으로만 움직이므로, 여러 운동이 발견되면 그중 하나는 고유 운동이고 나머지는 외부의 추진에서 생겨야 하기 때문이다. 그는 태양의 최대 기울기에서는 아무 변화도 발견하지 않았다. 이것이 제8천구 운동에 관한 프톨레마이오스 학설의 요점이다.

인쇄 수치 주: 2와3분의2도를 “곧46분”이라고 환산한 구절은 원문 “id est prim.46”을 확대 확인하여 그대로 보존하였다. 산술 오류로 보이더라도160분으로 고치지 않는다.

티모카리스에서 코페르니쿠스까지의 관측 기록

[측주] 역사(Historia).

그러나 프톨레마이오스를 따른 이들은 고정별들이 분점들에서 떠나는 운동뿐 아니라 태양의 기울기에서도 변화를 알아차렸다. 그 변화의 역사는 대략 다음과 같다.

알렉산드로스 사후 30년, 곧 칼리포스의 76년 주기 첫 기간의 36년에 알렉산드리아의 티모카레스는 고정별의 위치를 조사하고 기록하는 일을 처음으로 중요하게 여겼다. 그는 처녀의 이삭이 지점에서 82와 3분의 1도 떨어져 있고 남쪽 황위 2도를 갖는다고 기록했다. 또 전갈의 이마에 있는 세 별 가운데 가장 북쪽이고 그 별자리 형상에서 첫째인 별은 추분점에서 32도, 황위는 1과 3분의 1도라고 기록했다. 48년 뒤에는 처녀의 이삭이 하지점에서 82와 2분의 1도 떨어져 있고 같은 황위를 갖는다고 알아냈다.

히파르코스는 알렉산드로스 사후 196년, 곧 칼리포스 셋째 주기의 50년에 사자의 가슴에 있는 바실리스쿠스라는 별을 하지점에서 29도에 2분의 1도와 3분의 1도를 더한 위치에서 알아냈다.

로마의 기하학자 메넬라오스는 트라야누스 황제 원년, 곧 그리스도 탄생 후 99년이자 알렉산드로스 사후 422년에 이삭이 지점에서 86과 4분의 1도 떨어져 있다고 기록했다. 앞서 말한 전갈의 이마의 별은 추분점에서 36도보다 12분의 1도 적게, 곧 35도 55분 떨어져 있었다.

이들을 따른 프톨레마이오스는 안토니누스 피우스 2년, 곧 알렉산드로스 사후 462년에 사자의 레굴루스를 하지점에서 32와 2분의 1도, 처녀의 이삭을 86과 2분의 1도, 전갈의 이마의 앞 별을 추분점에서 36과 3분의 1도 떨어진 곳에서 알아냈다. 황위는 전혀 변하지 않았다.

훨씬 뒤인 그리스도 탄생 후 876년, 알렉산드로스 사후 1121년에 알바테그니라고 부르는 마호메테스 아라텐시스는 사자의 레굴루스 또는 바실리스쿠스를 지점에서 44와 12분의 1도 떨어진 곳에서 관측했다. 전갈의 이마의 별은 추분점에서 47도 50분 떨어져 있었으며, 옛 관측의 황위는 그대로였다.

코페르니쿠스는 그리스도력 1515년에 처녀의 이삭을 추분점에서 17도 14분 떨어진 곳에서 알아냈다. 10년 뒤, 곧 알렉산드로스 사후 이집트년 1849년에는 같은 분점에서 17도 21분 떨어진 곳에서 알아냈다.

관측 간격에 따른 세차율의 차이

이 사실들에서 티모카레스에서 프톨레마이오스까지 432년 동안 분점과 지점이 선행 방향으로 변했거나, 고정별들이 분점과 지점에서 사인의 차례를 따라 물러났으며, 그 양이 1백 년에 1도였음이 명백히 드러난다. 그 기간에 4와 3분의 1도를 나아갔기 때문이다. 또 히파르코스에서 프톨레마이오스까지 266년에 별들은 2와 3분의 2도를 지났다.

메넬라오스에서 마호메테스 아라텐시스까지 중간의 782년에는 11도 55분을 지났다. 이 값에서는 1도에 더 이상 1백 년이 아니라 96년만 할당해야 하는 것으로 보인다. 한편 프톨레마이오스 이후 741년의 기간에서는 1도가 65년을 차지했다. 마호메테스에서 코페르니쿠스까지 남은 645년을 9도 11분의 차이와 비교하면 1도에 61년이 필요하다.

이로부터 프톨레마이오스 이전 400년 동안의 분점 세차 또는 고정별들이 분점들에서 사인의 차례를 따라 하는 운동은 프톨레마이오스에서 알바테그니까지보다 느렸으며, 후자의 운동은 알바테그니에서 우리 시대까지보다 빨랐음이 드러난다.

태양 최대 기울기의 역사적 수치 열거

태양의 최대 기울기에서도 이처럼 차이가 발견된다. 사모스의 아리스타르코스는 최대 기울기를 23도 51분 20초라고 전했으니, 프톨레마이오스와 같은 값이다. 알바테그니는 23도 36분이었다. 그보다 90년 뒤의 에스파냐 사람 아르자켈은 23도 34분이었다. 아르자켈보다 230년 뒤의 유대인 프로파키우스는 그보다 2분 작은 값을 얻었다. 볼로냐의 도미니쿠스 마리아는 1491년에 이것보다도 3분 작은 값을 얻었다.

베르네루스는 1515년에 22도 28분 30초를 얻었다. 또한 그는 알폰소 시대인 그리스도력 1252년에는 23도 35분 45초였고, 그리스도력 1323년에는 잉글랜드 사람 알비온이라는 이가 약 23도 33분 30초를 얻었다고 기록했다.

따라서 프톨레마이오스부터 9백 년의 기간에 최대 기울기의 변화가 다른 어느 기간보다 컸음도 아주 뚜렷하게 드러난다.

측주: 왼쪽 인명 표지는 히파르코스·메넬라오스·프톨레마이오스·알바테그니·코페르니쿠스에 대응한다. 앞의 세 표지는 마모/먹뭉침이 있어 가시 원형만으로 전체 철자를 확정하지 않는다. 본문의 온전한 인명과 구분한다.

수치 주: 265년(앞 문단)과266년(이번 비교),876년과알렉산드로스사후1121년,96년/65년/61년 등의 인쇄 불일치를 임의 정상화하지 않았다. 55분 및230년은 확대 대조해 유지했으며,1252와400은 기존1232/405에서 교정했다.

코페르니쿠스의 이중 부등과 그 수치

태양의 최대 기울기 변화와 주요 점들의 후퇴, 또는 고정별들의 진행에 나타나는 이러한 부등의 이유를 제시하고, 그것을 기준과 규칙으로 되돌리며, 가설을 세워 설명하려고 기술자들은 많이 노력하였다. 알폰소 학파와 그들을 따른 이들이 이 문제에서 무엇을 시도하고 이루었는지는 남아 있는 그들의 저술이 증언한다. 다른 이들의 저술도 마찬가지다. 그들은 알폰소 학파가 전한 근거들을 명백히 반박하여 현상과 관측에 맞지 않음을 보였다. 그 설명을 알고자 하는 이는 해당 저술을 읽으라. 약속한 것을 이루어 주지 못하므로, 나는 그 설명으로 독자를 부담스럽게 하는 것이 불필요하다고 생각한다.

코페르니쿠스는 이 관측들을 서로 비교하여 분점의 부등이 태양 기울기의 부등에 대해 두 배라고 정하였다. 기울기에서 한 차례의 부등 주기가 완성되는 동안 분점의 부등은 두 차례의 전체 주기를 완성한다는 것이다. 평균운동을 배분하여 단일 부등의 연운동을 6각분 17각초 24삼분 9사분, 일운동을 1각초 2삼분 2사분으로 두었다. 분점 세차의 연운동은 50각초 12삼분 5사분, 일운동은 8삼분 15사분으로 두었다.

그는 자신의 논리에 따라 이 현상들을 적도와 지구 축의 황도면에 대한 기울기로 설명한다. 여기에 지구 적도극들의 이중 왕복운동을 더하고, 서로 반대 방향으로 움직이는 두 작은 원을 가정한다. 하나는 단일 운동이고 다른 하나는 그에 대해 두 배다. 이 이중 운동으로 직선이 그려지며, 그 가운데에서는 운동이 더 빠르고 양 끝에서는 더 느리다. 현상이 보여 주는 바와 같다. 이로써 분점 세차와 변화하는 기울기라는 두 부등을 설명한다.

이 가설들을 제8천구에 옮겨, 제8천구 외에 제9·제10천구를 더 두고, 같은 방식으로 하늘에 움직이는 적도와 움직이는 축·극을 설정한다고 하자. 적도와 황도의 교차점, 그리고 둘이 가장 멀리 떨어지는 점들도 움직이게 한다. 제8천구 황도는 그 극들과 함께 고정되어 있게 한다. 그러면 옛사람들의 나머지 가설들을 바꾸지 않고도 같은 효과를 얻을 수 있다고 나는 생각한다. 천구와 행성의 순서 및 옛 가설들을 모두 유지하기로 했다면, 내가 보기에는 적도원의 축과 극들이 이처럼 굽어지는 것보다 그 현상들에 더 나은 원인을 제시하기는 어렵다.

사인들의 가운데를 지나는 원은 움직이지 않고 적도는 계속 달라진다는 것은 하늘에 붙어 있는 별들의 변하지 않는 황위가 명백히 증언한다. 반면 같은 별들의 적도에 대한 적위는 해마다 서로 반대 방향으로 달라진다. 적도극들이 어느 정도 굽어지는 것을 가정하더라도, 그 극들의 회전이 태양의 연운동과 정확히 일치한다면 분점과 지점의 후퇴 또는 고정별들의 진행은 전혀 나타나지 않을 것이다.

별의 황위가 일정하다는 사실과 움직이는 적도

그러나 두 운동은 서로 다르고 그 차이도 일정하지 않으므로, 지점과 분점도 불균일한 운동으로 후퇴하여 고정별들보다 먼저 움직여야 했다. 또는 그 점들을 고정시킨다면, 별들이 분점과 지점에서 사인의 차례를 따라 불균일하게 조금씩 나아가야 했다. 최대 기울기의 변화에서도 같은 일이 일어나며, 그것 역시 불균일하게 달라진다.

그러므로 고정별들의 황위가 결코 변하지 않는다고 관찰된 이상, 변화의 원인을 황도보다 적도의 변화에 두는 것이 더 타당해 보인다. 황도는 고정별들에 대해 언제나 같은 배치를 유지하기 때문이다.

이를 설명하려면 매달린 물체의 흔들림과 같은 두 왕복운동을 적도의 극들에 부여해야 한다. 그 극들 때문에 같은 천구의 원들도 달라지며, 그 원들의 극들이 바로 이 움직이는 극들이다.

두 부등과 연동하는 두 작은 원

한 운동은 적도면과 황도면의 기울기를 바꾼다. 균형 있게 다가갔다 물러나는 운동이며, 극들이 교차각 둘레에서 마치 직선 위에서처럼 위아래로 옮겨진다. 다른 운동은 가로 방향의 양쪽 흔들림으로 지점과 분점의 세차를 늘리거나 줄인다. 그 결과 평균의 분점·지점이 때로 실제의 것과 일치하고 때로 다르다. 뒤에서 말하겠지만, 뒤의 운동인 분점 세차는 코페르니쿠스에 따르면 기울기가 한 주기를 마치는 동안 두 번 완성된다.

이 때문에 코페르니쿠스는 앞의 운동을 단일 부등, 뒤의 운동을 이중 부등이라 부른다. 부등의 시작점은 실제 춘분점이 그 지름을 그리는 원의 맨 위 점으로 정한다. 이 점은 같은 원의 원둘레에서 평균 분점의 원에 대해 북쪽으로 정해진다.

이 두 운동은 모두 흔들림이다. 매달린 물체처럼 두 한계 사이에서 같은 길을 따라 가운데에서는 빨라지고 양 끝에서는 느려지기 때문이다. 행성들의 황위를 다룰 때의 운동과 거의 같다. 주전원과 이심원의 평면들은 황도면이나 이심원 평면에 완전히 또는 직선 하나를 따라 접하고, 때로 비스듬히 굽어 밖으로 휘며, 한계점들이 양쪽으로 흔들리면서 이심원이나 황도의 평면과 교차한다.

프톨레마이오스가 금성과 수성에서 왕복 흔들림을 작은 원들에 가정했듯이, 여기에서도 작은 원 둘을 가정해야 한다. 그 원들이 서로 다른 쪽으로 움직여 적도가 황도에 다가갔다 물러나는 불균일한 직선운동을 그리며, 분점과 지점의 불균일한 세차의 이유를 설명하게 된다.

서로 마주하는 두 흔들림을 두되, 둘째가 첫째에 대해 두 배가 되게 해야 한다. 현상들이 보여 주는 바와 같다.

두 흔들림 가운데 하나만으로는 충분하지 않음

첫째 운동만 사용했다면 극들은 평균 지점 분지경계선에서 황위 방향으로 결코 벗어나지 않았을 것이다. 실제 적도면과 황도면의 경사각은 극들의 단순 운동 때문에 먼 한계에서 중간을 거쳐 가까운 마지막 한계까지 줄어들고, 다시 가까운 한계에서 중간을 거쳐 먼 한계까지 균등하게 늘어났을 것이다. 분점의 세차에서는 아무 부등도 관측되지 않았을 것이다.

그러나 관측은 실제 분점이 평균 분점에서 양쪽으로 최대 7분 2초까지 떨어짐을 보여 주었다. 따라서 극들을 지점 분지경계선에서도 벗어나게 하는 다른 흔들림을 더해야 했다. 반대로 그것 하나만 설정했다면 모든 부등은 세차에만 생기고, 적도면과 황도면의 경사각에는 아무 변화도 생기지 않았을 것이다. 그러므로 둘을 결합하여 두 부등의 이유를 설명한다.

불균일하게 보이는 모든 운동에서 그 부등의 기준과 규범이 될 중간의 균일한 것을 설정해야 하듯이, 적도극들과 따라서 적도 자체가 불균일하게 달라진다는 이 가설들에서도 평균 극들과 평균 적도, 황도와의 평균 교차점들과 평균 지점들을 가정해야 한다. 그 아래에서 실제 적도극들과 적도 자체가 정해진 한계 안에서 양쪽으로 굽어지고, 그 균일한 운동들을 불균일하고 서로 다르게 보이게 한다. 현상도 그렇게 보여 준다.

서로 마주하는 이 두 흔들림 때문에 적도극들은 시간이 흐르면 꼬인 화관과 비슷한 선들을 그린다. 포이커가 보인 바와 같다.

수치 교정 주: 원문은 “scrupulorum 7. secund.2”로 인쇄한다. 이전7분22초를7분2초로 고쳤으며 이 값 자체를 현대 이론에 맞추어 변경하지 않았다.

세 천구로 옮긴 모형과 평균 세차의 정의

지금까지 실제 적도극과 평균 북극에 관해 설명한 것은 반대 방향의 남극에도 같은 방식으로 적용해야 한다. 실제와 평균의 분점·지점들, 실제와 평균 적도 자체도 마찬가지로 생각해야 한다. 이 방식에서는 모든 실제 점들이 그 극들의 회전에 따라 움직여 평균 점들에 다가갔다 이쪽저쪽으로 굽어지면서 그 둘레에 꼬인 화관을 그린다.

이로부터 보이는 고정별의 제8천구 외에 제9·제10천구를 가정하면, 제8천구 운동에서 보이는 모든 현상을 이 가설들로 설명할 수 있음이 명백하다. 제10천구, 곧 첫째 운동천에서는 제8천구의 일주 회전이 생겨 별들이 뜨고 진다. 제9천구에서는 평균 적도극에 작은 원이 그려졌다고 이해하며, 그 원의 회전에 따라 제9천구는 사인의 차례를 거슬러 움직인다. 제8천구에는 중심이 언제나 제9천구 작은 원의 원둘레 위에 있는 다른 작은 원이 그려졌다고 이해한다. 제8천구는 이 원에 따라 제9천구보다 두 배 빠른 운동으로 사인의 차례를 따라 회전한다.

이 두 운동의 합성으로 앞서 설명한 것처럼 실제 적도와 황도의 기울기도, 분점·지점이 사인의 차례를 거슬러 불균일하게 이동하는 양도 달라진다.

그러므로 평균운동 또는 춘분의 평균 세차는 두 대원 사이에 끼인 황도 호다. 두 대원은 모두 황도극들을 지나지만, 하나는 제8천구 양 사인의 첫 별을, 다른 하나는 평균 분점을 지난다. 즉 평균 분점이 양 사인의 첫 별에서 선행 방향으로 떨어진 거리, 또는 반대로 양 사인의 첫 별이 평균 분점에서 사인의 차례를 따라 떨어진 거리다.

실제 세차와 가감차

실제운동 또는 분점의 실제 세차도 두 대원 사이에 끼인 황도 호다. 하나는 양 사인의 첫 별을, 다른 하나는 실제 분점을 지난다. 즉 실제 분점이 양 사인의 첫 별에서 선행 방향으로 떨어진 거리, 또는 반대로 양 사인의 첫 별이 실제 분점에서 사인의 순서를 따라 떨어진 거리다.

실제 분점과 겉보기 분점의 차이를 분점의 프로스타파이레시스, 곧 가감차라고 부른다. 단일 부등의 두 배가 반원보다 작으면 이 가감차를 평균운동에서 빼고, 반원보다 크면 더한다. 이중 부등이 반원을 완성하기 전에는 평균 분점이 앞서고 실제 분점이 뒤따르기 때문이다. 반원을 완성한 뒤에는 실제 분점이 앞서고 평균 분점이 뒤따른다.

단일 부등과 이중 부등의 기준

단일 부등은 제9천구에 있는 첫째 작은 원의 호로서, 그 맨 위 점에서 실제 적도의 실제 극까지 센 것이다.

이중 부등은 제8천구에 있는 둘째 작은 원의 호이며, 역시 그 맨 위 점에서 실제 적도의 실제 극까지 센 것이다. 이 호는 언제나 단일 부등의 두 배다. 두 작은 원 모두에서 부등을 맨 위 경계로부터 세기 때문이다. 그 원의 지름은 춘분점이 합성운동으로 그리며, 원둘레의 북쪽에 있다. 그러므로 더 큰 위쪽 반원에서는 더하고, 더 작은 아래쪽 반원에서는 뺀다.

기울기 가감차와 평균 기울기

기울기의 가감차는 평균 지점들을 구별하는 분지경계선의 호다. 코페르니쿠스에 따르면 최소 기울기와 실제 기울기의 한계 사이에 끼이고, 다른 표들에 따르면 평균 기울기와 실제 기울기의 한계 사이에 끼인다.

단일 부등이 사분원보다 크고 원의 4분의 3보다 작을 때, 곧 90도에서 270도까지이면 이 값을 평균 기울기에 더한다. 반대로 같은 부등이 사분원보다 작고 원의 4분의 3보다 클 때, 곧 원의 시작에서 90도까지와 270도에서 원의 끝까지이면 뺀다.

평균 기울기는 평균 적도점에서 황도극까지의 지점 분지경계선 호다. 지점과 분점의 나머지 극들에 대해서도 같은 방식으로 이해하라. 그 크기는 23도 34분이다.

표로 실제 세차를 구하는 절차

실제 세차 호의 크기는 다음과 같이 구하라. 주어진 때의 분점 세차 평균운동과 단일 부등을 각각의 표에서 찾으면, 단일 부등의 두 배가 가감차표에서 분점의 가감차를 준다. 이중 부등이 반원에 미치지 못하면 그 값을 세차의 균일 운동에서 빼고, 반원을 넘으면 더하라. 그러면 실제 세차를 얻게 된다.

표로 기울기를 구하는 두 방법과 끝맺음

기울기는 다음과 같이 구하라. 단일 부등으로 분점 가감차표에서 비례분을 취하고, 그것을 이용하여 24분에서 비례 부분을 구하라. 이 부분은 언제나 최소 기울기에 더한다.

또는 같은 단일 부등으로 기울기의 가감차를 취하라. 부등이 사분원보다 크고 원의 4분의 3보다 작으면 평균 기울기에 더하고, 사분원보다 작거나 원의 4분의 3보다 크면 평균 기울기에서 뺀다.

끝.

원문 표기 주: 가감차 정의는 “verum & apparens aequinoctium”(실제/겉보기 분점)으로 인쇄되어 있으나 이어지는 절차에서는 평균/실제의 관계를 설명한다. 처음 표현을 임의로 평균/실제로 고치지 않았다. 마지막 감산 조건의 et(그리고)도 서로 배타적인 두 구간을 나열하는 문맥으로 제시되어 있다.

면말 확인: FINIS(끝) 뒤에는 문자가 없는 장식 무늬가 있으며 별도 본문이나 도형 라벨은 없다.

명민한 게오르기우스 푸르바흐의 식 계산표 사용 규칙

명제 I — 두 광체의 평균 합·충 시각, 태양의 평균 위치, 달과 달 황위의 평균 아르구멘툼을 쉽게 구하기

구하려는 합이나 충이 일어날 달의 시작까지 완전히 지난 주후 연수와 월수를 적어 둔다. 완전히 지난 주후 연수로 평균 합·충표에 들어간다. 합산 연수 항목에서 그 연수를 정확히 찾을 수 없으면, 그보다 작으면서 가장 가까운 연수로 먼저 들어가 그 줄에 있는 값을 모두 구별하여 적는다. 합산 연수에서 취한 수를 넘어서 남은 연수로 전개 연수 항목에 들어가, 그 줄에서 찾은 값도 앞서 적은 값 아래에 같은 종류끼리 맞추어 적는다. 연수 외에 완전히 지난 달이 더 있으면 월표에 들어간다. 현재의 해가 평년이면 평년 항목을, 윤년이면 윤년 항목을 사용하고, 거기서 찾은 값도 앞서 적은 값 아래에 같은 종류끼리 맞추어 적는다.

이렇게 적은 값들을 통상적인 60진 분수와 사인, 날짜와 시간의 계산법에 따라 더한다. 이어 그 합에서 얻은 일·시·분의 값을 회전표에 있는 시간과 비교한다. 합을 구한다면 ‘합’이라는 표제 아래의 시간을, 충을 구한다면 ‘충’이라는 표제 아래의 시간을 사용한다. 회전표에서 앞서 덧셈으로 얻은 시간보다 크면서 가장 가까운 시간이 놓인 줄을 찾아, 그 줄의 값들을 앞서 구한 합계 위에 적어야 한다.

그렇게 적은 뒤에는 태양의 위치, 달의 아르구멘툼, 달 황위의 아르구멘툼에 해당하는 값들을 위에 적힌 같은 종류의 값과 각각 더한다. 그러나 시간의 합계는 그 위에 적은 시간에서 뺀다. 이 뺄셈으로 남은 시간이 빈의 자오선에 대한 평균 합 또는 평균 충의 시각이다.

다른 자오선에 대한 시각을 구하려면 그 자오선이 빈의 자오선에서 얼마나 떨어져 있는지 살핀다. 동쪽으로 1도 떨어질 때마다 시간 4분을 더하고, 서쪽으로 1도 떨어질 때마다 시간 4분을 빼면 된다. 이 합이나 충의 시각은 구하려는 합이나 충이 일어날 달의 시작부터 세어야 한다. 운동량을 더하여 얻은 값들은 같은 평균 합·충 때의 태양 평균 위치, 달의 평균 아르구멘툼, 달 황위의 평균 아르구멘툼을 나타낸다.

명제 II — 태양의 원지점을 구하기

구하려는 시각까지 완전히 지난 주후 연수로 태양 원지점표에 들어간다. 그 연수가 없으면 그보다 작으면서 가장 가까운 수를 사용한다. 해당 줄에서 표에 넣은 연수가 완전히 지났을 때의 태양 원지점을 찾을 수 있으며, 그 옆에는 원지점의 1년 운동량도 있다. 아직 표에 넣지 않은 연수가 남아 있으면, 남은 해마다 원지점의 1년 운동량을 한 번씩 더한다.

또한 1년 운동량을 열두 등분하면 통상적인 한 달 동안의 운동량을 알 수 있다. 한 달의 운동량을 셋으로 나누면 열흘 동안의 원지점 운동량을 얻는다. 따라서 두 광체의 어느 합이나 충에 대해서든 태양 원지점을 쉽게 구할 수 있다. 연수 이외에 월수와 일수가 남아 있으면, 한 달마다 월 운동량을 한 번씩 더하고 열흘마다 열흘의 운동량을 한 번씩 더하면 되기 때문이다.

명제 III — 두 광체의 실제 합·충 시각을 쉽게 구하기

앞의 규칙으로 먼저 구하려는 평균 합·충의 시각, 태양의 평균 위치, 달의 평균 아르구멘툼, 같은 시각의 태양 원지점을 구한다. 태양의 평균 위치에서 태양 원지점을 뺀 나머지를 태양의 아르구멘툼이라고 부른다.

이제 달의 아르구멘툼이 6사인보다 작은지 큰지 살핀다. 작으면 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차표 위쪽에서 태양 아르구멘툼의 사인과 도수를 찾고, 왼쪽에서 달 아르구멘툼의 사인과 도수를 찾는다. 크면 태양 아르구멘툼의 사인은 표 아래쪽에서, 달 아르구멘툼의 사인과 도수는 오른쪽에서 찾는다. 태양과 달의 두 아르구멘툼을 모두 정확히 찾았다면, 두 값이 만나는 칸에서 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차를 시와 분으로 얻는다. 그 공통 칸에서 표에 넣은 태양 아르구멘툼 쪽으로 따라갔을 때 먼저 A를 만나면 평균 합·충 시각에 더하고, 먼저 M을 만나면 뺀다.

두 아르구멘툼을 모두 정확히 찾지 못하면 각각보다 작으면서 가장 가까운 값으로 표에 들어간다. 공통 칸의 값을 주된 표지인 A 또는 M과 함께 적는다. 이 표지는 앞서 말했듯 공통 칸에서 표에 넣은 태양 아르구멘툼 쪽으로 따라갔을 때 가장 먼저 만나는 표지이다. 이어 그 공통 칸과 이웃한 두 칸 사이의 차이를 살핀다. 이 두 칸은 표에 적힌 태양과 달 아르구멘툼 가운데 각각 바로 다음으로 큰 값에 대응한다. 태양의 차이는 공통 칸과 태양 아르구멘툼이 바로 다음으로 커지는 옆 칸 사이의 차이이다. 달의 차이는 공통 칸과 달 아르구멘툼이 바로 다음으로 커지는 위쪽 또는 아래쪽 칸 사이의 차이이다.

태양의 차이에서 비례분을 취하되, 표에 넣은 값을 넘어서 남은 태양 아르구멘툼이 2도에 대해 이루는 비율만큼 취한다. 오른쪽 또는 왼쪽 칸, 곧 표에서 바로 다음으로 큰 태양 아르구멘툼에 대응하는 칸의 값이 적어 둔 공통 칸의 값보다 크면 그 비례분을 공통 칸의 값에 더하고, 작으면 뺀다. 마찬가지로 달의 차이에서는 달 아르구멘툼의 정수 도수 아래에 남은 분이 60분에 대해 이루는 비율만큼 비례분을 취한다. 위쪽 또는 아래쪽 칸, 곧 표에서 바로 다음으로 큰 달 아르구멘툼에 대응하는 칸의 값이 공통 칸의 값보다 크면 이 비례분을 적어 둔 공통 칸의 값에 더하고, 작으면 뺀다. 이렇게 얻은 값이 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차이며, 그 주된 표지에 따라 더하거나 빼야 한다.

다만 공통 칸 바로 옆에 A나 M이 놓여 있는 경우에는 다음을 유의해야 한다. 태양의 차이를 구할 때, 공통 칸에서 태양 아르구멘툼 쪽으로 따라가며 가장 먼저 만나는 표지가 옆 칸의 표지와 같은 종류인지 살핀다. 여기서 옆 칸은 더 큰 태양 아르구멘툼에 대응하는 칸이다. 두 표지가 같으면 공통 칸의 값을 옆 칸의 값에서 빼거나 그 반대로 빼서 차이를 구하고, 그 비례분은 앞서 말한 대로 더하거나 뺀다. 그러나 표지의 종류가 다르면, 이를테면 공통 칸은 A이고 옆 칸은 M이거나 그 반대라면, 차이를 구하기 위해 두 칸의 값을 더해야 한다. 이렇게 구한 차이의 비례분은 언제나 적어 둔 공통 칸의 값에서 빼야 한다.

달의 차이를 구할 때도 마찬가지이다. 공통 칸과 바로 위나 아래의 칸, 곧 더 큰 달 아르구멘툼에 대응하는 칸 사이에 A나 M이 끼어 있는지 살핀다. 표지가 없으면 큰 칸의 값에서 작은 칸의 값을 빼서 차이를 구하고, 그 비례분은 앞에서 정한 대로 더하거나 뺀다. 그러나 두 칸 사이에 A나 M이 있으면 두 칸의 값을 더해서 차이를 구해야 한다. 이 차이의 비례분 역시 언제나 적어 둔 공통 칸의 값에서 뺀다.

두 비례분을 모두 빼야 할 때에는 먼저 서로 더한 다음 한꺼번에 뺀다. 모두 더해야 할 때에도 먼저 서로 더한 다음 한꺼번에 더한다. 하나는 더하고 다른 하나는 빼야 한다면 큰 비례분에서 작은 비례분을 빼고, 나머지에 대해서는 큰 비례분의 표지에 따라 처리한다. 어느 비례분이나 두 비례분의 합, 또는 두 비례분을 뺀 나머지를 공통 칸의 값에서 빼야 하는데 공통 칸의 값이 더 작아서 뺄 수 없다면 반대로 한다. 빼려고 했던 값에서 공통 칸의 값을 빼고, 남은 값에는 공통 칸이 지녔던 것과 반대 종류의 표지를 붙인다. 이 나머지를 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차로 삼는다. 설명은 길지만 계산은 짧다.

이와 같이 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차를 구한 뒤, 그 표지가 A이면 평균 합·충 시각에 더하고 M이면 같은 시각에서 뺀다. 그러면 불균등일로 나타낸 실제 합·충 시각이 나온다. 이렇게 구한 시각을 첫 번째로 검산한 실제 합·충 시각이라고 부른다. 이 값은 완전히 정확할 수도 있고 거의 정확할 수도 있지만, 정확한 값과 감지할 만한 차이가 날 수는 없다.

더 확실히 알고 싶다면, 뒤에서 가르칠 방법으로 이렇게 구한 시각의 태양과 달 위치를 보정하라. 합일 때에는 두 광체의 실제 위치가, 충일 때에는 태양의 실제 위치와 달의 정반대 지점이 사인·도·분·초까지 일치하는지 살핀다. 일치하면 첫 번째 검산 시각이 완전히 정확한 것이다. 차이가 있더라도 앞의 계산을 올바르게 했다면 그 차이는 3분을 넘을 수 없다. 그러므로 그 차이를 나타내는 각분과 각초를 두 배로 하여 시간의 분과 초로 삼는다.

합일 때 태양이 달보다 앞서 있거나 충일 때 태양이 달의 정반대 지점보다 앞서 있으면, 이 시간의 분과 초를 첫 번째 검산 시각에 더한다. 뒤에 있으면 뺀다. 다시 말해 태양의 실제 위치가 달의 실제 위치 또는 달의 정반대 지점의 위치보다 크면 더하고, 작으면 뺀다. 그러면 두 번째로 검산한 실제 합·충 시각을 얻는다. 같은 방식으로 다시 검산하고 싶다면 할 수는 있지만 필요하지는 않다. 시간으로 1분만큼의 오차도 나지 않을 것이기 때문이다.

명제 IV — 태양·달·달 아르구멘툼·승교점의 평균운동을 구하기

구하려는 순간까지 완전히 지난 주후 시간을 적어 둔다. 평균운동표에 표시된 대로, 주후 기원 또는 완전히 지난 주후 1400년을 기준으로 해당 운동의 근을 취하여 따로 적는다. 이어 취한 근의 기준시각부터 구하려는 순간까지 지난 나머지 시간을 연·월·일·시·분으로 나누어 같은 표에 넣는다. 구하려는 운동의 표에서 이에 해당하는 값들을 찾아, 따로 적어 둔 근 아래에 같은 종류끼리 맞추어 적는다.

연수표에 들어갈 때에는 먼저 작으면서 가장 가까운 연수를 사용한다. 연수가 남아 있으면 그 나머지로, 또는 그보다 작으면서 가장 가까운 연수로 다시 들어간다. 모든 연수를 다 처리할 때까지 이를 되풀이한다. 또한 현재의 해가 평년이면 평년 월표에, 윤년이면 윤년 월표에 들어간다. 시간표는 시간의 분을 구할 때에도 쓰지만, 그때에는 아래쪽 표제를 보아야 한다.

나머지 시간을 모두 표에 넣고 거기서 찾은 값들을 근 아래에 적은 뒤에는, 같은 종류끼리 근과 더한다. 60진 분수의 계산법에 따라 60초를 1분으로, 60분을 1도로, 30도를 1사인으로 올려 계산한다. 12사인이 생기면 12사인을 버린다. 이 덧셈으로 얻은 것이 빈의 자오선에 대해 구하려는 운동량이다.

다른 자오선에 대한 값을 구하려면, 여기에 빈을 기준으로 놓인 운동의 근만 바꾸면 된다. 그 자오선이 빈의 자오선에서 얼마나 떨어져 있는지 살피고, 1도마다 시간 4분을 취한다. 그 시간으로 해당 운동의 표에 들어가 대응하는 운동량을 구한다. 서쪽 자오선이면 여기에 주어진 근에 더하고, 동쪽 자오선이면 빼면 된다. 시각 자체에 대해서는 반대로 처리하라.

명제 V — 태양의 실제 위치를 구하기

태양의 실제 위치를 구하려는 시각에 대해, 앞의 규칙으로 태양 원지점과 태양의 평균 위치를 구한다. 평균운동에서 원지점을 빼면 같은 시각의 태양 아르구멘툼이 남는다. 이 아르구멘툼으로 태양 보정량표에 들어간다. 아르구멘툼이 6사인보다 작으면 도와 분은 왼쪽에서, 사인은 위쪽에서 찾는다. 6사인보다 크면 도와 분은 오른쪽에서, 사인은 아래쪽에서 찾는다.

태양 아르구멘툼의 도와 분을 정확히 찾았다면, 공통 칸에서 구하려는 보정량을 얻는다. 그 보정량의 A 또는 M 표지는 표에 넣은 아르구멘툼의 사인 옆에 있다. 도와 분을 정확히 찾지 못했다면, 그보다 작으면서 가장 가까운 값을 찾아 공통 칸의 보정량을 A 또는 M 표지와 함께 적는다. 이어 취한 보정량 옆에서 아르구멘툼 1분에 대응하는 값을 살핀다. 표에 넣은 값을 넘어서 아르구멘툼에 남은 분의 수만큼 이 값을 취한다. 입력한 도수가 커지는 방향에서 표의 바로 다음 보정량이 더 크면 이렇게 얻은 값을 적어 둔 보정량에 더하고, 더 작으면 뺀다. 그러면 구하려는 태양 보정량이 된다.

그 보정량이 A 표지를 지니면 평균운동에 더하고 M 표지를 지니면 빼라. 그러면 구하려는 실제 위치가 나온다. 나는 알폰소 표에 실린 값들이 정밀하지 않기 때문에 이 보정량표를 새로 만들기로 하였다. 또한 이 표와 뒤에 나오는 달의 표에서 수치가 나열된 줄을 10분 간격으로 늘려 놓았다. 비례분을 구하는 계산을 더 쉽게 하기 위해서이다.

명제 VI — 달의 실제 위치를 구하기

달의 실제 위치를 구하려는 순간에 대해, 앞의 규칙으로 태양·달·달 아르구멘툼의 평균운동을 구한다. 달의 평균운동에서 태양의 평균운동을 빼고 나머지를 두 배로 하면 달의 중심이 된다. 이 값으로 달의 보정량표에 들어간다. 사인을 위쪽에서 찾으면 도와 분은 왼쪽 변을 따라 내려가며 찾고, 사인을 아래쪽에서 찾으면 도와 분은 오른쪽 변을 따라 올라가며 찾는다.

중심의 도와 분을 정확히 찾았다면 공통 칸에서 중심차와 비례분 값을 얻어 적어 둔다. 정확히 찾지 못했다면 작으면서 가장 가까운 값으로 들어간다. 중심에 남은 분이 10분에 대해 이루는 비율만큼 전체 차이에서 비례분을 취하여 중심차를 보정한다. 표에 넣은 중심의 사인 옆에 ‘중심을 더한다’고 적혀 있으면 이 중심차를 평균 아르구멘툼에 더하고, ‘중심을 뺀다’고 적혀 있으면 뺀다. 그러면 달의 실제 아르구멘툼이 나온다.

이 값으로 앞서 중심을 넣었던 것과 같은 방식으로 표에 들어가, 공통 칸에서 지름 차와 아르구멘툼의 보정량을 취한다. 아르구멘툼의 도와 분을 정확히 찾지 못했다면 작으면서 가장 가까운 값으로 들어가, 그곳에서 아르구멘툼 1분에 해당하는 값을 살핀다. 남은 분의 수만큼 그 값을 취한다. 입력한 도수가 커지는 방향에서 표의 바로 다음 보정량이 더 크면 이렇게 얻은 값을 아르구멘툼의 보정량에 더하고, 더 작으면 뺀다. 그렇게 얻은 것이 첫 번째로 검산한 아르구멘툼의 보정량이다.

이어서 취해 둔 지름 차에서, 앞서 보존한 비례분 값이 60분에 대해 이루는 비율만큼 비례분을 취한다. 이 비례분을 첫 번째로 검산한 아르구멘툼의 보정량에 더하면, 마지막으로 검산한 아르구멘툼의 보정량이 된다. 아르구멘툼의 사인 옆에 ‘아르구멘툼을 더한다’고 적혀 있으면 이를 달의 평균운동에 더하고, ‘아르구멘툼을 뺀다’고 적혀 있으면 뺀다. 그러면 구하려는 달의 실제 위치가 나온다.

명제 VII — 실제 합·충 시각의 태양 위치와 달·달 황위의 보정된 아르구멘툼을 짧은 방법으로 구하고, 불균등일을 균등일로 환산하기

이 방법은 처음 세 명제에서 구한 값으로 만족할 때에 쓸 수 있다. 평균 합·충 시각에 구한 태양 아르구멘툼으로 태양 보정량표에 들어가, 명제 V에서 말한 대로 태양 보정량을 구한다. 태양 아르구멘툼의 사인 옆에서 찾은 A 또는 M 표지를 그 값에 붙인다. 이어 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차로 시간·분 단위 태양 실제운동표에 들어간다. 왼쪽에서 그 시간차를 찾고 위쪽에서 가장 가까운 태양 아르구멘툼을 찾아 공통 칸의 값을 따로 적는다. 두 번 들어가야 한다면 두 번 들어간다. 이렇게 얻은 것이 앞서 말한 시간차 동안의 태양 실제운동량이다. 이 값에는 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차에 붙였던 표지를 붙인다.

그다음 이 두 값, 곧 태양 보정량과 그 시간차 동안의 운동량이 같은 표지를 지니는지 살핀다. 같으면 더하고 다르면 큰 값에서 작은 값을 뺀다. 더했다면 합계에 두 값이 원래 지녔던 표지를 붙이고, 하나를 다른 하나에서 뺐다면 남은 값에 뺄셈의 바탕이 된 큰 값의 표지를 붙인다. 이렇게 얻은 값의 표지가 A이면 평균 합·충 시각에 구해 둔 태양의 평균 위치와 달 황위의 평균 아르구멘툼에 각각 더하고, M이면 각각에서 뺀다. 그러면 실제 합·충 시각의 태양 실제 위치와 거의 보정된 달 황위의 아르구멘툼이 나온다.

내가 ‘거의 보정된’이라고 한 까닭은, 완전히 보정된 값과의 차이가 2분을 넘을 수 없기 때문이다. 이 차이는 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차 동안 승교점이 움직이는 데서 생긴다. 그러므로 원한다면 그 시간차 동안의 승교점 평균운동을 더 처리하라. 시간차의 표지가 M이면 그 운동량을 빼고 A이면 더하면 정확히 보정된다. 또는 실제 합·충 시각의 승교점 평균운동을 구하여 달의 실제운동에 더해도, 실제 합·충 시각에 보정된 달 황위의 아르구멘툼이 나온다.

또한 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차로 시간·분 단위 달 평균 아르구멘툼표에 들어가, 거기서 찾은 값을 따로 적는다. 그 값에 시간차 1시간마다 9분을 더한다. 이렇게 얻은 값을 평균 합·충 시각에 구해 둔 달의 평균 아르구멘툼에 더하거나 빼되, 앞서 말한 시간차의 표지가 지시하는 대로 한다. 그러면 실제 합·충 시각에 보정된 달의 아르구멘툼이 된다. 그러나 이 값으로 만족하지 않는다면 명제 V와 VI에서 가르친 대로 이 모두를 보정하라.

이어서 실제 합·충 시각에 구한 태양의 실제 위치로 일수 보정표에 들어간다. 위쪽에서 사인을 찾고 왼쪽에서 도수를 찾으면, 공통 칸에서 일수 보정량, 곧 시간의 분과 초를 얻는다. 이를 불균등일로 나타낸 실제 합·충 시각에 더하면 균등일로 나타낸 실제 합·충 시각이 된다.

명제 VIII — 가시 합의 시각과 같은 시각의 황위 방향 시차를 구하기

앞의 규칙으로 균등일로 나타낸 실제 합의 시각, 태양의 실제 위치, 같은 시각에 보정된 달의 아르구멘툼을 구해 두었다. 이제 제6기후대이든 제7기후대이든 자신이 있는 기후대에 맞는, 가시 합과 실제 합 사이의 시간차표를 사용한다. 태양의 사인으로 들어가 그 사인의 표 왼쪽에서 균등일로 나타낸 실제 합이 정오에서 떨어진 시간을 시와 분으로 찾는다. 합이 정오 전이면 정오 전 부분에서, 정오 후이면 정오 후 부분에서 찾는다. 위쪽 가로줄에서는 달 아르구멘툼의 사인을 찾는다. 두 값이 만나는 칸에서 가시 합과 실제 합 사이의 시간차를 시와 분으로, 황위 방향의 시차를 분으로 얻을 것이다.

실제 합이 정오에서 떨어진 시와 분 및 보정된 달 아르구멘툼을 정확히 찾지 못하면, 표에 있는 달 아르구멘툼 가운데 작으면서 가장 가까운 값 아래로 들어가고, 수치 줄에 있는 시간 가운데 작으면서 가장 가까운 시와 분을 사용한다. 공통 칸에 있는 시간과 황위 방향 시차를 따로 적는다. 이어 달 아르구멘툼은 앞과 같은 값을 사용하되, 시와 분은 표에서 바로 다음으로 큰 값으로 들어간다. 그 공통 칸에 놓인 값과 앞서 적어 둔 값 사이의 차이를 각각 같은 종류끼리 구한다.

그 차이들에서 비례분을 취해야 한다. 그 비율은 처음 넣은 시간을 넘어서 남은, 실제 합과 정오 사이의 시간차가 두 번째로 넣은 시간과 처음 넣은 시간 사이의 차이에 대해 이루는 비율이다. 두 번째 공통 칸의 시간이 적어 둔 시간보다 크면 시간의 비례분을 적어 둔 시간에 더하고, 작으면 뺀다. 황위 방향 시차의 비례분도 마찬가지이다. 두 번째 공통 칸의 시차가 더 크면 적어 둔 시차에 더하고, 작으면 뺀다.

또한 처음 넣은 시와 분을 그대로 사용하고, 달 아르구멘툼은 표에서 바로 다음으로 큰 값으로 들어간다. 이 공통 칸에 놓인 값들과 따로 적어 둔 시간 및 시차 사이의 차이를 구한다. 이 차이들에서는 달 아르구멘툼의 남은 도수가 30도에 대해 이루는 비율만큼 비례분을 취한다. 이 세 번째 칸의 시간이 적어 둔 시간보다 크면 시간의 비례분을 적어 둔 시간에 더하고, 작으면 뺀다. 황위 방향 시차의 비례분 역시 세 번째 칸의 시차가 더 크면 적어 둔 시차에 더하고, 작으면 뺀다. 이처럼 더해야 할 비례분을 더하고 빼야 할 비례분을 빼면 가시 합과 실제 합 사이의 시간차 및 황위 방향 시차가 나온다. 이는 지금 사용한 표의 사인 시작점에 대한 값이다.

태양이 그 사인의 시작점에 있지 않으면, 방금 설명한 방식으로 다음 사인의 표에도 들어가 가시 합과 실제 합 사이의 시간차 및 황위 방향 시차를 취해야 한다. 그다음 두 시간차 사이의 차이와 두 황위 시차 사이의 차이를 살핀다. 각각에서 태양의 위치가 완전한 사인을 넘어서 지닌 도수가 한 사인, 곧 30도에 대해 이루는 비율만큼 비례분을 취한다. 다음 사인의 시간이 더 크면 시간의 비례분을 태양이 있는 사인의 시작점에 대한 시간에 더하고, 더 작으면 뺀다. 황위 시차의 비례분도 다음 사인의 시차가 더 크면 현재 사인 시작점의 시차에 더하고, 작으면 뺀다. 그렇게 구한 가시 합과 실제 합 사이의 시간차 및 황위 방향 시차를 보존하라.

다만 이 계산에서는 다음을 주의해야 한다. 태양이 있는 사인의 시작점 표와 다음 사인의 시작점 표에서 찾아 들어간 위치가 둘 다 어센던트로부터 90도인 선 위쪽에 있거나 둘 다 아래쪽에 있으면, 큰 시간에서 작은 시간을 빼서 두 시간의 차이를 구한다. 그 차이에서 비례분을 취하고 앞서 말한 대로 처리한다. 그러면 가시 합과 실제 합 사이의 시간차를 얻는다. 찾아 들어간 위치가 어센던트로부터 90도인 선 아래쪽에 있으면 A 표지가, 위쪽에 있으면 M 표지가 붙는다. 이는 오른쪽의 표제가 충분히 보여 준다.

그러나 한 사인의 표에서는 90도인 선 위쪽으로 들어가고 다른 사인의 표에서는 아래쪽으로 들어가게 되면, 한 표에서 얻은 시간은 더해야 하고 다른 표에서 얻은 시간은 빼야 한다. 그러므로 이 경우에는 두 시간을 더해서 차이를 구한다. 그 합에서 태양이 현재 사인의 시작점을 넘어서 지닌 도수가 한 사인, 곧 30도에 대해 이루는 비율만큼 비례분을 취한다. 이 비례분을 현재 사인의 시작점에 대한 시간에서 뺄 수 있으면 빼라. 나머지에는 현재 사인의 시작점 표에 들어갔을 때의 A 또는 M 표지를 붙인다. 뺄 수 없으면 반대로 한다. 비례분에서 현재 사인 시작점의 시간차를 빼고, 나머지에는 다음 사인의 표에 들어갔을 때의 A 또는 M 표지를 붙인다.

이렇게 얻은 것이 가시 합과 실제 합 사이의 시간차이다. A 표지가 있으면 균등일로 나타낸 실제 합 시각에 더하고, M 표지가 있으면 빼라. 그러면 균등일로 나타낸 가시 합 시각이 나온다.

명제 IX — 가시 합 시각의 태양·달 실제 위치와 달 황위의 실제 아르구멘툼을 구하기

가시 합과 실제 합 사이의 시간차로 시간·분 단위 태양 실제운동표에 들어간다. 실제 합 시각에 구한 태양 아르구멘툼, 또는 표에서 그와 가장 가까운 값 아래의 공통 칸에서 운동량을 찾아 따로 적는다. 두 번 들어가야 한다면 두 번 들어간다. 가시 합과 실제 합 사이의 시간차에 A가 붙어 있으면 그 운동량을 실제 합 시각의 태양 실제 위치에 더하고, M이 붙어 있으면 뺀다. 그러면 가시 합 시각의 태양 실제 위치가 나온다.

마찬가지로 가시 합과 실제 합 사이의 같은 시간차로 시간·분 단위 달 실제운동표에 들어간다. 앞서 구한 실제 합 시각의 달 아르구멘툼, 또는 표에서 그와 가장 가까운 값 아래의 공통 칸에서 달의 운동량을 찾아 따로 적는다. 두 번 들어가야 한다면 두 번 들어간다. 이 운동량을 실제 합 시각의 달 실제 위치에 더하거나 빼되, 방금 태양에 대해 처리한 방식대로 한다. 그러면 가시 합 시각의 달 실제 위치가 나온다.

방금 공통 칸에서 얻은 같은 달 운동량을, 실제 합 시각에 보정해 둔 달 황위의 아르구멘툼에도 더하거나 뺀다. 태양과 달에 대해 처리한 방식대로 하면 가시 합 시각에 보정된 달 황위의 아르구멘툼이 나온다. 이 값들로 만족하지 않는다면 명제 V·VI·VII에서 보인 대로 태양과 달의 보정량표 및 승교점의 운동을 사용하여 모두 보정할 수도 있다. 그러나 그 방법과 이 방법 사이에서 오류를 일으킬 만큼 큰 차이는 발견하지 못할 것이다.

명제 X — 가시 합 시각의 달 겉보기 황위를 구하기

명제 VIII에서 가시 합 시각의 황위 방향 시차를 얻었고, 나는 그 값을 보존해 두라고 하였다. 이제 달의 실제 황위를 구한다. 앞 명제에서 구한 가시 합 시각의 보정된 달 황위 아르구멘툼으로 식용 달 황위표에 들어간다. 사인을 위쪽에서 찾고 도와 분을 그 사인 바로 아래에서 찾거나, 사인을 아래쪽에서 찾고 도와 분을 그 사인 바로 위에서 찾는다. 그러면 황위 아르구멘툼의 도와 분에 대응하는 줄에서 황도로부터 떨어진 달의 실제 황위를 얻는다. 그것이 북쪽인지 남쪽인지는 위나 아래에 놓인 황위 아르구멘툼의 사인 옆 표제가 알려 준다.

이렇게 구한 황위가 남쪽이면 앞서 보존한 황위 방향 시차에 더한다. 제2기후대를 넘어서 북쪽으로 향한 모든 지역에서는 황위 방향 시차가 언제나 남쪽이기 때문이다. 그러면 달의 겉보기 황위가 나오며, 그 방향은 남쪽이다.

그러나 달의 실제 황위가 북쪽이면, 황위 방향 시차가 실제 황위보다 큰지 살핀다. 더 크면 그 시차에서 실제 황위를 빼라. 남은 값이 달의 겉보기 황위이며, 방향은 남쪽이다. 반대로 북쪽 실제 황위가 황위 방향 시차보다 크면 실제 황위에서 시차를 빼라. 남은 값이 달의 겉보기 황위이며, 방향은 북쪽이다.

명제 XI — 합 때 일식이 일어나는지 판별하고, 표로 그 크기·지속시간·시작·끝을 계산하기

앞 명제에서 가시 합 시각에 대해 구한 달의 겉보기 황위를 살펴라. 그것이 34분보다 크면 일식을 기대하지 말라. 그보다 작으면 일식이 일어난다.

태양이 자신의 중간거리보다 원지점에 더 가까우면, 곧 태양 아르구멘툼이 1사인 15도보다 작거나 10사인 15도보다 크면, 태양이 이심원의 원지점에 있을 때의 일식표에 들어간다. 이것이 첫 번째 표이다. 태양이 원지점이나 그 반대점보다 두 중간거리 지점 가운데 하나에 더 가까운 경우에는 태양이 이심원의 중간거리에 있을 때의 일식표에 들어간다. 이는 태양 아르구멘툼이 1사인 15도보다 크고 4사인 15도보다 작을 때이며, 7사인 15도보다 클 때에도 마찬가지이다. 이것이 두 번째 표이다. 태양이 원지점의 반대점에 더 가까우면, 곧 그 아르구멘툼이 4사인 15도보다 크고 7사인 15도보다 작으면, 태양이 이심원 원지점의 반대점에 있을 때의 일식표에 들어간다. 이것이 세 번째 표이다. 역주 1

이처럼 알맞은 표에 달 겉보기 황위의 분으로 들어가, 왼쪽에서 아래로 내려가며 그 값을 찾는다. 위쪽에서는 실제 합 시각에 구한 달의 아르구멘툼을 찾는다. 공통 칸에서 식분과 카수스 시간을 얻는다. 달 아르구멘툼의 도수 때문에 두 번 들어가야 하면 두 번 들어가라. 차이에서 달 아르구멘툼의 남은 도수가 30도에 대해 이루는 비율만큼 비례분을 취하고, 다른 경우에 하듯 더하거나 뺀다. 그러나 가장 가까운 값만으로 들어가더라도 감지할 만한 오류는 생기지 않을 것이다.

이렇게 구한 식분은 태양 지름의 얼마가 우리에게 가려져 보일지를 나타낸다. 우리는 전체 지름이 12식분이라고 생각한다. 표에서 12식분을 얻었다면 태양 전체가 가려지고, 6식분이면 지름의 절반, 4식분이면 3분의 1, 3식분이면 4분의 1, 2식분이면 6분의 1, 1식분이면 12분의 1이 가려진다. 다른 값도 이와 같다.

카수스 시간은 식이 시작할 때부터 중간까지의 시간이다. 여기서는 중간부터 끝까지도 같은 시간이라고 가정한다. 가시 합은 식의 중간이다. 따라서 가시 합 시각에서 카수스 시간을 빼면 식의 시작 시각을 얻고, 가시 합 시각에 카수스 시간을 더하면 식의 끝 시각이 나온다. 카수스 시간을 두 배로 하면 식의 지속시간이 된다.

명제 XII — 일식 시작과 끝의 달 겉보기 황위를 구하기

지금 식의 중간으로 삼는 가시 합 시각의 겉보기 황위에 대해, 달 황위표를 사용하여 겉보기 아르구멘툼을 구하라. 같은 표에 겉보기 황위로 들어가서 그 줄을 오른쪽으로 따라간다. 승교점 근처에 있으면서 겉보기 황위가 북쪽이면 0사인 아래에서 도와 분을 취한다. 겉보기 황위가 남쪽이면 11사인 위에서 도와 분을 취한다. 또는 강교점 근처에 있으면서 겉보기 황위가 남쪽이면 6사인 아래에서, 북쪽이면 5사인 위에서 도와 분을 취한다. 이 겉보기 아르구멘툼, 곧 식의 중간 시각에 대한 달 겉보기 황위의 아르구멘툼을 보존하라.

이어서 카수스 시간으로 시간 단위 달 실제운동표에 들어간다. 거기서 달 아르구멘툼 아래에 있는 값을 찾아, 방금 보존한 겉보기 황위의 아르구멘툼에서 빼라. 그러면 일식 시작 시각에 대한 달 겉보기 황위의 아르구멘툼이 남는다. 이 값으로 표에서 달의 황위를 찾으면, 그것이 일식 시작 때의 달 겉보기 황위이다.

또한 방금 뺀 바로 그 값을 식의 중간에 대한 달 겉보기 황위의 아르구멘툼에 더하라. 그러면 일식 끝 시각에 대한 달 겉보기 황위의 아르구멘툼이 나온다. 이 값으로 표에서 달의 황위를 찾아 일식 끝 때의 달 황위로 삼는다.

명제 XIII — 태양과 달의 겉보기 반지름 및 달이 지나는 곳의 그림자 반지름을 구하기

태양 아르구멘툼, 또는 그와 가장 가까운 값으로 반지름표에 들어간다. 그에 대응하는 줄에서 태양의 겉보기 반지름을 얻는다. 마찬가지로 같은 표에 보정된 달 아르구멘툼을 넣으면 달의 겉보기 반지름과 그림자의 반지름을 찾을 수 있다. 그러나 이 그림자 반지름은 태양이 이심원의 원지점에 있다고 전제한 값이다. 태양이 그곳에 있지 않으면 태양 아르구멘툼으로 그림자의 변화량을 취하여, 방금 구한 그림자 반지름에서 빼라. 남은 값이 달이 지나는 곳의 그림자 반지름이다. 이것은 월식에서 필요하며 일식에서는 필요하지 않다.

명제 XIV — 가려진 몫과 일식 전체 형상을 눈으로 볼 수 있게 그리기

평면에 직선을 하나 긋고, 그 한가운데에 중심으로 삼을 점을 둔다. 그 중심에서 직선의 한쪽 끝을 향해 컴퍼스로 같은 길이의 부분들을 잡되, 그 수는 태양과 달 두 반지름의 합에 들어 있는 분 수와 같게 한다. 그 합에 분을 넘는 초가 있으면 1분에 대한 그 초의 비율만큼 한 부분의 몫을 더한다. 또는 초가 30초를 넘으면 그것을 1분으로 잡아도 된다. 그렇게 해도 돌볼 만한 오류는 생기지 않는다.

이제 정한 중심을 두 반지름의 합만큼의 반지름으로 삼아 원을 그린다. 이것을 태양과 달 반지름 합의 원이라 부른다.

먼저 그은 직선이 이 원을 같은 두 부분으로 나눈다. 이 직선을 황도의 한 구간으로 삼고, 그 왼쪽은 동쪽, 오른쪽은 서쪽으로 삼는다. 중심에서 이 선을 직각으로 자르는 다른 선을 긋되, 겉으로 보이지 않는 숨은 보조선으로 둔다. 이 숨은 선은 황도대의 두 극과 황도상의 태양 위치를 지나는 원의 한 구간을 대신한다. 그 위쪽을 남쪽, 아래쪽을 북쪽으로 삼는다.

그런 다음 같은 중심에서 태양의 겉보기 반지름만큼의 원을 그린다. 이 원이 태양의 원판을 나타낸다.

숨은 보조선 위에 점 두 개를 표시한다. 하나는 중심에서 일식 시작 때 달의 겉보기 황위만큼 떨어뜨리고, 다른 하나는 중심에서 일식 끝 때 달의 겉보기 황위만큼 떨어뜨린다. 각 점은 해당 겉보기 황위가 남쪽인지 북쪽인지에 따라 중심에서 그 방향으로 떨어져 있어야 한다.

일식 시작의 겉보기 황위를 표시한 점에서 황도, 곧 처음 그은 선과 평행한 선을 서쪽에 있는 큰 원의 원둘레까지 긋는다. 이 평행선과 큰 원둘레가 만나는 점이 일식 시작 때 보이는 달 중심의 위치를 나타낸다. 마찬가지로 일식 끝의 겉보기 황위를 표시한 점에서 동쪽의 큰 원둘레까지 평행선을 긋는다. 이 평행선과 큰 원둘레가 만나는 점이 일식 끝 때 보이는 달 중심의 위치를 나타낸다.

일식 시작 때 보이는 달 중심의 위치에서 끝 때의 위치까지 직선을 긋는다. 이 선이 일식 시작부터 끝까지 달이 가는 길을 나타낸다. 그 선을 정확히 둘로 나누면 가운데 점이 일식 중간 때 달 중심의 위치를 나타낸다.

마지막으로 시작·중간·끝의 세 달 중심에서 달의 겉보기 반지름만큼 원을 하나씩, 모두 세 개 그린다. 이 원들은 일식 시작·중간·끝의 달을 나타낸다. 그 가운데 원이 태양 원을 차지하는 만큼에 비례하여 태양 몸체의 표면이 가려진다.

명제 XV — 월식의 크기·지속시간·시작·끝 구하기

먼저 명제 VI와 VII에서 균등일로 나타낸 실제 충의 시각, 보정된 달 아르구멘툼, 보정된 황위 아르구멘툼을 얻는다. 이제 달 황위 아르구멘툼으로 달 황위표에 들어가 명제 X에서 말한 방식으로 달의 황위를 찾고, 그 남북 방향과 함께 적어 둔다. 이것이 실제 충의 시각에 달이 가진 실제 황위이다.

그 값이 65분보다 크면 월식을 기대하지 말라. 그보다 작으면 그 값으로 월식표에 들어가되, 태양 위치에 맞는 표를 선택한다. 태양이 자기 이심원의 중간거리보다 원지점에 더 가까우면 태양이 원지점에 있을 때의 월식표를 쓴다. 태양이 원지점이나 그 맞은편보다 중간거리에 더 가까우면 태양이 중간거리에 있을 때의 월식표를 쓴다. 태양이 중간거리보다 원지점의 맞은편에 더 가까우면 태양이 이심원 원지점의 맞은편에 있을 때의 월식표를 쓴다.

선택한 표에서 왼쪽의 달 황위와 위쪽의 달 아르구멘툼을 찾는다. 두 값이 만나는 공통 칸에서 식분 수와 카수스 시간, 그리고 전면 가림의 머무름이 있다면 그 머무름 시간의 절반을 얻는다. 달 아르구멘툼의 도 때문에 표에 두 번 들어가야 하거나, 달 황위에 분을 넘는 초가 있기 때문에 두 번 들어가야 하면 익숙한 방식으로 처리한다.

식분 수는 달 지름의 얼마가 가려지는지를 보인다. 정확히 12점이면 달 전체가 가려지지만 전면 가림의 머무름은 없다. 12점보다 적으면 달의 일부만 가려지고, 얻은 식분 수가 12에 대해 이루는 몫만큼 지름이 어두워진다. 12점보다 많으면 달 전체가 가려지고 전면 가림의 머무름이 생긴다. 이는 달이 더 커서 그 지름이 표에서 얻은 식분 수만큼의 점을 가졌다고 하더라도 여전히 달 전체가 가려지되, 그 경우에는 머무름 없이 전면식이 될 것임을 뜻한다.

전면 가림의 머무름이 없을 때 카수스 시간은 월식 시작에서 중간까지의 시간이며, 여기서는 중간에서 끝까지도 같은 길이라고 가정한다. 그러므로 앞서 얻은 균등일의 실제 충 시각에서 카수스 시간을 빼면 월식 시작이 남고, 같은 시각에 카수스 시간을 더하면 월식 끝을 얻는다. 카수스 시간을 두 배로 하면 지속시간이 된다.

월식에 전면 가림의 머무름이 있으면, 카수스 시간은 월식 시작에서 전면 가림이 시작될 때까지의 시간이다. 식의 중간은 여기서 균등일로 나타낸 실제 충의 순간이라고 가정한다. 그러므로 실제 충 시각에서 머무름 시간의 절반을 빼면 전면 가림의 시작이 남고, 같은 값을 실제 충 시각에 더하면 전면 가림의 끝이 된다. 그 절반 시간을 두 배로 하면 전면 가림의 지속시간이 나온다. 역주 2

또 카수스 시간과 머무름 시간의 절반을 합하여 실제 충 시각에서 빼면 월식의 시작을 얻고, 실제 충 시각에 더하면 월식의 끝을 얻는다. 그 합을 두 배로 하면 월식 시작부터 끝까지의 전체 지속시간이 된다.

명제 XVI — 월식 시작과 끝의 달 실제 황위 구하기

카수스 시간과 머무름 시간의 절반을 합한 값으로 시간·분 단위 달 실제운동표에 들어간다. 달 아르구멘툼 아래의 공통 칸에서 그 시간 동안 달이 실제로 움직인 양을 얻는다. 이 운동량을 실제 충 때의 보정된 달 황위 아르구멘툼에서 빼면 월식 시작 때의 달 황위 아르구멘툼이 남는다. 이 값으로 달 황위표에서 월식 시작 때의 달 실제 황위를 찾는다.

같은 운동량을 실제 충 때의 황위 아르구멘툼에 더하면 월식 끝 때의 보정된 황위 아르구멘툼이 나온다. 이 값으로 같은 표에서 월식 끝 때의 달 실제 황위를 찾으면 원하는 결과를 얻는다.

명제 XVII — 월식의 형상을 평면에 그리기

일식 그림에서 말한 것처럼 평면에 직선을 하나 긋고 황도의 한 구간으로 삼는다. 그 중간점은 달이 지나가는 곳에서 지구 그림자의 중심이다. 그 중심에서 선의 한쪽 끝을 향해 컴퍼스로 같은 길이의 부분들을 잡되, 그 수는 그림자 반지름과 달 반지름의 합에 들어 있는 분 수와 같게 한다.

두 반지름의 합을 반지름으로 삼아 중심에 원을 하나 그리고, 같은 중심에서 그림자 반지름을 반지름으로 삼아 다른 원을 그린다. 뒤의 원을 그림자 원으로 삼는다. 이 그림에서도 일식 그림과 마찬가지로 동·서·남·북의 네 방향을 정한다.

또 원들의 중심에서 황도 구간을 직각으로 자르는 숨은 보조선을 긋는다. 그 선 위에 중심에서 떨어진 점 두 개를 표시하되, 각각 월식 시작과 끝의 달 실제 황위만큼 떨어뜨리고, 황위가 남쪽인지 북쪽인지에 따라 그 방향에 둔다.

두 점에서 처음 선과 평행한 선들을 긋는다. 월식 시작의 달 황위를 표시한 점에서는 서쪽으로, 끝의 황위를 표시한 점에서는 동쪽으로 긋는다. 이 평행선들이 큰 원둘레와 만나는 지점을 표시한다. 이 점들은 월식 시작과 끝의 달 중심 위치를 나타낸다. 두 위치를 직선으로 잇고 가운데 점으로 둘로 나눈다. 그 점이 전면 가림의 중간 때 달의 위치를 나타낸다.

그 세 점을 중심으로 달의 겉보기 반지름만큼 원을 하나씩, 모두 세 개 그린다. 이 원들은 시작·중간·끝의 달을 나타낸다. 그 가운데 원이 그림자 원 안에 들어가는 만큼에 비례하여 우리에게 보이는 달이 가려진다. 가운데 원 전체가 안에 들어가면 달 전체가 어두워지고, 일부만 들어가면 그만큼의 달 부분이 가려진다.

1460년 일식·월식 계산 실례

일식 계산 실례의 표제

앞에서 일식에 관하여 말한 사항들을 실례로 제시하기.

1460년 7월 일식 계산의 목표와 기점

나는 주후 1460년 7월에 일어날 실제 합과 일식을 구하고자 한다. 앞에서 사용한 통상적인 연수 계산법에 따라 그해 7월 초까지 완성된 기간은 1459년과 6월이다.

1440년 묶음과 19개 전개 연수의 값

평균 합·충표에 들어가면, 완료된 합산 연수 1440년에서 다음 값을 얻는다. 시간은 7일 8시간 38분 27초, 태양 위치는 9사인 11도 37분 14초, 달 아르구멘툼은 2사인 23도 26분 44초, 황위 아르구멘툼은 4사인 24도 58분 59초이다.

나머지 전개 연수 19년에서는 시간 28일 20시간 12분 6초, 태양 위치 11사인 0도 58분 21초, 달의 평균 아르구멘툼 9사인 11도 8분 16초, 황위 아르구멘툼 11사인 6도 53분 42초를 얻는다.

윤년 6월의 값과 세 줄의 합

현재 해는 윤년이므로 윤년 월표에서 6월을 취한다. 그 값은 시간 4일 19시간 35분 42초, 태양 위치 5사인 24도 38분 25초, 달 아르구멘툼 3사인 4도 54분 3초, 황위 아르구멘툼 6사인 4도 1분 23초이다.

앞의 세 줄을 종류별로 합하면 시간 41일 0시간 26분 15초, 태양 위치 2사인 7도 14분 0초, 달 아르구멘툼 5사인 9도 19분 3초, 황위 아르구멘툼 10사인 5도 54분 4초가 된다.

회전표로 평균 합을 얻기

합의 표제 아래 회전표에서 앞의 합계보다 바로 큰 줄을 찾는다. 그 줄은 시간 59일 1시간 28분 6초, 태양 위치 2사인 28도 12분 48초, 달 아르구멘툼 1사인 21도 38분 1초, 황위 아르구멘툼 2사인 1도 20분 28초이다.

운동량은 앞의 운동량에 더하고, 앞에서 얻은 시간을 이 시간에서 뺀다. 그러면 빈의 자오선을 기준으로 평균 합은 7월 18일 정오 후 1시간 1분 51초에 생긴다. 같은 때 태양의 평균 위치는 4사인 5도 26분 48초, 달의 평균 아르구멘툼은 7사인 1도 7분 4초, 평균 황위 아르구멘툼은 0사인 7도 14분 32초이다.

태양 원지점과 태양 아르구멘툼

태양 원지점표에서 1455년에 대응하는 값은 3사인 0도 46분 18초이다. 연 운동 34초를 남은 네 해에 적용하면 2분 16초가 되고, 여섯 달에는 17초, 18일에는 2초가 더해진다. 따라서 평균 합 때의 태양 원지점은 3사인 0도 48분 53초이다. 이를 태양의 평균 위치에서 빼면 태양 아르구멘툼 1사인 4도 37분 55초가 남는다.

실제 합과 평균 합의 거리 보간

태양 아르구멘툼 1사인 4도 37분 55초와 달 아르구멘툼 7사인 1도 7분 4초로 실제 합·충이 평균 합·충에서 떨어진 거리를 구하는 표에 들어간다. 달 아르구멘툼이 6사인보다 크므로 태양 아르구멘툼은 아래쪽에서, 달 아르구멘툼은 오른쪽을 따라 올라가며 찾는다. 표의 바로 작은 값은 태양 1사인 4도와 달 7사인 1도이며, 공통 칸에는 6시간 56분과 M, 곧 감산 표지가 있다.

태양 쪽 다음 칸과의 차이는 증가 방향 6분이다. 실제 태양 아르구멘툼의 나머지 약 38분은 2도 간격의 대략 3분의 1이므로 비례분은 2분이다. 달 쪽 차이는 8분이고 나머지 7분은 1도의 약 8분의 1이므로 비례분은 1분이다. 두 비례분을 모두 더하면 실제 합이 평균 합에서 떨어진 시간은 6시간 59분이며, 표지는 M이다.

첫 계산으로 얻은 실제 합

M 표지에 따라 6시간 59분을 평균 합 시각에서 뺀다. 그러면 불균등일로 나타낸 실제 합은 7월 17일 약 12시 3분이 된다. 역주 3

정밀 검산—태양의 실제 위치

이 시각을 더 정확히 확인하기 위해 평균운동표에 들어간다. 태양의 평균운동은 4사인 5도 9분 36초, 달의 평균운동은 4사인 1도 36분 48초, 달 아르구멘툼은 6사인 27도 19분 2초, 달의 머리 곧 승교점의 평균운동은 8사인 1도 46분 47초이다.

태양 평균운동에서 원지점을 빼면 태양 아르구멘툼은 1사인 4도 20분 43초이다. 태양 보정량표의 감산값 1도 11분 4초를 적용하면 태양의 실제 위치는 4사인 3도 58분 32초가 된다.

정밀 검산—달의 실제 위치와 1초 차이

달의 평균운동에서 태양의 평균운동을 빼면 11사인 26도 27분 12초가 남는다. 이를 두 배 하면 달 중심은 11사인 22도 54분 24초이다. 중심차 1도 3분을 빼면 보정된 달 아르구멘툼은 6사인 26도 16분이 된다. 이 아르구멘툼에 대응하는 보정량은 가산 2도 21분 45초이다. 따라서 이를 달의 평균운동에 더하면 달의 실제 위치는 4사인 3도 58분 33초이다.

이는 태양의 실제 위치와 단 1초 차이다. 이를 두 배 해도 시간으로 2초, 곧 한 시간의 1분을 30등분한 한 몫에 지나지 않으므로 무시한다. 그러므로 이 검산을 생략했더라도 오류는 없었을 것이다. 다만 나는 더 확실히 알게 되었다. 따라서 실제 합은 앞서 구한 그대로, 불균등일로 7월 17일 약 18시 3분이다.

짧은 방법으로 실제 태양 위치를 다시 얻기

정밀 검산을 하지 않고도 같은 값을 짧게 얻을 수 있다. 실제 합의 위치를 찾기 위한 앞의 검산을 하지 않았더라도, 평균 합 때 태양 아르구멘툼인 1사인 4도 37분 55초로 태양 보정량표에 들어갈 수 있었다. 공통 칸의 태양 보정량은 감산 1도 11분 36초이고, 평균 합에서 실제 합까지의 시간차인 6시간 59분으로 태양 실제운동표에 들어가 가장 가까운 태양 아르구멘툼인 1사인 아래를 보면, 그 시간 동안의 실제운동은 16분 40초이다. 시간차가 감산이었으므로 이 운동량을 앞의 보정량과 합한다. 둘을 합한 1도 28분 16초를 평균 합 때의 태양 평균위치에서 빼면 4사인 3도 58분 32초가 남는다. 이는 위의 검산값과 같다.

실제 합 때의 황위·달 아르구멘툼 보정

같은 태양 보정량을 평균 합 때의 황위 아르구멘툼에서 빼고, 그 6시간 59분 동안의 승교점 평균운동 56초도 뺀다. 실제 합 때의 황위 아르구멘툼은 0사인 5도 45분 20초가 된다. 이는 실제 합 때 승교점의 평균운동 8사인 1도 46분 47초와 달의 실제 위치 4사인 3도 58분 33초를 더해도 똑같이 나온다.

달 아르구멘툼도 바로잡으려면 6시간 59분으로 달 평균 아르구멘툼표에 들어가면 3도 48분 5초를 얻는다. 여기에 시간당 9분을 적용하면 전체 보정량은 약 4도 51분이다. 거리의 표지가 M이므로 이를 평균 달 아르구멘툼에서 빼면 보정된 값 6사인 26도 16분이 남는다. 보라. 이처럼 두 방법으로 언제나 같은 값을 얻는다.

균등일의 실제 합 시각

실제 합 때의 태양 실제 위치로 일수 보정표에 들어가면 12분을 얻는다. 이를 불균등일로 구한 실제 합 시각에 더하면, 균등일로 나타낸 실제 합은 7월 17일 18시 15분이다.

빈에서의 가시 합 시각과 황위 시차

이 실제 합은 정오에서 5시간 45분 떨어져 있다. 빈은 대략 제7기후대의 한가운데에 있으므로, 제7기후대용 가시 합 거리표를 사용한다. 태양이 있는 사인인 사자자리 표에 들어가 정오 전의 시간을 찾고, 위쪽 가로줄에서는 달 아르구멘툼을 찾는다. 비례분으로 보정한 뒤 공통 칸에서 시간 1시간 24분과 황위 시차 38분을 얻는다. 같은 방식으로 다음 사인인 처녀자리 표에서는 시간 1시간 36분과 황위 시차 28분을 얻는다.

두 시간값의 차이는 12분, 두 황위 시차의 차이는 10분이다. 태양은 사자자리 시작점에서 거의 4도, 곧 한 사인의 약 8분의 1만큼 진행했으므로 시간 차의 비례분은 약 2분, 황위 시차 차의 비례분은 1분이다. 시간 비례분은 더하고 황위 시차 비례분은 뺀다. 따라서 가시 합과 실제 합 사이의 시간차는 1시간 26분이다. 오른쪽 표제가 지시하듯 이 시간차는 빼야 한다. 보정된 황위 시차는 37분이며, 우리 기후대에서는 언제나 남쪽이다.

가시 합의 태양·달 위치와 달의 겉보기 황위

균등일의 실제 합인 7월 17일 18시 15분에서 1시간 26분을 빼면 가시 합은 7월 17일 16시 49분이다.

그 1시간 26분 동안 태양의 실제 운동은 2분 28초이므로, 이를 실제 합의 태양 위치에서 빼면 가시 합 때 태양은 4사인 3도 55분 0초에 있다. 같은 시간 동안 달의 실제 운동은 51분 29초이며, 이를 빼면 달은 4사인 3도 7분 0초에 있다. 이 달 운동량을 실제 합 때의 황위 아르구멘툼 0사인 5도 45분 20초에서도 빼면 0사인 4도 53분 44초가 남는다. 황위표에서 이에 대응하는 달의 실제 황위는 북쪽 26분이다.

반면 앞에서 얻은 시차에 따른 황위 차이는 남쪽 37분이다. 큰 값에서 작은 값을 빼면 달의 겉보기 황위는 남쪽 11분이 된다.

일식의 크기와 시작·중간·끝

태양 아르구멘툼이 이심원 중간거리보다 원지점에 더 가까우므로, 태양이 이심원 원지점에 있을 때의 일식표를 사용한다. 보정된 달 아르구멘툼과 가장 가까운 표값 7사인, 그리고 달의 겉보기 황위 9분으로 들어가, 두 값이 만나는 칸에서 8식분 35분과 카수스 시간 55분을 얻는다.

따라서 빈에서는 태양 지름의 4분의 3에 조금 못 미치는 부분이 가려진다. 일식은 7월 17일 15시 54분, 곧 일출보다 약 35분 전에 시작하고, 16시 49분에 중간에 이르며, 17시 44분에 끝난다.

일식 시작·끝의 겉보기 황위와 두 반지름

가시 합 때의 달 겉보기 황위 남쪽 11분을 황위표에서 찾으면, 그 위에 11사인 27도 53분이 놓여 있으며 이는 용의 머리, 곧 승교점 부근의 남쪽 값이다. 이를 가시 합 시각의 겉보기 황위 아르구멘툼으로 보존한다.

카수스 시간 55분 동안 달의 실제 운동은, 가까운 달 아르구멘툼 7사인 아래에서 찾아, 33분이다. 이를 보존한 아르구멘툼에서 빼면 일식 시작 때 11사인 27도 20분이 되고, 그 황위는 남쪽 14분이다. 반대로 더하면 끝 때 11사인 28도 26분이 되며, 그 황위는 남쪽 8분이다.

반지름표에서 태양의 겉보기 반지름은 15분 47초, 달의 겉보기 반지름은 17분 48초이다. 도형을 그리는 데에는 초가 유의미한 오류를 만들지 않는다고 보고 태양은 16분, 달은 18분으로 잡는다.

1460년 7월 일식 도형의 실제 작도

마지막으로 1460년의 이 일식을 평면에 그린다. 평면 한가운데 직선 BAC를 긋고, 그 반쪽 AB를 태양과 달 반지름의 합인 34개의 같은 부분으로 나눈다. A를 중심으로 AB를 반지름 삼아 바깥 원 BECF를 그린다. BAC에 직교하는 숨은 선 FGAE를 긋고, B는 동쪽, C는 서쪽, E는 남쪽, F는 북쪽으로 정한다.

AB의 34부분 가운데 16부분을 AD로 취하고, 이를 태양 반지름으로 하여 태양 원 DHKG를 그린다. 숨은 선에서 시작 황위 남쪽 11분에 따라 AE 방향으로 AN=11을 잡고, 끝 황위는 본문 작도에서 6부분으로 둔 AQ를 같은 방향에 잡는다. AC와 평행한 NL, AB와 평행한 QM을 긋는다. 두 선이 바깥 원과 만나는 점을 각각 L, M으로 삼는다. LM의 중점을 O로 잡고, L·O·M을 중심으로 달 반지름 BD와 같은 원 세 개를 그린다.

L의 원은 일식 시작의 달, O의 원은 중간의 달, M의 원은 끝의 달이다. 가운데 달 원이 태양 원 DHK 안에 들어간 면적은 가려진 태양 부분을 나타내고, 남은 초승달 모양 DGK는 여전히 밝게 보이는 부분을 나타낸다. LN은 시작의 겉보기 황위, QM은 끝의 겉보기 황위, LOM은 시작부터 끝까지의 달 경로이다. 그 도형은 다음과 같다.

도판의 방향 표기: Septentrio=북쪽, Oriens=동쪽, Occidens=서쪽, Merid.=남쪽. 점·선 문자와 세 달 원판, 태양 원판 및 바깥 원은 원상대로 보존한다. 본문의 N에 대응하는 내부 글자는 도판에서 I 모양으로 인쇄되어 있고, 명제 XIV의 위쪽=남쪽·아래쪽=북쪽이라는 설명과 달리, 이 도판은 위쪽=북쪽·아래쪽=남쪽으로 표시되어 있다. 임의로 문자나 도형을 바꾸지 않았다. 편집주 7

월식 계산 실례의 표제와 목표

앞에서 월식에 관하여 말한 사항들을 실례로 밝히기.

주후 1460년 12월에 일어날 두 광체의 실제 충과 월식을 구하고자 한다. 통상적인 연수 계산법으로 그해 12월 초까지 완성된 기간은 1459년과 11월이다.

월식 예제의 연·월 표값과 합계

1440년 묶음에서는 시간 7일 8시간 38분 27초, 태양 위치 9사인 11도 37분 14초, 달 아르구멘툼 2사인 23도 26분 44초, 황위 아르구멘툼 4사인 24도 58분 59초를 얻는다. 전개 연수 19년에서는 시간 28일 20시간 12분 6초, 태양 위치 11사인 0도 58분 21초, 달 아르구멘툼 9사인 11도 8분 16초, 황위 아르구멘툼 11사인 6도 53분 42초를 얻는다.

윤년 11월의 시간 항목에는 10사인 3도 55분 26초라고 인쇄되어 있다. 나머지는 태양 위치 10사인 20도 10분 26초, 달 아르구멘툼 9사인 13도 59분 6초, 황위 아르구멘툼 11사인 7도 22분 31초이다. 이 값들도 앞의 줄들 아래에 적고 세 줄을 더한다. 그 결과로 적힌 시간은 46일 8시간 45분 59초, 태양 위치 7사인 2도 46분 1초, 달 아르구멘툼 9사인 18도 34분 6초, 황위 아르구멘툼 3사인 9도 15분 12초가 된다. 역주 4

회전표로 평균 충을 얻기

회전표에서 충의 표제 아래, 앞의 합계보다 바로 큰 줄을 택한다. 그 값은 시간 73일 19시간 50분 8초, 태양 위치 2사인 12도 46분 1초, 달 아르구멘툼 8사인 4도 32분 31초, 황위 아르구멘툼 8사인 16도 40분 34초이다.

그 줄을 내 합계 위에 따로 적되, 시간은 시간 위에 놓고 운동량은 앞의 운동량 아래나 위에 놓는다. 운동량은 서로 더하고 시간은 시간에서 뺀다. 그러면 평균 충은 12월 27일 11시 4분 9초이다. 그때 태양의 평균 위치이자 달의 나디르는 9사인 5도 32분 2초, 달의 평균 아르구멘툼은 5사인 23도 6분 37초, 달의 평균 황위 아르구멘툼은 11사인 25도 55분 46초이다. 역주 5

월식 예제의 태양 원지점과 충 거리

태양 원지점표에서는 완전히 지난 1460년의 줄에 원지점 값이 준비되어 있다. 나흘로는 태양 원지점이 변하지 않기 때문이다. 그 값은 3사인 0도 49분 9초이다. 이를 태양의 평균 위치에서 빼면 태양 아르구멘툼 6사인 14도 42분 53초가 된다.

이 태양 아르구멘툼과 보존해 둔 달 아르구멘툼으로 실제 합·충과 평균 합·충 사이의 시간차표에 들어간다. 태양 아르구멘툼은 위쪽에서, 달 아르구멘툼은 왼쪽 줄을 따라 내려가며 찾는다. 표에서 작으면서 가장 가까운 값은 태양 6사인 14도와 달 5사인 23도이며, 공통 칸은 2시간 6분과 가산 표지 A를 준다. 태양 쪽 다음 칸과의 차이는 증가 방향 8분이며 비례분은 3분이다. 태양 아르구멘툼의 남은 분은 2도의 3분의 1보다 조금 크고, 3분 역시 8분의 3분의 1보다 조금 크기 때문이다. 달 쪽 차이는 감소 방향 10분이며 비례분은 1분이다. 달 아르구멘툼에 남은 분이 1도의 거의 10분의 1이듯, 1분은 10분의 10분의 1이기 때문이다. 태양 비례분을 더하고 달 비례분을 빼면 실제 충과 평균 충의 거리는 2시간 8분, 표지는 A가 된다.

첫 계산으로 얻은 실제 충

가산 표지에 따라 2시간 8분을 평균 충에 더하면, 불균등일로 나타낸 실제 충은 12월 27일 13시 12분이다.

월식 예제의 정밀 검산

정밀 검산을 위해 이 시각의 평균운동을 다시 구한다. 태양은 9사인 15도 37분 17초, 달은 3사인 16도 42분 17초, 달의 평균 아르구멘툼은 5사인 24도 16분 19초, 승교점의 평균운동은 8사인 10도 24분 2초이다.

태양 원지점을 빼면 태양 아르구멘툼 6사인 14도 48분 8초이다. 가산 태양 보정량 34분 28초를 더하면 태양의 실제 위치는 9사인 16도 11분 45초가 된다. 달과 태양 평균운동의 차이를 두 배 한 달 중심은 0사인 2도 10분 0초이다. 중심차 20분을 더하면 달의 보정 아르구멘툼은 5사인 24도 36분이 된다. 감산 아르구멘툼 보정량 30분 25초를 달 평균위치에서 빼면 달의 실제 위치는 3사인 16도 11분 52초이다.

이는 태양의 정반대 지점과 7초밖에 다르지 않다. 두 배 해도 시간으로 14초이며 1분의 4분의 1보다 작으므로 없는 것으로 친다. 그러므로 이 검산을 생략했더라도 오류는 없었을 것이다. 다만 나는 더 확실히 알게 되었고, 실제 충은 불균등일로 12월 27일 13시 12분임을 얻었다.

짧은 검산과 두 아르구멘툼의 보정

짧은 방법으로도 같은 결과를 확인한다. 평균 충 때의 태양 보정량은 가산 34분 17초이고, 2시간 8분 동안 태양의 실제 운동은 가산 5분 27초이다. 합계 39분 44초를 평균 태양 위치에 더하면 실제 태양은 9사인 16도 11분 46초가 된다.

이 보정량에 같은 시간 동안의 승교점 운동 14초를 합하여 평균 황위 아르구멘툼에 더하면 실제 충의 황위 아르구멘툼은 11사인 26도 35분 47초가 된다. 실제 충 때 승교점 8사인 10도 24분 2초와 달의 실제 위치, 곧 태양의 나디르 3사인 16도 11분 45초를 더해도 같은 값이 나온다.

달의 아르구멘툼을 바로잡으려면, 앞의 시간차로 달의 평균 아르구멘툼표에 들어간다. 2시간 8분에 대응하는 운동은 0사인 1도 9분 40초이다. 시간당 9분을 더하면 부가분은 19분, 전체는 0사인 1도 28분 40초가 된다. 이를 평균 달 아르구멘툼에 더하면 5사인 24도 35분 17초이다. 앞의 검산과 1분 차이가 나지만, 이 차이는 뒤따르는 계산에서 아무 오류도 일으킬 수 없다.

균등일의 월식 중간과 실제 황위

실제 충 때 태양의 실제 위치로 일수 보정표에 들어가면 8분을 얻는다. 이를 불균등일의 실제 충 시각에 더하면 균등일로 12월 27일 13시 20분이 되며, 이를 월식의 중간으로 삼는다. 보정된 황위 아르구멘툼으로 황위표에 들어가면 달의 실제 황위는 남쪽 17분 46초이다.

월식표 보간과 식의 크기·시간

태양은 이심원의 중간거리보다 원지점의 맞은편에 더 가까우므로, 태양이 원지점 맞은편에 있을 때의 월식표를 쓴다. 표 위쪽에서 보정한 달 아르구멘툼을, 왼쪽에서 달 황위를 찾는다. 달 아르구멘툼의 바로 작은 값은 5사인이고, 황위의 바로 작은 값은 17분이다. 공통 칸은 15식분 32분, 카수스 시간 1시간 9분, 전면 가림의 반정체시간 39분을 준다.

아르구멘툼은 5사인을 넘어 24도 더 나아가 있고, 황위는 17분을 넘어 원판에 49초라고 적혀 있다. 아르구멘툼 쪽 식분 차이는 증가 방향 6이며 그 비례분은 5분이다. 황위 쪽 차이는 감소 방향 20분이며 비례분은 16분이다. 따라서 보정된 식분은 15식분 21분으로, 달 전체가 가려진다.

보정된 카수스 시간은 1시간 10분, 반정체시간은 38분이다. 합계 1시간 48분은 식 중간에서 시작 또는 끝까지의 시간이다. 따라서 월식은 균등일로 12월 27일 11시 32분에 시작하고 15시 8분에 끝난다. 전면 가림은 12시 42분에 시작하여 13시 58분에 끝나므로 1시간 16분 지속된다. 달은 그 시간 동안 그림자 안에서 완전히 가려진 채 머문다. 월식 전체의 지속시간은 3시간 36분이다.

월식 시작·끝의 황위와 반지름

식의 반지속시간 1시간 48분과 보정된 달 아르구멘툼으로 시간·분 단위 달 실제운동표에 들어가면 달의 운동은 0사인 1도 4분 44초이다. 이를 실제 충 때의 황위 아르구멘툼에서 빼면 시작 때 11사인 25도 31분 3초, 더하면 끝 때 11사인 27도 40분 31초가 된다.

황위표에서 시작의 달 황위는 남쪽 23분 31초, 끝의 황위는 남쪽 12분 11초이다. 반지름표에서 달 반지름은 18분 3초, 지구 그림자 반지름은 46분 55초이다. 태양이 원지점에 있지 않으므로 태양 아르구멘툼으로 그림자 변화를 구하면 55초가 나오며, 이를 그림자 반지름에서 빼면 식 장소에서의 보정 그림자 반지름은 46분이다.

1460년 12월 월식 도형의 실제 작도

이 월식을 평면에 그리기 위해 직선 BAC를 긋고 그 반쪽 AC를 달과 그림자 반지름 합인 64부분으로 잡는다. A를 중심으로 AC를 반지름 삼아 바깥 원 BECF를 그린다. CAB는 달이 식의 시작부터 끝까지 지나가는 황도의 한 구간이고, EAF는 이에 직교하는 숨은 선이다. B는 동, C는 서, E는 남, F는 북이다.

AD를 46부분으로 잡아 A 중심의 그림자 원 DG를 그린다. 시작의 남쪽 황위에 따라 E 방향으로 AH를 23과 1/2부분, 끝의 황위에 따라 같은 방향으로 AK를 12와 1/4부분으로 잡는다. 원한다면 이 분수들은 버려도 된다. AC와 평행한 HL을 그어 원둘레 ECF와 만나는 점을 L로 삼는다. 마찬가지로 AB와 평행한 KM을 그어 원둘레 EBF와 만나는 점을 M으로 삼는다. LM의 중점을 O로 잡는다. L·O·M을 중심으로 달 반지름 CD와 같은 원 세 개를 그린다. 이로써 도형을 그렸다.

원 GD는 달이 통과하는 곳의 지구 그림자 원뿔을 나타낸다. L의 달은 그림자에 들어가기 시작한 달, O의 달은 식 중간의 달, M의 달은 그림자에서 완전히 빠져나온 끝의 달이다. 가운데 달 원이 그림자 원 안으로 중심 A 쪽에 깊이 들어간 만큼, 실제 달도 지구 그림자 원뿔의 축, 곧 태양의 나디르 쪽으로 깊이 들어간다. LOM은 식 전체의 달 경로이다. 원한다면 전면 가림의 시작과 끝에도 같은 달 반지름으로 원을 더 그려 다섯 위치를 표시할 수 있으며, 그 중심들은 언제나 시작과 끝을 잇는 경로선 위에 놓인다.

도판 표기: Septentrio=북쪽, Occidens=서쪽, Meridies=남쪽. 왼쪽 동쪽 방향어는 주저본의 먹번짐으로 글자들이 겹쳐 있으므로 본문의 B=동쪽을 참고하되 도판 글자 전체가 확정 판독되었다고 하지 않는다. 점·원·경로는 원상 그대로 보존하였다. 오른쪽 위 도형 바깥에 붙은 타본문만 제외했고, 도형 내부나 라벨은 손대지 않았다.

원문 수치 보존: 앞에서 구한 황위17분46초와 여기 보간의49초는 서로 다르다. 시작 황위23분31초도 도형에서23과1/2부분으로 사용된다. 인쇄된 값과 작도의 근삿값을 각각 보존하며 정규화하지 않았다.

게오르기우스 푸르바흐 표들의 색인

1. 수동 계산표.
2. 완료된 합산 연수에 대한 태양·달 평균 합과 충의 표.
3. 완료된 전개 연수에 대한 태양·달 평균 합과 충의 표.
4. 평년·윤년의 월에 대한 태양·달 평균 합과 충의 표.
5. 회전표.
6. 태양 원지점표.
7. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 거리표.
8. 완성 연수의 평균운동표.
9. 평년·윤년의 월에 대한 같은 표.
10. 일수에 대한 같은 표.
11. 시간과 분에 대한 앞 표의 계속.
12. 태양 원지점을 게자리 시작점에 두고 알메온(Almeon)의 적위를 전제로 새로 구성한 일수 보정표.
13. 태양 보정량표.
14. 달 보정량표.
15. 시간과 분에 따른 태양 실제운동표.
16. 시간과 분에 따른 달 실제운동표.
17. 제6기후대에서 가시 합이 실제 합에서 떨어진 거리표.
18. 제7기후대에서 가시 합이 실제 합에서 떨어진 거리표.
19. 식에서 달 황위를 구하는 표.
20. 태양이 이심원 원지점에 있을 때의 일식표.
21. 태양이 이심원의 중간거리에 있을 때의 일식표.
22. 태양이 이심원 원지점의 맞은편에 있을 때의 일식표.
23. 태양이 자기 이심원 원지점에 있을 때의 월식표.
24. 태양이 자기 이심원의 중간거리에 있을 때의 월식표.
25. 태양이 자기 이심원 원지점의 맞은편에 있을 때의 월식표.
26. 두 광체와 그림자의 반지름표.

끝.

표 안의 축약어 풀이

아래 약어는 합자 æ를 ae로 옮기고 생략 부호를 생략하여 적었다.

• aeq.ce. — 중심차.
• pp. — 비례분.
• di.dia. — 지름의 차이.
• aeq.ar. — 아르구멘툼의 보정량.
• cor.v. — 1분에 대응하는 값.
• di.co.ve.a.m. — 실제 합이 정오에서 떨어진 거리.
• d.l. 또는 di.la. — 황위 차이.
• la. — 황위.
• l.l.v. — 달의 겉보기 황위.
• m.l. — 달의 운동.
• m.m. — 반정체시간.
• p.ec. — 식분.
• p. — 점.
• te.c. — 카수스 시간.

수동 계산표(Tabula manualis)

원문 표제는 “수동 계산표”이다. 표는 여덟 면에 걸쳐 수치 열1–64를 네 묶음으로 나누며, 각 묶음은 첫 면의 행1–29와 다음 면의 행30–60으로 이어진다. 표 안에는 별도의 도·시간 단위 표제가 없으므로 이를 임의로 붙이지 않는다. 수치의 두 부분 표기와 행·열 경계는 원표로 보존한다.

열1–16, 행1–29

수표 1. 수동 계산표 열1–16 행1–29

열1–16, 행30–60

수표 2. 수동 계산표 열1–16 행30–60

열17–32, 행1–29

수표 3. 수동 계산표 열17–32 행1–29

열17–32, 행30–60

수표 4. 수동 계산표 열17–32 행30–60

열33–48, 행1–29

수표 5. 수동 계산표 열33–48 행1–29

열33–48, 행30–60

수표 6. 수동 계산표 열33–48 행30–60

열49–64, 행1–29

수표 7. 수동 계산표 열49–64 행1–29

열49–64, 행30–60

수표 8. 수동 계산표 열49–64 행30–60

원표에 관한 주

각 표를 읽기 방향으로90도 회전했지만 숫자 자체는 수정하지 않았다.

수표 1 아홉째 열 머리는9가 아니라6처럼 인쇄되어 보이며, 행 번호·셀에도 여러 인쇄 불일치가 보인다. 수학적으로 재계산한 숫자로 대체하지 않았다. 수표 3·수표 8의 마모·비침은 원사본에 있으며 일부 셀의 완전 판독을 제한한다.

태양과 달의 평균 합·충표

원상의 마모·먹번짐은 임의 숫자로 채우지 않았다.

기원 연수의 합산된 완료 연수

Tabula mediarum coniunctionum & oppositionum Solis & Lunae. In annis Christi collectis & completis. — 태양과 달의 평균 합과 충의 표. 기원 연수의 합산된 완료 연수에 대하여.

열: 기원 연수(Anni Christi), 시간(Tempus: 일·시·분·초), 태양과 달의 평균운동(Motus Solis & Lunae medii: 사인·도·분·초), 달의 평균 아르구멘툼(Argumenti Lunae medii: 사인·도·분·초), 달 황위의 평균 아르구멘툼(Argumenti latitudinis Lunae medii: 사인·도·분·초). 1400년부터 3040년까지 40년 간격의 42행을 보존했다.

수표 9. 1400–3040년의 평균 합·충 원표

기원 연수의 전개된 완료 연수

Tabula mediarum coniunctionum & oppositionum Solis & Lunae. In annis Christi expansis & completis. — 태양과 달의 평균 합과 충의 표. 기원 연수의 전개된 완료 연수에 대하여.

열: 연수(Anni); 시간(일·시·분·초); 태양과 달의 평균운동(사인·도·분·초); 달의 평균 아르구멘툼(사인·도·분·초); 달 황위의 평균 아르구멘툼(사인·도·분·초). 1–40년의 40행. 원문 첫 행 등의 각 단위 뒤 추가 작은 숫자도 이미지에 그대로 보존하며 임의로 버리거나 별도 단위로 확정하지 않았다. 마지막 행 왼쪽 연수와 일부 숫자는 원상 마모가 있다.

수표 10. 1–40년의 평균 합·충 원표

월별 표

Tabula mediarum coniunctionum & oppositionum Solis & Lunae. In mensibus. Menses communes. — 태양과 달의 평균 합과 충의 표. 월에 대하여. 평년의 달들.

열: 달; 시간(일·시·분·초); 태양과 달의 평균운동(사인·도·분·초); 달의 평균 아르구멘툼(사인·도·분·초); 달 황위의 평균 아르구멘툼(사인·도·분·초).

행: Ianuarius 1월, Februarius 2월, Martius 3월, Aprilis 4월, Maius 5월, Iunius 6월, Iulius 7월, Augustus 8월, September 9월, October 10월, November 11월, December 12월.

수표 11. 평년의 12개월 원표

Menses bissextiles. — 윤년의 달들.

열은 같은 순서로 달; 시간(일·시·분·초); 태양과 달의 평균운동(사인·도·분·초); 달의 평균 아르구멘툼(사인·도·분·초); 달 황위의 평균 아르구멘툼(사인·도·분·초)이다. 행은 Ianuarius 1월, Februarius 2월, Martius 3월, Aprilis 4월, Maius 5월, Iunius 6월, Iulius 7월, Augustus 8월, September 9월, October 10월, November 11월, December 12월이다.

수표 12. 윤년의 12개월 원표

회전표

Tabella revolutionum. — 회전표.

열: Ab illo minue — 그것에서 빼라(일·시·분·초); Adde loco Solis — 태양 위치에 더하라(사인·도·분·초); Adde argumento Lunae — 달 아르구멘툼에 더하라(사인·도·분·초); Adde argumento latitudinis Lunae — 달 황위 아르구멘툼에 더하라(사인·도·분·초).

여섯 행은 순서대로 충(Oppositio), 합(Coniunctio), 충, 합, 충, 합이다. 첫 머리글은 Ab illo minue / 그것에서 빼라이다. 시간 단위로 된 첫 열의 감산 지시를 보존한다.

수표 13. 회전표의 여섯 행

완결 연수에 따른 태양 원지점 표

원표제: Tabula auxis Solis, in annis completis. — 완결된 해에 따른 태양 원지점 표. 주저본 인쇄193–195면이며, 앞면에서 이어지는 연표 중 이 세 면의 원상 보존이다. 앞뒤 면을 이 파일로 대신하지 않는다.

세로 묶음마다 Anni는 연수, aux Solis는 태양의 원지점, motus는 운동이다. 사인·도·분·초의 숫자열과 별도 운동란의 수치를 원표대로 보존한다. 수표 15–수표 16의 단위 행 si. g. mi. se. se.는 사인, 도, 분, 초, 초로 읽는다. 마지막 두 칸 모두 원문에 se.로 되어 있으므로 마지막을 삼분 단위로 바꾸지 않는다. 수표 14에는 같은 위치의 단위 행이 따로 인쇄되지 않았다.

인쇄 193면

왼쪽:1400–1595년, 가운데:1600–1795년, 오른쪽:1800–1995년. 각 묶음은5년 간격40행이며 합120행이다. 별도 운동란의 빈칸도 원표 그대로 유지한다.

수표 14. 1400–1995년 태양 원지점

인쇄 194면

왼쪽:2000–2195년, 가운데:2200–2395년, 오른쪽:2400–2595년. 각 묶음40행, 합120행이다. 운동란 숫자는 모든 행에 있는 것이 아니며, 빈칸을0으로 채우지 않았다.

수표 15. 2000–2595년 태양 원지점

인쇄 195면

왼쪽:2600–2745년30행, 가운데:2750–2895년30행, 오른쪽:2900–3040년29행 및 그 아래0값 행이다. 오른쪽 맨 아래 연수 자리는 비어 있고 뒤 수치칸에는0이 인쇄되어 있다. 이를3045년으로 보간하지 않는다.

수표 16. 2600–3040년과 끝의0값 행

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제는 두 맞은편 면에 걸쳐 Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media라고 이어진다. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 표의 수치는 ho. mi. 즉 시간·분이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인, Gradus/gra. — 도. Adde — 더하라, Minue — 빼라.

각 면의 실제 수치행은46행이고, 각 행에는8쌍의 시간·분 값이 있다. 따라서 각 면에736개의 시간·분 수치칸이 있다(입력 사인·도수 및 가장자리 표시는 이 개수 밖). 면 사이의 끝점이 중복 인쇄된 경우 중복도 보존한다.

인쇄 196면

태양 입력: 위쪽 사인0에서0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래쪽 사인11에서30·28·26·24·22·20·18·16도. 달 입력은 왼쪽 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 빼라(Minue).

수표 17. 시간차표 첫 왼쪽 면

인쇄 197면

태양 입력: 위쪽 사인0에서16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래쪽 사인11에서14·12·10·8·6·4·2·0도. 달 입력은 오른쪽 사인12의0도부터 사인10의15도까지 내려간다. 사인12의0을 원문에서 사인0으로 고쳐 적지 않았다. 오른쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 18. 시간차표 첫 오른쪽 면

인쇄 198면

태양 입력은 수표 17과 같고, 달 입력은 왼쪽 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 19. 시간차표 둘째 왼쪽 면

인쇄 199면

태양 입력은 수표 18과 같고, 달 입력은 오른쪽 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 20. 시간차표 둘째 오른쪽 면

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 수표 17–수표 20에 이어지는 네 면이다.

Argumenti Solis는 태양 아르구멘툼, Argumenti Lunae는 달 아르구멘툼. signa/sig.는 사인, Gradus/gra.는 도. 수치 쌍의 ho. mi.는 시간·분이다. Adde는 더하라, Minue는 빼라. 각 면46행×8쌍으로, 입력값과 가장자리 표지를 제외한 시간·분 칸은736칸이다.

인쇄 200면

위 태양 입력은 사인0의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인11의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 21. 시간차표

인쇄 201면

위 태양 입력은16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래는14·12·10·8·6·4·2·0도. 이 면은 위와 아래 모두 사인11이라고 인쇄되어 있다. 앞뒤 맞은편 면의 위쪽 사인0과 일치하지 않으나 임의로0으로 바꾸지 않았다. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 22. 시간차표

인쇄 202면

위 태양 입력은 사인0의0·2·4·6·8·10·12·14도. 아래 입력은30·28·26·24·22·20·18·16도이며 아래 사인 표지는 원문에10으로 인쇄되어 있다. 인접 면의11로 고쳐 쓰지 않는다. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 더하라. 아래 수치 영역의 작은 m 글자들도 원상 그대로 보존하며 숫자로 오인하거나 지우지 않는다.

수표 23. 시간차표

인쇄 203면

위 태양 입력은 사인0의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래는 사인11의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 더하라. 수치 영역의 작은 m 기호와 빈칸을 보존했다.

수표 24. 시간차표

사인 표기 불일치를 조용히 정규화하지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인1/10에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 204면

위 태양 입력은 사인1의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인10의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 25. 시간차표

인쇄 205면

위 태양 입력은 사인1의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인10의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 26. 시간차표

인쇄 206면

위 태양 입력은 사인1의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인10의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 27. 시간차표

인쇄 207면

위 태양 입력은 사인1의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인10의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 28. 시간차표

212 오른쪽과213 아래쪽의 인쇄 마모가 보이는 부분도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인1/10에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 208면

위 태양 입력은 사인1의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인10의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 29. 시간차표

인쇄 209면

위 태양 입력은 사인1의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인10의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 30. 시간차표

인쇄 210면

위 태양 입력은 사인1의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인10의30·28·26·14·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 31. 시간차표

〔수표 31 아래 도수행의 넷째 값은 원문에14로 인쇄되어 있다. 인접 표의24로 고치지 않고 그대로 보존한다.〕

인쇄 211면

위 태양 입력은 사인1의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인10의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 32. 시간차표

218–219 내부의 작은 m 표지와 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인2/9에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 212면

위 태양 입력은 사인2의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인9의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 33. 시간차표

인쇄 213면

위 태양 입력은 사인2의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인9의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 34. 시간차표

인쇄 214면

위 태양 입력은 사인2의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인9의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 35. 시간차표

인쇄 215면

위 태양 입력은 사인2의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인9의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 36. 시간차표

220–221 영점 부근 작은 기호 및 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.221의 달 입력 시작 사인12는 사인0으로 고치지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인2/9에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 216면

위 태양 입력은 사인2의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인9의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 37. 시간차표

인쇄 217면

위 태양 입력은 사인2의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인9의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 38. 시간차표

인쇄 218면

위 태양 입력은 사인2의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인9의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 39. 시간차표

인쇄 219면

위 태양 입력은 사인2의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인9의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 40. 시간차표

226–227 내부의 작은 m 표지와 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인3/8에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 220면

위 태양 입력은 사인3의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인8의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 41. 시간차표

인쇄 221면

위 태양 입력은 사인3의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인8의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 42. 시간차표

인쇄 222면

위 태양 입력은 사인3의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인8의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 43. 시간차표

인쇄 223면

위 태양 입력은 사인3의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인8의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 44. 시간차표

228–229 영점 부근 작은 기호 및 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.229의 달 입력 시작 사인12는 사인0으로 고치지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인3/8에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 224면

위 태양 입력은 사인3의0·2·4·6·[검은 네모: 판독불명]·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인8의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 45. 시간차표

인쇄 225면

위 태양 입력은 사인3의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인8의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 46. 시간차표

인쇄 226면

위 태양 입력은 사인3의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인8의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 47. 시간차표

인쇄 227면

위 태양 입력은 사인3의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인8의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 48. 시간차표

234–235 내부의 작은 m 표지와 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인4/7에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 228면

위 태양 입력은 사인4의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인7의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 49. 시간차표

인쇄 229면

위 태양 입력은 사인4의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인7의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 50. 시간차표

인쇄 230면

위 태양 입력은 사인4의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인7의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 51. 시간차표

인쇄 231면

위 태양 입력은 사인4의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인7의14·12·10·8·6·4·2·[검은 네모: 판독불명]도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 52. 시간차표

236–237 영점 부근 작은 기호 및 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.237의 달 입력 시작 사인12는 사인0으로 고치지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인4/7에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 232면

위 태양 입력은 사인4의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인7의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 53. 시간차표

인쇄 233면

위 태양 입력은 사인4의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인7의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 맨 위 실제 인쇄 사인8의0도(다음 행8의29도)부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 54. 시간차표

인쇄 234면

위 태양 입력은 사인4의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인7의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 55. 시간차표

인쇄 235면

위 태양 입력은 사인4의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인7의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 56. 시간차표

241 맨 위 달 입력은 실제로8의0도이며 통상 기대값9로 정규화하지 않았다.241 위 가감 지시는 Minue로 확인했다.242–243 내부의 작은 m 표지와 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인5/6에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 236면

위 태양 입력은 사인5의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인6의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 57. 시간차표

인쇄 237면

위 태양 입력은 사인5의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인6의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 빼라.

수표 58. 시간차표

인쇄 238면

위 태양 입력은 사인5의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인6의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 59. 시간차표

인쇄 239면

위 태양 입력은 사인5의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인6의14·12·10·8·6·4·2·[검은 네모: 판독불명]도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 60. 시간차표

244–245 영점 부근 작은 기호 및 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.245 첫 입력은 사인12의0도이다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인5/6에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 240면

위 태양 입력은 사인5의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인6의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 61. 시간차표

인쇄 241면

위 태양 입력은 사인5의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인6의14·12·10·8·6·4·2·[검은 네모: 판독불명]도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 62. 시간차표

인쇄 242면

위 태양 입력은 실제 인쇄 사인4의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인6의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 63. 시간차표

인쇄 243면

위 태양 입력은 사인5의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인6의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위와 아래 모두 더하라.

수표 64. 시간차표

250 상단 태양 사인은 실제4, 아래6으로 원문의 불일치를 보존했다.250 하단 Minue도 그대로 번역했다.250–251 내부의 작은 m 표지와 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인6/5에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 244면

위 태양 입력은 사인6의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인5의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 65. 시간차표

인쇄 245면

위 태양 입력은 사인6의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인5의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 실제 첫 행 사인11의0도(다음11의29도)부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 66. 시간차표

인쇄 246면

위 태양 입력은 사인6의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인5의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 67. 시간차표

인쇄 247면

위 태양 입력은 사인6의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인5의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 68. 시간차표

252–253 영점 부근 작은 기호 및 인쇄 마모도 삭제하거나 추정 숫자로 덮지 않았다.253의 달 입력 시작은11의0도로,12로 정규화하지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인6/5에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 248면

위 태양 입력은 사인6의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인5의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 69. 시간차표

인쇄 249면

위 태양 입력은 사인6의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인5의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 70. 시간차표

인쇄 250면

위 태양 입력은 사인6의[검은 네모: 판독불명]·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인5의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 71. 시간차표

〔원표 주〕 첫 두 달 입력 행은 모두 4사인15도로 인쇄되어 있다. 둘째 행을 16도로 고치지 않았다.

인쇄 251면

위 태양 입력은 사인6의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인5의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 72. 시간차표

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인7/4에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 252면

위 태양 입력은 사인7의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인4의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 73. 시간차표

인쇄 253면

위 태양 입력은 사인7의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인4의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 74. 시간차표

인쇄 254면

위 태양 입력은 사인7의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인4의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 75. 시간차표

인쇄 255면

위 태양 입력은 사인7의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인4의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 76. 시간차표

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인7/4에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 256면

위 태양 입력은 사인7의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인4의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 77. 시간차표

인쇄 257면

위 태양 입력은 사인7의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인4의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 78. 시간차표

인쇄 258면

위 태양 입력은 사인7의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인4의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 79. 시간차표

인쇄 259면

위 태양 입력은 사인7의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인4의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 80. 시간차표

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인8/3에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 260면

위 태양 입력은 사인8의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인3의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 81. 시간차표

인쇄 261면

위 태양 입력은 사인8의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인3의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 82. 시간차표

인쇄 262면

위 태양 입력은 사인8의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인3의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 83. 시간차표

인쇄 263면

위 태양 입력은 사인8의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인3의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 실제 첫 행 사인10의14도(둘째 행도14도)부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 84. 시간차표

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인8/3에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 264면

위 태양 입력은 사인8의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 실제 인쇄 사인5의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 85. 시간차표

인쇄 265면

위 태양 입력은 사인8의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인3의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 86. 시간차표

인쇄 266면

위 태양 입력은 사인8의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인3의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 87. 시간차표

인쇄 267면

위 태양 입력은 사인8의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인3의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 88. 시간차표

272 하단 태양 사인은 실제5로 읽히므로3으로 정상화하지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인9/2에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 268면

위 태양 입력은 사인9의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인2의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 89. 시간차표

인쇄 269면

위 태양 입력은 사인9의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인2의14·12·10·8·6·4·2·[검은 네모: 판독불명]도. 오른쪽 달 입력은 첫 행 사인12의 도수 판독 유보(검은 네모 형태, 다음11의29도)부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 90. 시간차표

인쇄 270면

위 태양 입력은 사인9의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인2의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 91. 시간차표

인쇄 271면

위 태양 입력은 사인9의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인2의14·12·10·8·6·4·2·[검은 네모: 판독불명]도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 92. 시간차표

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제 Tabula distantiae verae coniunctionis는 다음 오른쪽 면의 aut oppositionis à media와 이어져 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표를 뜻한다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. ho. mi. — 시간·분.

위 태양 입력은 사인9의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 입력은 사인2의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 위쪽 Adde — 더하라, 아래쪽 Minue — 빼라.

수표 93. 시간차표

원표는46행×8시간·분 쌍(736수치칸)이며, 다음 표로 이어진다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

앞 수표 93 표의 계속. Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media: 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표.

Argumenti Solis 태양 아르구멘툼, Argumenti Lunae 달 아르구멘툼, signa/sig. 사인, Gradus/gra. 도, ho. mi. 시간·분. Adde 더하라, Minue 빼라.

인쇄 273면

위 태양 입력은 사인9의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 입력은 사인2의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 위 더하라, 아래 빼라.

수표 94. 시간차표

인쇄 274면

위 태양 입력은 사인9의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 입력은 사인2의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 위 더하라, 아래 빼라.

수표 95. 시간차표

인쇄 275면

위 태양 입력은 사인9의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 입력은 사인2의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 위 더하라, 아래 빼라.

수표 96. 시간차표

각 원표는46행×8시간·분 쌍(736수치칸)이다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인10/1에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 276면

위 태양 입력은 사인10의0·〔판독불명 네모〕·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인1의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 97. 시간차표

인쇄 277면

위 태양 입력은 사인10의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인1의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 98. 시간차표

인쇄 278면

위 태양 입력은 사인10의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인1의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 99. 시간차표

인쇄 279면

위 태양 입력은 사인10의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인1의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 100. 시간차표

수표 97 상단 둘째 태양 도수는 검은 네모로 보존하고2로 추정 복원하지 않았다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인10/1에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 280면

위 태양 입력은 사인10의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인1의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 101. 시간차표

인쇄 281면

위 태양 입력은 사인10의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인1의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 102. 시간차표

인쇄 282면

위 태양 입력은 사인10의〔판독불명 네모〕·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인1의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 103. 시간차표

인쇄 283면

위 태양 입력은 사인10의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인1의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 104. 시간차표

〔수표 103 판독 주〕상단 첫 태양 도수는 검은 네모로 보존하고0으로 추정 복원하지 않는다.

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인11/0에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 284면

위 태양 입력은 사인11의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인0의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인0의0도부터 사인1의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 105. 시간차표

인쇄 285면

위 태양 입력은 사인11의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인0의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인12의0도부터 사인10의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 106. 시간차표

인쇄 286면

위 태양 입력은 사인11의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인0의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인1의15도부터 사인3의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 107. 시간차표

인쇄 287면

위 태양 입력은 사인11의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인0의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인10의15도부터 사인9의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 108. 시간차표

실제 합·충과 평균 합·충의 시간차 표

원표제: Tabula distantiae verae coniunctionis aut oppositionis à media. 실제 합 또는 충이 평균 합 또는 충에서 떨어진 차이의 표. 앞 표에 이어 태양 사인11/0에 대한 입력 면이다.

Argumenti Solis — 태양 아르구멘툼. Argumenti Lunae — 달 아르구멘툼. signa/sig. — 사인. Gradus/gra. — 도. 수치열 ho. mi. — 시간·분. Adde — 더하라, Minue — 빼라. 각 면46행×8쌍으로 시간·분 수치칸736개이며 입력값·가감표지와 내부 작은 기호는 별도로 보존했다.

인쇄 288면

위 태양 입력은 사인11의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인0의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인3의0도부터 사인4의15도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 109. 시간차표

인쇄 289면

위 태양 입력은 사인11의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인0의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인9의0도부터 사인7의15도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 110. 시간차표

인쇄 290면

위 태양 입력은 사인11의0·2·4·6·8·10·12·14도, 아래 태양 입력은 사인0의30·28·26·24·22·20·18·16도. 왼쪽 달 입력은 사인4의15도부터 사인6의0도까지. 왼쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 111. 시간차표

인쇄 291면

위 태양 입력은 사인11의16·18·20·22·24·26·28·30도, 아래 태양 입력은 사인0의14·12·10·8·6·4·2·0도. 오른쪽 달 입력은 사인7의15도부터 사인6의0도까지. 오른쪽 위 더하라, 아래 빼라.

수표 112. 시간차표

〔수표 111 원면〕하단 사인 수 및 Argumenti Solis 라벨이 인쇄되지 않았다. 아래 사인0이라는 표의 짝은 앞뒤 면의 연속에 따른 안내이며 이 면의 실제 문자 판독으로 주장하지 않는다.

평균 운동 표

완결된 해의 평균 운동 표

Tabula mediorum motuum in annis completis — 완결된 해의 평균 운동 표.

상단 Incarnati — 성육신 기원〔서기〕. radices ad — 다음 장소에 대한 기준값. Argentinam — 아르겐티나〔스트라스부르〕, Viennam — 빈. 이어지는 기준 연도는1440,1460이다. 아래 anni completi — 완결된 해:1–20,40,60,80,100,200,300,400,500,600,700,800,900,1000,1520,1526.

수치열은 Solis 태양, Lunae 달, argumenti Lunae 달의 아르구멘툼, capitis draconis 용의 머리〔달의 승교점〕. 각 열의 signa/gra/min/sec는 사인·도·분·초이다. 기준행4개와 완결연수행35개의 원숫자 및 빈칸을 아래에 보존한다.

수표 113. 평균 운동 연수표

평년과 윤년의 월

Menses communes — 평년의 월. Continuatio tabulae praecedentis — 앞 표의 계속. Menses bissextiles — 윤년의 월.

두 표의 월은 Ianuarius 1월, Februarius 2월, Martius 3월, Aprilis 4월, Maius 5월, Iunius 6월, Iulius 7월, Augustus 8월, September 9월, October 10월, November 11월, December 12월이다. 열 순서는 태양·달·달의 아르구멘툼·용의 머리이며 단위는 사인·도·분·초다. 위 표에는 천체 이름을 반복 인쇄하지 않았으며 아래 표에서 명시한다. 평년12행과 윤년12행 모두 보존한다.

수표 114. 평년 및 윤년 월별 평균 운동

일별 평균 운동 표

Tabula mediorum motuum — 평균 운동 표. In diebus — 일수에 대하여. dies — 날수.1일부터31일까지이며 네 열군은 앞 표 순서를 잇는다. 각 단위는 사인·도·분·초다. 하단 연결어 Continuatio — 계속.

수표 115. 일별 평균 운동

시간과 분에 대한 앞 표의 계속

Continuatio tabulae praecedentis, in horis & minutis — 시간과 분에 대한 앞 표의 계속. 왼쪽 horae — 시간. 네 열군은 Solis 태양, Lunae 달, Argumenti Lunae 달의 아르구멘툼, Cap. draconis 용의 머리다. 위 단위 gra/min/sec — 도·분·초. 아래 단위 mi/sec/ter — 분·초·삼분〔초의60분의1〕.1–41의 모든 행과 위·아래 단위의 차이를 보존한다. 42이후는 다음 면으로 이어진다.

수표 116. 시간·분별 평균 운동 첫 면

평균 운동의 계속과 균차표

시간·분별 평균 운동, 계속

Continuatio tabulae praecedentis, in horis & minutis — 시간과 분에 대한 앞 표의 계속. horae — 시간.42–60의19행이며 태양·달·달의 아르구멘툼·용의 머리 네 열군이다. 상단 단위 gra/min/sec는 도·분·초, 하단 mi/sec/ter는 **분·초·삼분〔초의60분의1〕**이다. 원면 아래 문자 없는 장식무늬는 계산 자료가 아니므로 표 크롭에 포함하지 않았다.

수표 117. 평균 운동 표 계속

날의 균차표

Tabula aequationis dierum novissime constituta praesupponens augem Solis in principio Cancri, & declinationem Almeonis.

태양의 원지점이 게자리의 시작에 있다고, 또 알메온의 적위값을 전제하여 새롭게 작성한 날의 균차표.

왼쪽 Solis loc. — 태양의 위치. gr. — 도.0–30도의31행이다. 열별 사인은 Aries 양자리, Taurus 황소자리, Gemini 쌍둥이자리, Cancer 게자리, Leo 사자자리, Virgo 처녀자리, Libra 천칭자리, Scorpio 전갈자리, Sagitta. 사수자리, Capric. 염소자리, Aqua. 물병자리, Pisces 물고기자리. 각 사인의 수치 단위 mi/sec는 분·초. 다음 면 연결어 Tabula — 표.

수표 118. 날의 균차표

태양 균차표

양쪽 면에 걸친 표제 Tabula aequationis Solis — 태양의 균차표. signa — 사인, Argumenti Solis — 태양의 아르구멘툼. aequatio — 균차. uni mi. — 1분에 대한 값. 균차열의 gra/mi/sec — 도·분·초,1분에 대한 값의 sec/ter — 초·삼분〔초의60분의1〕. 가장자리 Minue — 빼라, Adde — 더하라.

수표 119: 위 사인0·1·2, 아래 사인11·10·9. 왼쪽 입력은0도0분부터7도30분까지10분 간격. 위 지시는 빼라, 아래 지시는 더하라.

수표 119. 태양 균차표 왼쪽

수표 120: 위 사인3·4·5, 아래 사인8·7·6. 오른쪽 입력은30도0분부터22도30분까지10분 간격으로 내려간다. 위 지시는 빼라, 아래 지시는 더하라. 두 면 각46행의 모든 숫자칸과 원래 비어 있는 차분칸을 보존했다.

수표 120. 태양 균차표 오른쪽

검은 네모·마모는 원상대로 남기며 추정 복원하지 않는다.

〔입력열 표머리〕수표 119과수표 120의 입력 두 열 머리는 원문에 mi.·gr.(분·도) 순서로 인쇄되어 있으나 실제 입력값 배열은 도·분 순서이다. 위의 입력 범위 설명은 값의 배열을 따랐으며 원표 이미지의 역순 표머리는 고치지 않고 보존했다.

태양 균차표 계속

Tabula aequationis Solis — 태양의 균차표. signa — 사인, aequatio — 균차, uni mi. — 1분에 대한 값. 균차 단위 gra/mi/sec는 도·분·초, 차분 단위 sec/ter는 초·삼분〔초의60분의1〕. Minue는 빼라, Adde는 더하라.

수표 121

위 사인0·1·2, 아래 사인11·10·9. 왼쪽 Argumenti Solis — 태양의 아르구멘툼. 입력7도30분부터15도0분까지10분 간격. 위 빼라, 아래 더하라. 이전 면의7도30분 끝행과 첫행이 겹치는 원표 배열 그대로 보존한다.

수표 121. 태양 균차표

수표 122

위 사인3·4·5, 아래 사인8·7·6. 오른쪽 Argumenti Solis — 태양의 아르구멘툼. 입력22도30분부터15도0분까지10분 간격으로 내려간다. 위 빼라, 아래 더하라.

수표 122. 태양 균차표

수표 123

위 사인0·1·2, 아래 사인11·10·9. 왼쪽 Argumenti Solis — 태양의 아르구멘툼. 입력15도0분부터22도30분까지10분 간격. 이 면의 가감표지는 앞 면과 바뀌어 위 더하라, 아래 빼라로 인쇄되어 있으며 원문 그대로 번역한다.

수표 123. 태양 균차표

수표 124

위 사인3·4·5, 아래 사인8·7·6. 입력15도0분부터7도30분까지10분 간격으로 내려간다. 오른쪽 주기는 앞 면과 달리 Centri & Argumenti veri — 중심 및 참 아르구멘툼의이며 이를 태양 아르구멘툼으로 임의 통일하지 않는다. 이 면에는 가장자리 가감 지시가 별도로 인쇄되지 않았다.

수표 124. 태양 균차표

원표 자체의 중복 행과 표제 차이를 수정하지 않는다.

균차표 계속

태양 균차표의 계속

두 면 연결 표제 Tabula aequationis Solis — 태양의 균차표. signa — 사인, Argumenti Solis — 태양의 아르구멘툼, aequatio — 균차, uni mi. — 1분에 대한 값. 균차열 단위는 도·분·초,1분에 대한 값은 **초·삼분〔초의60분의1〕**이다.

수표 125 위 사인0·1·2, 아래 사인11·10·9. 왼쪽 입력22도30분부터30도0분까지10분 간격이다. 이 면에는 별도 가감 지시가 없다.

수표 125. 균차표

수표 126 위 사인3·4·5, 아래 사인8·7·6. 오른쪽 입력7도30분부터0도0분까지10분 간격으로 내려간다. 위 Minue — 빼라, 아래 Adde — 더하라.

수표 126. 균차표

중심 및 참 아르구멘툼의 표

원면에 걸친 표제는 앞 표와 마찬가지로 Tabula aequationis Solis — 태양의 균차표라고 인쇄되지만 열 구성은 달라진다. 표제를 임의 수정하지 않는다. Centri & Argumenti veri — 중심 및 참 아르구멘툼의. Signa — 사인. 위 Addit, Minuit — 더한다, 뺀다, 아래 Minuit, Addit — 뺀다, 더한다.

공통 열 약어: aeq. centri — 중심차; prop./pp — 비례분〔약어〕; di. dia./di. di. — 지름 차〔diversitas diametri〕; aeq. argumen. — 아르구멘툼 균차; cor. vn. — 1분에 대응하는 값〔correspondens uni minuto〕. 원약어와 실제 열 위치를 함께 보존한다. gra/gr는 도, min/mi는 분, sec는 초, ter는 **삼분〔초의60분의1〕**이다.

수표 127 위 사인0·1, 아래 사인11·10. 왼쪽 입력0도0분부터7도30분까지10분 간격. 중심차는 도·분, 비례분은 분, 지름 차는 도·분, 아르구멘툼 균차는 도·분·초, cor. vn.은 초·삼분으로 인쇄되어 있다.

수표 127. 중심·아르구멘툼 표

수표 128 위 사인1·2, 아래 사인10·9. 오른쪽 입력30도0분부터22도30분까지10분 간격으로 내려간다. 이 면은 열 표지 및 단위가 앞 면과 다르게 인쇄된 곳이 있다. 왼쪽 중심차 아래 도·분, pp 아래 분, di. di. 아래 도·분; 가운데 아르구멘툼 균차 아래 도·분 및 분, cor. vn. 아래 도·분; 오른쪽 중심차 아래 도·분, pp 아래 초, di. dia. 아래 초·삼분이다. 이를 이론에 맞추어 임의 통일하지 않고 인쇄된 단위대로 보존한다.

수표 128. 중심·아르구멘툼 표

〔약어 뜻의 원전 확인〕같은 표 묶음에 앞서는 인쇄 181면의 「줄여 쓴 낱말의 해설」은 di.dia.를 diversitas diametri, cor.v.를 correspondens uni minuto라고 풀어 쓴다. 따라서 이 표의 cor. vn.은 막연한 ‘보정’이 아니라 1분에 대응하는 값이다. vn.은 uni를 줄여 쓴 표기다. 이 해설은 열머리의 뜻만 밝히며, 실제 인쇄된 단위나 원수치를 고치는 것이 아니다.

달의 균차표 계속

수표 129–수표 130과수표 131–수표 132에서 두 면 연결 표제는 Tabula aequationis Lunae — 달의 균차표이다. 앞의 수표 127–수표 128에 인쇄된 Solis〔태양의〕와 다름을 명시하고 원문 표제를 임의 통일하지 않는다. 수표 133은 표제 첫 부분이 다음 면으로 이어진다.

Centri & Argumenti veri — 중심 및 참 아르구멘툼의. Signa — 사인. 위 Addit, Minuit — 더한다, 뺀다; 아래 Minuit, Addit — 뺀다, 더한다.

aeq. centri — 중심차, prop./pp — 비례분〔약어〕, di. dia. — 지름 차〔diversitas diametri〕, aeq. argumen. — 아르구멘툼 균차, cor. vn. — 1분에 대응하는 값〔correspondens uni minuto〕. gra/gr — 도, min/mi — 분, sec — 초, ter — 삼분〔초의60분의1〕. 약어와 인쇄된 단위는 이미지에 모두 보존하고 서로 다른 단위를 임의 교정하지 않는다.